波动率不确定性下的期限结构建模

如果我们用βt（t）定义β：=e-θ（T-t） 对于θ>0，则短期利率动态由t=r+Zt给出uf（u）+θf（u）+qu- θrudu+(R)Bt和债券价格的形式为Pt（T）=expA（t，t）-B（t，t）qt- B（t，t）rt,其中，过程q=（qt）0≤t型≤τ由qt定义：=中兴通讯-2θ（t-u） dh'BIU和函数A、B：[0，τ]×[0，τ]→ R由a（t，t）定义：=-ZTtf（s）ds+B（t，t）f（t），B（t，t）：=θ（1- e-θ（T-t） ）。同样，风险中性短期利率动态由风险中性远期利率动态决定。根据定理3.1，后者由ft（T）=f（T）+Zte给出-θ（T-u） d’Bu+中兴通讯-θ（T-u） θ（1- e-θ（T-u） ）dh'Biu。短期利率的定义，然后利率t=f（t）+中兴通讯-θ（t-u） d’Bu+中兴通讯-θ（t-u） θ（1- e-θ（t-u） ）dh'Biu。应用It^o公式计算G-布朗运动的yieldsrt=r+Ztuf（u）+θf（u）+qu- θru我们通过整合远期利率的风险中性动态来获得债券价格。我们有ZTtf（s）ds=ZTtf（s）ds+ZTtZte-θ（s-u） d’芽+ZTtZte-θ（s-u） θ（1- e-θ（s-u） ）dh'Biuds。第一个二重积分可以写成zttzte-θ（s-u） d’Bubs=B（t，t）中兴通讯-θ（t-u） d’Bu。经过一些计算，第二个二重积分变成了TTZTE-θ（s-u） θ（1- e-θ（s-u） ）dh'Biuds=B（t，t）中兴通讯-θ（t-u） θ（1- e-θ（t-u） ）dh'Biu+B（t，t）中兴通讯-2θ（t-u） dh'Biu。因此，我们得到了zttft（s）ds=-A（t，t）+B（t，t）qt+B（t，t）rt，从而得出上述债券价格。备注4.1。前文还分析了波动率不确定性下的赫尔-怀特模型[18]。本文讨论了在波动率不确定的情况下，如何在赫尔-怀特模型中得到一个无套利的期限结构。为了实现这一点，必须合理修改短期利率动态的结构。这里我们得到了完全相同的结构。4.3 Vasicek术语结构前面的例子表明，当存在波动性不确定性时，需要调整Vasicek模型，以符合HJM方法。示例4.3。

如果我们在上一个示例中使用相同的差异系数，我们会发现，在存在挥发性不确定性的情况下，不可能准确地复制Vasicek模型。Vasicek期限结构和Hull Whiteterm结构所暗示的远期利率分别具有相同的差异系数。如果我们将β定义为示例4.2，则短期利率动态为byrt=r+Ztuf（u）+θf（u）+qu- θrudu+(R)Bt，其中过程q定义如例4.2所示。为了获得Vasicek模型的短期动力学，我们需要确保，对于所有t，对于常数u>0，tf（t）+θf（t）+qt=u（4.1），因为在Vasicek模型中，短期利率的平均逆转水平是恒定的。由于方程（4.1）不适用于任何初始正向曲线，该方程对Ft施加约束，以确保恒定的平均回复水平。如果没有波动性不确定性，可以检查Vasicekterm结构的初始远期曲线是否满足（4.1）。在存在波动率不确定性的情况下，没有初始正向曲线F满足（4.1），因为过程q是不确定的，即其真实性q只有在时间t之后才知道，而fis在开始时可以观察到。我们可以通过修改Vasicek模型来绕过pro b l em。假设初始正向曲线满足tf（t）+θf（t）=u对于所有的t。t意味着，fS解出了一个简单的普通微分方程，初始条件为f（0）=r，其屈服于sf（t）=e-θtr+uB（0，t）表示所有t，其中函数B定义如例4.2所示。

短速率动态由t=r+Zt（u+qu）给出- θru）du+(R)bt，如例4.2所示，债券价格的形式为pt（T）=expA（t，t）-B（t，t）qt- B（t，t）rt,其中，对于所有t和t，函数A现在满足（t，t）=-uZTtB（s，T）ds。因此，我们不必精确复制Vasicek模型，而是可以获得Vasicekmodel的一个变量，其中短期利率的平均回归水平由p过程q调整。备注4.2。示例4.3中提到的问题在示例4.2中没有出现，因为在Hull White模型中，随时间变化的平均收益水平。由于均值回归水平可能具有时间依赖性和不确定性，方程（4.1）仅在均值回归水平上存在条件，而在初始正向曲线上不存在条件。事实上，问题与期限结构模型匹配市场上观察到的任意远期曲线的能力有关，因为HJM方法基于从任意初始远期曲线开始的远期利率建模。HullWhite模型（以及Ho-Lee模型）涉及一个时间相关参数，因此具有足够的灵活性，可以将模型隐含的期限结构调整为从数据中获得的y期限结构。另一方面，Vasicek模型只有三个（常数）参数，将模型限制在它可以确定的所有类别的期限结构中。因此，我们必须对fto施加进一步的假设，以便在HJM方法中复制Vasicek模型，但是，当存在波动性不确定性时，这不起作用。4.4经济后果实例表明，在波动性不确定性存在的情况下，无风险期限结构模型表现出额外的不确定性因素。在所有的例子中，我们认为存在一个不确定的过程，总是用q表示，它进入短期利率动态和债券价格。

过程q是不确定的，因为它依赖于二次变量过程。正如定理3.1所示，这是由于风险中性远期利率动态显示漂移不确定性。这意味着，当波动率不确定时，需要额外的因素才能使模型无套利。尽管存在这种差异，但短期利率动态和债券价格仍有其独特的形式。事实上，除例4.3中的模型外，得到的TERM结构模型与经典模型一致。如果没有波动性不确定性，即σ=σ，则示例4.1和4.2分别对应于传统的Ho-Lee模型【16，第5.4.4小节】和传统的Hull-White模型【6，第3.3.1、3.3.2小节】。在这种情况下，过程q不再是不确定的。因此，过程q实际上包括在Ho-Leemodel和Hull-White模型中，但它是隐藏的，因为传统模型中没有波动不确定性。Vasicek模型不包括这样的f因素，因此，必须对其进行调整，以便在存在波动的情况下无套利，如示例4.3所示。从这些例子中得出的期限结构模型对波动率具有完全鲁棒性。示例中的债券价格完全独立于波动性。它们甚至不依赖于波动率σ和σ的极值，这通常发生在波动率不确定的期权定价中。当然，这种稳健性程度是有代价的。债券价格取决于附加因子q，而不是波动性，附加因子q由驱动风险因子的二次变化决定。这意味着，我们构建的期限结构模型不需要任何关于未来波动性演变的知识。

所有必要的信息都包含在驱动因素的二次变量中，即历史波动中。从理论角度来看，尤其是考虑到导言中给出的波动率不确定性的动机，最好建立一个期限结构模型，该模型不对波动率的未来演变施加任何假设。需要指定过程q的评估不是问题，因为这在原则上可以通过从数据推断历史波动率的演变来实现。然而，这些模型在实践中的表现如何，对未来的研究来说是一个具有挑战性的问题，因为术语结构模型的许多应用都涉及估计程序和模拟[9]，这在存在一系列概率测度的情况下是一项不平凡的任务。5结论在本文中，我们研究了存在波动不确定性的f-amous HJM模型。主要结果是一个称为漂移条件的有效条件，即相关债券市场没有套利。在存在波动性不确定性的情况下，无风险需要额外的市场价格，即不确定性市场价格。漂移条件充分描述了风险中性动态的正向率在其扩散项方面的特征。由于后者还包括不确定性，风险中性远期利率动态表现出漂移不确定性。在波动率不确定性存在的情况下，利用漂移条件可以构造无套利的期限结构模型，我们在示例中对此进行了说明。特别地，我们分别获得了Ho-Lee项结构和Hull-White项结构的稳健版本。

在不可能的例子中，漂移条件显示了如何调整模型，以便在波动率不确定时无套利，我们在对应于Vasicek期限结构的例子中显示了这一点。结果期限结构不依赖于任何假设，即未来波动性如何演变。相反，期限结构由历史波动率决定。因此，由此产生的期限结构模型对于波动率而言是完全稳健的。Appen-dixA向前速率的可容许被积函数我们构建了向前速率动力学的可容许被积函数空间，如下所示。让我们考虑度量空间（[0，T]，B（[0，T]），λ），其中T<∞, B（[0，T]）表示[0，T]上的Borelσ-代数，λ是[0，T]上的Lebesgue测度，而spaceMpG（0，T）f或p≥ 1，这是一个关于范数k·kp的Banach空间，由kηkp定义：=^EhZT |ηt | pdtip。对于过程η=（ηt）0≤t型≤锡MpG（0，T）。然后，我们通过▄Mp，0G（0，T）定义从[0，T]映射到MpG（0，T）的所有函数的空间φ，使得φ（s）=XiДiAi（s），其中（Дi）是一个有限的过程序列Дi=（Дit）0≤t型≤Tin-MpG（0，T）和（Ai）iis是B（[0，T]）中成对不相交集的有限序列。我们定义了亚型k·k~,pbykφk~,p： =空间上的ZTkφ（s）kPDsMp，0G（0，T）。通过考虑商空间相对于零空间'MpG（0，T）：=φ ∈Mp，0G（0，T）kφk~,p=0,仍然用▄Mp，0G（0，T）表示，我们得到了一个赋范空间。在标准k·k下完成￠Mp，0G（0，T）~,pis由▄MpG（0，T）表示，是容许被积函数的空间。容许被积函数空间有一个显式表示。

可以看出【26，A.1节】的抽象补全是由▄MpG（0，T）给出的=φ：[0，T]→ MpG（0，T）φ是强可测的，kφk~,p<∞.A函数φ：[0，T]→ 如果MpG（0，T）是B（[0，T]）/B（MpG（0，T））可测且φ（[0，T]）是可分离的，则称其为强可测的。因此，我们知道φ∈MpG（0，T）是固定s的常规快速过程，即φ（s）∈ MpG（0，T）对于每个s。因此，我们可以给出函数位于该空间的充分条件。提案A.1。Letφ：【0，T】→ MpG（0，T）应连续。然后φ∈MpG（0，T）。证据首先，我们证明φ是强可测的。因为φ是连续的，所以它是清晰的B（[0，T]）/B（MpG（0，T））-可测量的。此外，[0，T]是可分的，具有可分域的连续函数的图像是可分的。因此，φ（[0，T]）是可分离的。留下来说明φ的范数是有限的。范数k·kpi显然是一个连续函数。因此，函数f:R→ R、 s 7→ kφ（s）kpi连续，因为φ是连续的。因此，kφk~,p<∞.根据命题A.1，我们有以下函数的例子，在▄MpG（0，T）中。首先，我们知道，[0，T]×[0，T]上的连续实值函数属于▄MpG（0，T）。示例A.1。函数φ：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→ f（·，s）属于▄MpG（0，T），其中f:[0，T]×[0，T]→ R是连续的。φ映射到MpG（0，T），因为f（·，s）是所有s的一个连续函数。这可以从空间MpG（0，T）的表示中推断出来【20，Th eorem 4.7】。φ的连续性从kφ（s）开始- φ（￠s）kp=ZT | f（t，s）- f（t，~s）| pdtpand主导了融合。因此，根据命题A.1，φ∈MpG（0，T）。其次，[0，T]上的一个连续实值函数和一个可容许随机过程的乘积位于空间MpG（0，T）中。示例A.2。

函数φ：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→ f（s）η属于▄MpG（0，T），其中f:[0，T]→ R是连续的，η=（ηt）0≤t型≤T达到MpG（0，T）。显然，φ映射为MpG（0，T）。φ的连续性从kφ（s）开始- φ（￠s）kp=kηkp | f（s）- f（￠s）|。因此，命题A.1意味着φ∈MpG（0，T）。我们能够定义函数的积分，更重要的是，可以定义函数的二重积分。首先，我们定义了简单函数φ的Bochner积分∈~Mp，0G（0，T），ZTφ（s）ds：=XiДiλ（Ai）。Bochner积分是一个从▄Mp，0G（0，T）到MpG（0，T）的线性算子映射。另外，由于我们有不等式，所以算符是连续的ZTφ（s）dsp≤ZTkφ（s）kpds。（A.1）因此，我们可以将运算符or扩展到▄MpG（0，T），仍然满足（A.1）。对于∈ B（[0，T]），我们定义φ（s）ds：=RTA（s）φ（s）ds。由于积分映射为mpg（0，T），我们可以定义二重积分raφT（s）dsdbit forφ∈MG（0，T），映射到LG(OhmT） ，以及二重积分traψT（s）dsdt和rtraψT（s）dsdhBi，bjit forψ∈MG（0，T），映射到LG(OhmT） ，对于所有i，j=1。。。，d、 我们还可以定义积分倒序的二重积分，并改变顺序。为此，我们使用以下结果【26，命题A.2.2】。提案A.2。Letφ∈MpG（0，T），X为巴拿赫spa ce，F：MpG（0，T）→ X bea连续线性运算符。然后，我们可以定义（φ（s））ds，映射到X，和d itholdsZA（Fo φ） （s）ds=FZAφ（s）ds.所有与G-布朗运动有关的随机积分都是连续线性算子。因此，命题A.2 A允许我们定义φ的积分rArtφt（s）DBITD∈MG（0，T），映射到LG(OhmT） ，和积分artψT（s）dtds和rartψT（s）dhBi，ψ的Bjitds∈MG（0，T），映射到LG(OhmT） ，对于所有i，j=1。。。，d、 此外，我们还获得了Fubini的理论版本，这是HJM模型中的一个重要工具。推论A.1。

Letφ∈MG（0，T）和ψ∈MG（0，T）。然后，对于所有i，j，它保持szaztφt（s）dBitds=ZTZAφt（s）dsdBit，ZAZTψt（s）dtds=ZTZAψt（s）dsdt，ZAZTψt（s）dhBi，Bjitds=ZTZAψt（s）dsdhBi，Bjit。除了上面的二重积分之外，我们还需要定义更多的复杂积分。为了实现这一点，我们需要以下建议。提案A.3。Letφ∈MpG（0，T）和dψ：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→ 1[0，s]φ（s）。那么我们有ψ∈MpG（0，T）。证据首先，我们将ψ分解为几个函数，以证明它是强可测的。让我们定义子空间：=η ∈ MpG（0，T）η=1【0，a】，a∈ [0，T] MpG（0，T）。函数f:[0，T]→ Mp，s 7→ 1[0，s]，g：[0，T]→ Mp×MpG（0，T），s 7→（f（s），φ（s）），h:Mp×MpG（0，T）→ MpG（0，T），（η，ζ）7→ ηζ. 那么我们有ψ=ho g、 我们从分解的可测性推导出ψ的可测性。f是连续的，自K1[0，a]- 1[0，~a]kp=| a- a |表示a，| a∈ [0，T]，因此，f是B（[0，T]）/B（Mp）-可测量的。根据假设，φisB（[0，T]）/B（MpG（0，T））-可测量，因此g是B（[0，T]）/B（Mp）B（MpG（0，T））-可测量。现在左边显示h是B（Mp）B（MpG（0，T））/B（MpG（0，T））-可测，以推导ψ的可测性。我们为Mp×MpG（0，T）配备标准k·k，由k（η，ζ）k定义：=最大{kηkp，kζkp}。对于a，~a∈ [0，T]和ζ=（ζT）0≤t型≤Tand|ζ=（|ζt）0≤t型≤Tin-MpG（0，T），我们有k1[0，a]ζ- 1[0，￠a]~ζkp≤ kζ-Иζkp+k1【a，~a】~ζkp，其中最后一项收敛于0，因为a收敛于a。因此，h是连续的。所以我们需要证明∈ B（Mp） B（MpG（0，T））对于开集M Mp×MpG（0，T）表示h的可测性。如果M是开的，我们可以将其表示为Mp×MpG（0，T）中开球的并集。

通过k·k的定义，Mp×MpG（0，T）中的每个开球都可以写成一个矩形，其边分别是MpG和MpG（0，T）中的开球。因此，我们可以将M表示为一个矩形，其边分别是MpG和MpG（0，T）中的开集。因此，M∈ B（Mp） B（MpG（0，T））。利用第二步的连续性证明了ψ的像是可分的。通过假设，φ的图像是可分离的。此外，[0，T]是可分的，并且是fis连续的。因此，f（[0，T]）是可分离的，这意味着g的图像是可分离的。由于h的连续性，h（g（[0，T]）也是可分的。因为ψ=ho g、 它遵循ψ（[0，t]）是可分离的。剩下来说明ψ的范数是有限的。我们有ztkψ（s）kpd≤ZTkφ（s）kpds<∞,这就完成了证明。根据命题A.3，我们能够定义公式RTTφt（s）dsdbitan的积分，并通过命题A.2，定义公式RTRsφt（s）dBitds forφ∈MG（0，T），映射到LG(OhmT） 此外，推论A.1意味着，对于所有i，ZTZTtφT（s）dsdBit=ZTZsφT（s）dBitds。如果我们替换dBit、~MG（0，T）和LG，同样适用(OhmT） 通过dt，以及dh Bi、Bjitforall j、~MG（0，T）和LG(OhmT） ，分别为。最后，我们讨论了积分的可微性，特别是两个积分乘积的可微性，用于计算远期利率的扩散系数。与经典的Lebesgue积分一样，广义地说，~MpG（0，T）中的函数积分是可微分的，并且是绝对连续的。提案A.4。Letφ∈MpG（0，T）和Φ：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→Rsφ（u）du。Th en（i）Φ几乎处处可微且Φ′=φ，（ii）对于所有>0，存在δ>0，使得xikΦ（si）- Φ（~si）kp<对于每一个分离操作间隔的有限序列（~si，si））是如此之大的π（si-si）<δ。证据我们从不等式（A.1）和Lebesgue积分的性质推导出所有语句。