波动率不确定性下的期限结构建模

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英文标题：
《Term Structure Modeling under Volatility Uncertainty》
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作者：
Julian H\\\"olzermann
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In this paper, we study term structure movements in the spirit of Heath, Jarrow, and Morton [Econometrica 60(1), 77-105] under volatility uncertainty. We model the instantaneous forward rate as a diffusion process driven by a G-Brownian motion. The G-Brownian motion represents the uncertainty about the volatility. Within this framework, we derive a sufficient condition for the absence of arbitrage, known as the drift condition. In contrast to the traditional model, the drift condition consists of several equations and several market prices, termed market price of risk and market prices of uncertainty, respectively. The drift condition is still consistent with the classical one if there is no volatility uncertainty. Similar to the traditional model, the risk-neutral dynamics of the forward rate are completely determined by its diffusion term. The drift condition allows to construct arbitrage-free term structure models that are completely robust with respect to the volatility. In particular, we obtain robust versions of classical term structure models.
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中文摘要：
在本文中，我们以Heath、Jarrow和Morton【计量经济学60（1），77-105）】的精神研究了波动不确定性下的期限结构变动。我们将瞬时正向速率建模为G-布朗运动驱动的扩散过程。G-布朗运动表示波动率的不确定性。在此框架内，我们导出了不存在套利的一个充分条件，即漂移条件。与传统模型不同，漂移条件由几个方程和几个市场价格组成，分别称为风险市场价格和不确定性市场价格。如果没有波动不确定性，漂移条件仍然与经典条件一致。与传统模型类似，远期利率的风险中性动态完全由其扩散项决定。漂移条件允许构建对波动率完全鲁棒的无套利期限结构模型。特别是，我们获得了经典期限结构模型的稳健版本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Term_Structure_Modeling_under_Volatility_Uncertainty.pdf (292.69 KB)

2022-6-15 22:06:22 上传

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关键词：期限结构 不确定性 确定性 不确定 波动率

波动率不确定性下的期限结构模型*2021年9月6日在本文中，我们研究了Heath、Jarrow和Morton[Econometrica 60（1），77-105]在波动不确定性下的期限结构变动。我们将固定远期利率建模为G-布朗运动驱动的扩散过程。G-布朗运动表示波动率的不确定性。在这个框架中，我们推导出一个不存在仲裁的有效条件，即漂移条件。与传统模型不同，漂移条件由几个方程和几个市场价格组成，分别称为风险市场价格和不确定性市场价格。如果没有波动不确定性，漂移条件仍然与经典条件一致。与传统模型类似，远期利率的风险中性动态完全由其差异项决定。漂移条件允许构造对波动率完全鲁棒的无套利期限结构模型。特别是，我们获得了经典术语结构模型的健壮版本。关键词：稳健金融、模型不确定性、利率、无套利JEL分类：G12MSC2010：91G 301简介数学金融中的大多数波动率建模方法都受到模型不确定性的影响，称为波动率不确定性，可以通过使模型对波动率具有鲁棒性来加以控制。克服传统数学金融模型中关于波动性的程式化事实的标准方法是通过随机过程对波动性进行建模。选择该过程时，通常应确保波动率与历史波动率具有相同的特征，并且由此产生的期权价格与市场上观察到的当前价格一致。

然而，执行这项任务有许多选择，由于市场环境的原因，假设与过去和现在一致的模型规格在未来仍然有效，这是值得怀疑的*比勒费尔德大学数学经济中心。电子邮件：julian。hoelzermann@unibielefeld.de.作者感谢Frank Riedel的宝贵建议，感谢Tolulope Fadina和Hanwu Li的卓有成效的合作，感谢Qian Lin、Wolfgang Runggaldier以及锡耶纳“经济学和金融随机新前沿”研讨会和帕多瓦“第十二届欧洲夏季Schoolin金融数学”研讨会的参与者发表了有趣的评论。作者非常感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungs gemeinschaft）通过CollaborativeResearch Center 1283提供的财政支持。可能会发生巨大变化。由于波动性影响基础的概率规律，这种方法会导致模型不确定性，即关于使用正确概率度量的不确定性。为了解决这个问题，稳健金融中的模型在一系列概率测度的情况下工作，这些概率测度由关于波动率的几个信念组成，从而产生对波动率稳健的模型。在本文中，我们以Heath、Jarrow和Morton【17】（HJM）的精神研究了波动率不确定性下的期限结构变动。与经典HJM框架一样，我们将瞬时远期利率的行为建模为一个扩散过程。远期利率决定了相关债券市场上的所有数量。我们通过一系列被称为信念集的概率度量来表示波动性的不确定性，其中每个度量表示关于波动性的不同信念。这样的方法自然会导致次线性期望和G-布朗运动，这是彭[25]发明的。

因此，在存在波动不确定性的情况下，远期利率动态由G-布朗运动驱动。与经典的HJM模型相比，远期利率除了经典的（确定的）漂移项外，还有不确定的dr ift项，因为G-布朗运动的二次协变量是不确定过程。尽管存在差异，但目前的模型仍然与经典的HJM模型一致。我们对远期利率动态的系数进行一些假设，以获得足够的规律性。与传统的HJM模型类似，本文的主要结果是一个漂移条件，这意味着相关债券市场是无套利的。传统lHJM drif t条件将无套利与市场风险价格的存在联系起来，并表明远期利率的风险中性动态完全由其差异系数来表征。为了推导波动率不确定性存在时的漂移条件，我们在此背景下为相关债券市场建立了合适的市场结构。与传统的HJM模型相比，波动不确定性存在时的漂移条件要求存在多个市场价格。我们把额外的市场价格（除了风险的市场价格）称为不确定的市场价格。与传统HJM模型一样，远期利率的风险中性动态完全由其扩散项决定，此外，扩散项的不确定性决定漂移的不确定性。如果波动率的不确定性消失，漂移条件就只会回归传统。

主要结果的证明基于推导所述债券的动力学，并使用G-Br ownian运动的Grisanov变换以及G-Backar d随机微分方程的一些结果。本文推导的漂移条件是一个非常强大的工具，因为它允许构造对波动率完全鲁棒的无套利期限结构模型。在没有波动不确定性的经典情况下，几乎每个（无套利）期限结构模型都对应于HJM方法中的一个特定示例。由于目前工作的主要结果，我们能够通过考虑具体示例，在存在波动不确定性的情况下获得无套利期限结构模型。特别是，我们恢复了经典期限结构模型的健壮版本。示例包括Ho-Lee术语结构、Hull-White术语结构和Vasicek术语结构。示例表明，风险中性短期利率动态和债券价格的漂移仍然具有一个有效的结构，当波动率存在不确定性时，包括一个额外的不确定性因素。有趣的是，通过这个过程，我们获得了对波动性及其最坏情况下的值具有鲁棒性的期限结构模型，这与大多数关于波动性不确定性定价的工作不同。为了对上述工作进行分析，我们构造了一个远期利率动态的可容许整数空间。远期利率是一个由其性质参数化的离散过程，需要与到期日可积才能计算债券价格。因此，远期利率动态中的被积函数需要相对于成熟度是正则的，除了在G-布朗运动驱动的离散中是可容许的随机过程。

为了实现这一点，我们使用了Bochner可积函数的空间，即Bana ch空间值函数，它具有有效的可测性和可积分性，在这种特殊情况下，函数从成熟度集映射到可容许随机过程的空间。对于此类函数，我们可以定义Bochner积分，将其映射到可容许随机过程空间。这确保了远期利率相对于其到期日是可积的。此外，我们还导出了HJM模型的其他必要结果，包括Fubini随机积分定理的一个版本。我们给出了函数是Bochner可积的一个充分条件，它适用于所有考虑的例子。此外，我们还提供了一个充分的条件，确保与债券市场相关的贴现债券和投资组合价值是适定的。每个贴现债券都是由G-布朗运动驱动的一个离散过程的经验一元，投资组合值分别由贴现债券的积分组成。首先，我们必须确保贴现债券是适定的，其次，我们需要确保每个贴现债券的动态具有足够的规律性，以暗示投资组合价值是适定的。为此，我们使用一个类似于G-Novikov的Osuka条件[24]的条件来获得所需的正则性。与经典情况一样，这种条件的优势在于，与其他条件相比，它可以轻松验证，这意味着it^o扩散的指数是可积的。可以验证本文考虑的所有示例都满足此条件。目前的工作是稳健金融文献中的第一项，它为波动性不确定性下的无套利期限结构建模提供了一个通用的HJM框架。

一般而言，有关利率和模型不确定性的文献相对较少。这一研究领域的早期贡献归功于Avellaneda和Lewicki【1】以及Epstein和Wilmott【13】，他们依赖直觉论证，而不是严格的公式。El Karoui和Ravanelli【1 2】以及Lin和Riedel【23】的著作中出现了一种结合模型不确定性的利率处理方法，他们没有关注利率和套利的期限结构。Biaginian和Zhang【2】以及Fadina和Schmidt【15】的其他相关文章涉及信用风险和模型不确定性。最相关的是Fadina、Neufeld和Schmidt的工作【14】和之前的工作【18】。Fadina、Neufeld和Schmidt【14】研究了参数不确定性和相应利率模型下的有效过程。然而，由于债券是固定收入市场的基本要素，无法对冲，因此结果仅限于短期利率模型和对合同定价的过度争论，这不适用于利率的期限结构。前一篇文章[18]特别关注在短期利率模型“a la Hull White”中存在波动不确定性的情况下获得无套利期限结构。本文将后一个结果推广到一般的HJMsetting。虽然有各种数学方法来分析体积不确定性，但本文主要依赖于G-布朗运动的微积分。代表波动率不确定性的两种经典方法是D enis和Martini【11】和Peng【25】。Denis和Martini【11】的方法在概率设置下工作，并使用容量理论。另一方面，彭[25]介绍了G-布朗运动的微积分。与第一种方法相比，G-布朗运动的微积分是由非线性偏微分方程驱动的。

然而，Denis、Hu和Peng展示了两种方法之间的二重性【10】。除此之外，可以使用基于聚合的方法[27]或路径方法[7]。在本文中，我们从一个类似于Denis和Martini【11】的概率设置开始，因为这是从经济角度表示波动不确定性的自然方法，并使用Denis、Hu和Peng【10】的结果获得G-布朗运动计算的所有结果。G-Brownian运动的微积分是数学分析的主要支柱，因为关于G-Brownian运动的文献非常丰富，并且配备了许多数学工具。论文的结构如下。第2节介绍了确定相关债券市场上所有数量的远期利率，以及表示波动性不确定性的框架。在第3节中，我们为相关债券市场建立了一个市场结构，并推导了漂移条件，确保没有套利。在第4节中，我们研究了一些示例，包括Ho-Lee术语结构、Hull-White术语结构和theVasicek术语结构，并讨论了它们的含义。第5节给出了结论。在附录A中，我们构造了前向速率动力学的可容许被积函数空间，并得到了相关结果。附录中的B节提供了贴现债券处于良好状态的充分条件。2期限结构变动在传统的HJM框架中，没有波动不确定性，期限结构变动由标准布朗运动驱动。也就是说，我们考虑规范过程B=（Bt，…，Bdt）t≥0，用于d∈ N、 关于维纳空间(Ohm, F、 P）过滤F=（Ft）t≥0，由B生成，由所有P-null集完成。那么正则过程B是P下的d维标准布朗运动。

对于T≤ τ、 其中τ<∞ 是一个固定的终止时间，我们表示到期的远期利率T a T T时间T byft（T）表示≤ T对于所有T，前向大鼠e过程的动力学f（T）=（ft（T））0≤t型≤对于某些初始（可观察）正向曲线f:[0，τ]，皮重由ft（T）=f（T）+Ztαu（T）du+dXi=1Ztβiu（T）dbiu给出→ R、 它是可积的，一个充分正则过程α（T）=（αT（T））0≤t型≤τ和β（T）=（βT（T）。。。，βdt（T））0≤t型≤τ.利率决定了债券市场上所有剩余的数量。市场为所有到期日提供零息票债券，这些债券由货币市场账户贴现。键合过程P（T）=（Pt（T））0≤t型≤定义为pt（T）：=exp-ZTFT（s）ds对于所有T≤ τ和货币市场账户M=（Mt）0≤t型≤τ由mt定义：=expZtrsds公司,其中，短rat e r=（rt）0≤t型≤τ由rt定义：=ft（t）。我们使用货币市场账户作为一个数字，即我们关注贴现债券▄P（T）=（▄Pt（T））0≤t型≤T全部T≤ τ、 定义为▄Pt（T）：=M-1磅（T）。在存在波动性不确定性的情况下，我们考虑一系列概率度量，称为bel i efs集，其中每个度量表示对波动性的不同信念。为了构造信念集，我们考虑了波动率在一定状态空间中的所有情形。也就是说，我们考虑所有∑值、F-适应过程σ=（σt）t≥0，其中∑是Rd×d的有界闭子集。对于每个这样的过程σ，我们定义过程Bσ=（Bσt）t≥0byBσt：=Ztσudbu，测量值Pσ是过程Bσ的定律，即Pσ：=Po （Bσ）-1、信念集是所有此类度量的集合，用P表示。对于此类度量集，我们通过^E[ξ]：=支持∈所有可测随机变量ξ的PEP[ξ]，使得所有P都存在EP[ξ]∈ P

可以将^E作为最坏情况衡量标准或风险衡量标准进行解释。这组信念自然会导致G-期望和G-布朗运动。根据Denis、Hu和Peng[10，定理54]的结果，我们知道^E对应于LG上的G-期望(Ohm) 正则过程B是^E下的d维G-布朗运动。G-期望由非线性偏微分方程定义。字母G表示非线性生成器G:Sd→ R、 由g（A）=supσ给出∈∑tr（σσ′A），其中sd表示所有对称d×d矩阵的空间，·′表示矩阵的转置。我们假设G是非退化的，即存在一个常数C>0，例如G（a）- G（B）≥ Ctr（A- B） 对于所有A≥ B、 空间LG(Ohm) 表示G-布朗运动演算中允许的随机变量空间，在该空间上，我们确定了拟确定相等的随机变量，即P-几乎确定所有P∈ P、 关于G-布朗运动演算的进一步见解，读者可以参考彭的书【25】。备注2.1。正如引言中提到的，有几种针对模型波动性不确定性的ap方法和许多扩展。特别是，还有比LG更大的Spaces扩展(Ohm) 还有其他从这个地方来的空间。然而，我们坚持使用经典空间来使用关于G-Brownian运动的所有文献的结果。因此，在波动率不确定性存在的情况下，期限结构运动由G-布朗运动驱动。这意味着，对于所有T，对于某些初始远期曲线f:[0，τ]，远期利率动态现在由ft（T）=f（T）+Ztαu（T）du+dXi=1Ztβiu（T）dBiu+dXi，j=1Ztγi，ju（T）dhBi，bjiu给出→ R、 它是可积的，函数α，γi，j：[0，τ]→ MG（0，τ）和βi:[0，τ]→ MG（0，τ）。