波动率不确定性下的期限结构建模

根据（A.1），我们有s-sΦ（s）- Φ（￠s）- φ（￠s）p≤s-sf（s）- f（秒）,式中f：[0，T]→ R由f（s）定义：=Rskφ（u）-φ（￠s）kpdu。由于Lebesgue积分的可微性，当几乎所有的s收敛到s时，前面不等式右侧的表达式趋于0。因此，Φ几乎是可微的，Φ′=φ。此外，我们可以使用（A.1）获得Φ（s）- Φ（￠s）kp≤ |g（s）- g（~s）|，其中g:[0，T]→ R由g（s）定义：=Rskφ（u）kpdu。由于Lebesgue积分是绝对连续的，对于所有的>0，我们可以找到一个δ>0，使得xikΦ（si）- Φ（￠si）kp≤Xi | g（si）- 对于每个不相交的开放区间的有限序列（si，si），g（| si）|<都是pi（si- si）<δ。相反，我们有一个版本的微积分基本定理，它适用于▄MpG（0，T）中可微分且绝对连续的函数。提案A.5。LetΦ：【0，T】→ MpG（0，T）几乎处处可微，Φ′=φ，其中φ∈MpG（0，T）。如果所有>0，则存在δ>0，使得xikΦ（si）- Φ（￠si）kp<对于每一个特定的双点开放区间序列（￠si，si））都是如此- si）<δ，则保持Φ（s）- Φ（0）=Zsφ（u）du。证据我们利用Hahn-Bana ch定理和微积分f或Lebesgue积分的基本定理的一个结果来证明这个断言。设F:MpG（0，T）→ R是一个连续的线性泛函。那么我们有|（Fo Φ）（s）- （F）o Φ）（￠s）|≤ CkΦ（s）- Φ（￠s）kP对于某些常数C>0。根据Φ的最后一个假设，我们推断Fo Φ是绝对连续的。

L ebesgue积分的微积分基本定理简化了Fo Φ几乎处处可微，其导数可积，且（Fo Φ）（s）- （F）o Φ）（0）=Zs（Fo Φ）′（u）du。此外，（Fo Φ）′=Fo φ、 因为F的连续性和线性意味着|（Fo Φ）′（~s）- （F）o φ） （秒）≤（F）o Φ）′（~s）-s-s（F）o Φ）（s）- （F）o Φ）（秒）+ Cs-sΦ（s）- Φ（￠s）- φ（￠s）p对于某些常数C>0，其中右侧的项收敛到0，几乎所有s都收敛到s。因此，我们得到（Fo Φ）（s）- （F）o Φ）（0）=Zs（Fo φ） （u）du。根据命题A.2和F的线性，它保持SFΦ（s）- Φ(0) -Zsφ（u）du= 由于这适用于每一个连续线性泛函，Hahn-Banach定理简化了这一断言。为了推导出可微分和绝对连续函数的乘积规则，我们使用以下引理。引理A.1。Letφ，ψ∈M2pG（0，T）和Д：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→ φ（s）ψ（s），其中φ是连续的。然后呢∈MpG（0，T）。证据首先，我们知道ν映射到MpG（0，T），因为可以通过H¨older\'sinequality表明，M2pG（0，T）中两个过程的产物属于MpG（0，T）。接下来，我们证明了Γ是强可测的。如果f:M2pG（0，T）×M2pG（0，T），则命题A.3的证明遵循强可测性→ MpG（0，T），定义byf（η，ζ）：=ηζ，是连续的，其中我们为M2pG（0，T）×M2pG（0，T）配备标准k·k，定义byk（η，ζ）k：=最大{kηk2p，kζk2p}。通过应用H¨older不等式，对于（η，ζ）=（ηt，ζt）0≤t型≤Tand（|η，|ζ）=（|ηt，|ζt）0≤t型≤TinM2pG（0，T）×M2pG（0，T），我们有kηζ- ИηИζkp≤ kηk2pkζ-Иζk2p+kη- ηk2pkζk2p。因此，f是连续的，因为kηk2pand kζk2parefinite和kη- Иηk2pand kζ-当（η，ζ）收敛到（|η，|ζ）时，ζk2p收敛到0。最后，我们推导出ν的范数是有限的。函数s 7→ kφ（s）k2pis连续，因为φ和t的范数连续，因此有界。

因此，ZTkД（s）KPD≤ZTkφ（s）k2pkψ（s）k2pds≤ CZTkψ（s）k2pds<∞对于某些常数C>0，这就完成了证明。在L emma A.1的帮助下，我们得到了所需的乘积规则。提案A.6。LetΦ，ψ：[0，T]→ M2pG（0，T）几乎处处可微，Φ′=φ，ψ′=ψ，其中φ，ψ∈M2pG（0，T）。如果对于所有的>0，则存在δ>0，例如Φ（si）- Φ（￠si）kp，Xikψ（si）- ψ（￠si）kp<对于每一个特定的双点开放区间序列（￠si，si）），都是如此的π（si- si）<δ，则保持Φ（s）ψ（s）- Φ（0）ψ（0）=Zsφ（u）ψ（u）+Φ（u）ψ（u）du。证据我们显示thatΥ：[0，t]→ MpG（0，T），s 7→ Φ（s）ψ（s）满足命题A.5的假设以推断断言。利用H¨older不等式，我们得到了KΥ（s）- Υ（￠s）kp≤ kΦ（s）k2pkψ（s）- ψ（￠s）k2p+kΦ（s）- Φ（￠s）k2pkψ（￠s）k2p。最后一个假设意味着s 7→ kΦ（s）K2和s 7→ kψ（￠s）k2pare连续且有界。因此，对于所有>0，我们可以找到一个δ>0，即xikΥ（si）- Υ（￠si）kp<对于每一个不相交的开放区间的有限序列（￠si，si））都是如此- si）<δ。设ν：[0，T]→ MpG（0，T），s 7→ φ（s）ψ（s）+Φ（s）ψ（s）。引理A.1，ν∈MpG（0，T），自φ，ψ起∈M2pG（0，T）和Φ及ψ是连续的，根据假设属于▄M2pG（0，T）。此外，我们有s-sΥ（s）- Υ（Υs）- Д（￠s）p≤s-sΥ（s）- Φ（￠s）ψ（s）- φ（￠s）ψ（s）p+kφ（￠s）ψ（s）- φ（▄s）ψ（▄s）kp+s-sΦ（￠s）ψ（s）- Υ（Υs）- Φ（￠s）ψ（￠s）p、 右手边的三个项收敛到0，因为几乎所有的s都收敛到s。第一个项几乎处处收敛到0，因为s-sΥ（s）- Φ（￠s）ψ（s）- φ（￠s）ψ（s）p≤s-sΦ（s）- Φ（￠s）- φ（￠s）2pkψ（s）k2p，Φ几乎处处可微，Φ′=φ，s 7→ kψ（s）k2pi连续。第二项收敛到0，因为kφ（~s）ψ（s）- φ（▄s）ψ（▄s）kp≤ kφ（￠s）k2pkψ（s）- ψ（s）k2p，φ（s）∈ M2pG（0，T）和s 7→ kψ（s）k2pi连续。

第三项几乎在任何地方收敛到0，因为s-sΦ（￠s）ψ（s）- Υ（Υs）- Φ（￠s）ψ（￠s）p≤ kΦ（￠s）k2ps-sψ（s）- ψ（￠s）- ψ（￠s）2p，Φ（￠s）∈ M2pG（0，T），ψ是一个处处可微的lmo st，ψ′=ψ。因此，Υisalmost everywhere differentiable andΥ′=Д。这就完成了证明。结合命题A.4和命题A.6，我们得出以下结果，这有助于远期利率的差异系数。推论A.2。Letφ，ψ∈M2pG（0，T）和Φ，ψ：[0，T]→ MpG（0，T）分别由Φ（s）：=Rsφ（u）du和ψ（s）：=Rsψ（u）du定义。然后它保持Φ（s）ψ（s）=Zsφ（u）ψ（u）+Φ（u）ψ（u）du。B贴现债券的正则性为了证明贴现债券是充分正则的，我们考虑由G-布朗运动驱动的一个微分过程的经验值。让我们定义流程X=（Xt）0≤t型≤TbyXt：=经验值Ztaudu+dXi=1ZtbiudBiu+dXi，j=1Ztci，judhBi，Bjiu,其中a=（at）0≤t型≤Tand ci，j=（ci，jt）0≤t型≤T延伸至MG（0，T），bi=（位）0≤t型≤T对于所有i，j=1。。。，d、 然后X的动力学由xt=1+ZtauXudu+dXi=1ZtbiuXudBiu+dXi，j=1Zt（ci，ju+biubju）XudhBi，bjiu由G-Br ownian运动的It^o公式给出。下面的结果提供了一个有效的条件，确保过程的动态是有规律的。因此，我们得到X本身是适定的。提案B.1。如果存在p>1，则a，ci，j∈ MpG（0，T）和bi∈ M2pG（0，T），对于所有i，j=1。。。，d且存在▄p>p*和▄q>2，其中p*:=2pqp-qfor som e q∈ （1，p）使得^EhZTexpp▄q▄q-2.Ztaudu+dXi，j=1Ztci，judhBi，Bjiudti<∞,^EhZTexp（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiudti<∞,那么我们有X∈ 议员*G（0，T）。特别是，这意味着aX，（ci，j+bibj）X∈ MG（0，T）和biX∈ MG（0，T）对于所有i，j=1。。。，d、 证明。为了显示X∈ 议员*G（0，T），我们使用spaceMp的特征*胡、王和郑的G（0，T）[20]。

空间Mp*G（0，T）由所有渐进可测过程η=（ηT）0组成≤t型≤t确认kηkp*p*< ∞, ηha是一个准连续版本，且limn→∞^EhZT |ηt | p*{|ηt|≥n} dti=0【20，定理4.7】。自a、ci、j起∈ MpG（0，T）和bi∈ M2pG（0，T）对于所有i，j，我们知道x是逐步可测的，并且是一个准连续的版本。因此，由于^EhZT | Xt | p*{| Xt|≥n} dti公司≤np-p*^EhZT | Xt | | pdti，左边显示kXk▄p▄p<∞ 为了推导出t的X∈ 议员*G（0，T）。我们有^EhZT | Xt | pdti=^EhZTexppdXi=1ZtbiudBiu-p▄qdXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiu×经验值p▄qdXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiu×经验值pZtaudu+dXi，j=1Ztci，judhBi，Bjiudti。通过H¨older不等式，我们得到了^EhZT | Xt | pdti≤^EhZTexp~p▄qdXi=1ZtbiudBiu-（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiudti？q？EHZTEP（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiudti？q？EHZTEPp▄q▄q-2.Ztaudu+dXi，j=1Ztci，judhBi，Bjiudtiq-2q。通过假设，我们知道右侧的第二项和第三项是有限的。因此，留下来说明第一个术语也是有限的。我们可以使用经典的Fubini定理和最后一个假设来计算etEPhexp（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiui<∞对于几乎所有的t对于所有的P∈ P、 因此，我们知道Novikov的条件是满足的，这表明~p▄qdXi=1ZtbiudBiu-（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiui=1对于lmo，所有t对于所有P∈ P、 再次积分并使用Fubini定理，我们得到了Ephztexp~p▄qdXi=1ZtbiudBiu-（pq）dXi，j=1ZtbiubjudhBi，Bjiudti=t对于所有P∈ P、 这意味着所需的完整性。我们剩下来展示aX，（ci，j+bibj）X∈ MG（0，T）和biX∈ MG（0，T）表示alli，j。通过第一步的论证，我们需要证明kaXkqq<∞ 为了减少那把斧头∈ MG（0，T）。根据H¨older不等式，它持有^EhZT | atXt | qdti≤^EhZT | at | pdtiqp^EhZT | Xt | p*dtip-qp。钻机右侧的两个术语是有限的，因为∈ MpG（0，T）和X∈ 议员*G（0，T）。因此，我们得到了k aXkqq<∞.

我们可以证明（ci，j+bibj）X∈ MG（0，T）和biX∈MG（0，T）f或所有i，j以相同方式。如果a，bi，和ci，j，对于所有i，j，满足命题B.1的a假设，我们得到Xt∈ LG公司(Ohmt） 用It^o公式计算所有t。此外，如果a=0=ci，j+bibj对于所有i，j，我们甚至有xt∈ LG公司(Ohmt） 所有t.参考文献【1】Avellanda，M.和P.Lewicki（1996年）。波动率不确定市场中的利率未定权益定价。工作文件，库兰特数学科学研究所。[2] Biagini，F.和Y.Zhang（2019年）。模型不确定性下的简化形式框架。应用概率的神经网络29（4），2481–2522。[3] Biagini，S.、B.Bouchard、C.Kardaras和M.Nutz（2017年）。连续过程的稳健基础理论。数学财务27（4），963–987。[4] 比约克、T.、G.迪马西、Y.卡巴诺夫和W.伦格·加尔迪耶（1997）。建立债券市场的一般理论。《金融与随机1（2）》，141–174。[5] Bouchard，B.和M.Nutz（2015年）。非支配离散时间模型中的套利与对偶。应用概率年鉴25（2），823–859。[6] Brigo，D.和F.Mercurio（2001年）。利率模型：理论与实践。斯普林格。[7] 续，右。和N.Perkowski（20 19）。具有任意正则性的连续路径的路径积分和公式变量的变化。《美国数学学会学报》，B辑6，161–186。[8] Cuchiero，C.、I.Klein和J.Teichmann（2016年）。大型金融市场资产定价基本定理的新视角。概率论及其应用60（4），561–579。[9] Dai，Q.a和K.Singleto n（2003）。理论和现实中的期限结构动力学。《金融研究回顾》16（3），631–678。[10] Denis，L.、M.Hu和S.Peng（2011年）。与次线性期望相关的函数空间和容量：G-布朗运动路径的应用。

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