波动率不确定性下的期限结构建模

空间MpG（0，τ）由随机过程组成，这些过程是定义与G-布朗运动相关的所有随机积分的可容许被积函数。因此，远期利率和短期利率的定义如下：对于所有T，ft（T），rt∈ LG公司(Ohmt） 与传统的HJM模型相比，当存在波动不确定性时，远期利率具有额外的不确定性漂移项。前向速率的附加漂移项是不确定的，因为它们依赖于G-Brownian运动的二次协变过程。在存在波动不确定性的情况下，驱动过程的二次协变量是不确定的过程，因为它们在信念集的测量中有所不同。此外，可以证明附加漂移项不能包含在第一漂移项中【28，推论3.3】。因此，我们必须将其添加到远期动态中，而不是将其包含在第一个漂移项中。这样，我们就可以区分由不确定性驱动的漂移部分和不确定性驱动的漂移部分。当不存在相对性不确定性时，该模型对应于经典的HJMmodel。如果我们去掉波动率的不确定性，那么B就变成了标准布朗运动，其二次协变量过程不再是不确定的。也就是说，如果∑={Id}，其中Id表示单位矩阵，那么对于所有i，hBi，Biit=t和hBi，对于所有j 6=i，Bjit=0。在这种情况下，远期利率动态由ft（t）=f（t）+Zt给出αu（T）+dXi=1γi，iu（T）du+dXi=1Ztβiu（T）dbiu对于所有T，也就是说，该模型对应于经典的HJM模型，其中漂移由α和Pdi=1γi之和给出。因此，我们采用以下两个正则性假设。

第一个假设确保远期利率和短期利率是可积分的，并且所有后续计算都是可行的。假设2.1。存在一个p>1，使得α，γi，j∈MpG（0，τ）和βi∈对于所有i，j，M2pG（0，τ）。我们在附录A中构建的空间▄MpG（0，τ），由从[0，τ]映射到MpG（0，τ）的所有函数组成，这些函数是强可测的，其MpG（0，τ）的范数是可积分的。如果一个函数是Borel可测且其imag eis是可分离的，则称其为强l y可测函数。例如，根据命题A.1，我们知道从[0，τ]映射到MpG（0，τ）的所有连续函数都属于▄MpG（0，τ）。这意味着第4节中的所有示例都满足假设2.1，如示例A.1所示。根据命题A.2，假设2.1表明远期利率和命题A.3，短期利率是可积的。第二个假设确保贴现债券和投资组合价值具有充分的规律性。假设2.2。存在▄p>p*和▄q>2，其中p*:=2pqp-q对于某些q∈ （1，p），因此，对于所有T≤ τ、 它持有^EhZTexpp▄q▄q-2.Ztau（T）du+dXi，j=1Ztci，ju（T）dhBi，Bjiudti<∞,^EhZTexp（▄p▄q）dXi，j=1Ztbiu（T）bju（T）dhBi，Bjiudti<∞.过程a（T）=（at（T））0≤t型≤τ、 bi（T）=（位（T））0≤t型≤τ、 和ci，j（T）=（ci，jt（T））0≤t型≤τ、 堡垒≤ τ、 定义为at（T）：=ZTtαT（s）ds，bit（T）：=ZTtβit（s）ds，ci，jt（T）：=所有i，j的ZTtγi，jt（s）dsa（T），ci，j（T）∈ MpG（0，τ）和bi（T）∈ 假设2.1和命题a.3得出的M2pG（0，τ）。可以很容易地验证第4节中的所有示例是否满足假设2.2。

假设2.2类似于Osuka[24]中G-Novikov的条件，并表明，对于每一个到期日，贴现债券价格均为LG(Ohmt） 此外，假设2.2确保贴现债券的动态具有足够的规律性，以暗示下文定义的投资组合价值是适定的。我们在附录B中展示了这两种含义，它需要引理3。1从下面开始。3无套利远期利率动态在传统的HJM模型中，相关债券市场上没有套利是由HJM漂移条件保证的，该条件假设存在风险的市场价格，并根据其扩散系数表征远期利率的漂移。更准确地说，如果存在合适的过程λ=（λt，…，λdt）0，则市场是无套利的≤t型≤τ使得，对于所有T，α（T）- β（T）b（T）′+β（T）λ′=0，其中b（T）=（b（T）。。。，bd（T））。过程λ是风险的市场价格，因为它在一个等价的概率测度，即calledrisk中立测度下，将每个贴现Bon的漂移还原为鞅。然后，风险中性度量下的远期利率动态完全由其差异系数决定，即ft（T）=f（T）+Ztβu（T）bu（T）du+dXi=1Ztβiu（T）d'Biu，其中B=（'Bt，'Bdt）0≤t型≤τ是风险中性测度下的布朗运动。这一事实具有实际重要性，因为不需要指定漂移项α或风险的市场价格λ。为了推导波动率不确定性存在时的漂移条件，我们首先确定了可接受的市场策略和合适的套利概念。市场中的代理人可以选择他们想要交易的有限数量的债券。相应的投资组合价值由交易收益决定，即我们仅限于自我融资战略。定义3.1。

容许市场策略（π，T）是一对由有界过程π=（πT，…，πnt）0组成的偶≤t型≤τ单位为MG（0，τ；Rn），向量T=（T，…，Tn）∈ [0，τ]n组n∈ N、 终端时间对应的投资组合价值由▄vτ（π，T）：=nXi=1ZTiπitd▄Pt（Ti）确定。投资组合价值是适定的，因为根据假设2.2和命题B，在下面的命题3.1中导出的▄P（T）的动力学对于每个T都是充分正则的。此外，我们使用了套利的准确定概念，这与模型不确定性文献中经常使用的概念相对应[3，5]。定义3.2。如果≈vτ（π，T），则可接受的市场策略（π，T）称为套利≥ 0准肯定，Pvτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、 此外，如果没有套利，我们说债券市场是无套利的。备注3.1。可以概括交易策略和套利的概念。交易策略的概念可以通过允许使用计量价值的交易策略[4]或使用大型市场的方法s来概括[21]。此外，还提出了其他与债券市场相关的无套利概念，这些概念基于大型金融市场理论[8]。我们坚持上面的定义，因为这种代理化不是本文的目标。在存在波动性不确定性的情况下，没有套利需要存在多个市场价格。在这种情况下，存在一个次线性预期，在该次线性预期下，贴现债券是对称G鞅，从而排除了套利机会。此外，漂移条件表征了远期利率的动态特性。定理3.1。

债券市场是无套利的，如果对于某些p>1，存在s t有界过程κ=（κt，…，κdt）0≤t型≤τ和λi，j=（λi，j，1t，…，λi，j，dt）0≤t型≤τ在MpG（0，τ；Rd）中，使得α（T）+β（T）κ′=0，γi，j（T）-βi（T）bj（T）+bi（T）βj（T）+ β（T）（λi，j）′=0（3.1），对于几乎所有的T，对于所有的i，j。特别是，存在一个次线性期望，其中对于所有的T，P（T）是对称的G-鞅，对于所有的T，ft（T）=f（T）+dXi=1Ztβiu（T）d′Biu+dXi，j=1Ztβiu（T）bju（T）+biu（T）βju（T）dh'Bi，'Bjiu，其中'B=（'Bt，…，'Bdt）0≤t型≤τ是E下的G-Brownian运动。漂移条件下出现的额外市场价格表示市场价格的不确定性。与没有波动不确定性的经典情况相比，远期利率和（因此）贴现债券具有额外的漂移项，这些漂移项是不确定的（如第2节所述）。因此，我们需要额外的市场价格，以使贴现债券对称G鞅，从而最终排除套利。由于额外的市场价格与贴现债券的不确定漂移期有关，因此它们是不确定的市场价格。远期利率的风险中性动态完全以其差异项为特征，与经典HJM模型相比，这不仅适用于系数，也适用于不确定性。根据定理3.1，我们将“E”下的远期利率动力学称为“风险中性动力学”，因为贴现债券是“E”下的对称Gmartingales。与经典HJM模型一样，扩散系数β决定了风险中性远期利率动力学的漂移系数。此外，G-布朗运动B中包含的不确定性决定了漂移的不确定性，漂移由B的二次协变量过程表示。

这意味着，在存在波动性不确定性的情况下，无期限期限结构模型也表现出漂移不确定性。尽管存在差异，漂移条件仍与经典HJMdrift条件一致。如果波动率没有不确定性，也就是说，如果∑={Id}，那么远期利率，对于所有T，满意度ft（T）=f（T）+Ztαu（T）+dXi=1γi，iu（T）du+dXi=1Ztβiu（T）dbiu，如第2节所述。定理3.1中的漂移条件意味着α（T）+dXi=1γi，i（T）- β（T）b（T）′+β（T）κ+dXi=1λi，i′= 0对于几乎所有T。后者对应于过程κ+Pdi=1λi，i给出的风险市场价格的经典HJM漂移条件。为了证明定理3.1，我们首先推导了每个到期日贴现债券的动力学。这是基于以下引理。引理3.1。对于所有T，P（T）的对数满足动态对数Pt（T）= 日志P（T）-Ztau（T）du-dXi=1Ztbiu（T）dBiu-dXi，j=1Ztci，ju（T）dhBi，Bjiu。证据我们通过应用Fubini定理（见附录A）获得了动态。将远期利率动态和短期利率动态插入到▄P（T）的定义中，即▄P（T）满意度的对数中Pt（T）= 日志P（T）-ZTtZtαu（s）哑弹-ZtZsαu（s）哑弹-dXi=1ZTtZtβiu（s）dBiuds-dXi=1ZtZsβiu（s）dBiuds-dXi，j=1ZTtZtγi，ju（s）dhBi，Bjiuds-dXi，j=1ZtZsγi，ju（s）dhBi，bjiuds用于所有T。然后应用推论A.1得出，对于所有i，j，ZTtZtαu（s）duds+ZtZsαu（s）duds=Ztau（T）du，ZTtZtβiu（s）dBiuds+ZtZsβiu（s）dBiuds=Ztbiu（T）dBiu，ZTtZtγi，ju（s）dhBi，Bjiuds+ZtZsγi，ju（s）dhBi，Bjiuds=Ztci，ju（T）dhBi，bjiu（T）dhBi，bjiu for all T，这证明了该断言。由于对于所有i，j，过程a（T），bi（T）和ci，j（T）对于每个T都是充分正则的，我们可以使用Li和Peng[2 2]给出的G-布朗运动的It^o公式来推导每个T的贴现b-ond的动力学。提案3.1。

对于所有T，贴现债券▄P（T）满足动力学▄Pt（T）=▄P（T）-Ztau（T）~Pu（T）du-dXi=1Ztbiu（T）~Pu（T）dBiu-dXi，j=1Ztci，ju（T）-biu（T）bju（T）Pu（T）dhBi，Bjiu。证据引理3支持的断言。1和It^o公式在GBrownian运动中的应用【22，定理5.4】。我们可以应用后者，因为a（T），ci，j（T）∈镁（0，T）和铋（T）∈ 通过构造附录A中的Bochner积分和前位A.3中的所有i，j的MG（0，T）。我们通过使用Hu、Ji、Peng和Song[19]的G向后随机微分方程的结果，包括G-Br Ownian运动的Girsanov变换，证明了定理3.1。关于G-Backward d随机微分方程的详细信息，请参见Hu、Ji、Peng和Song的论文【19】。定理3的证明。1、首先，我们使用Hu、Ji、Peng和Song[19]的G-Brownianmotion的Girsanov变换重写了远期利率和每个到期日的贴现债券的动力学。为此，我们考虑以下次线性期望。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ） 当p>1时，我们通过Et[ξ]：=Yξt定义次线性期望值E，其中Yξ=（Yξt）0≤t型≤τ解G-倒向随机微分方程ξt=ξ+ZτtκuZ′udu+dXi，j=1Zτtλi，juZ′udhBi，Bjiu-dXi=1ZτtZiudBiu- （Kτ- Kt）。那么“E”是时间一致的次线性期望[19，定理5.1]，过程“B=（“Bt，…，”Bdt）0≤t型≤τ、 由“Bt”定义：=Bt-Ztκudu-dXi，j=1Ztλi，judhBi，Bjiu，是E下的G-布朗运动【19，定理5.2，5.4】。

B和B的二次协变量是相同的，因为B的漂移项是有界变化的。因此，对于每个T，我们可以重写远期利率asft（T）=f（T）+Zt的动力学αu（T）+βu（T）κ′udu+dXi=1Ztβiu（T）d'Biu+dXi，j=1Ztγi，ju（T）+βu（T）（λi，ju）′dh'Bi，'BJIU和贴现债券的动力学为▄Pt（T）=▄P（T）-Zt公司au（T）+bu（T）κ′uPu（T）du-dXi=1Ztbiu（T）~Pu（T）d'Biu-dXi，j=1Ztci，ju（T）-biu（T）bju（T）+bu（T）（λi，ju）′Pu（T）dh'Bi，'Bjiu。接下来，我们从漂移条件推导出正向随机动力学和贴现债券破裂动力学。By（3.1），对于几乎所有的T，ft（T）=f（T）+dXi=1Ztβiu（T）d'Biu+dXi，j=1Ztβiu（T）bju（T）+biu（T）βju（T）dh'Bi，'Bjiu。此外，对于所有i、j、ZT，我们可以将（3.1）中的项集成到g et中·α（s）+β（s）κ′ds=a（T）+b（T）κ′，ZT·γi，j（s）+β（s）（λi，j）′ds=ci，j（T）+b（T）（λi，j）′，ZT·βi（s）bj（s）+bi（s）βj（s）ds=所有T的bi（T）bj（T）。后者源自推论A.2。因此，by（A.1），对于所有i，j，A（T）+b（T）κ′=0，ci，j（T）-对于所有T，bi（T）bj（T）+b（T）（λi，j）′=0，这意味着▄Pt（T）=▄P（T）-dXi=1Ztbiu（T）~Pu（T）d'Biu。最后，我们得出结论，市场是无套利的，因为贴现债券是对称的G-ma-r交易。根据假设2.2和命题B.1，我们推断，对于每个T，~Pt（T）∈ LG公司(Ohmt） 对于所有t。此外，上述贴现债券的动力学意味着对于所有t，(R)P（t）是E下的对称G-鞅。因此，可以证明债券市场是无套利的[18，命题5.1]。

这证明了这样一个事实，即当且仅当ξ的“E[|ξ|]]=0时，“E”等于初始次线性期望值“E”∈ 液化石油气(Ohmτ） p>1[18，引理5.1]。4经典术语结构的稳健版本HJM方法如此流行的主要原因是，基本上每个术语结构模型都对应于HJM模型中的一个特定示例。可以证明，任何无套利期限结构所隐含的远期利率满足特定差异系数的HJM漂移条件。相反，差异系数充分表征了远期利率的风险中性动态，而远期利率又决定了模型的所有其他数量。因此，可以通过简单地指定远期利率的差异项来构建无套利期限结构模型。我们研究在当前环境下，当我们考虑特定样本时，我们获得了什么样的期限结构模型。定理3。1表明，当存在波动性和不确定性时，远期利率的风险中性动态也由其差异项决定。因此，上一节推导的漂移条件使我们能够通过指定前向大鼠的扩散项，在存在波动性不确定性的情况下构建无套利期限结构模型，我们在成功的例子中演示了这一点。特别是，我们的目标是通过分别考虑当前框架中相应的差异系数来恢复经典术语结构模型的健壮版本。在本节中，我们提出以下假设。首先，我们考虑一维G-布朗运动，即d=1，σ=[σ，σ]≥ σ > 0 .其次，我们假设初始正向曲线是不同的。这对于推导相关的短期利率动力学是必要的。第三，我们假设漂移条件满足。

这种假设确保了模型是无套利的，并允许直接计算远期利率的风险中性动态。还应注意的是，以下示例在以下意义上是可行的，即各差异系数满足第2.4.1节“Ho-Lee期限结构”中的规律性假设。如果我们考虑“Ho-Lee期限结构”所暗示的远期利率的差异系数，我们将获得Ho-Lee模型的稳健版本。示例4.1。如果我们定义βb yβt（t）：=1，则短期利率sa tis fiesrt=r+Ztuf（u）+qudu+(R)Bt和债券价格的形式为Pt（T）=expA（t，t）-B（t，t）qt- B（t，t）rt,其中，过程q=（qt）0≤t型≤τ由qt定义：=h'位和函数A，B：[0，τ]×[0，τ]→ R由a（t，t）定义：=-ZTtf（s）ds+B（t，t）f（t），B（t，t）：=（t- t） 。风险中性短期利率动态由风险中性远期利率动态决定。根据定理3.1，后者由ft（T）=f（T）+Bt+Zt（T）给出- u） dh'Biu。根据短期利率的定义，我们得出RT=f（t）+Bt+Zt（t- u） dh'Biu。应用It^o的G-布朗运动公式，然后yieldsrt=r+Ztuf（u）+qudu+(R)Bt。债券价格遵循f ro m整合风险中性远期利率动力学。WehaveZTtft（s）ds=ZTtf（s）ds+B（t，t）(R)Bt+ZTtZt（s- u） dh'Biuds。如果我们在最后一个学期进行一些计算，那么- u） dh'Biuds=B（t，t）Zt（t- u） dh“Biu+B（t，t）h”位。代入上一个方程式中的物质，我们得到zttft（s）ds=-A（t，t）+B（t，t）qt+B（t，t）rt，从上面得到债券价格。4.2 Hull White Term结构如果我们使用Hull White Term结构所暗示的远期利率的差异系数，我们可以得到Hull White模型的稳健版本。示例4.2。