物理与导数：有效势路积分

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英文标题：
《Physics and Derivatives: Effective-Potential Path-Integral
  Approximations of Arrow-Debreu Densities》
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作者：
Luca Capriotti and Ruggero Vaia
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We show how effective-potential path-integrals methods, stemming on a simple and nice idea originally due to Feynman and successfully employed in Physics for a variety of quantum thermodynamics applications, can be used to develop an accurate and easy-to-compute semi-analytical approximation of transition probabilities and Arrow-Debreu densities for arbitrary diffusions. We illustrate the accuracy of the method by presenting results for the Black-Karasinski and the GARCH linear models, for which the proposed approximation provides remarkably accurate results, even in regimes of high volatility, and for multi-year time horizons. The accuracy and the computational efficiency of the proposed approximation makes it a viable alternative to fully numerical schemes for a variety of derivatives pricing applications.
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中文摘要：
我们展示了有效的势路积分方法，该方法源于费曼最初提出的一个简单而好的想法，并成功地应用于各种量子热力学应用的物理中，可以用来开发一个精确且易于计算的任意扩散的跃迁概率和Arrow-Debreu密度的半解析近似。我们通过给出Black-Karasinski和GARCH线性模型的结果来说明该方法的准确性，对于这些模型，所提出的近似方法提供了非常精确的结果，即使是在高波动率的情况下，也可以提供多年时间范围的结果。该近似的准确性和计算效率使其成为各种衍生品定价应用中完全数值格式的可行替代方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Physics_and_Derivatives:_Effective-Potential_Path-Integral_Approximations_of_Arr.pdf (687.59 KB)

2022-6-23 20:13:04 上传

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关键词：Applications Successfully Quantitative Application Computation

物理学和导数：Arrow-Debreu密度的有效势路积分近似Luca Capriotti1,2*和Ruggero Vaia3,4+纽约大学坦顿工程学院，6 MetroTech Center，Brooklyn，NY 11201，美利坚合众国数学系，伦敦大学学院，Gower Street，London WC1E 6BT，United Kingdomistito dei Sistemi Complessi，Consiglio Nazionale delle Ricerche，via Madonna del Piano 10，I-50019 Sesto Fioretino（FI），意大利国家核金融研究所（Italystituto Nationale di Fisica Nucleare，Sezione di Firenze，via G.Sansone 1，I-50019 Sesto Fioretino（FI），Italy。（日期：2019年2月12日）我们展示了势路积分方法的有效性，该方法源于费曼的一个简单而美好的想法，并成功地应用于各种量子热力学应用的物理学中，可用于开发准确且易于计算的半解析近似法，用于计算任意差异的跃迁概率和Arrow-Debreu密度。Weill通过给出Black-Karasinski和theGARCH线性模型的结果来说明该方法的准确性，对于这些模型，所提出的近似方法提供了非常精确的结果，即使是在高波动率的情况下，也可以提供多年时间范围的结果。

该近似方法的准确性和计算效率使其成为各种衍生品定价应用中完整数值方案的可行替代方案。关键词：路径积分；半经典方法；随机过程；Arrow Debreu定价；衍生定价；零息债券；黑色卡拉辛斯基模型；非齐次布朗运动；加什。简介路径积分（Feynman et al.，2010），也被称为随机微积分中的维纳积分（Kac，1966；维纳，1921a，b），是一种成熟的数学形式主义，长期以来在物理学中被用来发展精确的近似和高效的计算技术（Kleinert，2009）。其中，所谓的半经典方法（Kleinert，2009）起着核心作用。这些近似值可以通过几种方式进行开发，虽然共享相同的限制行为，但会导致真正不同的结果。著名的Wentzel-Kramers-Brillouin近似（Brillouin，1926；Kramers，1926；Wentzel，1926），相当于路径积分的鞍点近似（Kakushadze，2015；Kleinert2009；Rajaraman，1975），以及Wigner-Kirkwood展开（Fujiwara et al.，1982；Hillery et al.，1984；Kirkwood，1933；Wigner，1932），都是这方面的著名理论设备。在半经典近似中，一个突出的作用是所谓的有效势方法（Feynman，1998；Feynman et al.，2010），该方法借鉴了重整化群的思想，以“整合”围绕“经典”轨迹的波动为基础。

虽然在原则上是精确的，但计算只能在某种近似水平上进行，使用*电子地址：luca。capriotti@nyu.edu+电子地址：ruggero。vaia@isc.cnr.itwhich无扰系统的选择对近似的质量起着至关重要的作用。一个特别成功的有效势近似是源于费曼（Feynman et al.，2010）的一个简单而美好的想法，由Giachetti和Tognetti（Giachetti和Tognetti，1985）和Feynman和Kleinert（Feynman和Kleinert，1986）（GTFK）独立开发，这是基于有效势的自洽（非局部）谐波近似，在某种意义上，将在以下章节中明确。基本上，GTFK效应势是在通常的经典形式中使用的，但通过其包含的适当重整化参数来解释系统的量子性质；因此，这种近似方法不会立即产生最终结果，而是将量子力学问题简化为经典问题，用任何已知方法进行处理。物理学家知道这相当于一个巨大的简化。最吸引人的方面是，经典行为完全由GTFK势来解释，因此它为面对具有挑战性的量子系统开辟了道路。已知经典类似物的特征是特殊的非线性激发，例如1D中的孤子或2D中的旋涡。后者是拓扑相变的“引擎”，这项研究（Kosterlitz和Thouless，1973年），迈克尔·科斯特利茨和大卫·Thouless（KT）获得2016年诺贝尔奖。

通过GTFK方法，可以确定一些真正的磁性化合物确实显示出KT跃迁。通过相同方法（适当推广）成功处理的其他量子系统是受挫的反铁磁体，例如所谓的二维（2D）J-Jmodel（Capriotti et al.，2004）和2D Josephson结阵列，它们可以被人工制造，也可以包含电阻；在后一种情况下，可以自然扩展效应势，以解释与环境相关的耗散耦合（Cuccoli等人，1997）。自（Linetsky，1997）和（Bennati et al.，1999）的开创性论文以来，人们就知道所谓的欧几里德路径积分（Feynman et al.，2010；Kleinert，2009）与导数形式主义之间的联系（另见最近的评论（Kakushadze，2015））。特别是，众所周知，非线性扩散过程后的变量可以用与模拟势中量子粒子的有限温度特性相同的形式来描述，该势与扩散漂移有关，其中质量的作用由波动平方的倒数来发挥，温度与时间的倒数成正比，量子电导与布朗噪声成正比（Bennati et al.，1999）。

路径积分形式的金融工程的兴趣主要来自于开发准确近似方案的可能性，这些方案在传统的随机微积分公式中不可用或未知（Bennati等人，1999；Capriotti，2006；Kakushadze，2015）。在本文中，我们将考虑GTFK方法在形式为rt=r（Yt）的广义短期利率模型中的应用，其中Yt遵循以下随机微分方程（SDE）dYt=uy（Yt）dt+σy（Yt）dWt指定的非线性微分过程，（1）对于t>0，其中u（Yt）和σ（Yt）分别是漂移和波动函数，y=y，WT是标准布朗运动。短期利率模型在金融建模中至关重要，为利率和信贷衍生品的定价提供了许多方法的基础（Andersen和Piterberg，2010；O\'Kane，2010）。尤其是著名的a ffine模型（Du ffeet al.，2000），如（Vasicek，1977），（Hull and White，1990）和（Cox et al.，1985）的模型，发挥了重要作用。这主要是因为它们的分析可跟踪性使得人们能够推导出零息票债券等基本构建块的封闭式表达式，或者在违约强度模型的背景下（O\'Kane，2010），生存概率。不幸的是，封闭式解决方案的可用性往往以基础利率的不现实属性为代价。例如，高斯模型，如（Vasicek，1977）和（Hull and White，1990）的模型，当根据金融数据进行校准时，通常意味着利率可以假设具有相当大概率的负值。

虽然这对利率模型来说可能不是问题，尤其是在低利率环境下，但这与违约强度模型中缺乏套利并不一致（O\'Kane，2010）。另一方面，平方根差异（如Cox等人，1985年）虽然保证为非负，但可能会导致票面互换率的分布，见（Andersen和Piterberg，2010年；Li等人，2018年），其不允许低于某一特定阈值的值，因此可能被认为是不现实的。不幸的是，更现实的模型缺乏与a of nemodels所示相同的分析可处理性。因此，尽管在实践中广泛使用，但它们的实现依赖于计算密集型偏微分方程（PDE）或蒙特卡罗（MC）方法来计算债券价格或生存概率。在多因素问题的背景下，这尤其繁重，尤其是涉及估值调整计算（XVA）的问题，参见（Gregory，2010），这是目前非常突出的金融工程。事实上，这些应用需要蒙特卡罗模拟，例如，对模拟路径不同点的条件债券价格或生存概率进行估值，这对于缺乏这些量的闭合形式解的模型来说是昂贵的计算。在这种情况下，可靠的分析近似对于减少与这些计算相关的数字负担尤为重要。更具体地说，在本文中，我们将重点发展所谓（广义）Arrow-Debreu（AD）密度的近似值，见（Andersen和Piterbarg，2010；Karatzas和Shreve，1991），也称为格林函数，这是未定权益定价的基本基石。

在该设置中，这些定义为ψYλ（yT，Y，T）=Ehδ（yT-yT）e-λRTdu ruY=yi，（2），其中λ是实数，δ（·）是标准Dirac\'sdelta函数。对于λ=0，这给出了转移密度，这对于计量经济学中的最大可能性估计（Ait Sahalia，1999）至关重要，例如，thatzadytψY（yT，Y，t）≡ P【YT】∈ A | Y=Y]。（3） 到期日为t且付款形式为P（rT），V（0）=Ehe的欧式期权在t=0时的价格-RTdu ruP（rT）Y=yi，（4）可通过将支付函数和（λ=1）AD密度的乘积积分到时间T处所有可能的短期利率值上获得，即v（0）=ZdyTψY（yT，Y，T）P（yT），（5）其中积分在函数yT=r的范围内执行-1（rT）。特别地，对于P，可以得到随机过程的矩母函数≡ 1，Zλ（r，T）=ZdyTψYλ（yT，Y，T），（6），对于λ=1，给出了到期日为T的azero息票债券在T=0时的价值（Andersen和Piterbarg，2010）。在违约强度模型的背景下，如果企业违约是由具有时间依赖性强度的泊松过程的首次到达来建模的，（O\'Kane，2010），λ=1的等式（6）表示截至时间T的生存概率，条件是存活时间T=0。这是评估视生存或违约而定的现金流的基本基石，参见（O\'Kane，2010）。本文的结构如下。我们首先在量子统计力学路径积分公式的背景下回顾GTFK有效势方法的形式。

然后，我们通过回顾非线性效应AD密度的路径积分公式，将量子物理学中使用的形式主义与金融中使用的形式主义联系起来，并展示了如何在随机微积分的数学环境中使用GTFK近似，以发展广义AD密度的半解析近似（2），零耦合键（6）表示形式（1）的非线性扩散。值得注意的是，GTFK方法在零波动率和到期时间限制下作为任何半经典近似都能产生准确的结果，每当提取潜力为二次方时，GTFK方法也是准确的，这意味着正如我们所记得的，对于Vasicek（Vasicek，1977）和quadraticmodel（Kakushadze，2015）来说，它是准确的。

最后，我们说明了GTFK方法对于无法通过应用于所谓的Black Karasinski（BK）模型（Black and Karasinski，1991）和所谓的GARCHlinear随机微分方程（SDE）（Capriottiet al.，2019；Li et al.，2018）获得解析解的模型的显著准确性，这两种方法都与信用衍生工具的估值特别相关。量子统计力学中的有效势近似我们首先回顾了由标准哈密顿量^H=^p2m+V（^x）（7）描述的质量为m的非相对论性粒子的量子热力学路径积分形式，其中^x和^p是正则坐标和动量算符，使得[^x，^p]=i ~，具有~约化普朗克常数，其中V（^x）是粒子所受的电势。温度T下粒子的量子热力学性质可以用密度矩阵（Feynman et al.，2010）来描述，ρ=e-β^H（8），其中β=1/kBT，kb为玻耳兹曼常数。在坐标表示中，密度矩阵的元素可以用费曼积分（Feynman et al.，2010）表示为ρ（xT，x，T）≡ hxT^ρ| xi=Zx（T）=xTx（0）=xD[x（T）]eS[x（T）]，（9）其中路径积分定义在所有路径x（T）上，使得x（0）=x和x（T）=xT，T=β~因此称为欧几里德时间和泛函[x（T）]=-~ZTdthm˙x（t）+V（x（t））i，（10）是欧氏作用。inEq的功能集成。（9） ，正式定义为N的限值→ ∞ of表达式m2π~t型N/2Z。锌-1Yi=1dxiexpS（xi，xi-1), （11） 使用t=t/N，xN≡ xTandS（xi，xi-1) =-t型~m（xi）- xi-1)t+V（（xi-1+xi）/2）. （12） 虽然公式（9）中的路径积分仅在少数情况下可用于简单势，但形式主义允许使用新的近似。