勘误表：大型投资组合的随机演化方程

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英文标题：
《ERRATUM: Stochastic evolution equations for large portfolios of
  stochastic volatility models》
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作者：
Ben Hambly, Nikolaos Kolliopoulos
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the article \"Stochastic evolution equations for large portfolios of Stochastic Volatility models\" (Arxiv:1701.05640) there is a mistake in the proof of Theorem 3.1. In this erratum we establish a weaker version of this Theorem and then we redevelop the regularity theory for our problem accordingly. This means that most of our regularity results are replaced by slightly weaker ones. We also clarify a point in the proof of a correct result.
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中文摘要：
在“随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程”（Arxiv:1701.05640）一文中，定理3.1的证明存在错误。在这个勘误表中，我们建立了这个定理的较弱版本，然后我们相应地重新发展了我们问题的正则性理论。这意味着我们的大多数规律性结果被稍微较弱的结果所取代。我们还澄清了正确结果证明中的一点。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> ERRATUM:_Stochastic_evolution_equations_for_large_portfolios_of_stochastic_volat.pdf (215.53 KB)

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关键词：投资组合 勘误表 Applications Differential Quantitative

勘误表：随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程Ben Hambly*和Nikolaos Kolliopoulos+牛津大学数学研究所，2019年5月14日摘要文章“随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程”（[3]，ArXiv ID:1701.05640）对第3.1条的证明存在错误。在这个勘误表中，我们建立了这个定理的一个较弱版本，然后我们相应地为我们的问题重新发展了正则性理论。这意味着我们的大多数规律性结果被较弱的结果所取代。我们还在证明正确结果的过程中澄清了一点。我们将首先以结构化的方式呈现正确的结果，替换不正确的结果，然后给出证明。为此，我们需要对（3.1）给出的CIR波动过程的参数进行更有力的假设。在之前的版本中，我们假设dkθξ>。然而，我们现在需要施加更强的条件，即kθξ>x*≈ 3.315，其中x*是方程16x的最大根- 60倍+24倍- 3=0，（E0.1），我们的结果保持不变。我们还将澄清附录中原始文章中定理4.1的（正确）证明中的一个论点。本勘误表中的章节和新结果/方程将以字母“E”开头的数字编制索引。另一方面，我们将引用所有其他内容，就好像我们在原始文章中一样。E1修正的主要结果定理3.1的证明包含致命错误。我们将错误的定理3.1替换为：定理E1.1。假设σ是一个正随机变量，从零开始有界且不完整。那么P-几乎肯定是条件概率测度P（σt∈·|B·，G）具有连续密度pt（··，B·，G），其在[0，∞), 对于所有t>0。

此外，对于任何T>0，任何α≥ 0和所有非常小的q>1，我们有以下可积条件mαB·，G（·）：=supy≥0yαp·（y | B·，G）∈ Lq公司(Ohm ×【0，T】）*hambly@maths.ox.ac.uk+kolliopoulos@maths.ox.ac.uk（通讯作者）与定理3.1相比，上述定理具有更强的假设，给出的波动率密度结果较弱。因此，需要建立vt的整体规律性理论。我们以略微不同的方式陈述结果。上述测度值过程的二维密度将属于以下空间SLα=L(Ohm, F、 P）×[0，T]；L | y |αR+×RandHα=L(Ohm, F、 P）×[0，T]；H0，w（x）R+×L | y |α（R）对于α≥ 0和w（x）=最小值{1，√x} 对于x≥ 0，其中我们为权重函数为{g（y）：y的加权最小二乘空间写Lg（y）∈ R} ，和H0，g（x）（R+）对于权重函数为{g（x）：x的加权H（R+）空间≥ 0}，以导数的形式表示。除了可积性条件外，属于第二空间的函数u′还必须满足边界条件limx→0+u′（·，x，·）L | y |α(Ohm×【0，T】×R）=0。注意，这种定义没有问题，因为ku′（·，x，·）kL | y |α(Ohm当x>0时，×[0，T]×R）必须在x中连续（随后应用莫雷不等式[2]远离x=0），因此改变上述极限的值会在(Ohm ×R+×R+×R）感测。下一个定理给出了vt密度的存在性及其正则性，该定理取代了定理4.3。定理E1.2。假设h是一个连续函数，取值于R+的某个紧子集。也假设给定的G，Xhas是R+中的L-可积密度u（·| G），使得EhkukL（R+）| Gi∈ Lq′(Ohm) 对于任何q′>1。

假设最终kθξ>x*和ρ2,1∈ (-1，1）保持C=（k，θ，ξ，r，ρ1,1，ρ2,1）的任何可能实现，并且随机变量σ为正且有界远离零且不完整。然后，对于C的任何可能实现，测度值随机过程vt，Chasa二维密度uC（t，·，W·，B·，G）属于任何α的空间Lα≥ 此外，当ρ：=RdWtdBt=0且EkukH0，w（x）（R+）| G∈ Lq′(Ohm) 对于anyq′>1，密度也属于Hα≥ 接下来，我们精确地获得了[3]中的SPDE，并将初始边值问题的定义与上述定理中给出的新正则性结果相适应。为此，我们定义了空间Lα，w：=任意α的Lyαw（x）（R+×R+）≥ 0，我们将定义5.1（问题的α解）修改为以下定义E1.3。对于给定的实数ρ和系数向量c的给定值，设h:R+-→ R+是一个具有多项式增长的函数，Ube是一个随机函数，它在R+外扩展为零，使得U∈ LOhm;Lα和（U）x∈LOhm;Lα，w对于某些α>0。给定C、ρ、α以及函数h和U，我们说当满足以下条件时，ui是问题的α解；1、u适用于过滤{σG、 Wt，Bt: t型≥ 0}，属于空间hα∩ Lα。2.

在R+中支持u，并满足SPDEu（t，x，y）=u（x，y）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds- kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ρZt（h（y）√yu（s，x，y））xyds+ξZt（yu（s，x，y））y yds- ρ1,1Zth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρ2,1Zt(√yu（s，x，y））ydBs，（E1.1）适用于所有x，y∈ R+，其中uy、uy和uxx在测试函数空间上的分布意义上考虑test={g∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0，y∈ R} 。ρ=ξρ1,1ρ2,1的密度uc满足上述定义的SPDE，其中ρ是Wand B之间的相关性（即dWt·dBt=ρdt），而当ρ=0时，所有α>0的正则性也满足。最后，我们用以下定理代替定理5.2，该定理改进了初始边值问题二维密度的正则性，该定理只在所用的加权形式上有所不同。定理E1.4。固定系数向量C、函数h、实数nu mberρ和初始数据函数U的值。假设U是所有α问题的α-解≥ 那么，u的弱导数uy存在，我们有uy∈ L[0，T]×Ohm;Lα，w对于所有α≥ 2.E2主要引理需要证明定理E1.1，它取代了错误的定理3.1 fr om[3]，而不是引理3.5，我们需要以下更强的结果，其中包含了对[7]第78页中的命题2.1.1的推广。引理E2.1。设B是定义在[0，T]×上的布朗运动Ohm 对于某些T>0和某些概率空间(Ohm, F、 P），设F为适应布朗运动B的随机变量。还假设对于某些q，~q，r，~r，λ，~λ>1和α≥ 0，带q≤ 2和q+~q=r+~r=qrλ+qrλ=1，我们有F∈ Lαλ∨q(Ohm)∩D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm)∩D2，qr(Ohm) 还有| F | mkD·F kL（[0，T]）∈ Lqr(Ohm) 对于m∈ {0, α}.

然后，导数算子D的伴随域：Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) -→ L2级∨q▄rq▄r-1.Ohm; L（[0，T]）（是标准Skorokhood积分δ的扩展）包含过程d·FkD·F kL（[0，T]）。此外，fposses有界连续密度ffs，我们对其有估计supx∈R | x |αfF（x）≤|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （C+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F |αkD·F kL（[0，T]）qr+CEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F |αkD·F kL（[0，T]）qr, （E2.1）对于某些C>0，根据我们的假设，上述相对湿度S是有限的。其次，为了证明定理E1.2取代了文献[3]中的定理4.3，定理4.1给出的估计是不够的。特别是，我们需要一个具有最大值原理的更强的导数估计。这些在下面的引理中给出。引理E2.2。设u为定理4.1中得到的密度。对于某些M>0，仅取决于r和某些紧区间I R+包含σ·的最小值和最大值，我们得到了估计值“sup0≤t型≤Tkw（·）ux（t，·）kL（R+）#≤ M eMTEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i+MeMTEhku（·）kL（R+）i（E2.2），其中w（x）=min{1，√x} 对于所有x≥ 0，前提是RHS是有限的。然后，对于依赖于M和初始数据的someM′>0，我们得到了最大原理“sup0≤t型≤Tsupx公司∈R+u（t，x）#≤ 最后，定理E1.4的证明与文献[3]中相应定理5.2的证明几乎相同。唯一的区别是δ恒等式包含两个额外的非导数项，而权重w（x）被引入所有其他项中涉及的规范和内积。

这不是问题，因为这两个额外的术语是I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds（E2.4）和ZTxI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds（E2.5），不会爆炸为→ 0+（根据引理5.3和我们的正则性假设），而对于所有其他术语，我们使用引理5.3和5.4来表示略有不同的加权度量u，该度量给出了相关规范和内积的权重w（x）。在此之前，我们只需要证明修正后的δ恒等式，如下所述。引理E2.3（δ恒等式）。以下等式适用于任何δ>1kI，1（t，·）kL(Ohm;Lδ，w）=ZDU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;Lδ，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds+δkθ-ξZtDI，z-（s，·）、I、1（s，·）EL(Ohm;Lδ-1，w）ds+kθ-ξZt公司I，z-（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-δkZtDI，z（s，·），I，1（s，·）EL(Ohm;Lδ-1，w）ds-kZt公司I，z（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds-ΔρZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;Lδ-1，w）ds+ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds+δ（δ- 1） ξZtkI，1（s，·）kL(Ohm;Lδ-2，w）ds-ξ1.- ρ2,1Zt公司yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds。-(ρ - ξρρ1,1ρ2,1）×ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds。（E2.6）上述标识中的所有术语都是有限的。E3引理E2.1的证明。设{Fn:n∈ N} 是一个足够规则的序列（就Malliavin可微性而言）ran dom变量，这些变量适应于[0，T]中的布朗运动b·in，Fn-→ Lαλ中的F∨q(Ohm)∩D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm)∩D2，qr(Ohm).

那么，D·FnkD·FnkL（[0，T]）+属于任何>0和任何m的标准Skorokhod积分δ的域≤ α、 根据δ的一个众所周知的性质（见[7]第40页的性质（4）），我们有以下关系，| F | mδD·FnkD·FnkL（[0，T]）+=|F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+F | mZTDsFnDskD·FnkL（[0，T]）+F！ds=| F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）++| F | mZTDsFn-RT2Ds′Fn·Ds′，SFND′kD·FnkL（[0，T]）+ds=| F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+- 2 | F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+.（E3.1）因此，通过三角形不等式、算子δ的有界性（见[7]第69页的命题1.5.4）和d H¨older不等式，我们得到|F | mδD·FnkD·FnkL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ Eq“|F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+q#+2Eq|F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+q≤ Eqr[|δ（D·Fn）| qr]×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+q≤ CqrEqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mkD·FnkL（[0，T]）RTRTDs′，sFnds’dskD·FnkL（[0，T]）+q≤ CqrEqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mRTRTDs′，sFnds’dskD·FnkL（[0，T]）+q≤ （Cqr+2）Eqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr= （Cqr+2）EqrD·，·FnqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·FnkqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr,（E3.2）对于r，~r>1，使得r+~r=1。

然后，对于固定的>0，我们可以利用+x的Lipschitz连续性、H¨older不等式和我们的假设，来证明最后的表达式收敛为n-→ +∞ 至有限数量（Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr,（E3.3）这意味着对于序列{kn:n∈ N} N我们也有| F | mδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！-→ Lq中δmF，（E3.4）弱(Ohm) 作为n-→ +∞, 对于某些δmF，。此外，当m=0时，对于任何▄F∈Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) 我们有ehFδF，i=limn→+∞E“~FδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！#=limn→+∞E“ZTDsFDsFknkD·FknkL（[0，T]）+ds#=E”ZTDsFDsFkD·F kL（[0，T]）+ds#。（E3.5）为了了解这一点，我们观察到E“ZTDsFDsFknkD·FKNK（[0，T]）+-DsFkD·F kL（[0，T]）+！ds公司#≤ E“kD·fknk（[0，T]）+！ZTDsF|DsF公司- DsFkn | ds#+E“kD·fknk（[0，T]）+-kD·F kL（[0，T]）+ZTDsF DsF ds#≤E1-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- DsFknkq▄rL（[0，T]）i+EkD·FKNK（[0，T]）- kD·F kL（[0，T]）D·FL（[0，T]）kD·F kL（[0，T]）kD·fknk（[0，T]）+kD·F kL（[0，T]）+≤E1-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- DsFknkq▄rL（[0，T]）i+CEkD·FKNK（[0，T]）- kD·F kL（[0，T]）D·FL（[0，T]）≤+CE1级-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- 对于某些C>0的情况，DsFknkqrL（[0，T]）i（E3.6），当n时收敛到零→ ∞. 此外，通过密度变元，我们可以很容易地证明存在唯一的弱极限δF，和，因为子序列{kn:n∈ N} 可以认为m=0和m=α都是相同的，我们也可以表示ΔαF，=| F |αδF，。因此，我们可以定义δD·FkD·F kL（[0，T]）+:= δF，，然后有δαF，=| F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）+也

因此，我们也可以使用Fatou引理来估计|F | mδD·FkD·F kL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ lim信息→+∞|F | mδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）直线电机（fn）→+∞EqrD·，·FknqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·fknk（[0，T]）+qr+Cqrlim信息→+∞EqrhkD·FknkqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·fknk（[0，T]）+qr= （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr（E3.7）对于m=0和m=α。这意味着我们可以↓ 0和r使用前面的参数（这次，我们使用单调收敛定理来计算限制）来推导δD·FkD·F kL（[0，T]）可定义为E“~FδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E”ZTDtFDtFkD·F kL（[0，T]）dt#（E3.8）对于任何F∈ Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) 和|F | mδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）qr.（E3.9）对于m=0和m=α。（E3.8）和（E3.9）中RHS的一致性使我们能够通过使用单调收敛定理来获得这些关系，这很容易遵循F和F的假定正则性。