勘误表：大型投资组合的随机演化方程

特别是对于RHSin（E3.8）的精确性，我们需要首先将L（[0，T]）中的Cauchy-Schwartz不等式应用于两个Malliavin导数，然后在明显取消后，应用H¨older不等式与适当的指数，以通过两个有限范数的乘积控制RHS。对于某些a，b，现在取ψ（y）=I[a，b]（y）∈ a<b且φ（y）=Ry的R-∞ψ（z）dz，我们可以很容易地证明，P-几乎依赖于我们有|φ（F）|≤ b-a、 同时，D·φ（F）=ψ（F）D·fB，由[7]第31页命题1.2.3证明后的结果得出（因为根据我们的假设，D·F永远不可能为零，我们可以使用[7]第86页的定理2.1.2来获得绝对连续性）。因此，根据ψ（F）的有界性和我们的假设，我们得到φ（F）∈ L∞(Ohm) ∩ D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm), 它是Lq的子空间(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm).然后，我们可以像[7]中第78页命题2.1.1的证明那样，推导出E[ψ（F）]=E“φ（F）δD·FkD·F kL（[0，T]）！#，（E3.10），其中δ是导数算子的伴随：Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) -→ L2级∨q▄rq▄r-1.Ohm; L（[0，T]）（E3.11）（标准斯科罗霍德积分的扩展），其域包含过程·FkD·F kL（[0，T]），如上所示。因为霍尔德的不平等意味着如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤ kIF>xkLq(Ohm)δD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤δD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)（E3.12）是有限的，应用Fubini定理（E3.10），我们发现P（a≤ F≤ b） =ZbaE“如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#dx。

（E3.13）这意味着对于所有x，F的密度ffff（x）=E“如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#∈ R、 利用指标函数的有界性和支配收敛定理，我们可以证明这种密度是连续的。最后，回顾一下斯科罗霍德积分对x的期望值始终为零（这也适用于密度参数对其的扩展）≤ 0 we h ave | x |αfF（x）=E“| x |αIF>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=-E“| x |αIF<xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E”| x |αIF<-|x个|-δD·FkD·F kL（[0，T]）#≤ E“| x |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#（E3.14）和x≥ 0显然| x |αfF（x）=E“| x |αIF>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E“| x |αIF>x |δD·FkD·F kL（[0，T]）#≤ E“| x |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#（E3.15）因此，通过（E3.14）、（E3.15）和（E3.9），我们得到了估计值| x |αfF（x）≤ E“| F |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤ E“|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F |αkD·F kL（[0，T]）qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F |αkD·F kL（[0，T]）qr对于所有x∈ R、 这就完成了引理的证明。引理E2.2的证明。我们假设初始密度u=u（·| G）是可微分的，并且w（·）（u）xis L(Ohm ×R+-可积。然后，根据[5]中发展的理论，我们得出u与S PDE 4.2在具有更高正则性的w（·）加权Sobolev空间中的唯一解一致，并且（E2.2）也满足，M仅依赖于紧区间I 包含两个min0的R+≤t型≤Tσ和最大值0≤t型≤TσT。

请注意，尽管在[5]中获得的Sobolev估计中出现的常数也依赖于SPDE系数的空间连续性模量，但由于系数不依赖于空间变量x，因此该连续性模量始终为零。接下来，我们得到了e“sup0≤t型≤Tsupx公司∈R+u（t，x）#≤ E“sup0≤t型≤Tsupx公司∈（0，1）u（t，x）#+E“sup0≤t型≤Tsupx公司≥u（t，x）#，（E3.16），我们可以使用Morrey不等式（见[2]）来控制上述RHS中的第二项，参见“sup0≤t型≤TZ公司+∞ux（t，x）dx#+E“sup0≤t型≤TZ公司+∞u（t，x）dx#≤ E“sup0≤t型≤TZ公司+∞w（x）ux（t，x）dx#+E“sup0≤t型≤TZ公司+∞u（t，x）dx#≤ MeMTEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i+MeMT+1Ehku（·）kL（R+）i，其中我们还使用了恒等式（4.3）和估计值（E2.2）。另一方面，我们可以使用[1]中的定理1控制（E3.16）RHS中的第一项，通过“sup0≤t型≤Tu（t，1）#≤ E“sup0≤t型≤Tsupx公司≥1u（t，x）#（E3.17），已被控制，且由初始密度的最大值控制。结合上述估计，我们得到（E2.3）。定理E1.1的证明。通过L emmas 3.2、3.3和3.4，我们得到了σtsatis是引理E2.1对任何q，r>1，qr<4kθ3ξ，任何α的求和≥ 0和任意λ≥ qr，在条件概率测度P（·| B·，G）下，因为我们可以证明q，r可以变成σαtkD·∑tkL（[0，T]）∈ LqrB·，G(Ohm), P-几乎可以肯定。为了看最后一个，我们使用了Cauchy-Schwartz不等式，并将定理3.1从[4]中回顾到obtainEσqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤ξp1- ρt2qrEσqr（α-1） tZteRtt′型kθ-ξσs+kds！q▄rdt′≤ξp1- ρtq▄rE“σq▄r（α-1） te2qrRtkθ-ξσs+kds#=ξp1- ρtq▄rE“E”σq▄r（α-1） te2qrRtkθ-ξσs+kds公司σ##≤Ctqrγv-qr（α-1） THEσvH-γtσe-千吨级i（E3.18）对于某些c，~c>0，前提是2qrkθ-ξ<ξ2kθξ- 1.和q▄r（α-1) > -2kθξ-v、 其中v=-2kθξ- 1.+s2kθξ- 1.- 2qr4kθξ- 1., （E3.19）γt=2kξ1.- e-千吨级-1> 所有t的2kξ≥ 0，H是一个超几何函数，对于该函数，我们有[4]第17页的渐近估计。

有2qrkθ-ξ<ξ2kθξ-1.,qr（α- 1) > -2kθξ- v和qr<4kθ3ξ对于非常小的q>1，必须得到q=1的所有这些严格不等式f。因为r<4kθ3ξ等于▄r>4x4x-3对于x=kθξ，4x4x-3> 1，我们可以得到这个不等式和2rkθ-ξ<ξ2kθξ- 1.<=>r<（2x-1） 2（4倍-1） 对于某些￠r>1，当且仅当4x4x-3<（2x-1） 2（4倍-1). 最后一个不等式是满足的，因为它相当于16倍- 60倍+24倍- 3>0，x=kθξ>x*. 然后，qr（α-1) > -2kθξ-对于p=1，对于任何α，都可以得到v≥ 0和▄r非常接近其上限（2x-1） 2（4倍-1） ，前提是它适用于q=1、α=0和▄r=（2x-1） 2（4倍-1） ，即何时-（2倍- 1） 2（4倍- 1)> -2x+（2x- 1） （E3.20），当x=kθξ>x时也满足*（自x起*> 1). 接下来，由于σ从零开始有界，所以（E3.18）中H的自变量从下到下有m>0，然后[4]中第17页的估计给出H(-z）≤ K | z|-v+qr（α-1） 对于所有z≥ m、 对于大于0的someK。因此，从（E3.18）中，我们得到σqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤CtqrecTEhσqr（α-1） i（E3.21）对于某些c>0，上述RHS是有限的，这意味着σq▄rαtkD▄σtk2q▄rL（[0，T]）B·，G< ∞ （E3.22）P-几乎可以肯定。

最后一个意思是引理E2.1的假设确实满足。从上面我们推断，在P（·| B·，G）下，σthas是密度pt（y | B·，G），这在[0+∞) （由于该CIR过程未达到零）且∈R+yαpt（y | B·，G）≤ （C+2）EqrD·，·σtqrL（[0，T]）| B·，G×等式▄rσαtkD·∑tkL（[0，T]）qr | B·，G+CEqrhkD·∑tkqrL（[0，T]）| B·，Gi×Eq▄rσαtkD·∑tkL（[0，T]）qr | B·，G= （C+2）EqrD·，·σtqrL（[0，t]）| B·，G×等式▄rσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr | B·，G+CEqrhkD·∑tkqrL（[0，t]）| B·，Gi×Eq▄rσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr | B·，G,因此，提高到q的幂，取期望值，利用霍尔德不等式，我们得到了“supy”∈R+yαpt（y | B·，G）！q#≤CErD·，·σtqrL（[0，t]）×ErσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr+CErhkD·∑tkqrL（[0，t]）i×ErσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr（E3.23）对于一些C>0。接下来，通过引理3.2和3.3，我们得到eqrhkd·∑tkqrL（[0，t]）i=EqrZtξ1.- ρe-2Rtt′型kθ-ξσs+kdsσtdt′！qr码≤ ξq1- ρEqrZtsups公司≤Tσsdt′！qr码= ξq1- ρ√tEqr公司sups公司≤Tσs！qr码= C′√t（E3.24）对于某些C′>0，而通过引理3.4对于q′=qr的估计，我们得到了eqrhD·，·σtqrL（[0，t]）i≤ Eqr“tqrsup0≤t′，t′\'≤t型≤T | Dt′，T′σT | qr#=某些C′大于0的C′T（E3.25），因为qr<4kθ3ξ。此外，对于q和r的选择，通过（E3.21）我们得到了eqrσqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤ C（3）t（E3.26），对于某些C（3）>0。现在（E3.24），（E3.25）和（E3.26）在（E3.23）中替换，我们得到“supy”∈R+yαpt（y | B·，G）！q#≤ C（4）+C（5）√tq（E3.27）对于某些C（4），C（5）>0。因为最后一个的RHS在t中是可积的∈ [0，T]（因为我们可以取q<2），所以期望的结果如下。定理E1.2的证明。设f是一个光滑函数，在R中紧支撑，使得f在y轴上消失。

定理E1.1适用于W·，W·- 驱动循环过程σt:t≥ 0意味着最后一个具有密度pt·|B·，G对于每个t≥ 0，我们有vt，C（f）=EfXt，σtI{T≥t} | W·、B·、C、G= EEfXt，σtI{T≥t} | W·，σt，B·，C，G|W·，B·，C，G=ZRE公司fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，C，Gpt公司y | B·，Gdy.（E3.28）适用于任何t≥ 0下一步，我们计算fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，C，G= EEfXt，yI{T≥t} | W·，σ。，C、 G级|W·，σt=y，B·，C，G= EZR+f（x，y）ut、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·，σt=y，B·，C，G=ZR+f（x，y）Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdx，（E3.29），其中ut、 x，W·，C，G，hσ.是LOhm ×[0，T]；H（R+）当系数向量Cis给定且波动路径为h时，由定理4.1给出的密度σ.. 通过（E3.28）和d（E3.29），我们得到了所需密度的存在，并由UC给出t、 x、y、W、B、G= pt公司y | B·，GEut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，G（E3.30），支持R+×R+。利用Cauchy-Schwartz不等式、总体期望定律、Fubini定理和恒等式（4.3），我们得到了任意α≥ 0ZR+ZR+ya坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydx=ZR+ZR+yαpty | B·，GEut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，σt=y，C，Gdydx≤ MαB·，G（t）ZR+ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，σt=y，C，Gdydx=MαB·，G（t）ZR+Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，C，Gdx=MαB·，G（t）E锆+铀t、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·、B·、C、G≤ MαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gi，其中MαB·，G（·）=supy≥0yαp·（y | B·，G）∈ Lq公司(Ohm ×[0，T]），对于所有足够小的q>1（由定理E1.1给出C）。用ECT表示给定的期望值，并取q′>1，这样q+q′=1，通过上述和Holder不等式，我们得到ZTZR+ZR+ya坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydxdt≤ 欧共体ZTMαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gidt≤ EqC“ZTMαB·，G（t）dtq#Eq′ChEq′hku（·）kL（R+）| Gii≤ Tq′EqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论Eq′hEq′hku（·）kL（R+）| Gii<∞,这表明密度属于任意α的空间Lα≥ 0

此外，重复上述计算，但对于导数乘以w（x），我们发现ZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydx≤ MαB·，G（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·、B·、C、G,因此，当ρ：=RdWtdBt=0时，将EB·C，gf写成给定的C，G和B·的期望，并使用引理E2.2，我们得到了EB·C，G“ZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydx#≤ MαB·，G（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，C，hσ.dx | B·，C，G≤ MαB·，G（t）E“sup0≤s≤TZR+w（x）uxs、 x，W·，G，C，hσ.dx | B·，C，G#≤ MeMTMαB·，G（t）Ehkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gi+Ehku（·）kL（R+）| Gi.最后一个意味着EC“ZTZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydxdt#≤ MeMTEC公司ZTMαB·，G（t）dtEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gi+MeMTEC公司ZTMαB·，G（t）dtEhku（·）kL（R+）| Gi≤ MTq’eMTEqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论×Eq′ChEq′hkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gii+MTq′eMTEqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论Eq′ChEq′hku（·）kL（R+）| Gii<∞它给出了导数的加权可积性。为了获得ρ=0时的边界条件，我们的工作如下ZR+ZR+yα坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydt公司≤ EC“ZR+ZR+MαB·，G（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdydt公司#≤ EC“ZR+MαB·，G（t）ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdydt#=ECZR+MαB·，G（t）Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，C，Gdt公司= 欧共体ZR+MαB·，G（t）ECut、 x，W·，G，C，hσ.|B·、C、Gdt公司,其中，我们可以使用引理E2.2中给出的最大值原理，MαB·，G（·）的可积性和支配收敛定理，来说明最后一个的RHS随着x趋于零-→ 0+. 这就完成了定理的证明。引理E2.3的证明。

我们证明的恒等式中所有术语的一致性是引理5.3和假设的u和ux加权可积性的结果。将方程式（5.6）乘以w（x）yδ+, 将伊藤公式应用于L（R+）范数（定理3.1，来自[6]，适用于三重H L H-1，当∧（u）=w（·）u时，然后在R+上积分y，我们得到等式ki，1（t，·）kLδ，w=ZDU（·，z）φ（z，·）dzLδ，w-2rZtxI，1（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds-kθZtyI，z-（s，·）、I、1（s，·）Lδ，wds+kZtyI，z（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ξZt一，1（s，·），一，1（s，·）Lδ，wds+ρZtx个yI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ξρρ1,1ρ2,1ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）Lδ，wds+ξZtyI，z-（s，·）、I、1（s，·）Lδ，wds+ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·）Lδ，wds+ξρ2,1ZtyI，1（s，·）Lδ，wds- 2ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wdWs-ξρ2,1Zt一，1（s，·），一，1（s，·）Lδ，wdBs。（E3.31）现在观察到，根据我们的SPDE的定义，我们有ZR+ZRuxx（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）dzdx=ZR+ZRu（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）xxdzdx=-ZR+ZRux（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）xdzdx=-ZR+ZRw（x）ux（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx-Z[0，1]ZRux（s，x，Z）φ（Z，y）f（x）dzdx（E3.32），等于-ZR+ZRw（x）ux（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx+z[0，1]ZRu（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx-ZRu（s，1，z）φ（z，y）f（1）dz对于[0+∞). 自u起∈ 由于f（1）可以由f的Hα范数控制（通过使用1附近的Morrey不等式），（E3.32）定义了光滑函数空间f上的线性泛函（定义于[0+∞)) 在Hα拓扑下有界。然后，由于这些函数形成了hα的稠密子空间，我们得到（E3.32）也适用于任何f∈ Hα。

特别地，对于f=I，1（s，·，y），将（E3.32）乘以yδ，然后将（y，t）积分到R+×R+，我们得到了ztxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds=-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）Lδ，wds。-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）Lδds。（E3.33）接下来，当▄Lδ′替换为▄Lδ′，wforδ′时，【3】中的恒等式（5.10）-（5.12）也成立∈{δ, δ - 1, δ - 2} ，且其公正性相同。将这些和（E3.33）代入（E3.31），我们得到了期望的结果。备注E3.1。方程（E3.33）在δ恒等式中增加了两个额外项。致谢第二位作者的工作得到了英国工程和物理科学研究理事会（EP/L015811/1）以及希腊教育和欧洲文化基金会（由Nicos&Lydia Tricha创立）的资助。附录：关于第4.1条证明的澄清，在p屋顶的最后一次计算中，假设A几乎肯定是XT的连续集。要看到这一点，考虑过程Y满足与X相同的SDE和初始条件，但在0处没有停止条件，并观察到它是一个高斯过程，给定路径W·和给定G，这意味着pXt公司∈ V | W·，G≤ P年初至今∈ V | W·，G= 0（A.1）对于任何Borel集合V 零勒贝格测度的R+。参考文献【1】Denis，L和Matoussi，A。无正则性假设的有界域上拟线性spd es的最大值原理。随机过程及其应用123（3）（2013），1104–1137。[2] Evans，L.偏微分方程。数学研究生课程；19，普罗维登斯，R.I.：美国数学学会（2010）。[3] Hambly，B.和Kolliopoulos，N.随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程。《暹罗金融数学杂志》8（1）（2017），962–1014。[4] Hurd，T.R.和Kuzn etsov，A.随机积分的拉普拉斯变换的显式公式。马尔可夫过程。

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