在Dynkin游戏中与鬼魂玩耍

因此，根据（46）和可选的samp-ling定理，对于任何τ∈ T，我们有ex[Nτ]=N{τ=0}+1{τ>0}（1-pΓ*)(1-q） Ex公司e-rτV（Xτ）1{τ<∞}在DYNKIN游戏中玩鬼魂13=N{τ=0}+1{τ>0}（1-p） Ex公司e-rτV（Xτ）1{τ<∞}≤ N{τ=0}+1{τ>0}（1-p） V（x），其中我们使用Px（τ=0）=1{τ=0}和Px（τ>0）=1{τ>0}乘以0- 1-法律。最后，回顾（53），我们得到了≤ (1 - p） V（x），对于所有τ∈ T（54）重复上述相同步骤，并使用Mt=Yt∧τ*对于一致可积鞅（注3.1），我们还得到了exhnτ∧τ*Vi=（1- p） V（x），对于所有τ∈ T，τ>0，τ=0，如果Γ*> 现在我们分两步进行。第1步。（τ的最优性*.) 首先，我们显示SUPτ∈TJ（τ，γ*; p、 x）≤ supτ∈TEx[Nτ]。（56）回顾命题3.1和唯一可能的Γ2跳跃，*发生在t=0（命题5.1）时，对于任何τ∈ T，J（τ，γ*; p、 x）=Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}+pg（x）Γ*{τ=0}（57）=1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}+ 1{τ=0}g（x）1.- pΓ*+pΓ*=1{τ=0}N+1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）（1- pΓ2，*τ)1{τ<∞}.根据定义（见（49）），我们有1- pΓ2，*τ= 1 - pΓ*- p（1- Γ*)Γq，xτ=（1- pΓ*)(1 - qΓq，xτ），其中第二个等式来自（45）。替换（57）中的最后一个表达式，并使用该g（Xτ）≤ (1 - Π1,*τ） V（Xτ）（见第5.1项中的（iv）我们到达j（τ，γ*; p、 x）≤1{τ=0}N（58）+1{τ>0}（1- pΓ*)前任e-rτ（1- qΓq，xτ）（1- Π1,*τ） V（Xτ）=1{τ=0}N+1{τ>0}（1- pΓ*)(1 - q） Ex公司e-rτV（Xτ）=Ex【Nτ】，其中在第一个等式中，我们使用（1- qΓq，xτ）（1- Π1,*τ) = (1 - q） ，由于（51），第二个从（52）开始。因此，我们已经证明了（56）。将后者与（54）和（20）givessupτ结合∈TRJ（τ，γ*; p、 x）≤ (1 - p） V（x）。（59）现在取τ*（2）中的uas，但带有Γ1，*而不是Γ。然后，从Γ1开始，*t=1表示t≥ τ*V（by（44）），我们有τ*u≤ τ*V对于所有u∈ [0, 1).

此外，我们声称（60）（1- Π1,*τ*u） V（Xτ*u） 1{τ*u型<∞}= g（Xτ*u） 1{τ*u型<∞}.事实上，要看到（60）成立，首先假设u∈ 【0，p/p】。第n条，回顾第2条，*对于t>0和Γ2是连续的，*< t<τ时为1*五、 我们有τ*u=inf{t≥ 0 : Γ1,*t> u}=inf{t≥ 0 : Γ2,*t> （p/p）u}=γ*（p/p）u。因此（60）成立，因为τ*Ui是增加2的时间，*和t 7→ dΓ2，*在{t上受支持≥ 0 : (1 - Π1,*t） V（Xt）=g（Xt）}14 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom（见建议4.1和Lemm a 4.2）。另一方面，如果u∈ [p/p，1），th enτ*u=τ*五、 和（1- Π1,*τ*u） V（Xτ*u） =（1）- Π1,*τ*五） V（Xτ*五） =V（Xτ*五） =g（Xτ*五） 关于{τ*V<∞} 自∏1起，*τ*V=Zp，xτ*由于引理4.2证明中的（44），V=0。然后，把τ=τ*uin（57），（58）中的不等式变为等式，我们发现j（τ*u、 γ*; p、 x）=Ex[Nτ*u] =（1）- p） V（x），（61），其中最终等式来自（55）。u的集成∈ [0，1）并回顾τ*= inf{t≥ 0 : Γ1,*> U} （见定义2.1）我们最终获得j（τ*, γ*; p、 x）=（1- p） V（x）≥ supτ∈TRJ（τ，γ*; p、 x）。因此，τ*是对γ的最佳响应*.第2步。（γ的最优性*.) 需要检查γ*是玩家2对玩家1使用τ的最佳反应*. 从（23）开始，对于任何ζ∈ T我们得到j（τ*, ζ; p、 x）=排气-rζ（1- pΓ1，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i（62）+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i=Exh{ζ<τ*五} e类-rζ（1- pΓ1，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（1- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i=Exh{ζ<τ*五} e类-rζ（1- pΓ2，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e-rζ（1- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+Exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（p- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ<∞}i、 对于第三个等式，我们使用pΓ1，*ζ=pΓ2，*事件{ζ<τ时的ζ*五} 。

重新校准p≤ p、 我们有exh{ζ≥τ*五} e类-rζ（p- p） g（Xζ）1{ζ<∞}i（63）=-pExh{ζ≥τ*五} e类-rζ（1- p/p）g（Xζ）1{ζ<∞}我≤ -pExh{ζ≥τ*五} e类-rζΓ1,*ζg（Xζ）1{ζ<∞}i、 不平等使用的地方Γ1,*ζ{ζ≥τ*五} =Γ1,*ζ{ζ=τ*五} =（1）- p/p）1{ζ=τ*V}≤ (1 - p/p）1{ζ≥τ*五} 在{ζ<∞} （iii）在提案5.1中。将（63）与（62）结合起来给出j（τ*, ζ; p、 x）≤ Exhe公司-rζ（1- pΓ2，*ζ） g（Xζ）1{ζ<∞}i+pΓ1，*g（x）1{ζ=0}-佩克斯-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ=τ*五<∞}我在DYNKIN游戏中与鬼魂玩耍15回想起来，*仅在时间零点和τ处跳跃*五、 接下来，回顾命题5.1中的（ii），并使用g（22）和pΓ1，*= pΓ*我们得到j（τ*, ζ; p、 x）≤ J（ζ，γ*; p、 x）-佩克斯-rζg（Xζ）Γ1,*ζ{ζ=τ*五<∞}我≤ J（ζ，γ*; p、 x）。然后，如（59）（也可称为（21））中所示，其SUPζ∈TRJ（τ*, ζ; p、 x）≤ (1 - p） V（x）。（64）为了证明等式成立，我们选择ζ=γ*u、 带γ*（2）中的uas，但带有Γ2，*代替Γ。我们注意到J（τ*, γ*up、 x）（65）=排气-rγ*u（1- pΓ2，*γ*u） g（Xγ*u） 1{γ*u型<∞}i+pg（x）Γ2，*{γ*u=0}=J（γ*u、 γ*; p、 x）我们使用pΓ1的地方，*γ*u=pΓ2，*γ*u、 自γ起*u<τ*Von{τ*V<∞}, Px-a.s.适用于u∈ [0，1）。接下来，很明显，（60）与γ保持一致*uinτ的位置*ubecauseγ*u=τ*ppu。最后，让τ=γ*uin（57），导致（61）的相同论点，结合（65），给出了j（τ*, γ*up、 x）=（1- p） V（x）。u上积分∈ [0，1）并回顾γ*= inf{t≥ 0 : Γ2,*t> 我们最终得出结论，SUPγ∈TRJ（τ*, γ; p、 x）=J（τ*, γ*; p、 x）=（1- p） V（x）。因此，γ*是对τ的最佳响应*, 这就完成了证明。5.2. （p，x）的平衡∈ S、 只剩下考虑从（p，x）开始的博弈均衡∈ S、 定理5.2。Let（p，x）∈ 给出并确定。然后是策略对（τ*, γ*) =（0，0），Px-a.s.是纳什均衡。此外，第i个玩家的均衡收益（1- pi/2）g（x），对于i=1，2。证据固定（p，x）∈ S和假设γ*= 0

那么对于任何τ∈ T我们有j（τ，0；p，x）=（1- p） Ex公司e-rτg（Xτ）1{τ<∞}+pg（x）1{τ=0}（66）=（1- p） 1{τ>0}Exe-rτg（Xτ）1{τ<∞}+1.-pg（x）1{τ=0}≤ (1 - p） 1{τ>0}V（x）+1.-pg（x）1{τ=0}≤1.-pg（x），其中最终不平等如下（1- p） V（x）≤ (1 - p/2）克（x）。由于（66）和（20），我们得到了supτ∈TRJ（τ，0；p，x）≤1.-pg（x）。现在很容易验证，如果我们选择oseτ=0，Px-a.s.，soτ，等式成立*= 0是对γ的最佳响应*= 0。类似的参数允许验证γ*= 0也是对τ的最佳响应*= 实际上，如（66）中，我们有f或γ∈ T thatJ（0，γ；p，x）=（1- p） 1{γ>0}Exe-rγg（Xγ）1{γ<∞}16 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom+1.-pg（x）1{γ=0}≤ (1 - p） 1{γ>0}V（x）+1.-pg（x）1{γ=0}≤1.-pg（x）自（1- p） V（x）≤ (1- p/2）g（x）和p≥ 使（1）起鸡皮疙瘩- p） V（x）≤ (1- p/2）克（x）。此外，γ=0的等式成立，因此（τ*, γ*) = （0，0）是一个纳什均衡。备注5.1。请注意，公式uilibrium值f或P layer 2在patc（x）中不是连续的。事实上，对于p<c（x）<1，玩家2的平衡值是（1- p） V（x）（见定理m 5.1），而定理5.2中p=c（x）的平衡值为（1-p/2）克（x）≤ (1 - p/2）g（x）=（1- p） V（x），其中当p>p.5.3时，不等式是严格的。对我们的结果和经验的评论。谨慎的好处。在未知竞争的情况下，即p=p=1，两个玩家立即停止提供纳什均衡，在没有竞争的情况下，应该使用单人停止策略τ*五、 有鉴于此，直觉上很清楚，比玩家1更“警惕”（或意识到）竞争的玩家2应该是更渴望提前停止的玩家。

定理5.1证实了这种直觉；事实上，玩家2更积极的角色是由她以“广义强度”（p/p）停止的f动作来量化的，这是玩家1的（p/p）倍。玩家2的均衡策略是令人惊讶的，因为它会产生平均回报（1- p） V（x），严格大于她的“安全”水平（1- p） V（x），如果p<p（见（19））。相反，参与者1的均衡策略只产生“安全”水平（1- p） V（x）。有趣的是，这意味着玩家1并没有因为公开展示更高的游戏参与度而变得更糟糕。事实上，考虑两个分别具有参数（p，p）和（p，1）的博弈（并假设p<c（x），因此我们处于定理5.1的设置中）。那么在这两种情况下，两个参与者的均衡报酬都是（1- p） V（x）。平衡策略的跳跃。从数学角度来看，一个真正显著的特征是平衡过程Γ2中初始跳跃的大小，*对于初始信念∈ （b（x），c（x））。事实上，我们已经在定理5.1中看到，这种跳跃推动（π1，*, 十） 严格位于setC内部（见L emma 5.1）。如果我们考虑到我们的设置与具有比例控制成本的奇异控制的非零和博弈的框架有相似之处，这有点出乎意料（参见，例如，[7]）。在这些问题中，最优控制的初始跳变将最优控制过程驱动到动作s等的边界。因此，在我们的设置中，我们可能预期跳变到setC的边界。我们注意到，我们在均衡状态下观察到的最优控制结构可能源于这样一个事实，即如果同时停止，则参与者将分配报酬。启发式定理5.1。为了简单起见（并遵循导致我们得出结论的实际路线），我们考虑了具有对称初始信念的玩家的情况，即。

p=p=：p。在这种情况下，玩家应该使用s ame策略Γ1，*= Γ2,*= Γ*. 此外，ifPlayer 2使用r和domined timeγ*生成人Γ*, 然后，为了优化，参与者1应该在策略τ之间有所不同*u=inf{t≥ 0 : Γ*t> u}如（2）中的u∈ [0，1）（见第3.1节）。特别是，我们可以预期J（τ*u、 γ*; p、 x）独立于U∈ [0，1），因此平衡m值应通过j（τ）给出*u、 γ*; p、 x）=limu↑1J（τ*u、 γ*; p、 x）=J（τ*五、 γ*; p、 x）=（1- p） V（x）（其中第二个和第三个等式可以直观地理解）。考虑到这一候选平衡值，定理5.1中的构造自然而然地遵循。在DYNKIN游戏17中玩鬼魂，我们接下来对Γ的规格进行评论*在b（x）<p<c（x）的情况下。我们再次考虑具有对称初始信念的玩家，即p=p=：p，这样，在平衡时，他们应该使用相同的策略。假设玩家2选择以概率Γ立即停止。要使这成为一种非平衡策略，玩家1必须在停止和继续之间保持中立（这样，任何此类策略的线性组合都会给出最佳答案）。差异条件为（1- p） g（x）+p（1- Γ）g（x）+pΓg（x）=（1- p+p（1- Γ))(1 - q） V（x）（67）式中，在等式的左侧，我们有玩家1在即时映射情况下的支付，在右侧，如果继续，则有玩家1的支付。特别注意q=p（1- Γ)1 - pΓ（定义见（45））是玩家1在玩家2未立即结束游戏时的调整信念（见（27））。在（67）的右侧，我们有（1- q） V（x）因为我们预计，如果比赛不立即结束，信念将更新为（q，x）∈C、 求解Γ的差异方程得到（45）中的第一个方程。调整后信念的演变。

定义∏2，*t： =p（1-Γ1,*t） 1个-pΓ1，*t、 很容易检查∏2，*t=（1- p） ∏1，*t+p- p1级- p、 因此，0≤ Π2,*t型- Π1,*t=p- p1级- p（1- Π1,*t） 。因此，在平衡状态下，两种既判信念都是非递增的，但它们之间的差异（相当明显）是非递减的。与障碍策略的联系。如定理5.1所示，如果（p，x）∈C、 仅当t 7时，进程X停止（处于平衡状态）→ b（Xt）达到新的最小值。也就是说，在第一次到达Rd中的新区域时，X停止（具有某种普遍的强度）。这是一个显著的特征，表明如果游戏是特定的，因此策略集仅由（随机）集的进入时间组成，那么将获得相同的平衡。结论更容易在一维状态空间中可视化（如下一节中的示例）。如果X∈ R我们会有阈值策略（可能是双边的）产生的纳什均衡，随机阈值。然而，请注意，我们的方法表明（τ*, γ*) 事实上，这是由所有随机时间组成的更大类别策略中的纳什均衡。这一事实远非微不足道，因为如果我们将游戏中的均衡视为每个玩家对对手策略的最佳反应的一个执行点，那么就没有理由期望均衡阈值策略应该出现在我们考虑的更广泛的类别中。6、具有未知竞争的实物期权在本节中，我们考虑了具有不确定竞争的实物期权的一个例子（对于没有竞争的实物期权的经典情况，参见[9]，对于不完全竞争信息下的实物期权定价的相关问题，参见[18]）。为此，设g（x）=（x- K） +，p=p=：p∈ （0，1）对于某些常数K>0、u<r和σ>0，ddXt=uXtdt+σxtdwt。

这里，X代表进入某个商业机会的未来收入现值，K是进入的沉没成本，andr是贴现率。然而，商业机会受制于竞争，18 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–om我们假设每个主动代理都估计了主动竞争对手成为bep的可能性（因此没有竞争的可能性为1- p） 。这种对称设置在玩家“相似”的应用中是合理的（例如，生产相同od的类似规模的公司）。众所周知（例如[9]），值v（x）：=supτEx[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}]在相应的游戏中，一人游戏由V（x）给出=（B）- K） （x/B）η，对于x∈ （0，B），g（x），对于x∈ [B，∞),式中η=σ- 2u2σ+sσ- 2u2σ+2rσ∈ (1, ∞)和B：=ηK/（η）- 1). 由于V和B是显式的，回顾（38）和（39）可以得到边界x 7的显式公式→ b（x）和x 7→ 设置c的c（x）和（34）和（35）中的c′。事实上，b（x）=1-g（x）V（x）=1 x∈ （0，K）1-（十）-K） （B/x）ηB-Kx公司∈ （K，B）0 x∈ [B，∞)andc（x）=V（x）- g（x）V（x）- g（x）/2=1 x∈ （0，K）1-（十）-K） 2（B）-K） （x/B）η-x+Kx∈ （K，B）0 x∈ [B，∞).有关这些功能的图示，请参见图1。根据引理4.1，我们注意到limx→Bb（x）=limx→Bc（x）=0和limx→Kb（x）=limx→Kc（x）=1。此外，很容易检查b和c是否不增加，它们在（K，b）上是否急剧减少。因此，对于任何（p，x）∈C我们还有zp，xt=inf0≤s≤tb（Xxs）=bsup0≤s≤tXxs型, t型≥ 0，（68）乘以（40）。多亏了这些公式，我们现在可以用非常明确的形式写出纳什均衡。我们给出了游戏开始时的一些细节，其他情况也可以类似地处理。给定初始点（p，x）∈ C（即。

p≤ b（x）），定理5.1适用于Γ*= 此外，我们注意到Γ1，*= Γ2,*=: Γ*, 由于玩家的对称信念。感谢（68）和（42），并回顾τ*和γ*由Γ生成*, 我们有τ*= inf{t≥ 0 : Γ*t> U}=inf{t≥ 0:Zt<p（1- U） /（1- pU）}=inf{t≥ 0:Xt≥ B*},和γ*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*}, 随机变量（69）B*i： =b-1.p（1- Ui）1- pUi公司, i=1，2，其中b-1是b在DYNKIN游戏中玩鬼魂的反函数19C’s图1。图中显示了曲线p=b（x）（下一个）和p=c（x）（上一个）。参数值为K=1和η=2，因此B=2。参考文献[1]Attard，N.布朗运动最优停止的非零和对策中的纳什均衡。高级应用程序。概率。，49（2017），第2号，第430-445页。[2] Bimit，J.M.Sur u n probleme de Dynkin。Zeitschrift f¨ur Wahrscheinlichkeitsforerie und VerwandteGebiete，39（1977），第1期，第31-53页。[3] Bensoussan，A.和Friedman，A.具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策。变速箱。美国。数学Soc。231（1977），第2号，第275-327页。[4] Cardaliaguet，P.D.信息不对称的微分博弈。暹罗J.控制优化。46（2007），第3号，第816-838页。[5] Cardaliaguet，P.和Rainer，C.具有不对称信息的随机微分对策。应用程序。数学Optim公司。59（2009），第1期，第1-36页。[6] De Angelis，T.、Ekstrom，E.和Glover，K.Dynkin不完全和不对称信息博弈。ArXiv:1810.07674。[7] DeAngelis，T.和Ferrari，G.《随机非零和博弈：奇异控制和最优停止之间的新联系》。高级应用程序。概率。，50（2018），第2号，第347-372页。[8] De Angelis，T.、Ferrari，G.和Moriarty，J.两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡。安。应用程序。概率。，28（2018），第1号，第112-147页。[9] Dixit，A.K.和Pindyck，R.S.不确定性投资。

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