在Dynkin游戏中与鬼魂玩耍

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英文标题：
《Playing with ghosts in a Dynkin game》
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作者：
Tiziano De Angelis and Erik Ekstr\\\"om
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study a class of optimal stopping games (Dynkin games) of preemption type, with uncertainty about the existence of competitors. The set-up is well-suited to model, for example, real options in the context of investors who do not want to publicly reveal their interest in a certain business opportunity. We show that there exists a Nash equilibrium in randomized stopping times which is described explicitly in terms of the corresponding one-player game.
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中文摘要：
研究了一类具有竞争对手存在不确定性的抢占型最优停止对策（Dynkin对策）。这种设置非常适合于建模，例如，在投资者不想公开透露其对某个商业机会的兴趣的情况下，实物期权。我们证明了在随机停止时间中存在一个纳什均衡，该均衡被明确描述为对应的一人博弈。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Playing_with_ghosts_in_a_Dynkin_game.pdf (279.97 KB)

2022-6-23 23:20:31 上传

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关键词：Dynkin Optimization Quantitative Contribution Differential

在《天使与埃里克·埃克斯特》中与鬼魂玩耍。研究了一类竞争对手不确定的抢先型最优停止对策（Dynkin对策）。这种设置非常适合tomod el，例如，在投资者不想公开他们对某个商业机会的兴趣的情况下，实物期权。我们证明了在随机停止时间中存在一个N平衡点，该平衡点用相应的单人博弈明确描述。1、介绍背景。自Dynkin在[10]中的工作开始，停止博弈在随机控制文献中就受到了极大的关注。在双人游戏的标准模型中（由于Neveau[22]），玩家的得失取决于他们都观察到的随机过程X。他们的目标是通过找到允许博弈中纳什均衡的停止规则来实现收益最大化（或损失最小化）。两个玩家都知道游戏的结构，并且都有关于p进程X的详细信息。许多真实世界的应用程序需要关于游戏结构和/或潜在随机过程的不完整和/或不对称信息。特别是，在本文中，我们感兴趣的是确定两人Dynkin对策的均衡，其中每个参与者都不确定竞争对手的存在。在进一步详细描述我们的贡献之前，我们花了几句话在现有文献上，以便将问题背景化。很难提供一份详细的文献综述，以公正地评价在标准框架（即Full和symmetricinformation）中对Dynkin游戏的众多贡献，这超出了我们的介绍范围。

例如，对于零和博弈的情况，可以参考[20]和[12]分别了解鞅和马尔可夫设置的一般处理，并参考[17]将金融博弈选项简化为停止博弈。本文的其他开创性贡献可以在[2]、[25]和[27]中找到。对于非零和对策的情况，可以参考文献[3]了解此类对策与变分不等式之间的联系，参考文献[13]了解鞅方法在一般设置中存在一个临界点，参考文献[1]和[8]了解一维差命中时间到三个临界点的纳什均衡存在（和唯一）的充分条件。在本文中，我们将讨论一类与非零和Dynkin对策有相似之处的问题。然而，我们偏离了标准设置，加入了竞争不确定性这一关键特征。在这方面，我们借鉴了关于不完全/不对称信息博弈的文献，其主要共同点是参与者需要向竞争对手隐藏其信息。从数学上讲，这可以转化为使用一个显性停车时间；后者可以是非正式日期：2019年5月17日。2010年数学学科分类。91A15、60G40、60J60。关键词和短语。Dynkin游戏；不确定竞争；随机策略；纳什均衡；反思策略。致谢：T.De Angelis感谢EPSRC赠款EP/R021201/1以及克努特和爱丽丝·沃伦伯格基金会E.Ekstrom的支持。这项工作的一部分是在试验期间进行的。德安吉利斯访问乌普萨拉大学和埃克斯特罗姆访问利兹大学。

我们感谢两家机构的盛情款待。2 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom被理解为停车规则，规定根据某种“强度”停车；例如，在离散时间设置中，这意味着每次都可能以一定的概率发生停止。这类游戏的另一个关键特征是，需要考虑玩家对那些他们无法观察到的参数的信念的动态演变（换句话说，玩家通过观察游戏中发生的事情来更新他们对“世界状态”的个人观点，并且需要跟踪这些更新）。我们在游戏中加入了一个状态变量，用∏表示，其动态是从两个玩家的随机停止策略开始构建的（见下文第4节）。近年来，关于信息不对称/不完全的Dynkin对策的文献开始受到关注。我们意识到的第一个贡献是Gr–un【15】。在[15]中，考虑了关于支付函数信息不对称的零和停止博弈。在一种情况下，其中一个参与者具有了解Payoff函数的信息优势，而另一个参与者只知道可能的Payoff函数的分布，则获得博弈的值（随机停止时间），并将其描述为非线性变分问题的粘性解。随后，在【14】中，作者利用动态规划的方法研究了一个零和停止博弈，在该博弈中，玩家可以获得由两个不同过程的动态生成的不同过滤。本文献中的显式可解示例仍然是r are，第一个示例在[6]中给出（我们在第6 f节中为我们的游戏提供了另一个示例）。

[6]中的作者研究了一个零和停止博弈，该博弈具有关于潜在扩散过程漂移参数的不对称信息。得到了一个显式的纳什均衡，其中非信息p层使用正常停止时间（纯策略），而知情者使用随机停止时间（混合策略）。为完整起见，在不作进一步阐述的情况下，我们还提到存在大量关于信息不对称的随机微分博弈的文献，感兴趣的读者可以查看[4]和[5]以及其中的参考文献。在特工们玩捉迷藏的战略背景下，如果玩家不能确定竞争的存在，那么问会发生什么似乎很自然。一些现实世界的情况属于这一类，例如，（a）不想对特定商业机会（所谓的实物期权）表现出兴趣的投资者，（b）不知道会提出多少其他建议（以及以多快的速度）的潜在购房者，（c）可耗竭资产/商品的买家（如廉价机票），等等。不确定竞争的特征确实已经在拍卖理论的静态环境中得到了解决，参见，例如[16]和[21]，以及最近的[11]。然而，据我们所知，目前还没有关于动态环境下不确定竞争的研究，尤其是对Dynkin博弈理论似乎没有任何贡献。通过本文，我们旨在填补这一差距，并鼓励在这方面进行进一步研究。我们的贡献。在这里，我们研究了两个对同一资产感兴趣的玩家之间的联合停止/抢占博弈。排名第一的玩家将获得全额支付，根据代表资产的潜在马尔可夫过程X定义。

该博弈是一个非零和Dynkin博弈，但与经典设置相比，在我们的模型中，参与者面临不确定竞争，即每个参与者都不确定另一个参与者是否存在。在游戏开始时，每个p层估计竞争的概率。也就是说，玩家1认为自己与概率有竞争，而玩家2认为自己与概率p有竞争。随着游戏的发展，两个玩家都根据自己的信念过程∏i的动态调整自己的信念，i=1，2。这种调整是基于两个关键因素的组合：（i）观察到不平衡的资产和（ii）另一方没有采取行动。直觉上，如果与流动资产价值相关的报酬变大，这对双方都有吸引力；因此，从玩家1的角度来看，玩家2还没有达到s的顶点，这表明在DYNKIN游戏3中，玩家2可能根本不存在。（这也是我们论文的标题。）在这种情况下，使用随机停车时间源于两个观察结果。一方面，它允许玩家隐藏他们在游戏中的参与，以“愚弄”他们的对手。另一方面，很明显，由于游戏的抢占特性，使用纯停止时间（相对于资产产生的过滤）不可能达到非平凡的平衡。事实上，如果玩家1选择了一个停止时间τ，那么玩家2可能会在τ之前停止，以获得全部报酬。在本文中，在不损失一般性的情况下，我们考虑p≤ p、 然后，我们证明了在策略方面存在一个纳什均衡，其性质完全取决于参与者1的初始信念。

在这里，我们仅描述了平衡结构的主要思想，但我们强调，在更深层次上，我们发现了参与者最优策略的几个显著特性，这些特性将在第5.3节中进行更详细的描述（因为他们需要更广泛的数学讨论）。结果表明，二维过程（π，X）的状态空间分为三个不相交的区域：无作用区域（C）、作用区域（C′）和停止区域（S）。如果（π，X）s在无动作区域（注意∏=p），则平衡包括在边界之前无动作（来自任一玩家）区域的C已调整（请注意，对于i=1，2，没有任何作用导致∏ibeing常数）；然后，玩家2采用随机策略，使过程（π，X）沿边界反映C向s向C内部移动（作为∏减小的影响）；同时，玩家1将遵循一种（均衡）策略，即以玩家2的“停止强度”的分数p/pof停止。相反，如果最初的信念是（π，X）从C′开始，那么玩家2会采用一种策略，即以一定的概率立即停止。这使得过程（π，X）严格进入无作用区C的内部。在这一初始跳跃之后，采用了上述反射策略。同样，在这种情况下，玩家1将遵循玩家2的“停止强度”的分数p/pof停止的（均衡）策略。最后，如果（π，X）s在停止区域s内，那么均衡策略包括两个参与者立即停止。

在这种情况下，玩家平均分配奖金。值得注意的是，无行动区和行动区的边界可以根据相应的无竞争的单人游戏明确规定。这允许在所有这些游戏中构建明确的随机停止时间，在平衡状态下，其中一个玩家对应物是明确可解的。（例如，关于一维差异最佳停止的文献中有很多这样的例子，参见例[23]。）特别是，在第6节中，我们提供了一个不确定竞争的实物期权博弈的显式解，以说明我们的结果。如上所述，我们的工作是第一个解决动态环境中不确定竞争的工作。我们发现了一个令人惊讶的明确而丰富的平衡策略结构，它允许收集一些有趣的考虑因素（详见第5.3节）。简言之，我们观察到，最活跃的玩家是对对手的存在有着最大初始信念的人，她是从随机化中受益最多的人；我们将此功能称为“警惕的本意”。此外，玩家2在游戏开始时采用的策略是（π，X）∈ C′有点令人惊讶：在停止文献中，区域C′没有类似物，在单数控制迭代中（这也与当前工作相关），人们不应该期望在无行动区域C的内部出现严格的跳跃（至少在没有固定控制成本的情况下）。最后，我们有可能将我们构建的策略与进入时间概念与“r an domined”集合进行比较。这也是相当令人惊讶的，因为从一开始，我们就寻找纳什均衡，而不受随机停止时间的任何限制。论文的其余部分组织如下。

游戏设置在第2节，在第2节中，我们还定义了随机停车时间，并回顾了我们4 TIZIANO de ANGELIS和ERIK EKSTR–OMcontext中的纳什均衡概念。在第3节中，我们推导了两个参与者的预期报酬的一些性质，这些性质是后续分析所需的。第4节涉及信念过程的构建、集合C（对应于C加上其边界的一部分）、C′和S的规定，以及适当反映的信念过程的构建。第5节导出了纳什均衡的存在性和主要附加事实。在第6.2节中，我们用一个完全解决的例子来结束本文。设置upLet(Ohm, P、 F）是承载以下内容的概率空间：（a）连续的、Rd值的、stron g马尔可夫过程X，它是正则的（对于初始点X=X的任何值，它可以在有限时间内以正概率到达任何开集）；（b） 两个伯努利分布随机变量θi，i=1，2；（c） 两个均匀（0，1）-分布的随机变量Ui，i=1，2。此外，我们假设这些过程和随机变量相互独立，并且P（θi=1）=1- P（θi=0）=π∈ （0，1）.我们用FX={FXt}0表示≤t型<∞由X生成的filtration的右连续增广，我们将T设为FX停止时间的集合。下面我们用符号Px（·）：=P（·| X=X）和Ex[·]：=E[·| X=X]f或X表示∈ Rdto表示对过程X初始状态的依赖。下面我们考虑两个参与者（参与者1和参与者2）之间的最优停止博弈，其中每个参与者都不知道另一个参与者是主动的还是被动的。“主动玩家”是指通过cho osin ga（随机）停站时间积极参与停站游戏的玩家；“被动玩家”不会参与游戏，也不会停止。

从数学上讲，玩家i使用随机变量θi，i=1，2来建模另一个玩家，玩家（3- i） ，是主动的或被动的。具体来说，如果θ=1，玩家1有积极竞争，如果θ=0，则没有竞争；如果θ=1，玩家2有主动竞争，如果θ=0，则没有竞争。为了描述这类游戏中的策略，我们首先引入了随机停车时间的概念（参见[19]、[26]和[6]）。定义2.1。（随机停止时间。）设A为右连续非递减FX适应过程的集合，Γ={Γt；0- ≤ t<∞} 满足Γ0-= 0和Γt≤ 所有t均为1≥ 设U为随机变量，与X无关，其中U~ 均匀（0，1）。U-随机停止时间γ是γ=inf{t形式的随机变量≥ 0：Γt>U}（1）对于某些Γ∈ A、 此外，我们说γin（1）是由Γ生成的。上述（c）中介绍的i=1、2和Ui的Ui随机停止时间集合表示为tri。此外，为了将来的参考，我们还引入了停止时间γu：=inf{t≥ 0：Γt>u}，u∈ [0，1]，（2）带Γ∈ A、 最后，我们注意到Γt：=Γt- Γt-对于t≥ 0和Γ∈ A、 让g：Rd→ [0, ∞ ) 是一个连续函数，这样SUPX∈Rdg（x）>0。（3） 我们的游戏现在规定如下。每个玩家选择一个随机停止策略：玩家1选择τ∈ TRand P第2层选择γ∈ TR.玩家1在时间τisR（τ，γ）的支付：=g（Xτ）1{τ<γ}+g（Xτ）1{τ=γ}{τ<∞},（4） 式中（5）^γ：=γ1{θ=1}+∞1{θ=0}.在DYNKIN游戏5中与鬼魂玩耍同样，在时间γ时，玩家2收到AMOUNT（τ，γ）：=g（Xγ）1{γ<τ}+g（Xγ）1{γ=τ}{γ<∞},（6） 式中：=τ1{θ=1}+∞1{θ=0}.在这里，第二学期的一半表明，在两名球员同时停赛的情况下，他们之间的奖金将平均分配。