在Dynkin游戏中与鬼魂玩耍

在同时停车的情况下，支付的替代规范显然是可能的，我们在本文中开发的方法可以扩展到涵盖各种情况。然而，为了简单起见，我们避免讨论这些扩展。参与者1（2）的目的是选择随机停止时间τ（γ），以最大化其预期贴现收益，由j（τ，γ；p，x）定义：=Ex[e-rτr（τ，γ）]（J（τ，γ；p，x）：=Ex[e-rτr（τ，γ）]），其中贴现率r≥ 0是给定常数，x∈ Rd.通过θifromfx的独立性，我们可以重写参与者1的预期支付asJ（τ，γ；p，x）=（1- p） Ex[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}]（7） +pEx[e-rτg（Xτ）1{τ<γ}]+pEx[e-rτg（Xτ）1{τ=γ<∞}].一个类似的表达式适用于玩家2的预期收益J，用pand替换pw，以明显的方式交换τ和γ。定义2.2。（纳什均衡。）给出n x∈ Rdand pi∈ （0，1），i=1，2，一对（τ*, γ*) ∈ TR×TRis a纳什均衡ifJ（τ，γ*; p、 x）≤ J（τ*, γ*; p、 x）andJ（τ*, γ; p、 x）≤ J（τ*, γ*; p、 x）对于所有对（τ，γ）∈ TR×TR.给定平衡对（τ*, γ*) ∈ TR×TRwe定义了平衡支付asvi（pi，x）：=Ji（τ*, γ*; pi，x），对于i=1，2。（8） 备注2.1。在上面的公式中，每个参与者都是主动参与者，但我不确定另一个参与者是主动参与者还是被动参与者。另一种公式是，仅当伯努利随机变量θ3-它将值设为1（即，如果玩家i确实处于活动状态）。更准确地说，支付给参与者1的报酬为R（τ，γ）：=g（Xτ）1{τ<γ}+g（Xτ）1{τ=γ}{^τ <∞}= 1{θ=1}R（τ，γ）（和Player 2的类似表达式）。然后，根据独立性，相应的预期贴现付款（τ，γ；pi，x）：=Ex[e-rτ^Ri（τ，γ）]，i=1，2，满足^Ji（τ，γ；pi，x）=p3-iJi（τ，γ；pi，x）。

特别是一对策略（τ，γ）∈ TR×TRis是具有预期payoff s^Jiif且仅当它是具有预期payoff s Ji的博弈的纳什均衡时的纳什均衡，因此从博弈论的角度来看，这两个公式是等价的。备注2.2。我们的建立和本文的结果可以推广到考虑域I上的连续强M arkov过程，前提是X的边界行为我被仔细地解释了。当X是一个开放区间I上的正则维离散时，这种扩展很简单 R具有自然边界。6 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–OM3。一些关于游戏收益的有用观察在本节中，我们做了一些一般性的观察，为两个玩家的均衡收益结构提供了一些直觉。3.1. 单人游戏的有效值范围。用（9）V（x）表示：=supτ∈特克斯[东]-rτg（Xτ）1{τ<∞}]相应单人停止游戏的值函数。（对于单个玩家游戏，不需要随机，因此，我们注意到，supremumin（9）将取代停止时间。）为了将来参考，我们表示（10）τ*五： =inf{t≥ 0：V（Xt）=g（Xt）}。从现在起，我们做出以下长期假设。假设3.1。可积条件（11）Ex支持≥0e-rtg（Xt）< ∞, x个∈ Rd、holds和函数V:Rd→ [0, ∞ ) 是连续的。此外，（12）lim支持→∞e-rtV（Xt）1{τ*五=+∞}= 0、备注3.1。已知V的连续性在关于最优停止的文献中讨论的几乎所有示例中都成立。可积性条件（11）和条件（12）保证停止时间τ*关于（9）中的最佳停车时间，请参见示例[23]。

此外，进程y：=e-rtV（Xt），t∈ [0, +∞]和Y∞:= 0是一个超鞅，mt：=e-r（t∧τ*五） V（Xt∧τ*五） ，t∈ [0, +∞)是一致可积鞅。虽然（12）对于我们在本文其余部分中开发的方法不是必需的，但这是一个方便的假设，有助于我们保持简单的阐述，避免定理5.1证明中的长局部化论点。从（7）中可以清楚地看出，J（τ，γ；p，x）≤ Ex[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}] 对于任何（τ，γ）∈ TR×TR.此外，对于τ∈ TRwe haveEx[电子版]-rτg（Xτ）1{τ<∞}] =ZEx[e-rτg（Xτ）1{τ<∞}|U=U]du（13）=ZEx[e-rτug（Xτu）1{τu<∞}] 杜邦≤ V（x），其中τu∈ T的定义如（2）所示。因此，在单玩家游戏中允许随机分组并不会降低该值，我们有以下上限SUPτ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ supτ∈特雷克斯-rτg（Xτ）1{τ<∞}] = V（x）（14）表示任意γ∈ TR.同样的界限显然适用于玩家2的预期收益。接下来，我们得到有用的下界。首先，对于任何给定的γ∈ TRPlayer 1可以选择τ=τ*（10）中定义的Vde。因此，使用（7）我们得到supτ∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）≥ (1 - p） Exhe公司-rτ*Vg（Xτ*五） 1{τ*五<∞}i（15）=（1- p） V（x）。在DYNKIN游戏中玩鬼魂7秒钟，使用τ=0，P-A.s.，是一个允许的停止规则∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）（16）≥ infγ∈TRn（1- p） g（x）+pg（x）p（γ>0）+pg（x）p（γ=0）o=1.-pg（x）表示任意x∈ 总结（14）-（16），我们有（17）max{（1- p） V（x），（1- p/2）g（x）}≤ supτ∈TRinfγ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ V（x）和类似的参数也导致tomax{（1- p） V（x），（1- p/2）g（x）}≤ supγ∈TRinfτ∈TRJ（τ，γ；p，x）≤ V（x）。（18） 从（17）-（18）得出，（19）V（pi，x）：=max{（1- pi）V（x），（1- pi/2）g（x）}是参与者i的“安全水平”。更准确地说，任何纳什均衡（τ）的均衡m值（见（8））*, γ*) ∈ TR×TR必须满足vi（pi，x）≥ V（π，x）。3.2. 更明确的预期回报形式。

接下来，我们将提供一种重写问题的便捷方法，这将为我们在第4节中构建均衡提供信息。正如预期的那样，我们期望在与递增过程相关的随机策略中找到平衡。然而，暂时忘记平衡的考虑，如果玩家i玩一个随机的停止时间，那么根据上面（13）中的论点，玩家3- i的最佳响应可以在正常停车时间的类别中找到。特别是，让τ∈ TRandγ∈ TRbe任意一个hassupζ∈TRJ（ζ，γ；p，x）=supζ∈TJ（ζ，γ；p，x），（20）supζ∈TRJ（τ，ζ；p，x）=supζ∈TJ（τ，ζ；p，x）。（21）虽然这一论点通常不会导致均衡，但它表明，考虑到参与者i的随机策略，我们可以将注意力限制在参与者3的预期回报上- 我在正常停车时间进行了评估。在下一个命题中，我们给出了此类支付的明确公式。命题3.1。对于i=1，2 letΓi∈ A、 让τ∈ TRandγ∈ 分别由Γ和Γ生成TRbe。对于任何ζ∈ T和x∈ Rdwe haveJ（ζ，γ；p，x）=（1- p） Exhe公司-rζg（Xζ）1{ζ<+∞}i（22）+pExhe-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<+∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γζ{ζ<+∞}iandJ（τ，ζ；p，x）=（1- p） Exhe公司-rζg（Xζ）1{ζ<+∞}i（23）+pExhe-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<+∞}i+pExhe-rζg（Xζ）Γζ{ζ<+∞}i、 8 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR–公司。根据对称性，可以考虑i=2的情况。因此我们让γ∈ TRbegenerated byΓ∈ A、 我们要展示的是（22）个老人。从（7）中回忆出j（ζ，γ；p，x）=（1- p） Ex[e-rζg（Xζ）1{ζ<∞}] + pEx[e-rζg（Xζ）1{ζ<γ}]（24）+pEx[e-rζg（Xζ）1{ζ=γ<∞}],（24）右侧sid e的第一项与（22）的第一项相同。

第二学期，根据定义2.1，我们有-rζg（Xζ）1{ζ<γ}]=排气-rζg（Xζ）Pxζ < γFXζ{ζ<∞}i=排气-rζg（Xζ）（1- Γζ)1{ζ<∞}i、 对于最终的表达，我们将其用于任何t≥ 0它容纳{t<U} {γ>t} {Γt≤ U} 。（25）（24）givesEx中的最终术语-rζg（Xζ）1{ζ=γ<+∞}] = Exhe公司-rζg（Xζ）Pxζ = γFXζ{ζ<+∞}i、 （26）现在我们注意到th atPxζ = γFXζ= 二甲苯γ ≥ ζFXζ- 二甲苯γ > ζFXζ= limδ→0Pxγ > ζ - δFXζ- (1 - Γζ）=limδ→0(1 - Γζ-δ) - (1 - Γζ) = Γζ，结合（26）得出我们的证明。4、构建候选战略4.1。调整信念。为了找到游戏的平衡点，我们研究了（游戏期间）玩家关于其对手存在的谎言的演变。换句话说，如果γ∈ Γ生成的TRis∈ A、 然后，玩家1动态评估玩家2处于活动状态的条件概率为∏t：=P（θ=1 | FXt，γ>t）=P（θ=1 | FXt）P（θ>t | FXt，θ=1）P（γ>t | FXt）（27）=pP（γ>t | FXt）1- p+pP（γ>t | FXt）=p（1- Γt）1- pΓt提供p∈ （0，1），其中我们回忆起^γ=γ1{θ=1}+∞1{θ=0}如（5）所示。这里，我们在第三个等式中使用了γ和dθ的独立性，在最后的等式中，我们使用了p（γ>t | FXt）=1- Γt由于（25）。同样，如果τ∈ Γ生成的TRis∈ A、 然后，玩家2将玩家1处于活动状态的条件概率评估为∏t：=P（θ=1 | FXt，^τ>t）=P（1- Γt）1- pΓt（28）提供p∈ (0, 1).注意，Γ3之间有一对一的对应关系-iand∏i，对于i=1，2。事实，（29）Γ3-it=pi- ∏itpi（1- πit），i=1，2。此外，等式（30）（1- pi）=（1- piΓ3-it）（1- πit），i=1，2，在DYNKIN游戏中与鬼魂玩9次。下面我们将看到这些公式如何成为我们游戏分析中的关键因素。4.2. 一个经过反思和调整的信念过程。我们现在给出一个右连续过程（Z，X）的构造，该过程必然在[0，1）×Rd（下面表示dc）的特定子集中演化。

过程Z将扮演调整信念过程∏的角色，对应于适当构造的递增过程Γ（通过关系式（29）从Z获得），见下文引理4.2。我们首先介绍不相交集合C：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p） V（x）≥ g（x）}（31）C′：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p/2）克（x）<（1- p） V（x）<g（x）}（32）S：={（p，x）∈ （0，1）×Rd：（1）- p） V（x）≤ (1 - p/2）g（x）}（33），注意C∪ C′∪ S=（0，1）×第7页以来的第三次→ (1 - p） V（x）是不存在的，如果（p，x），我们有∈C、 然后（0，p）×{x} C、 定义（x）：=inf{p∈ [0, 1] : (1 - p） V（x）≤ g（x）}∈ [0, 1].同样，第7页→ (1-p） V（x）-(1-p/2）g（x）是非递增的，所以如果（p，x）∈ C′然后（b（x），p）×{x} C′，we definec（x）：=inf{p∈ [0, 1] : (1 - p） V（x）≤ (1 - p/2）g（x）}∈ [0, 1].然后b（x）≤ c（x）代表x∈ Rd，我们有c={（p，x）∈ （0，1）×Rd:p≤ b（x）}，（34）C′={（p，x）∈ （0，1）×Rd:b（x）<p<c（x）}（35）and={（p，x）∈ （0，1）×Rd:c（x）≤ p} 。引理4.1。功能b、c：Rd→ [0，1]是连续的。此外，（i）b（x）=c（x）=0<==> V（x）=g（x）；（ii）b（x）=c（x）=1<==> g（x）=0。证据我们首先注意到RDX上的V>0，因为X是正则的，（3）成立。此外，V>g/2 on Rd（因为如果g（x）=0，则V（x）>0=g（x）/2，如果g（x）>0，则V（x）≥ g（x）>g（x）/2）。p 7的严格单调性和连续性→ (1 - p）V（x）表示对于anyx∈ Rd b（x）的值由（1）唯一确定- b（x））V（x）=g（x），（36）和严格m关于p7的耳鸣性和连续性→ (1 - p） V（x）- (1 - p/2）g（x）（因为V>g/2on Rd）表示c（x）由（1）唯一确定- c（x））V（x）=（1- p/2）克（x）。（37）因此，b（x）=1-g（x）V（x）（38）和C（x）=V（x）- g（x）V（x）- g（x）/2。（39）因此，b和c的连续性遵循假设3.1。最后，（i）和（ii）从V>0和V≥ g。提案4.1。Let（p，x）∈C给出并确定Px-a.s。

进程zt：=p∧ inf0≤s≤tb（Xs）。（40）那么Px-a.s.10 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK Ekstrom（i）Z是非递增的和连续的；（二）（Zt、Xt）∈C代表所有t≥ 0;（iii）我们有dzt=1{（1-Zt）V（Xt）=g（Xt）}dZt（41）作为（随机）度量。证据自x 7起→ b（x）和t 7→ X连续，立即验证（i）是否成立。此外，根据定义Zt≤ b（Xt）代表所有t≥ 0，因此表示（ii）。为了检查（iii）是否保持we fixω∈ Ohm （在空集之外）并取任意t≥ 0，以便（1- Zt（ω））V（Xt（ω））>g（Xt（ω））。根据b的定义，上述严格不等式意味着Zt（ω）<b（Xt（ω））。然后通过t 7的连续性→ b（Xt）存在δt，ω>0，使得Zt（ω）<b（Xt+s（ω）），对于所有s∈ （0，δt，ω）。HenceZt+s（ω）=Zt（ω）∧ inf0<u≤sb（Xt+u（ω））=Zt（ω），对于所有s∈ （0，δt，ω）。后一个方程表示（41）中需要的dZt（ω）=0。我们指出，在Zt=Zp时，th取决于初始点（p，x）。与上面的Z关联，我们现在构造一个进程Γ∈ A、 这将用于生成博弈中纳什均衡的随机终止时间。特别是，在下一个引理中，我们将重新调用（27）和（28）中介绍的信念过程。引理4.2。对于（p，x）∈C、 定义流程Γt：=Γp，xt：=p- Zp，xtp（1- Zp，xt），t≥ 0，（42），带Zp，x=Z，如（40）中所示。则Γ=Γp，xis连续，Γ∈ A和由Γ生成的调整后置信过程，即过程∏t：=p（1- Γt）1- pΓt，（43）满意度∏Γ=Z，Px-a.s.因此（πΓt，Xt）∈C代表所有t≥ 0，Px-a.s.此外，如果τ∈ TRis由Γ生成，然后是τ≤ τ*五、 证明。对于第一项权利要求，通过比较g（42）和（43），可以立即检查∏Γ=Z。仍需验证Γ∈ A.

这是因为Γ是连续的，通过Z的连续性和d，它是非递减的，因为过程Z和映射Z 7→ （p- z） /[p（1- z） ]不增加。对于第二个要求，我们有引理4.1和（40），τ*V=inf{t≥ 0：V（Xt）=g（Xt）}（44）=inf{t≥ 0：b（Xt）=0}=inf{t≥ 0：Zt=0}=inf{t≥ 0：Γt=1}，由此得出τu=inf{t≥ 0：Γt>u}≤ τ*V或u∈ [0，1）.依次为τ≤ τ*五、 Px-a.s。纳什均衡的构造在不损失一般性的情况下，我们假设pdominates p，即0≤ p≤ p≤ 1、我们首先对两种极端情况p=0和p=1进行了评论。如果p=1，则p=1（因为p≤ p） ，因此两个玩家都确定另一个玩家处于活动状态。在这种情况下，很明显imm mediate stopping，即（τ*, γ*) := （0，0），提供了一个纳什均衡，每个参与者对应的均衡值为g（x）/2。在DYNKIN游戏11中玩鬼魂如果p=0，则玩家1确定玩家2未处于活动状态，并将随后玩最优策略τ*= τ*Vfrom单人游戏。如果p=0，那么玩家2的最佳反应也是使用γ*= τ*五、 对于每个玩家，相应的均衡值由V（x）给出。相反，如果p>0，则情况会稍微复杂一些：玩家2的最佳响应是通过在τ之前停止来抢占玩家1*V（在τ处*五、-); 然而，这不是一个随机的停止时间，在这种情况下不存在平衡。在本节其余部分中，我们施加条件0<p≤ p≤ 1和p<1，因此排除了上述两种情况。然后，我们利用前两部分的结果为我们的博弈构建纳什均衡。一个有趣的特性是，我们的构造自然分为三个场景。也就是说，我们得到的平衡的定性性质取决于（p，x）所属的三个区域C，C′和S中的哪个区域。

最引人注目的似乎是p的初始值∈ [p，1]对我们的建设的质量方面并不重要。我们将在下面的第5.3节对此功能进行更广泛的评论。在同一节中，我们还将讨论导致我们构建以下定理5.1和5.2中详述的平衡的心理学。5.1. （p，x）的平衡∈C∪C′。我们考虑的这一部分（p，x）∈ C∪C′。我们首先定义*:=p1.-(1 - p） V（x）g（x）+q：=p（1- Γ*)1.- pΓ*（45）并注意（46）（1）- pΓ*)(1 - q） =1- p、 引理5.1。对于（p，x）∈C∪ C′我们有（i）0≤ Γ*< 1，（ii）0<q≤ b（x）。此外，对于（p，x），0<q<b（x）∈ C′。证据如果p≤ b（x）然后Γ*= 0和q=p∈ （0，b（x）]，s o（i）-（ii）保持。如果p∈ （b（x），c（x））然后Γ*=p1.-(1 - p） V（x）g（x）∈ （0，1）so（i）成立且q>0。此外，（45）中的第一个等式为（1- p） V（x）=g（x）1.-pΓ*.（47）结合后者和（46）我们得到（1- q） V（x）=1-pΓ*1.- pΓ*g（x）>g（x）（48），因为引理4.1中的（ii）必须是g（x）>0（否则p≤ b（x）=1）。因此，（q，x）位于setC的内部，因此q<b（x），这意味着（ii）。回顾命题4.1和引理4.2中介绍的过程Z和Γ，以及调整的信念过程∏Γ。定义2，*asΓ2，*t： =Γ*+ (1 - Γ*)Γq，xt，t≥ 0，（49）带Γ*如（45）和Γq，引理4.2中的xas，但对于p=q，让Γ1，*t： =ppΓ2，*t{t<τ*五} +1{t≥τ*五} ，（50）12 TIZIANO DE ANGELIS和ERIK EKSTR¨OMand let∏1，*t： =p（1- Γ2,*t） 1个- pΓ2，*t玩家1的调整信念对应于Γ2，*（回忆（27））。提案5.1。对于（p，x）∈C∪ C′以下性质成立：（i）（Γ1，*, Γ2,*) ∈ A.（ii）我们有Px-a.s。Γ2,*t型=Γ*, t=0,0，t>0；（iii）我们有Px-a.s。Γ1,*t型=ppΓ*, t=0,1- p/p，t=τ*V<∞,0，否则；（iv）（π1，*t、 Xt）∈C代表t≥ 0.证明。

回顾（42）中表示Γq，x和Zq，xin的表达式（40），立即验证Γq，x∈ [0，1]它是连续的。因此，Γ2，*∈ [0，1]并且它是正确的，在时间零点唯一可能的跳跃。因此（Γ1，*, Γ2,*) ∈ Aso（i）持有。（ii）和（iii）中的表达式表示Γ2,*和Γ1,*是（49）和（50）的中间结果。此外，关于{τ*V<∞} 对于t>τ，我们有Γq，xt=1*Vby（44），所以Γq的连续性，x乘以Γq，xτ*五、-= 1、因此Γ1,*τ*V=1-ppΓ2，*τ*五、-= 1.-pp，完成了（iii）的证明。对于（iv），回顾调整后信念∏1的表达式（27），*对于玩家1，simplealgebra产生∏1，*t=p（1- Γ2,*t） 1个- pΓ2，*t=p（1- Γ*)(1 - Γq，xt）1- pΓ*- p（1- Γ*)Γq，xt（51）=q（1- Γq，xt）1- qΓq，xt=∏q，xt。现在（51）表示（1），*t、 Xt）∈C代表t≥ 0，Px-a.s.根据引理4.2，so（iv）成立。我们现在准备制定我们的主要结果。定理5.1。Let（p，x）∈C∪ C′是给定和固定的（相当于，p<C（x）），和定义（Γ1，*, Γ2,*) ∈ 上述（50）和（49）中的Aas。然后是策略对（τ*, γ*) 生成者（Γ1，*, Γ2,*) 是纳什均衡。此外，双方的均衡报酬为（1- p） V（x）。证据考虑p进程{Nt，t≥ 0}定义如下：对于固定（p，x）∈ C∪ C′letNt：=1.-pΓ*g（x）1{t=0}+~Nt{t>0}（52），其中▄Nt：=（1{θ=0}+1{θ=1，U≥Γ*})(1 - q） e类-rtV（Xt），注意（45），（47）和（52）表示（53）N=g（x）∧ ((1 - p） V（x））。使用符号Yt：=e-备注3.1中引入的rtV（Xt），在{Yt，0≤ t型≤ ∞}和Y∞:= 0是一个超级鞅。