基准下担保可变年金的公平定价

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英文标题：
《Fair Pricing of Variable Annuities with Guarantees under the Benchmark
  Approach》
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作者：
Jin Sun, Kevin Fergusson, Eckhard Platen, Pavel V. Shevchenko
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we consider the pricing of variable annuities (VAs) with guaranteed minimum withdrawal benefits. We consider two pricing approaches, the classical risk-neutral approach and the benchmark approach, and we examine the associated static and optimal behaviors of both the investor and insurer. The first model considered is the so-called minimal market model, where pricing is achieved using the benchmark approach. The benchmark approach was introduced by Platen in 2001 and has received wide acceptance in the finance community. Under this approach, valuing an asset involves determining the minimum-valued replicating portfolio, with reference to the growth optimal portfolio under the real-world probability measure, and it both subsumes classical risk-neutral pricing as a particular case and extends it to situations where risk-neutral pricing is impossible. The second model is the Black-Scholes model for the equity index, where the pricing of contracts is performed within the risk-neutral framework. Crucially, we demonstrate that when the insurer prices and reserves using the Black-Scholes model, while the insured employs a dynamic withdrawal strategy based on the minimal market model, the insurer may be underestimating the value and associated reserves of the contract.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了具有保证最小提取收益的可变年金（VAs）的定价问题。我们考虑了两种定价方法，经典的风险中性方法和基准方法，并研究了投资者和保险公司的相关静态和最优行为。考虑的第一个模型是所谓的最小市场模型，其中定价是使用基准方法实现的。该基准方法于2001年由Platen引入，并在金融界得到广泛接受。在这种方法下，资产估值涉及到参考现实世界概率测度下的增长最优投资组合来确定最小值复制投资组合，它既将经典的风险中性定价包含为一种特殊情况，又将其扩展到不可能进行风险中性定价的情况。第二个模型是股票指数的Black-Scholes模型，其中合同的定价在风险中性框架内进行。重要的是，我们证明，当保险人使用Black-Scholes模型定价和准备金时，而被保险人使用基于最小市场模型的动态退出策略时，保险人可能低估了合同的价值和相关准备金。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Fair_Pricing_of_Variable_Annuities_with_Guarantees_under_the_Benchmark_Approach.pdf (572.75 KB)

2022-6-24 02:02:37 上传

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关键词：Quantitative Applications QUANTITATIV replicating Measurement

基准法下担保可变年金的公平定价Jin Suna，c，Kevin Fergussonb，*, Eckhard Platena，e，Pavel V.ShevchenkodaFaculty of Science，University of Technology SydneybCentre for精算研究，Department of Economics，University of Melbourne，Victoria，AustraliacData 61，CSIRO DocklandsdDepartment of精算研究和商业分析，Macquarie University，AustraliaeUTS Business School，科技大学悉尼分校摘要在本文中，我们考虑了具有保证最低提取收益的可变年金（VAs）的定价。我们考虑了两种定价方法，经典的风险中性方法和基准方法，并研究了投资者和保险人的相关静态和最优行为。考虑的第一个模型是所谓的最小市场模型，其中定价是使用基准方法实现的。该基准方法于2001年由Platen引入，并在金融界得到广泛接受。在这种方法下，资产估值涉及到参考现实世界概率测度下的增长最优投资组合来确定最小值复制投资组合，它既将经典的风险中性定价包含为一种特殊情况，又将其扩展到不可能进行风险中性定价的情况。第二个模型是股票指数的布莱克-斯科尔斯模型，其中合同的定价在风险中性框架内进行。重要的是，我们证明了当保险人使用Black-Scholes模型定价和准备金时，当被保险人使用基于最小市场模型的动态退出策略时，保险人可能低估了合同的价值和相关准备金。JEL分类：C61，G22关键词：可变年金担保，随机最优控制，随机储备，基准方法1。

简介世界各地的财富管理公司和保险公司提供可变年金（VA）和生前和死亡福利保障，以帮助个人管理其*对应的authorEmail地址：jin。sun@uts.edu.au（金孙），凯文。fergusson@unimelb.edu.au（凯文·费格森），埃克哈德。platen@uts.edu.au（埃克哈德压板），帕维尔。shevchenko@mq.edu.au（Pavel V.Shevchenko）退休和退休后财务计划。这些产品利用了市场增长的优势，同时保护储蓄免受市场低迷的影响。投保人收到的VA合同现金流与投资组合的选择（如共同基金及其战略的选择）及其绩效相关，而传统年金提供预先确定的收入流，以换取一次性付款。投保人可以以额外费用为代价增加各种VA担保。VA担保的常见示例包括保证最低累积福利（GMAB）、保证最低提取福利（GMWB）、保证最低收入福利（GMIB）和保证最低死亡福利（GMDB），以及这些的组合，例如保证最低提取和死亡福利（GMWDB）等。这些担保（一般称为GMxB）提供了不同类型的保护，以防止市场低迷、因长寿风险导致的储蓄不足或保证收入的稳定性。这些产品的精确规格可能因类别和发行人而异；seeBauer等人（2008年）；Ledleie et al.（2008）和Kalberer and Ravindran（2009）对这些产品进行了概述。自最近的金融危机以来，准确估计流浪者对冲成本的需求变得越来越重要。

此类估计包括保险公司必须向投保人支付的未来现金流的定价，以完成VA担保的责任，以及交付负债付款的相关对冲策略。标准定价方法遵循风险中性定价理论，在无套利的条件下，VA产品的定价为产品在所谓的等价性中性定价措施下提供的贴现未来现金流总额的预期。学术文献中有许多关于VA担保定价的数值方法的贡献。其中包括基于标准和回归的蒙特卡罗、偏微分方程（PDE）和直接积分方法。舍甫琴科和罗（2016）全面概述了流浪汉定价的数值方法。基准法（BA）提供了一种替代定价理论。在非常一般的条件下，在给定的投资宇宙中存在唯一的增长最优投资组合（GP）。英国航空公司将GP作为基准，因此任何基准非负性投资组合价格过程都假定预期瞬时回报为零。GPS假设在投资领域的所有非负投资组合中，预期瞬时增长率最高，并使终端财富的预期对数效用最大化。这是一个多元化的投资组合，利用所有可交易风险因素和相应的风险溢价实现增长最优。根据BA下的实际定价公式，任何给定未来现金流的实际定价确定了其可能的最小复制成本。

BA被认为是风险中性定价理论的推广，因为不需要存在等价的风险中性定价测度，但它包括风险中性定价，这是一种特殊情况，涉及确保存在等价的风险中性概率测度的附加条件。另一个特例是附录B中描述的最小市场模型（MMM），该模型允许GP围绕指数增长的市场趋势进行均值回归，并捕获了对数回报的轻量级行为，如Fergusson和Platen（2006）所示，以及杠杆效应，表现为快速下跌市场中的波动性峰值；例如，见Campbell和Viceira（2005）和Shiller（2015）。相比之下，附录B中也描述了Black-Scholes模型（BSM），该模型只捕获了对数收益率的等库仑行为，由于其持续的波动性，无法对杠杆效应进行建模。在本文中，我们考虑了一个带有GMWB的标准VA产品，该产品在合同到期之前每年提供有担保的提款金额，无论投资表现如何。总提取金额应保证在合同有效期内返还初始投资。如果需要，可以直接添加其他特征，如死亡福利，参见Luo和Shevchenko（2015）。文献中经常考虑投保人的两类退保策略：静态退保策略，其中投保人在每个退保日期退保一个预先确定的金额；或者是一种动态策略，其中投保人“最优”决定每个提款日期的提款金额，这取决于该日期的可用信息，其中最优通常是指当前和未来现金流的价值最大化。

通过假设最优投保人的退出行为，VA产品的定价对应于VA提供商面临的最坏情况下的对冲成本。换句话说，从VA提供商的角度来看，各个动态策略下的VA产品价格提供了套期保值成本的上限；见Sunetal.（2018）。需要注意的是，实际投保人的退出策略可能会偏离最佳状态；例如，参见Moenig和Bauer（2015）。假设投保人采取动态提款策略，即最大化VA产品当前和未来现金流现值的最优策略，实际提款仍取决于投保人采用的定价方法。另一方面，维持套期保值组合以交付VA产品负债现金流的VA提供商也面临相同的组合定价和套期保值选择。在本文中，我们考虑了两种定价方法，风险中性定价方法和BA。我们调查了投保人和VA提供者对退出和混合策略的不同选择的结果和影响。特别是，我们对双方采取不同定价方法的案例进行了实证研究。在VA定价文献中，投保人和VA提供商通常采用相同的定价模型。如本文所述，投保人和VA提供商持有根本不同的估价视角的重要情况尚未调查。本文试图填补这一空缺，并希望引起更多人对这一方向的兴趣。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了GMWB担保的合同细节及其在随机最优控制框架下的定价公式。

然后，在第3节中，当双方使用相同或不同的建模方法时，我们分别对投保人和VA提供商的这些定价和相应的提款和对冲策略进行了实证测试。第4节以评论和讨论结束。附录包含VA建模和定价方法的背景技术方面。附录A概述了基准方法。在附录B中，我们描述了风险中性方法和BA下的定价模型。最后，在附录C中，针对最优保单持有人支取，在定价框架和模型下建立了VA定价问题，并描述了求解该问题的数值算法。2、VA担保产品描述我们认为，如果投保人在t=0时一次性将W（0）投资到财富账户W（t），t∈ [0，T]跟踪股票指数S（T），T∈ [0，T]，其中T=T对应于VA合同的到期日。我们假设W（t）和（t）都被当地无风险储蓄账户贴现，此后遇到的所有其他财富价值也是如此。根据SDEdS（t）S（t）=u（t）dt+σ（t）dB（t），t∈ [0，T]，（1），其中u（T）和σ（T）分别是指数的瞬时市场风险溢价和波动率。这里是B（t），t∈ [0，T]是驱动交易市场不确定性的标准P-布朗运动。如附录B所述，多元化股票指数非常接近GP，作为（1）的一个特例，我们有SDE（B.1）规定的GP布莱克-斯科尔斯模型（BSM）。此外，作为（1）的另一个特殊情况，我们有由SDE（B.5）指定的GP最小市场模型（MMM）。

附录B提供了这两种模型的更多详细信息。投保人选择GMWB附加条款以保护其财富账户W（t），t∈ 【0，T】，在VA合同的有效期内。GMWB合同允许保单持有人从担保账户a（t），t∈ [0，T]，在一系列预先确定的合同事件日期上，0=T<T<····<tN=T。初始担保A（0）与初始财富W（0）匹配。在此，我们假设担保账户随着时间的推移保持不变，除非在某个事件日期提款，这会减少担保账户余额。其他形式的保证回报也可以类似地建模。为简单起见，我们在讨论中不包括死亡或提前自首等特征。在更现实的背景下，这些附加特征可以直接包含在本文描述的框架内。为了简化符号，我们用X（t）表示时间t的状态变量向量，给定X（t）=（u（t），σ（t），S（t），W（t），A（t）），t∈ [0，T]。（2） 这里，我们假设变量S（t）遵循马尔可夫过程，因此X（t）包含t处可用的所有市场和账户余额信息。为简单起见，我们假设状态变量S（t）是连续的，W（t）和a（t）与右手极限（LCRL）是左连续的。事件日期tn，n=1，N、 从担保账户中进行名义提款。投保人可选择γn≤ tn<T上的A（tn）。否则，进行最大（W（tn），a（tn））的清算提现。也就是γn=Γ（tn，X（tn）），n<n，max（W（tn），A（tn）），n=n，（3），其中Γ（·，·）被称为投保人的退出策略。投保人收到的净现金流（可能与总金额不同）用CN表示（γn，X（tn））。

在我们的情况下，该现金流设置为n（γn，X（tn））=γn- βmax（γn- Gn，0），n<n，max（W（T），A（T））- βmax（A（T）- GN，0），n=n，（4），其中GNI是GMWB合同中规定的预先确定的提款金额，β是适用于从担保账户提款部分的罚款率，超出合同提款GN。在此，我们假设罚款也适用于担保账户A（T）的最后一次提款。财富账户余额超过担保账户余额的部分不受处罚。保单持有人支取时，担保账户减少名义支取γn，即A（t+n）=A（tn）- γn，（5），其中A（t+n）表示提款后“立即”的担保账户余额。注意A（t+n）≥ 财富账户减少了金额min（γn，W（tn）），并保持为非负。也就是说，W（t+n）=max（W（tn）- γn，0），（6），其中W（t+n）是提款后立即的财富账户余额。假设γ=0，即合同开始时没有提款。合同到期后，财富和担保账户余额均为0。也就是说，我们有w（T+）=A（T+）=0。（7） 在整个VA合同期间，保险公司按照GMWB附加条款的费率αTot向财富账户连续收取保险费，以支付担保的对冲成本。离散费用可以类似地建模，没有任何困难。财富账户依次演变为DW（t）W（t）=（u（t）- αtot（t））dt+σ（t）dB（t），（8）对于任何t∈ [0，T]不提取财富。

这里，αtot（t）=αins（t）+αm（t）是总费率，其中αins表示保险费，αmdenotes表示管理费。我们用V（t，X（t）），t表示时间t的VA加保证值函数∈ [0，T]，对应于当前时间T时或之后保单持有人享有的所有未来现金流的相应定价模型下的现值。最终现金流之后的剩余值显然为0，即V（T+，X（T+））=0。(9)3. 对准备金和保单持有人策略进行回溯测试在本节中，我们对VA产品的两个拟议定价模型进行了回溯测试。我们既从投保人的角度考虑，即他或她根据投保人选择的定价模型决定最佳提款金额，也从VAprovider的角度考虑，即VA产品的对冲组合策略基于提供商选择的定价模型。我们将标准普尔500指数作为VA产品的基础股票指数，并根据基础多元化指数的历史数据运行模拟提款和对冲策略。特别是，我们采用了1871年至2018年历史上观察到的标普500指数月度价格，所有股息都进行了再投资，并通过当地无风险储蓄账户进行贴现。1963年后的S&P500数据来自数据流，1871年至1963年的早期部分在Shiller（2015）中重建。标准普尔500指数（S&P500 total returnindex）很好地近似了美国国内股票市场的市场投资组合（MP）动态。我们考虑在1988年2月至2018年2月的30年期内，基于在此期间之前的历史指数价格估计的基础模型，在跟踪指数的VAaccount上书写的GMWB合同的定价。