长期风险敏感并矢脉冲控制

固定γ<0，x∈ E、 设{（xn，γn）}n∈Nbe a序列满足（xn，γn）→ （x，γ），n→ ∞, 任何n的位置∈ N我们有（xn，γN）∈ E×(-∞, 0). 对于n，m∈ N∪ {∞} we setZ（n，m）：=eγnhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i，其中fm:e→ R和gm:E→ R由fm（·）=（f（·）给出∨-m）∧m和gm（·）=（g（·）∨-m）∧m、 和符号γ∞:= γ、 f级∞（·）：=f（·），和g∞（·）：=使用g（·）。很明显，fm（z）→ f（z）和GM（z）→ g（z）表示z∈ E、 作为m→ ∞. 对于任何m∈ N、 结合Feller财产和以下事实（γn- γ)Zδfm（Xs）ds+gm（Xδ）≤ （δ+1）m |γn- γ|和γn- γ| → 0，作为n→ ∞, 我们得到了eγnhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i→ 前任eγhRδfm（Xs）ds+gm（Xδ）i, n→ ∞,可以重写为axn[Z（n，m）]→ Ex[Z(∞, m） ]，n→ ∞. （3.9）接下来，我们证明了一类随机变量{Z（n，m）}n，m∈N∪{∞}是一致可积的onPy，对于任何y∈^V，其中^V E是一个紧集，使得（{xn}n∈N∪ {x}∪ U）^V。使用（A.3），对于任何y∈^V和m，n∈ N∪ {∞}, 我们得到了（Z（n，m））≤ Ey公司e-2γnhkfmkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgmkω（ω（Xδ）+1）i≤ Ey公司e-2′γhkfkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）i= e-2γu-2英寸γykfkωRδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）, （3.10）式中，γ：=infn∈NγN.通过与证明的第一部分类似的论证（即使用（A.3）和熵效用测度的H¨older不等式），回顾ω是连续的，而^V是紧的∈^Vu-2英寸γykfkωZδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）< ∞. （3.11）将（3.10）与（3.11）相结合，并注意到（3.10）中的上界与n和m无关，我们得到类{Z（n，m）}n，m∈N∪{∞}是Py上的L有界序列，对于任何y∈^V。特别地，这意味着{Z（n，m）}n，m的一致可积性∈N∪{∞}关于PyandEy[Z（n，m）]→ Ey[Z（n，∞)] , m级→ ∞, （3.12）y的长期风险敏感并矢脉冲控制8∈^V和n∈ N∪ {∞}. 此外，由于（3.10）中的L上界可以独立于y来选择，因此我们得到limk→∞苏比∈^Vsupn，m∈N∪{∞}Ey公司{| Z（n，m）|≥K} | Z（n，m）|!= 0

（3.13）接下来，表示exn[Z（n，∞)] → Ex[Z(∞, ∞)] , n→ ∞ （3.14）值得注意的是∈ N我们得到支持→∞|Exn【Z（n，∞)] - Ex[Z(∞, ∞)]| ≤ lim支持→∞|Exn【Z（n，∞)] - Exn[Z（n，m））]|+lim supn→∞|Exn【Z（n，m）】- Ex[Z(∞, m） ）]|+lim supn→∞|Ex[Z(∞, m） ]- Ex[Z(∞, ∞))] |. （3.15）事实上，将（3.9）、（3.12）、（3.13）与（3.15）相结合，并让m→ ∞, 我们得到（3.14），即propertyExneγnhRδf（Xs）ds+g（Xδ）i→ 前任eγhRδf（Xs）ds+g（Xδ）i, n→ ∞,这又意味着Z（xn，γn）→~Z（x，γ），其中~Z（w，Z）：=uzwRδf（Xs）ds+g（Xδ）. 接下来，注意对于任何ξ∈ U我们得到Z（ξ，γn）→~Z（ξ，γ），U是紧的，我们得到max（~Z（xn，γn），supξ∈UZ（ξ，γn）+c（xn，ξ））→ 最大值（~Z（x，γ），supξ∈UZ（ξ，γ）+c（x，ξ）），其中（x，γ）7的连续性→ Rγg（x）如下。我们现在证明了在Cω（E）上，算子Tγ在适当的跨度范数下是局部收缩。为了确保每个步骤的属性，我们需要收缩原始ω-范数。对于任何β>0，收缩范数k·kβ，ω由kgkβ给出，ω：=supx∈E | g（x）| 1+βω（x）<∞, g级∈ Cω（E），而相应的跨度半范数定义为kgkβ，ω-跨度：=supx，y∈Rkg（x）- g（y）2+βω（x）+βω（y），g∈ Cω（E）。值得注意的是，对于任何g∈ Cω（E）和β>0，我们得到∈Rkg+dkβ，ω=kgkβ，ω-span，因此可以将spanω-范数视为中心（wrt.0）ω-范数；详见（Pitera&Stettner，第3节）和（Haier&Mattingly，2011，第2节）。长期风险敏感并矢脉冲控制9定理3.2。设γ<0。在假设（A.1）–（A.4）下，对于非常小的β>0，算子Tγ是k·kβω-span下的局部收缩，即。存在函数β：R+→ （0，1）andL:R+→ （0，1）使得ktγf- Tγfkβ（M），ω-跨度≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-跨度，对于f，f∈ Cω（E），suc h，kfkω-span≤ M和kfkω-跨度≤ M、 证明。为简洁起见，我们只提供证明的大纲；更多详情请参见（Pitera&Stettner 2016，定理1）。

证明将基于三个步骤。步骤1）我们证明，对于任何g，g∈ Cω（E）和x，y∈ E我们得到γg（x）- Tγg（x）- （Tγg（y）- Tγg（y））≤ 公斤- gkβ，ω-spankHg，gx，ykβ，ω-var，（3.16），其中hg，gx，y：=(R)u*（x，g，a（x，g））- u*（y，g，a（y，g）），°u*（·）是度量值u的投影*（·）（在（3.4）中给出）在过程X，k·kβ，ω-变量的值集上，由khkβ，ω-var给出的加权总变量范数：=ZE1+βω（z）|H |（dz），（3.17）和| H |是测量值H的总变化量；详见（Pitera&Stettner 2016，第3节）。首先，根据（Pitera&Stettner 2016，引理1）（另请参见（Di Masi&Stettner，命题2.2）的证明，其中对Bellman算子进行了类似的计算，而对任何g，g∈ Cω（E）和x，y∈ E我们得到（Tγg（x）- Tγg（x））- （Tγg（y）- Tγg（y））≤ZE公司g（z）- g（z）Hg、gx、y（dz）。（3.18）其次，使用（Pitera&Stettner 2016，提案2），我们知道存在d∈ R使得a+（d）=a-（d） =千克- gkβ，ω-span，（3.19），其中+（d）：=supz∈Rkg（z）- g（z）+d1+βω（z）和a-（d） ：=- infz公司∈Rkg（z）- g（z）+d1+βω（z）。注意thatZEg（z）- g（z）Hg，gx，y（dz）=ZRg（z）- g（z）+d1+βω（z）（1+βω（z））Hg，gx，y（dz）。利用Hahn-Jordan分解得到符号测度Hg，gx，yg（z）- g（z）Hg、gx、y（dz）≤ a+（d）ZA（1+βω（z））Hg，gx，y（dz）- 一-（d） ZAc（1+βω（z））Hg，gx，y（dz），（3.20）长期风险敏感二元脉冲控制10，其中A对应于测量值Hg，gx，y的正集合。

因此，回顾（3.17）并将（3.19）与（3.20）相结合，我们得到（3.16）。步骤2）我们证明，对于任意固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，因此KhG，gx，ykβ，ω-var≤ kHg，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ），（3.21）表示x，y∈ E和g，g∈ 满足kf kω-span的Cω（E）≤ M和kgkω-跨度≤ Mk·Kvarde注意到标准变化规范。首先，注意khg，gx，ykβ，ω-var≤ kHg、gx、ykvar+βZEω（z）(R)u*（x，g，a（x，g））（dz）+ZEω（z）(R)u*（y，g，a（y，g））（dz）.因此，足以证明存在αφ>0，这样对于任何x∈ E，a∈\'U，andg∈ 满足kgkω-跨度的Cω（E）≤ M、 我们得到ω（z）’u*（x、g、a）（dz）≤ φω（x）+αφ；（3.22）注意∈ {1} ×U术语φω（x）的添加主要是为了一致性，并且在应用移位后与状态无关，即，由于ω在紧集U上有界，对于任何ξ∈ 通过将常数增加φsupξ，可以将项φω（ξ）包含在αφ中∈Uω（ξ）。因此，设置Z：=γRδf（Xs）ds+g（Xδ），回顾（3.4），并注意到考虑∈ {0}×使用U E、 我们可以重写不等式（3.22）asEx（ω（Xδ）- φω（x））eZ≤ αφExeZ公司. （3.23）设K：=M- Δγkfkω。（3.23）两侧乘以2kφ-b、 注意y<y代表y∈ R、 取两边的对数，就足以显示Exhe2Kφ-b（ω（Xδ）-φω（x））eZi≤ lnKαφφ- b+ln ExeZ公司,相当于ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+Z+d- ux（Z+d）≤ lnKαφφ- b+2Kω（x），（3.24），其中d∈ R是（集中常数），因此kg+dkω≤ M、 注意到Z+d=γZδf（Xs）ds+g（Xδ）+d≥ γkfkωZδ[ω（Xs）+1]ds- M[ω（Xδ）+1]≥ -K+γkfkωZΔω（Xs）ds- Mω（Xδ），长期风险敏感的二元脉冲控制11使用熵效用测度的H¨older不等式，p=2（见Lemma6.1），并回顾（A.3），我们得到- ux（Z+d）≤ K（ω（x）+1）- γkfkωMγkfkω+ M·M（M）。

（3.25）类似地，ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+Z+d≤ ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））+ ux（Z+d），（3.26），其中ux2Kφ- b（ω（Xδ）- bω（x））≤2Kφ- b·M4Kφ- b;ux（Z+d）≤ K（ω（x）+1）- γkfkω·M(-4γkfkω）+M·M（4M）。（3.27）将（3.35）、（3.26）和（3.27）与（3.24）结合起来，我们知道选择（大的）满足αφ的αφ就足够了≥ exp2+φ- bM公司4Kφ- b-γkfkωKMγkfkω+ M级(-4γkfkω）+MK（M（M）+M（4M）+ln（φ- b） K！。这就是（3.21）的证明。步骤3）最后，我们想表明，对于任何固定的M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0，存在β∈ （0、1）和L∈ （0，1）使得KhG，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（3.28）对于任何x，y∈ E和g，g∈ 满足kf kω-span的Cω（E）≤ M和kgkω-跨度≤ M、 让我们Fix M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0，并考虑R∈ R，使得R>2αφ1-φ. 如果x，y∈ 所以ω（x）+ω（y）>R，那么可以证明对于任何β<1和l∈最大值φ、 2+β（2αφ+φR）2+βR, 1.（3.29）不平等（3.28）将成立；详情请参见证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）。另一方面，如果x，y∈ E是ω（x）+ω（y）≤ R然后，我们可以利用经典的跨度收缩方法来处理有界情况；参见例如Stettner（1999）。事实上，在证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）之后，足以证明SUP（x，y）∈\'CRkHg，gx，ykvar<2，（3.30）长期风险敏感二元脉冲控制12其中\'CR：={（x，y）∈ E×E：ω（x）+ω（y）≤ R} ，并考虑所有∈sup（x，y）∈CRkHg、gx、ykvar+β（φR+2αφ），1！，（3.31）对于某些固定β∈ （0，1）满足β<2- sup（x，y）∈CRkHg、gx、ykvarφR+2αφ。（3.32）（3.30）的证明基于矛盾。假设存在序列（xn，yn，fn，gn，An）n∈N、 其中（xn，yn）∈\'CR、fn、gn∈ Cω（E）和An∈ B（E）为kfnkω-span≤ M、 kgnkω-跨度≤M、 和Hfn、gnxn、yn（An）→ 1（作为n→ ∞).

在证明（Pitera&Stettner 2016，引理3）之后∈ E、 a∈\'U，g∈ Cω（E）和A∈ B（E），ω（x）≤ R和kfkω-跨度≤ M、 我们得到了\'u*（x、g、a）（a）≥Eax公司{Xδ∈A}Eax[eγRδf（Xs）ds+g（Xδ）]Eax[（eγRδf（Xs）ds+g（Xδ））-1]≥Eax公司{Xδ∈A}e2（米-γδkfkω）Eax[eZ]≥Eax公司{Xδ∈A}e2（米-γδkfkω）Eax[eZ]，（3.33），其中Z：=-γkfkωRδω（Xs）ds+Mω（Xδ）。使用（3.35）和（A.3）中类似的推理，我们得到了eax[eZ]≤ exp2K max{ω（x），supξ∈Uω（ξ）}+D！，x个∈ E、 （3.34），其中K=M- Δγkfkω和D∈ R是一个固定常数。因此，我们得到了supx∈？CREax[eZ]≤ exp2K max{ω（R），supξ∈Uω（ξ）}+D！。因此，结合（3.33）和Hfn，gnxn，yn（An）→ 1我们获得EA（xn，gn）xn{Xδ∈Acn}→ 0和Ea（yn，fn）yn{Xδ∈An}→ 0.另一方面，从（A.4）中，对于任何n∈ N和（xn，yn）∈\'CR，我们得到EA（xn，gn）xn{Xδ∈Acn}+ Ea（yn，fn）yn{Xδ∈An}≥ cν（Acn）+cν（An）=c>0，导致矛盾。结合步骤1）、2）和3），我们总结了证明。长期风险敏感并矢脉冲控制13接下来，我们证明了迭代序列（Tnγ0）∞n=1在ω-span半范数内有界。提案3.3。对于任何γ<0，存在M∈ R+使得ktnγ0kω-跨度≤ M、 对于n∈ N、 证明。设γ<0。为简洁起见，我们使用符号gn：=Rnγ0和约定g≡ 0.此外，我们定义了x*n： =参数maxx∈Ugn（x）和Z：=Rδf（Xs）ds。

那么，对于任何n∈ N和β>0，我们得到kgn+1kβ，ω-span=supx，y∈埃苏帕∈\'U[uγ，ax（Z+gn（Xδ））+\'c（X，a）]- 苏帕∈\'U[μγ，ay（Z+gn（Xδ））+\'c（y，a）]2+βω（X）+βω（y）≤ 最大值（Kβ，supx，y∈Euγx（Z+gn（xδ））- uγx*n（Z+gn（Xδ））- c（y，x*n） 2+βω（x）+βω（y）），（3.35），其中kβ：=supx，y∈Esupξ∈Uc（x，ξ）- c（y，ξ）2+βω（y）；注意，在（3.35）中，我们使用了以下移位策略：如果在x开始的过程中应用了移位，那么在y开始的过程中应用了相同的移位，Kβ对应于上限值；如果未对从x开始的流程应用移位，则移位到x*nis适用于从y开始的过程。使用（A.2），对于任何ξ∈ U和y∈ E我们得到c（x，ξ）<candc（y，ξ）≥ -k^ckβ，ω（1+βω（y））。因此，对于任何大于0的β，我们有Kβ<∞ 我们可以重写（3.35）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值（Kβ，supx∈Euγx（Z+gn（xδ））- uγx*n（Z+gn（Xδ））2+βω（X）+k^ckβ，ω）。

（3.36）注意到对于任何x∈ E我们有gn（x）≥ uγx*n（Z+gn-1（Xδ））+c（X，X*n）≥ gn（x*n）- k^ckβ，ω（1+βω（x）），（3.37）我们得到μγx*n（Z+gn（Xδ））≥ gn（x*n） +μγx*n（Z- k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））。将H¨older不等式应用于p=2的熵效用测度（见Lemma6.1），我们知道|γx*n（Z- k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））≥ u2γx*n（Z）+u2γx*n个(-k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）），其中，由于（A.3），u2γX*n（Z）≥ u2γx*n-kfkβ，ωZδ（1+βω（Xs））ds≥ -βkfkβ，ω[ω（x*n） +百万(-2γβkf kβ，ω）]- δkfkβ，ω≥ -kf kβ，ω[supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβkf kβ，ω）+δ]，u2γx*n个(-k^ckβ，ω（1+βω（Xδ）））≥ -βk^ckβ，ω[ω（x*n） +百万(-2γβk^ckβ，ω）]- k^ckβ，ω≥ -k^ckβ，ω[supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβk^ckβ，ω）+1]。长期风险敏感二元脉冲控制14因此，设置kβ：=-（kfkβ，ω+k^ckβ，ω）“supξ∈Uω（ξ）+M(-2γβkf kβ，ω）+M(-2γβk^ckβ，ω）+1+δ#，引入cn：=infc∈Rkgn+ckβ，ω我们可以重写（3.36）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值Kβ，supx∈EWn（x）+Kβ, （3.38）式中，wn（x）：=uγx（Z+gn（xδ）+cn）2+βω（x）-gn（x*n） +cn2+βω（x）。接下来，利用熵风险测度相对于风险规避参数γ增加的事实，注意到kgn+cnkβ，ω=kgnkβ，ω-span，并使用假设（A.1）–（A.3），我们得到了μγx（Z+gn（xδ）+cn）2+βω（x）≤ux（Z+kgnkβ，ω-跨度（1+βω（xδ）））2+βω（x）≤Ex[Z+kgnkβ，ω-span（1+β（bω（x）+M（0））]2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ω-span+Ex[Z]1+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kfkβ，ωEx“Rδ（1+βω（xδ））ds1+βω（x）#≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kfkβ，ω（δ+βM（0））。现在，让我们计算β：=（2 supξ∈Uω（ξ））-1.

然后，我们得到wn（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））-gn（x*n） +cn2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））+kgnkβ，ωspan（1+βω（x*n） ）2+βω（x）≤1+βbω（x）+βM（0）2+βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））+4+2βω（x）kgnkβ，ωspan≤5+2βbω（x）+2βM（0）4+2βω（x）kgnkβ，ωspan+kf kβ，ω（δ+βM（0））。因此，存在R>0，使得对于任何n∈ N和x∈ E满足ω（x）>R我们得到wn（x）≤b+1- bkgnkβ，ω-span+kf kβ，ω（δ+βM（0））。（3.39）接下来，我们证明存在一个常数Kβ>0，使得对于任何n∈ N和x∈ CR，其中CR={x∈ E：ω（x）≤ R} ，we getWn（x）≤ Kβ。（3.40）长期风险敏感二元脉冲控制15使用假设（A.4），我们知道存在>0，因此对于任何n∈ N和x∈ CRweget Px[Xδ∈ U]>。此外，需要注意的是∈ U我们有gn（y）≤ gn（x*n） 对于γ<0，熵效用测度是凹的（这意味着μγx（·））≤ a的γx（a·）∈ （0，1）），对于anyn∈ N和x∈ CRwe getWn（x）≤uγx（Z+gn（xδ）- gn（x*n） ）1+βω（x）≤ uγx{Xδ∈U} Z1+βω（x）+{xδ6∈U}(+∞)≤ uγx{Xδ∈U}kfkβ，ω（δ+βZδ（ω（Xs））- ω（x））ds）+{Xδ6∈U}(+∞). （3.41）设Zx：=Rδ（ω（Xs）- ω（x））ds。根据假设（A.3），我们知道SUPX∈EEx【Zx】≤ M（0）<∞.因此，我们知道存在N∈ R使INFX∈CRPx[{Xδ∈ U}∩ {Zx≤ N}]≥ /2. （3.42）组合（3.41）和（3.42），对于任何x∈ CRwe getWn（x）≤ uγx{Xδ∈U}∩{Zx≤N} （kfkβ，ω（δ+βN））+{Xδ6∈U}∪{Zx>N}(+∞)≤γln+kf kβ，ω（δ+βN）。因此，设置Kβ：=γln+kf Kβ，ω（δ+βN），我们得出（3.40）的证明。接下来，结合（3.39）和（3.40），我们知道对于任何n∈ N和x∈ E we getWn（x）≤ 对于常数参数a<1和Kβ，akgnkβ，ω-span+Kβ，（3.43）∈ R+。因此，我们可以重写（3.38）askgn+1kβ，ω-span≤ 最大值Kβ，akgnkβ，ω-span+Kβ+Kβ.

（3.44）使用标准几何收敛参数，我们知道（3.44）意味着常数Mβ的存在∈ R+使得对于任何n∈ N我们得到kgn+1kβ，ω-跨度≤ Mβ。最后，证明了半范数k·kβ、ω-span和k·kω-span与性质krnγ0kω-span=|γ|·kTnγ0kω-span的等价性。长期风险敏感的并矢脉冲控制16将定理3.2与命题3.3相结合，利用巴拿赫不动点定理，我们得到了Bellman方程（3.1）的解；见提案3.4。为简洁起见，我们省略了证明；有关详细信息，请参见《证明》的第二部分（Pitera&Stettner 2016，提案4）。请注意，由于第3.3节的规定，我们得到了任何预定γ<0的Bellman方程的解。特别是，与（Pitera&Stettner 2016，提案4）相反，我们不要求γ接近0。提案3.4。设γ<0。在假设（A.1）–（A.4）下，存在唯一的（直到一个加性常数）wγδ∈ Cω（E）和λγδ∈ R、 Bellman方程（3.1）的解。4二元最优控制问题的解在我们将Bellman方程与相应的二元最优控制问题（2.5）联系起来之前，让我们展示一些补充结果命题4.1。映射γ→ λγδ连续开启(-∞, 0).证据让我们确定一个∈ E、 对于任何γ<0集，wγδ（x）：=wγδ（x）- wγδ（a），x∈ E、 注意，wγδ也是Bellman方程（3.1）的解，从命题3.3我们得到kγwγδkω-span≤ M、 其中M∈ R+是一个固定常数。此外，由于命题3.3中的常数M可以在负γs的任何紧致子集上一致选择，例如G，对于任何x∈ E、 m级∈ N、 和γ∈ G、 利用定理3.2，我们得到| Tmγ0（x）- Tmγ0（a）- γ'wγδ（x）|≤ M（L（M））M（2+ω（x）+ω（a））。（4.1）让我们确定∈ E、 根据命题3.1，映射γ→ Tmγ0（x）和γ→ Tmγ0（a）对于任何m都是连续的∈ N