长期风险敏感并矢脉冲控制

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英文标题：
《Long-run risk sensitive dyadic impulse control》
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作者：
Marcin Pitera, {\\L}ukasz Stettner
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper long-run risk sensitive optimisation problem is studied with dyadic impulse control applied to continuous-time Feller-Markov process. In contrast to the existing literature, focus is put on unbounded and non-uniformly ergodic case by adapting the weight norm approach. In particular, it is shown how to combine geometric drift with local minorisation property in order to extend local span-contraction approach when the process as well as the linked reward/cost functions are unbounded. For any predefined risk-aversion parameter, the existence of solution to suitable Bellman equation is shown and linked to the underlying stochastic control problem. For completeness, examples of uncontrolled processes that satisfy the geometric drift assumption are provided.
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中文摘要：
本文将二元脉冲控制应用于连续时间Feller-Markov过程，研究了长期风险敏感优化问题。与现有文献相比，通过采用权重范数方法，重点研究了无界和非一致遍历情况。特别地，它展示了如何将几何漂移与局部最小化特性相结合，以便在过程以及相关的报酬/成本函数无界时扩展局部跨度收缩方法。对于任何预定义的风险规避参数，证明了合适的Bellman方程解的存在性，并将其与潜在的随机控制问题联系起来。为了完整性，提供了满足几何漂移假设的非受控过程的示例。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Quantitative Differential Optimisation Applications

长期风险敏感二元脉冲控制Marcin Piteraaand Lukasz Stettnerbt该版本：2019年6月18日摘要：本文将二元脉冲控制应用于连续时间Feller-Markov过程，研究了长期风险敏感优化问题。与现有文献相比，通过采用权重范数方法，重点研究了无界和非一致遍历情况。特别地，它展示了如何将几何漂移与局部最小化特性相结合，以便在过程以及相关的报酬/成本函数无界时扩展局部跨度收缩方法。对于任何预先确定的风险规避参数，适当的Bellman方程的解的存在性被证明并与潜在的随机控制问题相联系。为完整起见，提供了满足几何d裂谷假设的非受控过程示例。关键词：脉冲控制、Bellman方程、非一致遍历马尔可夫过程、权重范数、风险敏感控制、熵风险度量SC2010:93E20、93C40、60J251 IntroductionLet(Ohm, F、 F，P）是满足通常条件的连续时间过滤概率空间。特别地，我们假设F={Ft}t∈T、 式中，T=R+，Fis平凡，F=St∈TFt。此外，设X=（Xt）是局部紧空间E中具有值的Feller-Markov过程；为简单起见，weset E=rds，但大多数结果直接转移到一般情况。过程X由形式（τ，ξ）的脉冲控制：在随机时间τ，过程从状态Xτ转移到状态ξ，并遵循其动力学直到下一个脉冲。我们假设移位ξ取紧集U中的值 E、 设V为所有容许脉冲控制策略的空间V={（τi，ξi）}∞i=1，即严格递增（可能无限）马尔可夫时间τi和移位随机变量ξi的序列。

假设X=X（其中X∈ E） 和V∈ V我们使用（^Ohm,^F，P（x，V））表示与相应受控过程x相关的概率空间。为简洁起见，我们省略了该空间的构造；详见Robin（1978）。我们参考了Palczewski&Stettner（2017），其中详细考虑和讨论了类似的脉冲控制框架；见alsoStettner（1982、1989）。波兰克拉科夫贾吉略大学数学学院，电子邮件：marcin。pitera@im.uj.edu.pl，研究由NCN资助，2016/23/B/ST1/00479。波兰华沙波兰科学院数学研究所，电子邮件：l。stettner@impan.pl，研究由NCN资助，2016/23/B/ST1/00479。长期风险敏感二元脉冲控制2本文的主要目的是研究目标函数中嵌入报酬和转移成本函数的风险敏感脉冲控制问题。我们考虑jt（x，V）：=γlne（x，V）“expγZTf（Xs）ds+γ给出的风险规避参数γ<0的风险敏感准则的长期版本∞Xi=1{τi≤T}c（Xτ-i、 ξi）！#，（1.1）针对所有T∈ T、 x个∈ E和容许控制V∈ 五、请注意，进程X具有初始状态X，其动力学取决于控件V。在（1.1）中，函数c:E×U→ R-与轮班执行成本函数相关，函数f:E→ R对应于反向函数，xτ-iis第i个脉冲之前的过程状态（如果同时有多个脉冲，则具有自然含义）。风险敏感控制可被视为风险中性预期单位时间成本控制的非线性扩展，例如Robin（1981、1983）研究的情况；参见Palczewski&Stettner（2017），了解脉冲控制方面的最新贡献。

虽然脉冲控制是最流行的控制形式之一，但在风险敏感的情况下应用标准方法通常会导致与拟变分不等式相关的困难问题；seeNagai（2007），以及其中的参考文献。因此，需要开发替代工具；参见例如Hdhiri&Karouf（2011）。在本文中，我们通过允许无界价值/成本函数和基础过程的非一致性，重新定义并扩展了最初在Adowy&Stettner（2002）中开发的脉冲风险敏感控制的概率方法。有关有界框架中长期风险敏感控制的更一般背景，请参见Fleming&McEneaney（1995）或Di Masi&Stettner（1999）。我们重点研究了可在离散δ-并矢时间网格上应用位移的并矢脉冲控制策略。通过考虑加权规范，我们扩展了Haier&Mattingly（2011）和Pitera&Stettner（2016）提出的框架；我们还参考了Shen等人（2013）、B–auerle&Rieder（2017）以及其中的参考文献。我们的方法基于跨度收缩框架，以几何漂移和局部最小化为中心的一组通用假设；（替代）消失折扣法见Cavazos-Cadena&Hern'andez Hern'andez（2017）及其参考文献。除了将跨度收缩方法推广到无界情况之外，我们还展示了一种简单新颖的长期噪声控制方法，该方法基于H¨older不等式对潜在熵效用的应用。通过将过程分解为不同的组成部分，并应用熵的超加和次加边界（见Lemma6.1），我们能够在极限内消除噪声。这种简单的观察使我们能够在噪音无限的情况下，快速将Bellmansolution与潜在的优化问题联系起来；见命题4.3。该方法非常通用，可用于。

长期风险敏感投资组合优化。例如，on可以通过显示Bellman方程始终对应于最优策略（其中定义），而无需任何其他假设，轻松地确定inPitera&Stettner（2016）中的命题5。本文的组织结构如下。第2节建立了一般设置。特别是，温特介绍和讨论了核心假设，并陈述了其中的主要问题。在第三节中，Weintroducing二元Bellman方程并证明其解的存在。定理3.2说明Bellman算子是收缩ω-跨度范数中的局部收缩，这是对长期风险敏感的并矢脉冲控制的一个核心部分3跨度收缩方法，可以看作是本文的主要结果之一。章节将Bellman方程与相应的二元最优控制问题联系起来（2.5）；本节的主要结果是命题4.3。在第5节中，我们展示了满足假设（A.3）中引入的熵不等式的非控制过程的参考示例；从实用主义的角度来看，这一点很重要，因为这一假设乍一看可能有局限性。最后，在附录6中，我们介绍并证明了一些补充结果，包括熵H¨older不等式的简单证明。2初步假设us fixδ>0，假设Tδ：={nδ}n∈n注意相关的δ-并矢时间网格。我们使用Vδ V todenote所有相关二元脉冲控制策略的空间；详情见Sadowy&Stettner（2002）。对于透明度，对于固定γ<0任意n∈ N、 我们定义Tn：=Nδ，并考虑（1.1）定义asJ（x，V）的二元平均成本长期版本：=lim infn→∞JTn（x，V）Tn。

（2.1）虽然大多数结果可以很容易地扩展到全时域，但仅考虑（2.1）中的离散并矢可以增加透明度，并且在考虑离散Bellman方程时更为自然；如果需要，我们将提供关于如何将我们的框架扩展到fulltime域的其他评论。给定初始状态x∈ E与脉冲控制V∈ 五、 我们定义了相应的熵度量uγ（x，V）：L（^）Ohm,^F，P（x，V））→风险规避参数γ的R∈ R通过设置uγ（x，V）（Z）：=（1/γln E（x，V）[exp（γZ）]γ6=0，E（x，V）[Z]γ=0，其中E（x，V）是对应于P（x，V）的期望运算符。为简洁起见，我们使用uγxto表示熵效用，对应于从x开始的非受控过程∈ E（例如，对于V∈ V使得τi=∞ 对于i∈ N） 。如果没有歧义，我们写|γ，而不是|γxor|γ（x，V）。这同样适用于概率测度P（x，V）以及期望算子E（x，V）。特别注意，（1.1）可以重写为jt（x，V）=uγ（x，V）ZTf（Xs）ds+∞Xi=1{τi≤T}c（Xτ-i、 ξi）！。（2.2）设ω：E→ R+是一个固定的连续权重函数，让Cω（E）表示所有有界的实值连续函数的空间。ω-范数，即函数g:e→ R suchthatkgkω：=supx∈E | g（x）| 1+ω（x）<∞.接下来，我们将提出贯穿本文的假设。在假设（A.3）–（A.4）中，过程X=（Xt）对应于初始状态为X的非受控过程∈ E、 长期风险敏感二元脉冲控制4（A.1）（奖励函数约束）函数f是连续的，kf kω<∞.（A.2）（转移成本函数约束。）函数c是连续的，存在c<0，因此对于所有x∈ E和ξ∈ U我们得到c（x，ξ）≤ c

此外，k^ckω<∞, 式中^c:E→ R-Is由^c（x）给出：=infξ∈Uc（x，ξ）。（A.3）（具有可控噪声的几何漂移。）存在常数b∈ （0，1）和（有限）函数M，M:R→ R、 对于任何γ∈ R和x∈ 我们得到μγxZΔω（Xs）ds≤ ω（x）+M（γ）和uγx（ω（xδ））≤ bω（x）+M（γ）。（2.3）（A.4）（局部二值化）对于任何R>0，都存在d>0和概率测度ν，这样infx∈CRPx[Xδ∈ A]≥ dν（A），A∈ B（E），（2.4），其中CR={x∈ E：ω（x）≤ R} 和νsatis fiesν（U）>0。现在让我们简要地讨论一下这些假设。假设（A.1）和（A.2）是标准假设，允许我们对ω有界函数的空间cω（E）进行操作。出于技术原因，我们假设转移成本始终是严格负的，并且以零为界（c）；这是一个经典的脉冲控制假设。假设（A.3）与非受控过程的几何漂移特性有关。为了简单起见，让我们关注第二个不等式。对于固定x∈ E随机变量ω（Xδ）-bω（x）可以理解为ω-噪声，其熵效用有上界。由于ω（Xδ）的分布- bω（x）可能依赖于x∈ E我们不能从doneinPitera&Stettner（2016）的出发点分割噪音；（2.3）中的全局上界M（γ）与分布水平约束有关。事实上，假设标准概率空间并注意到熵风险度量是定律不变的，我们可以使用一阶随机优势的概念重新表述（A.3）：我们可以假设随机变量Z的存在，使得Z具有有限的矩和随机主导（正部分）ω（Xδ）- 任意x的bω（x）∈ E详情请参见（B–auerle&M–uller 2006，Theorem4.2）。为了获得所有力矩，有限Z必须属于熵风险度量所诱导的Orlicz心脏；seeCheridito&Li（2009）。

例如，当E=R且ω（·）=·······假设（A.3）适用于动力学由dxt=[aXt+g（Xt）]dt+σ（Xt）dWt给出的非受控过程，其中A<0，函数g：R→ R和σ：R→ R+是有界的，wt是标准的布朗运动。更一般而言，（A.3）满足高斯型噪声的要求，例如通过高斯随机向量的上界；我们参考第5节了解更多详情，并参考Pitera&Stettner（2016）进行进一步讨论。假设（A.4）是（局部）二值化特性。与（A.3）相结合，它构成了基础非受控过程的因果性；详情请参见Haier&Mattingly（2011）。对于有界ω，它等价于全局Doeblin条件（一致遍历），而对于长期风险敏感的二元脉冲控制5无界ω，它可能与局部混合条件有关。注意，我们还要求对不变度量ν的支持必须与控制（shift）setU有一个非空的交集。本文的主要目标是找到问题的最优控制（和解决方案）∈VδJ（x，V），（2.5），其中xis是（给定的）初始状态。备注2.1（并矢动力学）。虽然在本文中，我们确定时间步长δ>0，但扩展一般并矢控制情况下的假设可能是有趣的。首先，注意假设（A.1）和（A.2）与δ的基本选择无关。其次，假设（A.3）依赖于δ的选择，例如通过收缩常数带噪声约束Mi（γ）（i=1，2）。

将bandMi（γ）视为δ和letδ的函数→ 0我们应该得到b（δ）→ 1和Mi（γ，δ）→ 0，对于任何γ∈ R、 此外，假设噪声是可除的，则假设lim supδ是合理的→∞Mi（γ，δ）/δ<∞.最后，请注意，假设（A.4）取决于时间网格参数的选择，但它（通常）足以引入d和ν对δ的依赖性，而无需任何额外的统一约束。Bellman方程继Sadowy&Stettner（2002）和Pitera&Stettner（2016）之后，我们定义了并矢脉冲控制的Bellman方程aswγδ（x）+λγδ=max（μγxZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）, supξ∈UuγξZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）+ c（x，ξ）),（3.1）对于x∈ E、 式中λγδ∈ R和wγδ∈ Cω（E）。方程（3.1）可以等价地表示为一般风险敏感离散时间控制问题wγδ（x）+λγδ=supa∈\'\'Uuγ，axZδf（Xs）ds+wγδ（Xδ）+ \'\'c（x，a）, （3.2）其中=（a，a），a∈ {0，1}，a∈ U，\'U={0，1}×U，\'c（x，a）=（0，如果a=0，c（x，ξ）如果a=1，a=ξ，uγ，ax=（uγξ，如果a=（1，ξ），uγxif a=（0，ξ）。在空间Cω（E）上，我们定义了相应的离散时间Bellman算子rγg（x）：=supa∈\'\'Uuγ，axZδf（Xs）ds+g（Xδ）+ \'\'c（x，a）, g级∈ Cω（E），（3.3）长期风险敏感并矢脉冲控制6和相关算子Rγg（x）：=γRγ（g（x）/γ。对于任何g∈ Cω（E）和x∈ 我们用a（x，g）表示Tγg（x）的最大值。回顾Protcher变换在熵效用测度的稳健（双重、双共轭）表示中定义了最大化测度（参见Dai Pra et al。

（1996））对于任何g∈ Cω（E），x∈ E，a∈U和可测量集B，我们定义了相关的测量u*（x，g，a）（B）：=EaxheγRδf（Xs）ds+g（xδ）{xδ∈B} iEaxheγRδf（Xs）ds+g（Xδ）i，（3.4），其中eax：=u0，ax=（Eξ，如果a=（1，ξ），Exif a=（0，ξ）。（3.5）有关更多详细信息，请参阅Itera&Stettner（2016），其中（3.4）的等价物定义为不等式（29），并讨论了类似情况下熵效用的双重表示；有关Esscher变换的更多详细信息，请参见alsoGerber（1979）。提案3.1。在假设（A.1）–（A.3）下，算子Rγ和Tγ将集合Cω（E）转换为自身。此外，对于任何g∈ Cω（E）映射（x，γ）7→ Tγg（x）和（x，γ）7→ Rγg（x）在E×上是连续的(-∞, 0).证据我们只给出Rγ的证明，因为Tγ的证明是类似的。设γ<0和g∈ Cω（E）。首先，让我们证明kRγgkω<∞. 对于x∈ E我们设置F（x）：=μγxRδf（Xs）ds+g（Xδ）.使用（A.1）、（A.3）和熵效用测度的单调性，对于任何x∈ E we getF（x）≤ uγxkfkωZδ（ω（Xs）+1）ds+kgkω（ω（Xδ）+1）≤ uγxkfkωZδω（Xs）ds+kgkωω（Xδ）+ （δkf kω+kgkω）。（3.6）现在，使用（A.3）和熵效用测度的H¨older不等式，p=2（见引理6.1），我们知道对于任何x∈ 我们得到μγxkfkωZδω（Xs）ds+kgkωω（Xδ）≤ uγ/2xkfkωZΔω（Xs）ds+ u-γx（kgkωω（xδ））≤ （kfkω+kgkω）[ω（x）+M（γkfkω/2）+M(-γkgkω）]。因此，supx∈EF（x）1+ω（x）<∞. 同样，我们可以证明infx∈EF（x）1+ω（x）>- ∞ . 因此，我们得到kf kω<∞. （3.7）现在，注意到ω是连续的，U是紧的，对于任何x∈ E we getsupξ∈U（F（ξ）+c（x，ξ））≤ kF kωsupξ∈Uω（ξ）+1！+c<∞. （3.8）长期风险敏感二元脉冲控制7结合（3.7）和（3.8），我们得到supx∈ERγg（x）1+ω（x）<∞. 然后，注意Rγg（x）≥ F（x），我们得到infx∈ERγg（x）1+ω（x）≥ infx公司∈EF（x）1+ω（x）>-∞,从而得出kRγgkω<∞.其次，让我们证明映射（x，γ）7→ Rγg（x）在E×上是连续的(- ∞ , 0).