用最优运输法校准局部随机波动率模型

如果波动率σ（t，Z，V）≡√V和相关性η（t，Z，V）为常数，LSV模型简化为纯赫斯顿模型。此外，如果σ（t，Z，V）与变量V无关，则该模型等效于局部波动率模型。考虑概率度量P∈ Pand一个二维P半鞅Xt。如果P的特征为（αP，βP），则过程x具有动力学（19），即Xt=（Zt，Vt），使得（αPt，βPt）=“rt- qt-σtκ（θ- Vt）#，“σtηtξ√Vtσtηtξ√VtσtξVt#！，t型∈ [0，T]，（20），函数σT=σ（T，Zt，Vt），ηT=η（T，Zt，Vt）。回想一下，假设参数（κ、θ、ξ）是给定的。此外，RTA和QT是已知的，VT是一个状态变量。因此，在（20）中唯一的未知变量是σ和ηt。正如我们将在下面看到的，σt将是校准中唯一的自由变量。Givenm欧洲选项，价格c∈ Rm+，到期日τ=（τ，…，τm）∈ （0，T）和贴现付款sG=（G，…，Gm），其中Gi:R→ R+（例如，Gi（x）=e-Rτir（s）ds（ex- K） +如果第i个期权是一个带有行号K和到期时间τi的欧洲看涨期权，其中x代表x的第一个元素）。如果XT的初始分布u=δ（Z，V），并且精确校准到这些欧洲选项，则∈ P（u，τ，c，G）。建立校准LSV模型的一种方法是求解V=infP∈P（u，τ，c，G）EPZTF（t，Xt，αPt，βPt）dt，（21），其中F是一个合适的凸成本函数，它迫使（αP，βP）以（20）的形式转换。选择成本函数F的一种可行方法是，在保持βPin S+的同时，尽量减小βPand的每个元素与参考值之间的差异。然而，通常无法找到近似F的显式公式*. 因此，需要进行数值优化，这使得该方法的计算成本很高。为了克服这个问题，我们选择相关性ηt=√Vtσt′η，t∈ 【0，T】，（22）其中，’η是通过校准纯Heston模型获得的常数相关性（以及κ，θ，ξ）。

在这种情况下，βPtis为正半定义当且仅当σt≥ (R)ηVTT≤ T图1：给定“x”和给定“s”的函数H（x，\'x，s）。定义4.2。定义函数H:R×R+×R→ R∪ {+∞} 这样H（x，’x，s）：=a（x- s'x- s） 1+p+b（x- s'x- s） 1个-p+c如果x>s和'x>s+∞ 否则参数p是一个大于1的常数，而a、b、c是确定的常数，以使函数在x=(R)x时最小H=0。给定满足x和s的x>s，函数H在x中是凸的，在x处最小。只有当x>s时，它才是有限的。在数值示例中（见下文第5.2和5.3节），参数p设置为4。图1给出了H的Aplot o f。然后，我们将成本函数定义如下。定义4.3。成本函数F:R×R×R×S→ R∪ {+∞} 定义为asF（t，Z，V，α，β）：=（H（β，V，(R)ηV）if（α，β）∈ Γ（t，V）+∞ 否则，（23）其中凸集Γ定义为Γ（t，V）：={（α，β）∈ R×S |α=R（t）- q（t）- β/2, α= κ(θ - V），β=β=(R)ηξV，β=ξV}。备注4.4。函数H通过选择“x=V”（见备注4.1）惩罚LSV模型与纯Heston模型的偏差。这种方法旨在保留Hestonmodel的吸引人的功能，同时仍与所有市场价格相匹配。我们还将s=(R)ηV设置为确保σ>ηV，因此β保持正定义，相关性η为[-1, 1]. 集合Γ通过限制Γ中的特征，迫使XT具有形式（19）的动力学，η在（22）中定义。

特别是，它保持风险中性。通过应用命题3.5，（21）与成本函数（23）的对偶公式如下：V=supλ∈Rm（mXi=1λici- φλ（0，Z，V）），（24），其中φλ是HJB方程的粘度解tφλ+mXi=1λiGiδτi+supβ（r）- q-β)Zφλ+κ（θ- 五）Vφλ+？ηξVZVφλ+βZZφλ+ξVV Vφλ- H（β，V，’ηV）= 0，（25），终端条件φλ（T，·）=0。给定任意λ∈ Rm，我们可以通过数值求解HJB方程（25）来计算φλ（0，Z，V）。可通过标准优化算法找到最佳λ（见下文第5.1节）。通过提供目标的梯度，可以提高算法的收敛性。设βλ表示（25）中求解s上确界的最佳β，它也隐式地依赖于λ。事实上，求解（25）中的上确界相当于求解σ的以下方程：(ZZφλ- Zφλ）/2=σH（σ，V，(R)ηV），（26），可获得闭式解。我们也用Pλ表示∈ Pa概率度量的特征是（20）中定义的（αPλ，βPλ），（σt，ηt）=（q（(R)βλ）t，(R)ηqVt/（(R)βλ）t），t≤ T引理4.5。定义J（λ）=Pmi=1λici- φλ（0，Z，V）。J（λ）相对于λican的梯度计算如下：λiJ（λ）=ci- EPλGi（Xτi），i=1，m、 （27）此外，EPλGi（Xτi）=φ′（0，Z，V），其中φ′解tφ′+（r- q-βλ)Zφ′+κ（θ- 五）Vφ′+’ηξVZVφ′+’βλZZφ′+ξVV Vφ′=0，（28），终端条件φ′（τi，·）=Gi。证据给定λ和相关的βλ，HJB方程（25）简化为tφλ+mXi=1λiGiδτi+（r- q-βλ)Zφλ+κ（θ- 五）Vφλ+？ηξVZVφλ+(R)βλZZφλ+ξVV Vφλ- H（(R)βλ，V，(R)ηV）=0。（29）由于λ、φλ和'βλ是隐式相关的，通过采用（29）的隐式部分微分来计算φ′：λiφλ对于任何i=1。

，m，我们得到以下PDEtφ′+（r- q-βλ)Zφ′+κ（θ- 五）Vφ′+’ηξVZVφ′+’βλZZφ′+ξVV Vφ′=-终端条件φ′（T，·）=0，（30）的GiΔτi.（30）可通过费曼-卡克公式求解（参见Karatzas和Shreve，1991，定理7.6）。因此，φ′（0，Z，V）=EPλGi（Xτi）。此外，用φ′（T，·）=0求解（30）等价于用φ′（τi，·）=Gi求解（28）。证明已完成。备注4.6。请注意，EPλGi（Xτi）是由XtunderPλ计算的第i个欧洲pean期权的价格，我们将其称为模型价格，Ci是市场价格。我们可以执行蒙特卡罗模拟来有效地计算分配选项的模型价格，而不是对每个选项求解（30）次。然而，为了精确起见，我们仍然选择在下面的数值示例中求解（30）。此外，由于梯度减小到零，而解决方案正朝着最佳解决方案移动，因此优化过程可以解释为将模型XT与市场价格相匹配。5数值方面5.1数值方法在本节中，我们预先发送了一种数值方法来解决对偶公式。为了缩短符号，从现在开始，我们只需将φ写成φλ。从初始λ=λ开始（例如，将其设置为零向量），我们求解HJB方程（25）以计算φ（0，Z，V），从而计算J（λ）。然后，Jis ma在λ上最大化∈ rm通过优化算法。特别是，我们采用了L-BFGSalgorithm（Liu和Nocedal，1989），并获得了良好的收敛性。通过提供梯度，可以加快优化过程J（λ），可通过（27）进行数值计算。我们测量了算法1：LSV校准数据：欧洲期权的市场价格结果：匹配所有市场价格的校准OT-LSV模型1设置初始λ2 do/*解HJB方程*/3，k=NT- 1.如果tk+1等于任何校准选项的成熟度，则为0 do4。

然后5φtk+1← φtk+1+Pmi=1λiGi1（tk+1=τi）6 end7近似σtkby求解（26）和φtk+18在t=tk9端用ADI方法求解HJB方程（25）/*计算模型价格和梯度*/10求解（28）用ADI方法计算模型价格11计算梯度J（λ）乘以（27）12通过L-BFGS算法更新λ13，而kJ（λ）k∞> 梯度上最大绝对值的最优性。换句话说，通过设置阈值，当达到以下停止标准时，算法终止：kJ（λ）k∞≤ .为了求解HJB方程（2 5），我们将交替方向隐式（ADI）方法与中心差分格式结合使用。在下面的数字示例中，我们使用了来自于In’t Hout和Foulon（2010）的Douglasscheme。给定λ，我们反向求解HJB方程。考虑时间间隔[0，T]的离散化{tk}，使得0=T<T<···<tNT=T，NT∈ N在不丧失一般性的情况下，我们假设集合（τ） {tk}。在每个时间步tk，我们通过φ=φtk+1的解（26）近似σtkb，可以找到解析解。在t=tk时，使用近似的σtk，通过有限差分法求解HJB方程（25）。注意，σ的近似模式与Ren et al.（2007）中用于近似杠杆函数的模式相似。设^τibe为集合（τ）中的一个元素，使得∪Ki=1{τi}=集（τ），0=：τ<τ<…<^τK=T（见第3.7节集合（τ）和K的定义）。用D表示空间计算域，用D是D的边界。数值求解HJB方程（25）时，我们对空间尺寸施加以下边界条件：i=1。

Kxφ（t，x）=xφ（^τ）-i、 x），（t，x）∈ 【^τi】-1，^τi）×D、 此外，我们设置了一个足够大的D，以减少基本条件的影响。为了处理由Dirac delta项的存在引起的跳跃不连续性，我们可以在由成熟度分隔的区间内逐区间求解HJB方程，并且跳跃不连续性可以并入每个区间内HJB方程的终端条件。更准确地说，如果tk+1等于任何校准选项的成熟度，我们通过将PMI=1λiGi1（tk+1=τi）添加到φtk+1来合并跳跃不连续性。算法1总结了数值方法。由于HJB方程的非线性，当时间步长太大时，通过求解（26），用φ=φtk+1on/时间步长来近似σtkb可能不准确。因此，我们通过包含一个迭代步骤来略微修改该算法，以提高σtk近似的精度。在文献中，这一迭代步骤被称为政策迭代，参见Ma和Forsyth（2017）。图2：波动率函数σ（t，Z，V）在示例1中，特别是在每个时间步tk，我们首先通过φ=φtk+1的解（2）来近似σtkb。接下来，我们通过用σtk求解HJB方程（25）来获得φtkb，然后通过用φ=φtk求解（26）来近似σtkagain。重复此过程，直到φtkconverge。为完整起见，算法2中总结了带有策略迭代的改进数值方法。为了准确起见，我们在第5.2节和第5.3节中都使用了算法2。在我们的实验中，我们注意到，该算法可以提供统计校准结果，即使是粗糙的网格。然而，确保网格足够精确至关重要，因为我们不想将错误的模型价格校准为校准期权价格。

事实上，我们观察到，由于梯度的数值近似更适合于较细的网格，因此算法在较细的网格中收敛更快。5.2数值示例：模拟数据在本节中，我们提供了两个带有模拟数据的数值示例，以演示校准方法。在这两个例子中，无风险利率设置为常数r=0.05，股息收益率设置为q=0。对于两个模型，Z=ln 100，V=0.04。我们考虑空间计算域D=[Z]上的均匀网格-4.√五、 Z+4√五] ×[0，0.5]，每个尺寸使用101个点。我们还可以考虑在时间间隔[0，1]上使用NT=100的均匀网格。LSV模型被校准为一组欧洲看涨期权，这些看涨期权由赫斯顿模型在给定参数下生成。为清楚起见，我们将LSV模型称为OT-LSV模型，将赫斯顿模型称为赫斯顿生成模型。期权价格按{0.2、0.4、0.6、0.8、1.0}的到期日和18种不同的删除线计算- 1.4√五、 Z+1.4√五] 。图3：示例25.2.1示例1中的函数σ（t，Z，V）/V在第一个示例中，我们使用参数（κ，θ，ξ，’η）=（0.5，0.04，0.16，-0.4）适用于OT-LSV模型和赫斯顿生成模型。这个例子代表了一个普通的情况，因为如果我们对两个模型使用相同的参数集，dua l公式的最优解是零向量λ=0∈ Rm，因此V=0。在这种情况下，根据问题1的最佳度量，σ（t，Z，V）=V，η（t，Z，V）=η。设置阈值=10-6、取得了预期的效果。σ（t，Z，V）的曲线图如图2.5.2.2示例2所示。在第二个示例中，我们给出了OT-LSV模型和Heston generatingmodel的不同参数（见表1）。如备注4.1所述，如果σ（t，Z，V）与V无关，则OT-LSV模型可简化为LV模型。

此外，众所周知，LV模型可以校准为任何无套利期权价格。在本例中，赫斯顿发电模型的特征超出了成本函数F中的Γ，因此赫斯顿发电模型将导致有限的成本。然而，由于生成的期权价格是无套利的，OT-LSV模型仍然可以实现有限成本，并且问题是可以接受的，即P（u，τ，c，G）6= 和V<+∞.κθξηHeston生成模型2.0 0.09 0.10-0.6OT-LSV模型0.5 0.04 0.16-0.4表1：通过设置阈值=0.0005，我们获得了示例2中Heston生成模型和OT-LSV模型的参数。表2给出了选项子集的校准结果。如果σ的形式为σ（t，Z，V）=L（t，Z）V，如图4所示：示例2函数L中的相关函数η（t，Z，V），则L（t，Z）被称为杠杆函数，OT-LSV模型恢复了大多数情况下考虑的传统SV模型。因此，我们在图3中绘制函数σ（t，Z，V）/V，以与L（t，Z）进行比较。图4还提供了相关函数η（t，Z，V）的曲线图。最后，我们在图5中显示了赫斯顿生成的期权价格和OT-LSV生成的期权价格的隐含波动性。

我们可以看到，OT-LSV模型与赫斯顿生成的期权价格进行了很好的校准。4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85对数删除0.210.220.230.240.250.260.270.28隐含波动率（IV）隐含波动率校准OT-LSV（T=1.0）校准OT-LSV（T=0.8）校准OT-LSV（T=0.6）校准OT-LSV（T=0.4）校准OT-LSV（T=0.2）赫斯顿生成的期权图5：赫斯顿生成期权的隐含波动率和校准OT-LSV模型不充分2饱和度测井走向隐含vol（Heston）隐含vol（OT-LSV）错误4.3492 0.2396 0.2396 1.55E-054.4452 0.2291 0.2291 1.09E-06T=0.2 4.5732 0.2199 0.2199 8.89E-064.7012 0.2138 0.2138 8 8.56E-064.8292 0.2123 0.2124 2 2.99E-064.3492 0.2488 0.2488 1.82E-074.4452 0.2422 0.2422 3.93E-06T=0.4 4.5732 0.2359 0.2359 2.03E-064.7012 0.2303 0.2303 2.69E-064.8292 0.2257 0.2257 5.20E-074.3492 0.2576 0.25768.15E-064.4452 0.2523 0.2523 2.14E-07T=0.6 4.5732 0.2471 0.2471 2.42E-064.7012 0.2423 0.2423 6.52E-074.8292 0.2378 0.2378 3.55E-064.3492 0.2646 0.2646 1.97E-054.4452 0.2600 0.2600 1.82E-06T=0.8 4.5732 0.2555 0.2555 2.72E-064.7012 0.2512 2 0.2512 1.81E-064.8292 0.2472 0.2472 2.13E-064.3492 0.2699 0.2699 4.08E-064.4452 0.2659 0.2659 6.81E-07T=1.0 4.5732 0.2620 0.2620 1.44E-064.7012 0.25810.2581 1.54E-064.8292 0.2544 0.2544 7.30E-07表2：示例25中赫斯顿生成模型和校准的OT-LSV模型生成的期权的隐含相对性子集。数值示例：外汇市场数据在本示例中，我们根据Tian等人（2015）提供的外汇期权数据校准OT-LSV模型。期权数据和国内外收益率列于表4和表5。参数（κ、θ、ξ、η）如表3所示，这些参数是通过（粗略地）将标准赫斯顿模型校准到市场期权价格而获得的。

在这种情况下，2κθ/ξ=0.169<< 1和严重违反伐木条件。参数κθξ？ηZVValue 0.8721 0.0276 0.5338-0.3566 0.2287 0.012表3：外汇市场数据示例中OT-LSV模型的参数。对于数值设置，空间计算域设置为D=[-0.6，1.0]×[0，2]，每个尺寸有101个点。为了提高精度，同时保持合理的计算时间，我们在D上使用非均匀网格，并在一个圆（Z，V）上放置更多点（参见In’t Hout and Foulon，2010，第2.2节）。对于时间间隔[0，5]，我们使用30个时间步，在任意两个连续到期日之间具有相等的s步大小，例如（0，1/12）中的30个时间步和（1/12，1/6）中的30个时间步等等。由于有10个时间步（见表4），我们总共有300个时间步，用于5年。设置=6×10的阈值-6，我们获得了exac t校准。模型隐含波动率和市场隐含波动率之间的最大差异小于1个基点。图6显示了市场数据、未校准LSV模型和OT校准LSV模型的短期到期期权（1个月和3个月）的隐含波动性。图7显示了长期期权（2年和5年）的隐含波动率。致谢法国巴黎银行一直支持定量金融和投资战略中心。一、 郭获得了澳大利亚研究委员会（DP170101227）的部分支持。S