用最优运输法校准局部随机波动率模型

给定u、τ、c和G，我们希望发现v=infP∈P（u，τ，c，G）EPZTF（αPt，βPt）dt。如果P（u，τ，c，G）为非空且上述上限为有限值，则该问题可接受。众所周知，扩散过程在x e d次的边际分布在弱意义上解决了福克r–普朗克方程。Figalli（2008）和Trevisan（2016）给出了相反的结果。为简洁起见，我们写EPt，x：=EP[·| Xt=x]。作为Trevisan（2016）中It^o公式和定理2.5的直接对比，我们引入以下引理。引理3.1。让P∈ PandρPt=ρP（t，·）=Po 十、-1tbe x的边际分布，P，t≤ T那么ρPis是福克-普朗克方程的弱解：tρPt+x·（ρPtEPt，xαPt）-Xi，jij（ρPt（EPt，xβPt）ij）=0 in[0，T]×Rd，ρP=δXin Rd.（2）此外，还存在另一个概率测度P′∈ P、 以（αP′，βP′）为特征，在此条件下，x具有相同的边缘，ρP′=ρP，是一个马尔可夫过程求解（dXt=αP′（t，Xt）dt+（βP′（t，Xt））dWP′t，0≤ t型≤ T、 X=X，（3）其中WP′是一个P′-布朗运动，αP′（T，Xt）=EPt，XtαPtandβP′（T，Xt）=EPt，XtβPt。上述引理提供了一个通过（3）形式的马尔可夫过程研究半鞅的解。值得注意的是，通过在固定时间匹配边缘，使用扩散过程来模拟It过程的想法可以追溯到Gyngy（1986）的经典模仿定理。Brunick和Shreve（2013）后来放松了Gy"ongy模仿定理的一致性条件。事实上，如果X是P下的It^o过程，引理3。1可以被视为Brunick和Shreve（2013，推论3.7）的重新表述，其构建方法完全不同。（3）中的马尔可夫过程在文献中也被称为马尔可夫投影。

注意，在Brunick和Shreve（2013）中，尽管给出了It^o过程的ma in结果，但作者首先提供了半鞅的更多一般结果（参见Brunick和Shreve（2013，定理7.1）），然后通过It^o表示定理证明了It^o过程的主要结果。因此，Brunick和Shreve（2013）的结果也可以证明引理3.1。定义3.2。将Ploc（u，τ，c，G）定义为P（u，τ，c，G）的子集，以便在任何P∈Ploc（u，τ，c，G），X是一个马尔可夫过程，其形式为（3）。引理3.3。如果P（u，τ，c，G）不为空，则Ploc（u，τ，c，G）不为空。此外，对于anyP∈ P（u，τ，c，G），存在一个P′∈ Ploc（u，τ，c，G），使得X在P和P′下具有相同的边缘。证据假设P（u，τ，c，G）对于任何P都不是t空的∈ P（u，τ，c，G），引理3.1，存在sp′∈ Psuch认为X是一个具有相同边缘ρP′=ρPand的马尔可夫过程，其形式为（3），系数（αP′（t，Xt），βP′（t，Xt））=（EPt，XtαPt，EPt，XtβPt）。由于ρP′=ρP，X具有初始边缘u，满足EP′[Gi（Xτi）]=cif，所有i=1，m在P和P′下。因此，P′∈Ploc（u，τ，c，G）。应用引理3.3，利用成本函数的凸性，我们得到如下结果：命题3.4。给定u、τ、c和G，则nV=infP∈P（u，τ，c，G）EPZTF（αPt，βPt）dt=infP∈Ploc（u，τ，c，G）EPZTF（αP（t，Xt），βP（t，Xt））dt。（4） 证明。如果P（u，τ，c，G）为空，则Ploc（u，τ，c，G）为空，因为Ploc（u，τ，c，G） P（u，τ，c，G）。因此，（4）保持不变，V=+∞.如果P（u，τ，c，G）不为空，根据引理3.3，Ploc（u，τ，c，G）不为空。

对于任何P∈ P（u，τ，c，G），设P′∈ Ploc（u，τ，c，G）是一个概率度量，使得X在P和P′下具有相同的边缘。应用Jensen不等式和条件期望的tower性质，我们得到了epztf（αPt，βPt）dt=EPZTEPt，XtF（αPt，βPt）dt≥ EPZTF（EPt，XtαPt，EPt，XtβPt）dt=EP′ZTF（αP′（t，Xt），βP′（t，Xt））dt。（5） 最后一个epi被EP′bec替换，因为X的边缘在P和P′下是相同的。SincePloc（u，τ，c，G） P（u，τ，c，G），取所有P的最大值∈ 左侧的P（u，τ，c，G）和整个P′∈ Ploc（u，τ，c，G）在（5）的右侧，我们得到了所需的结果。命题3.4表明，只需考虑Ploc中的概率度量（u，τ，c，G）。因此，通过引理3中建立的连接。问题1可以通过PDE方法进行研究。根据Benamou和Brenier（2000）提出的经典最优运输的Benamou-Brenier公式，我们介绍了以下问题：问题2（用于计算的PDE）。给定u，τ，c和G，我们要求解v=infρ，α，βZTZRdF（α（t，x），β（t，x））ρ（t，dx）dt，（6）其中的所有（ρ，α，β）∈ C（[0，T]，P（Rd）-w*)×L（dρtdt，Rd）×L（dρtdt，Sd）满足（在分布意义上）tρ（t，x）+x·（ρ（t，x）α（t，x））-Xi，jij（ρ（t，x）βij（t，x））=0，（7）ZRdGi（x）ρ（τi，dx）=ci，i=1，m、 ρ（0，·）=u。（8） （6）中的积分交换由Fubini定理证明，因为F是非负的。关于测量ρ在时间上的弱连续性，读者可以参考Loeper（2006，定理3）。根据下面第3.2节和第3.3节的结果，我们将介绍问题2的dua l公式。在下面的命题中，Cb（Rd）是具有高达2阶有界偏导数的两次连续可微函数的空间，它具有高达2阶的所有偏导数的上确界给出的范数。

φλ的下标表示φ通过HJB方程对λ的隐式依赖。第3.3节将给出（10）粘度溶液的定义和证明。提案3.5（双重表述）。如果问题1可以接受，则nV=supλ∈Rm（mXi=1λici-ZRdφλ（0，x）du），（9），其中φ是HJB方程的粘度解tφλ+mXi=1λiGiΔτi+F*(xφλ，xφλ）=0，in[0，T）×Rd，（10），终端条件φλ（T，·）=0。此外，如果存在（ρ，α，β）∈ C（[0，T]，P（Rd）- w*) ×L（dρtdt，Rd）×L（dρtdt，Sd）满足（7）和（8）（在分布意义上），则得到问题2的极限。如果某个λ达到上确界*∈ RMAD（ρ，α，β）是问题2的最优解，那么（α，β）由（α，β）=F*(xφλ*,xφλ*), dρtdt- 几乎无处不在。（11） 在结束本节之前，值得对问题1的可采性发表评论。为了简化我们的陈述和论点，我们选择将可采性作为假设。通过一些修改，可以从原始问题中移除此假设，并仍然获得对偶性。特别是，如果问题不可接受，对偶的双方都将是有限的。然后，描述问题1的可接受性对应于检查双重问题的完整性，可以看作是对经典最优运输问题的Strassen理论的更精细的模拟。3.2二元性本节致力于通过密切遵循Loeper（2006，第3.2节）建立二元性（另见Brenier，1999；Huesmann和Trevisan，2019）。定理3.6。如果问题1允许，则nV=supφ，λ（mXi=1λici-ZRdφ（0，x）du），（12），其中上确界接管所有（φ，λ）∈ BV（[0，T]，Cb（Rd））×rm满足tφ+mXi=1λiGiΔτi+F*(xφ，xφ）≤ 0 in[0，T）×Rd，（13）和φ（T，·）=0。

此外，如果存在（ρ，α，β）∈ C（[0，T]，P（Rd）-w*)×L（dρtdt，Rd）×L（dρtdt，Sd）满足（7）和（8）（在分布意义上），则得到问题2的极限。证据证明依赖于在fconvex分析应用中起关键作用的Fe-nchel–Rockafellar定理。可以注意到，目标函数（6）在（ρ，α，β）中不是凸的，因为F（α，β）ρ在（ρ，α，β）中不是凸的。正如我们将在下面看到的，（6）可以写成另一个函数关于（ρ，’A：=αρ，’B：=βρ）和（’A，’B）的共凸c共轭（始终是凸的）对于ρ是绝对连续的。此外，约束（7）和（8）在（ρ，’A，’B）中是线性的。因此，在整个证明过程中，我们将转而研究（ρ，\'A，\'B）。为简单起见，我们将分别为α（t，x）ρ（t，dx）dt和β（t，x）ρ（t，dx）dt在短内写d'A和d'B。以以下弱形式制定约束条件（7）和（8）：φ ∈ C∞c（λ），Z∧tφdρ+xφ·d'A+xφ：d'B+ZRdφ（0，·）du=0，φ（T，·）=0（14）λ ∈ Rm，Z∧mXi=1λiGiΔτidρ-mXi=1λici=0。（15） 其中C∞c（∧）是∧上具有紧支集的光滑函数空间。因此，问题2可以表示为以下鞍点问题：V=infρ，\'A，\'Bsupφ，λZ∧Fd’Adρ，d’Bdρdρ- tφdρ- xφ·d'A-xφ：d'B-ZRdφ（0，·）du-Z∧mXi=1λiGiΔτidρ+mXi=1λici.（16） 证明的策略是首先构造一个函数Φ，其凸共轭Φ*等于问题2的目标函数，并构造另一个函数ψ，其凸共轭ψ*与（16）中的其余部分相等，因此V=infρ，\'A，\'B（Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）。

然后，应用芬切尔-罗卡费拉定理建立了对偶性。采用Huesmann和Trevisan（2 019）的术语，如果满足esr+tφ+mXi=1λiGiΔτi=0，a+xφ=0，b+xφ=0。如果我们从Cb（λ，X）中选择（r，a，b），通过上述第一个等式，tφ是一个度量，因为存在狄拉克δ函数。因此，φ在[0，t]上相对于t有界变化，并且在t=τi时可能存在跳跃不连续性。现在，定义泛函Φ：Cb（λ，X）→ R∪ {+∞} 和ψ：Cb（λ，X）→ R∪ {+∞} 如下所示：Φ（r，a，b）=（如果r+F，则为0*（a、b）≤ 0,+∞ 否则，ψ（r，a，b）=ZRdφ（0，x）du-mXi=1λicif（r，a，b）由BV（[0，T]，Cb（Rd））×rm中的（φ，λ）表示，其中φ（T，·）=0+∞否则请注意，ψ定义良好。如果ψ（r，a，b）<+∞ 对于由一些（φ，λ）表示的一些（r，a，b），则（φ，λ）满足约束（14）和（15），否则我们可以在（16）中任意缩放（φ，λ），则v变得无界。假设（r，a，b）可以用（φ，λ）和（|φ，|λ）表示，那么t（^φ）-φ）+mXi=1（^λi-λi）GiΔτi=0。（17） 将（17）与满足（15）和ρ（0，·）=u的任何ρ积分，我们得到了^φ（0，x）du-Pmi=1^λici=RRdφ（0，x）du-Pmi=1|λici，因此ψ的值不取决于（φ，λ）的选择，因此ψ定义良好。用Φ表示*和ψ*Φ和ψ的凸共轭。对于Φ，其凸共轭Φ*: Cb（λ，X）*→ R∪ {+∞} 由Φ给出*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）{h（r，a，b），（ρ，a，b）i；r+F*（a、b）≤ 0}.如引理A.1所示，如果我们限制Φ*到M（λ，X），然后Φ*（ρ，\'A，\'B）=Z∧Fd’Adρ，d’Bdρdρifρ∈ M+（λ，X）和（\'A，\'B）<< ρ,+∞ 否则下一步，ψ*: Cb（λ，X）*→ R∪ {+∞} 由ψ给出*（ρ，\'A，\'B）=sup（r，A，B）（h（r，A，B），（ρ，\'A，\'B）i-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici），其中上确界接管所有三元组（r，a，b）∈ Cb（λ，X）表示为BV（[0，T]，Cb（Rd））×Rm中的（φ，λ）。

关于（φ，λ），ψ*（ρ，\'A，\'B）=supφ，λ（h(-tφ-mXi=1λiGiΔτi，-xφ，-xφ），（ρ，’A，’B）i-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici）。正如引理A.2所证明的，目标V可以表示为V=inf（ρ，\'A，\'B）∈M（λ，X）（Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）=inf（ρ，\'A，\'B）∈Cb（λ，X）*(Φ*+ Ψ*)（ρ，\'A，\'B）。让Om×ndenote表示一个大小为m×n的空矩阵。考虑点（r，a，b）=(-1，Od×1，Od×d），可表示为（φ，λ）=（T-t、 Om×1）。因为F是非负的，在(-1，Od×1，Od×d）我们有-1+F*（外径×1，外径×d）=-1.- infα∈Rd，β∈SdF（α，β）<0。这表明Φ(-1，Od×1，Od×d）=0，ψ(-1，Od×1，Od×d）=0。因此，在(-1，Od×1，Od×d），Φ相对于均匀nor m是连续的（自F*is continuous indom（F*)), ψ是有限的。此外，由于凸泛函Φ和ψ取(-∞, +∞],所有必要的条件都已满足，以应用芬切尔-罗卡费拉对偶理论（见Brezis，2011年，第1章）。然后我们得到v=inf（ρ，\'A，\'B）∈Cb（λ，X）*{Φ*（ρ，\'A，\'B）+ψ*（ρ，\'A，\'B）}=sup（r，A，B）∈Cb（λ，X）{-Φ(-r-一-（b）- ψ（r，a，b）}，实际上达到了最大值。因此，V=sup（r、a、b）-ZRdφ（0，x）du+mXi=1λici；-r+F*(-一-（b）≤ 0,其中上确界限制为（φ，λ）表示的所有（r，a，b）∈ BV（[0，T]，Cb（Rd））×Rm。用φ（T，·）=0的（φ，λ）表示（r，a，b），我们得到了所需的结果。3.3粘度解采用粘度解的概念，可以证明目标相对于φ的上确界是通过HJB方程（10）的粘度解实现的。由于（10）中存在Diracdelta函数，我们将引入粘度溶液的适当定义，允许在时间上出现跳跃不连续性。定义3.7。用se t（τ）表示向量τ的项集，用K表示集（τ）的基数。Lett=0，我们定义不相交的间隔Ik：=[tk-1，tk）这样k[k=1Ik=[0，T），其中tk-1<tk和tk∈ 设置（τ）所有k=1。

K定义3.8（粘度溶液）。对于任何λ∈ Rm，我们说φ是（10）的粘度亚解（对应上解），如果φ是（10）的经典（连续）粘度亚解（对应上解），对于所有k=1，K，且具有跳跃不连续性：φ（t，x）=φ（t-, x）-mXi=1λiGi（x）1（t=τi）（t，x）∈ τ×Rd.那么，如果φ既是粘度下解又是粘度上解（10），则φ称为粘度解（10）。备注3.9（比较原则）。对于（10）的粘度溶液，比较原理仍然成立。设u和v分别为方程（10）的粘性次解和粘性上解。在终端时间T，u（T，·）≤ v（T，·）。由于tK=T在集合（τ）中，并且u，v在{T}×Rd处具有相同的跳线大小，我们得到u（T-, ·) ≤ v（T-, ·). 接下来，在间隔IK=[tK-1，tK），根据经典比较原理，我们得到≤ IK上的v。将此参数应用于k=1，…，的所有间隔Ik，K，我们得出结论u（t，x）≤ v（t，x），（t，x）∈ [0，T]×Rd.同样，u（0，·）≤ v（0，·）。备注3.10（存在性和唯一性）。根据比较原理，存在（10）的唯一粘度溶液。唯一性是比较原则的直接结果。这种存在可以通过Perron的方法（见Crandall等人，1992）获得，在这种方法下，比较原则是一个关键论点。现在我们来证明命题3.5。该证明依赖于Bouchard等人（2017）使用的平滑论证，该论证基于Krylov（2000）的振动系数技术。该证明与Bouchard et al.（2017）中的Orem 2.4相似，我们在这里提出该证明以确保其完整性。命题3.5的证明。用方程（10）的粘度解和任意λ表示∈ Rm。从备注3.10中，我们了解到，此类Д的存在是唯一的。命题的第一部分通过两个步骤得到证明：步骤1。

假设在BV（[0，T]，Cb（Rd））中存在一系列上解（10）逐点收敛到Д，我们可以证明在对偶（12）的目标中，Д达到了关于φ的上确界。Letφ∈ BV（[0，T]，Cb（Rd））是满足（13）的任何溶液，ndφ也是（10）的（粘度）上解。根据备注3.9，我们得到了Д（0，x）≤ φ（0，x）表示所有x∈ Rd，hencemXi=1λici-ZRdφ（0，x）du≤mXi=1λici-ZRdД（0，x）du。（18） （18）中的等式可以通过取（18）左侧φ的上确界来实现。第2步。现在，我们将构造步骤1中所需的上解序列。让我们介绍正则化核rε：Rd→ R使得Rε（x）=εdr′xε其中，r′是满足r′（x）dx=1的紧支撑函数。然后，我们定义Дε=Д* rε，其中卷积仅作用于变量x。通过应用Bouchard et al.（2017）的结果，该结果严重依赖于以下事实：*（a，b）在（a，b）中是凸的，可以证明φε是方程（10）的上解。如果我们将ε发送到0，则上解Дε收敛到粘性解Д点。然后构建所需的序列。现在我们证明命题的第二部分。Let（ρ*, α*, β*) 是问题2的最优解，那么（ρ*, ρ*α*, ρ*β*) 也达到了上限（16）。假设存在最优解λ*∈ rm表示lves（9），然后（φλ*, λ*) 同时达到（16）中的最高值。

利用上述最优解，我们可以将（16）重新表示为0=ZTZRdF（α*, β*) - tφλ*- xφλ*· α*-xφλ*: β*-mXi=1λ*iGiΔτi！dρ*tdt=ZTZRdF（α*, β*) + F*xφλ*,xφλ*- xφλ*· α*-xφλ*: β*dρ*tdt。设（▄α，▄β）定义为（▄α，▄β）=F*xφλ*,xφλ*,xφλ*,xφλ*= F（|α，|β）。因此，通过定义凸共轭和F的强凸性，0=ZTZRdF（α*, β*) - F（|α，|β）- xφλ*· (α*- ~α) -xφλ*: (β*-~β)dρ*tdt公司≥ZTZRdC公司kα*- αk+kβ*-βkdρ*tdt公司≥ 0，其中C>0是一个常数。因此，（α*, β*) = （|α，|β），dρ*tdt几乎无处不在。证明已完成。4 LSV校准在本节中，我们通过校准一个类似赫斯顿的LSV模型来说明我们的方法。这种方法也可以很容易地扩展到其他LSV模型。我们在风险中性测度下考虑具有以下动态的LSV模型：dZt=（r（t）- q（t）-σ（t，Zt，Vt））dt+σ（t，Zt，Vt）dWZt，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξ√VtdWVt，dWZtdWVt=η（t，Zt，Vt）dt，（19），其中Zt是时间t时股价的对数。对r和q的解释在金融市场之间有所不同。在股票市场中，r是无风险利率，q是股息收益率。在FXmarket中，r是国内利率，q是国外利率。参数κ、θ、ξ的解释与赫斯顿模型中的解释相同。在我们的方法中，我们假设这些参数是通过校准纯赫斯顿模型给出和获得的。注意，在文献中，广泛考虑的LSV模型具有波动函数σ（t，Zt，Vt）=L（t，Zt）√vt和常数相关性η，其中L（t，Zt）称为杠杆函数。相比之下，我们考虑了局部随机波动率σ>0和局部随机相关η∈ [-1，1]，其值取决于（t，Zt，Vt）。我们的目标是校准σ（t，Z，V）和η（t，Z，V），以便模型价格与市场价格完全匹配。备注4。1.