用最优运输法校准局部随机波动率模型

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英文标题：
《Calibration of Local-Stochastic Volatility Models by Optimal Transport》
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作者：
Ivan Guo, Gregoire Loeper, Shiyi Wang
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In this paper, we study a semi-martingale optimal transport problem and its application to the calibration of Local-Stochastic Volatility (LSV) models. Rather than considering the classical constraints on marginal distributions at initial and final time, we optimise our cost function given the prices of a finite number of European options. We formulate the problem as a convex optimisation problem, for which we provide a PDE formulation along with its dual counterpart. Then we solve numerically the dual problem, which involves a fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The method is tested by calibrating a Heston-like LSV model with simulated data and foreign exchange market data.
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中文摘要：
本文研究了一个半鞅最优运输问题及其在局部随机波动率（LSV）模型标定中的应用。考虑到有限数量的欧式期权的价格，我们优化了成本函数，而不是考虑初始和最终阶段边际分布的经典约束。我们将该问题描述为一个凸优化问题，为此我们提供了一个PDE公式及其对偶形式。然后，我们数值求解对偶问题，该问题涉及一个完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。通过用模拟数据和外汇市场数据校准一个类似赫斯顿的LSV模型，对该方法进行了检验。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Calibration_of_Local-Stochastic_Volatility_Models_by_Optimal_Transport.pdf (1.65 MB)

2022-6-24 04:46:10 上传

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关键词：波动率模型 波动率 Mathematical distribution Optimization

OptimalTransportIvan Guo1,2、Grégoire Loeper1,2和Shiyi WangSchool of Mathematics，Monash University，AustralianCentre for Quantitative Finance and Investment Strategies，Monash University，Australia第一版：2019年6月15日修订版：2021年7月22日摘要本论文，我们研究了一个半鞅最优运输问题及其在局部随机波动率（LSV）模型标定中的应用。考虑到有限数量的欧洲期权的价格，我们优化了成本函数，而不是在初始和最终时间考虑边际分布的经典约束。我们将该问题表述为一个凸优化问题，为此我们提供了一个PDE公式及其对偶形式。然后，我们数值求解了对偶问题，该问题涉及线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程的一个完全n。通过使用模拟数据和外汇市场数据校准一个类似赫斯顿的LSV模型，对该方法进行了测试。关键词：最优运输、对偶理论、局部随机波动率、校准1介绍自从引入Black-Scholes模型以来，人们在开发能够正确捕捉市场动态的复杂波动率模型方面付出了大量努力。在股票和货币领域，最广泛使用的模型是Dupire（1994）的局部波动率（LV）模型和随机波动率（SV）模型（见Gatherel，201 1；Heston，1993）。作为Black-Scholes模型的扩展，LV模型可以精确校准到任何无套利隐含波动率曲面。尽管有这一特点，LV模型经常因其不切实际的波动动力学而受到批评。

SV模型往往更符合市场动态，但它们难以适应短期的市场微笑和偏差，而且由于参数化，它们没有足够的自由度来匹配所有的香草市场价格。通过增加SV模型中随机因素的数量，可以获得更好的结果；然而，这也增加了校准和定价的复杂性。Jex等人（1999）引入的局部随机波动率（LSV）模型自然地扩展并利用了这两种方法。LSV模型背后的思想是在SV模型中加入一个局部的、非参数的因子。因此，在保持动态一致性的同时，该模型可以匹配所有观察到的市场价格（只要一个价格严格符合欧洲的要求）。该局部因素（也称为局部杠杆）的确定基于Gy"ongy（1986）的模仿定理。LSV模型的数值校准研究已经在两个不同的方向上展开。一种是基于MonteCarlo方法，Henry Laborder（2009），其次是Guyon和Henry Labordère（2012），使用aso称为McKean的粒子方法。另一种方法依赖于求解福克-普朗克方程asin Ren et al.（2007）。Engelma nn等人（2021）使用有限体积法（FVM）求解偏微分方程（PDE），而Tian等人（2015年）考虑了时间相关参数。在最近的一项研究中，Wyns和Du Toit（2017）考虑了一种将FVM与交替方向隐式（ADI）方案相结合的方法。上述所有校准方法都需要对局部挥发表面的先验知识。这通常是通过使用Dupire公式（Dupire，1994）获得的，假设所有罢工和到期的普通期权知识。然而，实践中只有有限数量的选项可用。

因此，通常需要插入隐含波动率面或期权价格，这可能导致不准确的ie和不稳定性。不准确可能来自对波动率表面使用平价模型，该模型在定义上与市场价格不完全匹配。不稳定性可能来自非无套利的插值模型。这也提出了一个问题，即人们将采取什么样的外推形式来进行非常不划算的罢工。此外，杠杆函数的规律性没有先验控制，即使其存在也仍然是一个开放的问题，尽管在Abergel和Tachet（2010）中获得了一些小时间的结果（参见Saporito et al.，2019，将Tikhonov正则化技术应用于LSV ca天平问题）。其他相关工作包括Jourdain和Zhou（2020）；Lacker等人（202 0）。在Cuchiero等人（2020）最近的一项研究中，从深入学习的角度解决了LSV校准问题。特别是，杠杆函数由一类前馈神经网络来描述，模型由生成对抗网络方法来标定。在目前的工作中，受最优变换理论的启发，我们引入了一种不需要任何形式插值的变分方法来校准LSV模型。近年来，最优运输理论引起了众多研究者的关注。Monge（17 81）首先在土木工程的背景下解决了这个问题，后来Kantorovich（1948）对其进行了现代数学处理。2000年，在一篇里程碑式的论文中，Benamou和Brenier（2000）介绍了问题的时间连续公式，并通过改进的拉格朗日方法对其进行了数值求解。

在Brenier（1999）和Loeper（2006）中，时间连续最优运输的对偶公式已被正式表示并推广为一个应用theFenchel–Rockafellar定理（参见Villani，2003，定理1.9）。该方法也被Huesmann和Trevisan（2019）应用于研究martinga-le-optimaltransport的时间连续公式。最近，该问题被s emi鞅推广到了运输问题。Tan和Touzi（2013）研究了在初始时间和最终时间具有边缘约束的半鞅的最优运输问题。最近，在Guo和Loeper（2018）中，半鞅最优运输问题进一步扩展到更一般的路径依赖环境。在数学金融领域，最优运输理论最近已应用于许多不同的问题，如Dolinsky和Soner（2014）；Henry Labordère和Touzi（2016）；Pal和Wong（2018）。在通过最优运输校准波动率模型方面，在之前的工作中（Guo等人，2019），作者探讨了将LV模型校准到欧洲期权的想法，其中他们将Benamou和Brenier（2000）的增广拉格朗日方法应用到一维马丁格尔最优运输。后来，在Guo和Loeper（2018）中，前两位作者将校准仪器从欧洲选项扩展到路径相关选项，如亚洲选项、障碍选项和lo-okback选项。我们还提到，Avellanda et al.（1997）早就提出了LV模型的变分校准方法，尽管当时还没有建立与最佳运输的联系。除了LV模型外，还开发了一类新的SV模型，inHenry Labore（2019），其灵感来自于所谓的Schr"odinger桥问题，该问题与最优转移密切相关。

这些新SV模型的校准是通过仅修改漂移和保持波动率的波动率不变来实现的。除了连续模型外，作为De March和Henry Laborder（2019）的延伸，Guyon（2020）构建了一个离散时间模型，解决了SPX和VIX期权的挑战性联合校准问题。最近在Guo等人（2020）中，我们提出了一个连续时间模型，通过扩展本文的方法来解决联合校准问题。在本文中，我们进一步阐述了Guo等人（2019）和Guo a and Loeper（2018）对LSV模型的校准方法。标定问题被描述为一个半鞅最优运输问题。与Tan和Touzi（20 13）不同，我们考虑了欧洲索赔价格给出的有限数量的离散约束。作为Jensen不等式的一个推论，我们证明了在初始SV模型给出的状态变量中，可以选择一个最优微分过程为马尔可夫过程。这一结果导致了PDE公式。根据Brenier（1999）提出的最优运输对偶理论和Bouchard等人（2017）使用的平滑论证，我们建立了对偶公式。我们还提供了一种数值方法来解决双重公式中出现的完全非线性Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程。最后，数值示例表明，该模型可以用模拟数据和外汇市场数据完全校准为欧式期权。尽管我们的方法很精确，但在计算能力方面要求很高。梯度下降法要求在每一步求解一个非线性二维偏微分方程，而梯度下降法的计算要求每个仪器一个（线性）二维偏微分方程。数值求解linearPDE最昂贵的操作是反转大型稀疏矩阵。

然而，该操作只需在每个时间步进行一次，因为g半径的所有分量的计算都是通过求解相同的linearPDE，但具有不同的终端条件来计算的。或者，可以在一个Monte Car lo模拟中高效地计算所有梯度，这是我们在这里为保证精度而没有做的选择。进入更高维度（例如多因素随机波动率模型）需要增加偏微分方程的维度，这在d≥ 3、当目标仅仅是解决通常的LSV校准问题，即寻找杠杆函数时，其他方法可以更快地实现结果。例如，对于单因素模型，Ren et al.（2007）的PDE方法只需要解一次二维非线性PDE，Guyon和Henry Labordère（2012）的粒子方法速度更快，可以应用于高维情况（例如，使用多个随机因素校准LSV模型）。另一方面，利用本文开发的技术，可以获得路径相关产品（Guo和Loeper，2018）、SPX和VIX选项（Guo等人，2020）以及LSV模型。因此，我们的方法的兴趣显然在于其b路应用范围，而代价是相对沉重的计算成本。我们还相信，随着求解高维非线性偏微分方程的数值方法的最新发展（参见e等，2020），我们的方法可以在计算速度方面得到极大提高，并在高维中得到应用。还指出，基于梯度下降，对于市场数据的轻微更新，只需要少量梯度迭代即可更新模型。最后，OUR方法提供了LSV类型模型的严格存在性结果。

Abergel和Tachet（2010）之前的作品只提供了一个小时期的存在结果（另见Jourdain和Zhou（2020）；Lacke r等人（2020年））。本文组织如下：在第2节中，我们介绍了一些初步定义。在第3节中，我们展示了半鞅最优运输问题与偏微分方程公式之间的联系。然后建立PDE公式的对偶结果。在第4节中，我们将使用类似赫斯顿的LSV模型演示校准方法。第5.2节“预备知识”提供了模拟数据和外汇市场数据的数值方法和结果。给定一个波兰空间E及其Borelσ-a代数，设C（E）为连续函数空间，Cb（E）为有界连续函数空间。用M（E）表示具有弱-* 拓扑结构。设M+（E） M（E）表示非负测度s的子集。如果E是紧的，则Cb（E）的拓扑对偶由Cb（E）给出*= M（E）。更一般地说，如果E是非压缩的，则Cb（E）*大于M（E）。设P（E）为Borelprobability测度s的空间，BV（E）为bounded变差函数的空间，L（du）为u-可积函数的空间。我们还编写了Cb（E，Rd）、M（E，Rd）、BV（E，Rd）和L（du，Rd）a作为其对应空间的向量值版本。如果ut（x）=u（t，x）是在[0，t]×Rd上定义的测量值，我们将写入du或dutdt，简称u（t，dx）dt。用SDD表示d×d对称矩阵集和SD+ SDS正半限定矩阵集。对于任何矩阵A、B∈ Sd，我们写A：B：=tr（AB） 对于其标量积。为方便起见，设∧=[0，T]×Rd，X=R×Rd×Sd。

我们使用符号h·、·i来表示Cb（λ，X）和Cb（λ，X）之间的对偶括号*.允许Ohm := C（[0，T]，Rd），T>0是标准过程X的标准速度，标准过滤F=（Ft）0≤t型≤t由X生成。我们用P表示所有概率测度Pon的集合(Ohm, FT）下X∈ Ohm 是由xt=X+At+Mt，t给出的（F，P）-半鞅∈ [0，T]，P-a.s.，其中M是一个二次变化的（F，P）-鞅hXti=hMti=Bt，过程a和b是P-a.s.相对于T绝对连续的。如果αPt=dAPtdt，βPt=dBPtdt，我们说P的特征是（αP，βP），其中（αP，βP）取空间Rd×Sd+。注意，（αP，βP）是F适应的，并且在dP×dt下确定，这里几乎每个w。让P P是概率测度P的子集，在此概率测度下，特征（αP，βP）在区间[0，T]上是P-整数的。换句话说，EPZT |αPt |+|βPt | dt！<+∞,其中|·|是L-范数。给定向量τ：=（τ，…，τm）∈ （0，T）m，用G表示m个函数的向量，使得每个函数Gi∈ Cb（Rd），对于i=1，m、 给定Dirac测度u=δx和向量c∈ Rm，我们定义（u，τ，c，G） Pas如下：P（u，τ，c，G）：={P:P∈ P、 Po 十、-1=u，EP[Gi（Xτi）]=ci，i=1，m} 。假设2.1。最终时间T与最长成熟度一致，即T=maxkτk。出于技术原因，我们仅限于函数Giin Cb（Rd）。在volatilitymodels校准的背景下，Giare发现了欧洲支付函数。虽然从技术上讲，支付函数的调用不在Cb（Rd）中，但实际上我们只在截断（紧凑）空间中使用它们。或者，可以考虑使用看跌期权平价仅看跌期权。

可以放宽假设Gi∈Cb（Rd），但需要在拓扑空间中设置不同的设置。3主要结果3.1公式在本节中，我们首先建立了离散约束下的半鞅最优运输问题。然后介绍了PDE公式及其对偶公式。确定成本函数F：∧×Rd×Sd→ R∪ {+∞} 其中F（t，x，α，β）=+∞ 如果β/∈ Sd+，F（t，x，α，β）在（α，β）中是非负的、适当的、下半连续的、强凸的和矫顽的，在（t，x）中是一致的。F在（α，β）中是强凸的，我们的意思是存在一个常数>0，使得对于所有t，x，α，β，α′，β′和任何子导数F，其中 在（α，β）上形成，ifF（t，x，α，β）在F（t，x，α′，β′）上是有限的≥ F（t，x，α，β）+hF（t，x，α，β），（α′）- α, β′- β） i+C（kα′）- αk+kβ′型- βk），其中k·k表示Rd和Sd上的欧几里德范数。F在（α，β）中是矫顽的，我们的意思是所有t，x，α，β都存在常数p>1和C>0，因此|α| p+|β| p≤ C（1+F（t，x，α，β））。F相对于（α，β）的凸共轭用F表示*: ∧×Rd×Sd→ R∪ {+∞} 由F给出*（t，x，a，b）：=supα∈Rd，β∈Sd{α·a+β：b- F（t，x，α，β）}。（1） 我们注意到，由于假设F（t，x，α，β）仅在Fβ时是有限的，因此Sdin（1）可以用Sd+代替∈ Sd+。对于s隐式，我们写F（α，β）：=F（t，x，α，β）和F*（a，b）：=F*（t，x，a，b）如果没有歧义。请注意，我们对强凸的定义并不要求F是可微分的，因为只使用次导数。然而，这意味着F是严格凸的，因此F*是可区分的。此外，F的矫顽力意味着F*是有限的。通过公约inf = +∞, 我们对以下最小化问题感兴趣：问题1。