检测相关性和三角套利机会

通常，它可以是任意阶的多项式，具体取决于信号的性质。除非另有说明，否则本文中的数据分析使用m=2的多项式。现在，我们已经准备好构建两个新衍生时间序列的协方差估计，每个时间序列的多项式趋势都是逐区间移除的：C（s，k）XY=ssXj=1hXsk+j- P（m）（s，k）十、sk+ji×hYsk+j- Q（m）（s，k）Ysk+ji（7）如果两个时间序列相同，我们可以用尺度s对第k个区间fr-om分区中的去趋势变化进行估计。协变量的构造估计允许我们为给定的时间尺度选择（区间中的数据点数量）sF（q）XY（s）=2M（s）定义一系列q 6=0的函数sF（q）XY（s）-1Xk=0符号CXY（s、k）CXY（s、k）q/2（8）对于q=0，我们使用一个公式来计算函数，该公式基本上遵循de l\'Hospital规则【42，34】。公式（8）给出的函数族定义原则上也适用于两个时间序列相同的情况。在这种情况下，我们获得了q–th阶函数，该函数源自单个时间序列的多重分形去趋势函数分析（MFDFA）[42]。时间序列的多重分形互相关应表现为函数F（q）xy在一系列时间尺度s上的幂律行为：F（q）XY1/q=FXY（q，s）~ sλ（q）（9）广义q相关指数λ（q）提供了对互相关多重分形特性的洞察。在λ（q）=常数的极限情况下，即在指数与q无关的情况下，我们可以推断两个时间序列x（i）和y（i）之间的单分形交叉相关类型。

同样，在x（i）的情况下≡ y（i），如式（8）所示，函数的渐近行为采用MFDFA方法中熟悉的形式：F（q）XX1/q=FXX（q，s）~ shX（q），（10），其中h（q）是广义Hurst指数[4 2，43，44，45，46]。4.2. 去趋势互相关q系数q阶的函数族由公式（8）定义，传递了一系列时间尺度上不同量级的函数的信息。因此，可以使用一系列此类函数定义依赖于q的去趋势互相关（qDCCA）系数【41】：ρq（s）=f（q）XY（s）qF（q）XX（s）f（q）Y Y（s）。（11） 系数ρq（s）允许测量两个时间序列xi，yi之间的互相关度。已经证明，q–dependentcross–相关系数是有界的：-1.≤ ρq（s）≤ 1，对于q>0[41]。公式（11）给出的互相关定义可以解释为皮尔逊系数的推广[47，48]。几位作者已经在不同的背景下通过数值方法研究了系数ρq（s）相对于传统皮尔逊指数的优势（例如，见[49]和其中的参考文献）。参数q有助于确定与这两个时间序列的最显著相关性相对应的去趋势波动幅度范围【41】。已经确定，对于q>2的大洪水，主要贡献ρq（s），而对于q<2的洪水，主要贡献是由于中小型洪水【41，25】。因此，通过在qwe中选择一系列值，我们可以过滤出小型或大型波动的相关系数。5.

分析和结果基于所述方法，我们将研究2010-2018年整个期间以及一些子期间与货币汇率相对应的时间序列之间的多尺度互相关特性。我们使用MATLAB桌面环境对我们的方法进行了数值实现。虽然我们有相当大的数据集（见附录），但实现本身非常困难，所有计算都可以在现代PC级计算机上完成。我们还应用了标准的MATLAB源代码验证方法和替代数据检查方法，以检查数据集中的人工制品或非线性相关性的稳健性【41】。虽然在我们的研究中，我们关注的是关于三角套利的多元时间序列的不同特征和统计特性，但我们可以设想这种分析的更广阔的前景，因此，我们希望揭示这些时间序列中的特定类型的相互关联，这将有助于我们检测对未来系统行为预测有用的潜在互连。5.1. 对数收益率和逆三次定律在本小节中，我们将介绍金融时间序列动态的一般情况，重点介绍对外汇市场有影响的事件。5.1.1. 货币指数我们将货币A的货币指数CIA定义为一个平均计算日志–以A为基础货币的所有汇率的回报。CIa可采用以下形式：CIa（t）=1+N- 1Xb6=ar（b/a，t），（12），其中N=8（在本例中），r（b/a，t）表示与时间相关的日志-使用labelb返回汇率b/a∈ {澳元、加元、瑞士法郎、欧元、英镑、日元、新西兰元、美元}这与标签a不同。等式（12）给出的货币指数表示数据集中任何给定货币对其他货币的汇率表现。

有了这样一个单一的平均特征，就可以大致了解外汇市场中任何货币的全球短期行为和表现。在图1中，我们的数据集中显示了2010年至2018年期间所有货币的货币指数时间变化。对于该图，我们采用平均买卖汇率产生的对数回报。在图中，我们指出了一些时间尺度上的政治或经济事件（用虚线表示），这些事件原则上可能会对该时期的外汇市场表现产生影响。这些标签可以直观地解释与货币指数相关的曲线上观察到的特征。我们包括了一些突发事件：2010年5月6日美国股市崩盘，2011年3月11日发生地震后几天内福岛第一核电站（日本）发生的核灾难，瑞士国家银行（SNB）图1：（彩色在线）2010年至2018年间的货币指数由公式（12）定义。作为参考，一些重要的全球政治和经济事件已经在时间尺度上显示出来。干预措施（2011年9月6日和2015年1月15日）、2015年8月2日至4日的美国期货价格崩盘、2016年6月23日的英国脱欧公投、2016年10月7日的英镑价格崩盘（英镑/美元汇率隔夜下跌6%），美国总统大选（2016年11月9日）和英国大选（2017年1月8日），加拿大银行将隔夜利率目标上调至1%（2017年9月6日）。总的来说，我们可以观察到所考虑的货币指数在8年期间的显著变化。

在此时间表中值得注意的是瑞士国家银行（SNB）2011年和2015年的干预措施以及2016年的脱欧公投。在下文中，我们将更详细地探讨这些事件附近外汇市场数据的统计特性。我们将在外汇市场历史数据的帮助下，从事后来看，讨论我们提出的统计分析在多大程度上证实了这些特征。5.1.2. 绝对收益分布的逆三次尾外汇市场的另一个有趣特征与绝对对数收益的累积分布有关：P（X>| r |）~ |rt |γ（13）在图2中，我们显示了本研究中考虑的所有主要货币之间汇率绝对标准化收益的累积分布。每一条不同颜色的实线都显示了相应货币的尾部行为。在该双对数图中，黑色虚线对应于γ=-这就是所谓的逆立方幂定律[50，51，52]。最小的“厚尾”对应于欧元/美元汇率的回报，这通常是外汇市场中流动性最强的一对货币。对于较大的绝对对数收益率（| r对于涉及瑞士法郎（瑞士法郎）的汇率，t |>10。以下汇率的尾部（瑞士法郎/瑞士法郎、欧元/瑞士法郎、英镑/瑞士法郎、新西兰元/瑞士法郎）明显“胖”于逆三次曲线。我们注意到，所有以瑞士法郎（瑞士法郎）为基础货币的货币汇率都比其他汇率产生更大绝对对数回报的概率更高。这些异常值可归因于瑞士央行的两次干预（2011年和2015年）。

为了证明这些偏差的来源，我们从数据集中删除了2015年1月15日上午半小时的时间段，当时在瑞士央行的干预行动中观察到了货币汇率的显著波动[9]。概率分布的结果故障如图2的插图所示。因此，如果市场上没有这种单一的短期事件，分布的尾部几乎遵循逆立方行为。图2：（在线彩色）显示标准绝对对数累积分布尾部的双对数图–返回| rt | 2010-2018年期间的货币汇率。黑色虚线显示slo peα=-3对应于近似逆三次幂律。插图显示了在货币兑换率短期内极度波动的情况下，这些分布情况。这段时间（半小时）对应于2015年1月15日瑞士央行干预之后的时间。5.2。多重分形和互相关函数的标度行为我们已经知道，累积分布的异常值记录了绝对对数收益中更大的波动水平的增加。这也意味着有更高的机会遇到产生更大回报的波动。问题是这些波动在多大程度上与汇率相互关联。至少在两个汇率时间序列之间的这种交叉相关性将提供一个潜在的三角汇率机会。让我们首先研究一个时间序列多重分形互相关的例子，即互相关函数FXY（s，q）。无花果

3显示了2018年一年内欧元/日元与英镑/日元以及欧元/日元与英镑/美元汇率之间的互相关函数结果-5-4-3qFXYqs5min 1h 6h 24h 1周量表-5-4-31 2 3 4q0.450.50.551 2 3 4q0.450.50.55EUR/JPY\\U GBP/USD 2018EUR/JPY\\U GBP/JPY 2018q=0.2q=0.4q=4q=4xyHXYλ图3：（彩色o线）第q阶交叉-相关函数FXY（q，s）的结果示例面板）和英镑/美元对数回报率的欧元/日元（底部面板）。该图显示了不同q系数的交叉相关函数在5分钟到2周的时间尺度范围内的缩放。插图显示了标度因子λ（q）对系数q和每个时间序列分别获得的广义hurst指数的平均hXY（q）的依赖性。在图3（主面板）中，线束中的每一条线对应于0.2（0.4）的函数FXY（qi，s）≤ 气≤ 4、我们验证了根据公式（9）的比例在0.8范围内有效≤ q≤ 4这是双对数图中直线的斜率，在所示范围内近似独立于刻度s。我们还可以观察到，尽管在这种情况下，依赖性相当弱，但函数依赖于1/q/4的系数q。此外，作为参考，图3中的两个插图都显示了每一个独立时间序列的广义赫斯特指数的平均hXY（q）。该平均值定义如下【53】：hXY（q）=hX（q）+hY（q）（14）。值得注意的是，在本示例中，两个汇率之间的三角关系（图中的顶部面板）的情况下，函数的缩放比例。

3） 对于小q参数，其保存效果要比对于三角相关（底部面板）之外的汇率的保存效果好得多。5.3. 外汇市场中的去趋势互相关系数q作为该分析的一个更定量的扩展，我们考虑了汇率序列的去趋势互相关系数q系数ρq（s）结果的前几个例子。图4显示了两个交易所汇率收益率系列之间相互关联的两个示例：顶部面板显示了一对欧元/日元和英镑/日元，而底部面板显示了欧元/日元和英镑/美元的ρq（s）结果>从图4所示的数据可以看出，欧元/日元汇率回报率与英镑/日元汇率回报率的相关性明显高于与英镑/美元汇率的相关性。这似乎是预期的，因为在前一种情况下，有一种共同（基础）货币（日元）。在这种情况下，由于汇率的波动性约束，一对收益率与日元汇率表现存在内在关联。这是三种货币相互关联的一个例子。在这种情况下，互相关为三角形关系（图4的顶部面板）。在图4底部面板所示的案例中，欧元/日元对英镑/美元的汇率回报率（包括4种不同的货币），它们之间没有三角关系。然而，对于两对汇率（其中一对属于三角关系，而另一对在所示示例中不属于三角关系），我们观察到，所考虑的尺寸波动越大（取的q值越大），在所考虑的时间尺度上，就去趋势互相关q系数ρq（s）而言，观察到的互相关越小。这种互相关度量的大小对时间尺度的依赖性很弱，仅随时间略微增长。

对于较大的波动（参见q=4的数据），其增长比较小的波动（参见q=1）更为明显。0.20.40.60.8qρqsq=1q=2q=3q=45min 15min 1h 6h 24h 1wekscales0.20.40.60.8EUR/JPY\\U GBP/USD 2018EUR/JPY\\U GBP/JPY 2018图4：（彩色在线）欧元/日元与英镑/日元（顶部面板）以及欧元/日元与英镑/美元对数回报率（底部面板）的ρq（s）互相关结果示例。该图显示了q=1、2、3、4.5.4时，从5分钟到2周的量表的互相关系数变化。不同幅度的波动和相互关系让我们更详细地研究两个汇率收益率序列相对较小和较大波动之间的相互关系。图5显示了2010-2018年整个时期内所有ρq（s）互相关（总共378对）的结果，其中q=1和q=4在所有尺度上的平均值。请注意，互相关对分为两类。一类属于三角关系的汇率对（黑色、左侧顶部和底部面板）和第二类，其中交叉相关对位于三角关系之外（红色、右侧顶部和底部面板）。在左上（黑色）和右上（红色）面板上，q=1的ρq（s）的结果按降序排序。为了表示q=4的结果，此或顺序保持不变。这就给出了在三角关系中或在三角关系之外的货币对的互相关系数分布的获得值的范围。

我们可以很容易地验证，在较小波动（q=1）的水平上，许多对数汇率回报对（不通过三角关系连接）可能具有较高的平均互相关系数，而许多对具有这种特性。左上面板上的黑色圆点水平线显示了与三角关系相关的不同fdi对的平均互相关。总平均值约为0.6。请注意，在包括澳元和新西兰元在内的货币对之间没有三角关系的交叉相关性的情况下，我们观察到的相关性比三角关系（q=1的顶部面板）的货币对之间的相关性强。这表明，与我们预期的三方关系汇率的平均水平相比，我们有可能观察到我们各国货币之间的汇率存在着强烈的相关性。这一有点出乎意料的结果可归因于这两个国家的机制耦合经济。因此，从我们的研究中可以看出，事实上，一些货币对之间的相互关系，如果不是由共同货币联系起来的，而是在外汇市场上交易的，可能会达到具有共同基础的汇率总体平均相互关系。这似乎是一个令人惊讶的结论，因为通常情况下，我们会期望明确相关的两个系列之间有更强的相关性（通过一种共同的基础货币），而不是在没有这种共同基础的情况下。然而，我们必须认识到一个事实，即任何一对汇率之间的相互关联都会通过不同货币组合产生的相互联系对其他货币对的相互关联产生一定的影响。