检测相关性和三角套利机会

尽管如此，对数回报率的小波动很难用于可变交易策略，主要是由于买卖利率的利差有限。从实际角度来看，在发现和利用套利机会方面，大型波动的相关性似乎更有希望。底部面板显示了在三角形相关（即是否使用共同货币）之内或之外的兑换货币对的相应情况下，大波动（q=4）的结果。底部面板中的货币对顺序与顶部面板中的货币对顺序相同。对于较大的波动，对于三角形相关的货币对类别，交叉相关性的总体平均水平用水平黑色虚线标记为增益，其值约为0.3。因此，cro ss–大波动的相关性大约比0.20.40.60.8qρq0.20.40.60.8q=1q=4EUR/GBP\\U GBP/USD三角关系无三角关系EUR/CHF\\U USD/CHF GBP/CAD\\U GBP/USDGBP/JPY\\U GBP/USDCHF/JPY\\U EUR/CHF EUR/AUD\\U NZD/JPYAUD/CHF\\U EUR/NZDFI图5：（彩色在线）绝对值所有可能参数的互相关系数ρqf在q=1和q=4的情况下，货币汇率在5分钟到2周的所有时间尺度上的平均值。在左上和右上面板上，ρqa的结果按降序排序。在左下角和右下角的面板上，结果是未排序的，这使得识别这两种情况下特别高的交叉相关性（用标签显示）更容易，即三角形和非三角形关系。小相关性的情况。然而，在英镑和瑞士法郎作为共同基础货币的情况下，q=4时的相互关联性强于q=1时的相互关联性。

如果在汇率关系之外存在交叉相关性，那么当我们将澳元作为一方的基础货币，而将新西兰元作为另一方的基础货币时，就会产生强烈的交叉相关性。可以注意到，通常情况下，较小波动（q=1）的互相关f比较大波动（q=4）的互相关更强。这与之前关于股票和大宗商品等其他金融工具的发现【41、25、54】一致。稍后将讨论货币对上的平均互相关的时间演化，以及大波动的公共基础（参见图8）。5.5. 树状图——我们已经看到的来自汇率相互关联的聚集层次结构树，研究相互关联的数量水平可能会发现货币之间的一些不太明显的联系，而不仅仅是通过共同基础货币的明确联系。为了揭示汇率对数回报率方面的货币层级，可以考虑将互相关系数作为不同汇率对之间距离d（i，j）的度量。我们对距离d（i，j）的定义类似于【55】中引入的定义，但我们使用q相关互相关系数来代替相关系数【41，56】。因此，凝聚层次树的距离如下所示：d（i，j）=r1.- ρq（s）（i，j）（15） 值得注意的是，据我们所知，这是首次使用互相关系数q作为一种方法来诱导测量，以创建层次树（树状图）。由于采用了公式（15）给出的距离，我们获得了小（q=1）和大（q=4）的图，如图6所示。对于q=4（图6的底部面板），集群结构比q=1的情况更明显。

在q=4的情况下，一个分离良好的集群结构由瑞士法郎（绿色）、英镑（cya n）、日元（洋红）、澳元和新西兰元（橙色）组成，而在q=1的情况下，我们看到的主要是日元（曼盖塔）和澳元/新西兰元（橙色），不同货币组之间没有太多层次分离。一个有趣的观察结果表明，澳元（AUD）和新西兰元（NZD）具有很强的相关性——无论是小规模还是大规模的波动，它们都出现在相同的汇率集群中。这表明有可能在没有相同公共基础的汇率对之间建立强大的交叉相关性。然而，如果两种不同的货币之间存在着强烈的相关性，那么它们的行为就像是一个共同的基础，而适当的交叉相关性可能会显示出ρqcoe系数的意外大值。这些发现在设计交易策略时非常重要，无论是优化投资组合还是对冲。我们想强调的是，我们的方法不仅限于For ex的时间序列，而且很可能应用于其他研究和应用领域中产生的时间序列形式的信号。5.6. 多时间尺度的互相关我们已经研究了地震震级域内的互相关。现在让我们研究时域中的互相关。因此，我们计算了四种不同时间尺度下的去趋势互相关系数ρq（s）：对于q=1和q=4的情况，s=5分钟、s=1小时、s=24小时和s=1周。结果如图7所示。顶部的四个面板表示q=1的情况，而底部的四个面板表示q=4的情况。在这两种情况下，互相关按最短时间尺度（s=5分钟）获得的值的降序排序。

我们对ρq（s）值f进行最短时间尺度的排序，并在采用较长时间尺度时保持排序不变。我们还显示了符合三角关系（黑色虚线）的货币汇率对和不受三角关系约束的货币汇率对（红色虚线）的总体平均值。在比较不同时间尺度上的小波动和大波动交叉相关性时，最显著的特征是，在市场中，在所考虑的不同时间尺度上几乎没有发生什么。曲线图显示了几乎静态的互相关，几乎与小波动的时间尺度无关。另一方面，波动（q=4）的互相关随着时间尺度s的延长而变化。三角关系（每个面板的黑色/左侧部分）货币兑换率的值ρq（s）的大小保持在同一范围内，尽管值本身随着时间尺度的变化而显著变化。具体而言，总体平均值（由黑点水平线表示）从小于0.3（s=5分钟）的值上升到约0.4（s=5分钟≥ 1小时）。对于不是严格三角关系的货币兑换对，互相关总体平均值的增长更令人信服。一般而言，对于以瑞士法郎（CHF）或英国英镑（GBP）为共同基础货币的货币对，f或q=4以及更长的时间尺度s（2-4小时，1周），我们观察到汇率内的长期交叉相关性，通过三角关系进行关联。

很明显，s=5分钟获得的互相关（每个面板的红色/右侧部分）比s对应的小得多≥ 1小时。更重要的是，在这里显示的最短时间尺度上，三角关系和非三角关系的对之间的互相关差异最大。在大流量情况下，三角关系之外的货币兑换对的互相关0.20.40.60.8ρqs0.20.40.60.8s=5min=1周=1hs=24 h0.20.40.60.8ρqs0.20.40.60.8s=5分钟=1周kchf基=1hs=24hCHF基欧元/新西兰元/瑞士法郎v新西兰元基英镑基图7：（彩色在线）中所有货币兑换对（总共378对）的去趋势互相关ρq（s）q=1（顶部4个面板）和q=4（底部4个面板）的情况。对于每个q值，我们考虑对应于5分钟、1小时、24小时和1周的4个s值。年，对数回报率随时间增长，这表明相关关系在时间上的传播。这解释了为什么这样的电流对的平均互相关可能出乎意料地高（见图5）。这给了我们一些关于外汇市场信息传播时间的想法，即反映任何一对汇率之间最大平均互相关所需的时间。如上所述，在外汇市场上，所有货币汇率都是通过相互汇率机制联系在一起的。然而，在某些情况下，内在较强的相关性（如三角关系引起的相关性）将导致非常快的响应（因此，在相对较短的时间后，交叉相关性非常显著），而对于其他一些汇率，这种响应将在时间上滞后（如通过一系列汇率调整进行）。

该时间段可被视为执行套利机会的机会窗口的估计时间。图8所示的结果显示了这些平均数在连续几年中的变化情况。我们再次清楚地看到，2011年和2015年作为基准货币的瑞士法郎有所增加（瑞士央行干预）。在我们的方法中所采用的时间尺度范围内，结果是一致的。有趣的是，当实施更长的时间尺度（24小时，1周）时，这种影响变得更加明显。当考虑将英镑或日元作为基础货币时，类似的结论也是有效的——相应的曲线在2016年达到最大值。英镑主要受脱欧和英镑暴跌的影响，而英镑升值是由美国选举间接导致的。相反，作为基础的CAD平均值的增加只能在最短的时间尺度s=5分钟时才能注意到17。这可能意味着，加拿大银行2017年突然加息并没有产生更持久的影响，只是造成了非常短期的影响。为了确定有希望的套利机会（如三角套利），我们的初步结论是，我们必须观察相对较长时间尺度的大波动（通过q=4的显著互相关系数）。鉴于上述发现，我们已经确定了大波动的重要作用，由此产生的一个问题是，货币兑换回报中的此类极端事件（波动）在多大程度上（即使及时发生）可能会影响去趋势交叉相关性。下面，让我们研究极端事件s对ρq（s）系数表示的互相关的影响。在图1中，我们看到了各种事件对货币指数的可能影响。

很有意思的是，看看这些ex0.20.40.60.8ρqsaudcadchfeurgbpjnzdus0.20.40.60.82010 2011 2012 2012 20142015 20162017 2018Time0.20.40.60.8s=5min=1小时=24小时=1周图8：（彩色在线）q=4的平均detr结束交叉相关ρq（s）和每年使用相同基础货币分别计算的各种尺度s。没有宣布将瑞士法郎作为基础货币（2011年、2015年）、英镑和日元（2016年）相关的最高限额。就相互关联而言，极端事件会表现出来。汇率极端变化的时期如图9的相应插图所示。在小波动（q=1，黑色实心和虚线曲线）的情况下，这些显著的汇率变化周期在一系列时间尺度内对整体行为没有显著影响。然而，交叉相关性中的大波动（q=4，品红实心和虚线曲线）对这些时间事件的存在高度敏感。插图显示，事实上，与之相比的汇率（红色和黑色曲线）变化如此之快，以至于它们无法相互跟踪。这样就出现了可能的套利机会。5.7. 检测三角套利机会最后，让我们仔细研究我们通过数据分析确定的这些短期套利机会。图10显示了trian5min 15min 1h 6h 24h 1weekScales0.20.40.60.8qρqsq=1q=40.20.40.60.823:00 00:00 01:00 02:00 03:000.9GBP/JPYGBP/USD9:30 9:40 9:50 10:10 10:200.8USD/CHFUR/CHF23.06.2016-24.06.2016GBP/USD\\JPY 201615.01.2015EUR/CHF\\U USD/CHF 2015图9：（彩色在线）交叉示例-2015年欧元/瑞士法郎与美元/瑞士法郎的相关性，2016年英镑/美元与英镑/日元的相关性，q=1和q=4。这些汇率抑制了所考虑年份的次本质波动。

虚线对应的是互相关结果，即波动性大且存在三角套利机会的时间段被拒绝。插图显示了瑞士法郎（2015年）汇率的SNB干预期间以及英国脱欧公投（英镑汇率）后的夜晚的累计对数收益。定期套利系数α和α（参见等式（4）、（6））。事实上，价值大于0的所有事件都可能提供三角套利机会。顶部面板显示了一个潜在重大套利机会的示例，该机会与2015年的SNB干预和瑞士法郎汇率波动有关。图10的中间部分显示了一个适度的套利机会，这与脱欧公投及其对英镑汇率的影响有关。最后，底部的面板说明了利用三角套利机会的可能性很小——理论上这可能只有一个非常短暂的时间。通过这种方式，我们已经表明，通过ρq（s）系数对a9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00-0.10.1α22:00 23:00 00:00 01:00 02:00 03:00 04:00-0.003-0.002-0.0010.00110:00 11:00 12:00 13:00 14:0015:00 16:0017:00 18:00 19:00进行互相关检验20： 00Time-0.0003-0.00025-0.0002-0.00015-0.0001-5e-00501.10.201823.06.2016-24.06.2016GBP/JPY/USDEUR/JPY/GBPCHF/EUR/USD15.01.2015图10：（彩色在线）三角关系的偏差。2015年存在大套利机会（CHF），2016年存在中等套利机会（GBP），2018年没有此类机会。

在这种情况下，我们使用汇率的询价和投标价格（而不是平均价格），以便更详细地说明这一点。时间尺度s的范围，特别是对于大波动（在我们的多重分形方法中，参数q=4的最大值确保收敛）允许揭示汇率的层次结构，并关注可能存在套利机会的时间段。套利机会与大波动密切相关，而大波动往往在较长的时间尺度内更加明显。这就是与瑞士法郎和英镑相关的汇率的情况，这正是为三角套利打开机会之窗的原因。结论我们调查了8种主要货币篮子内的货币汇率相互关系。当2015年1月15日瑞士央行干预后的短暂交易期被排除在汇率数据集中时，10秒历史对数汇率回报的分布遵循近似逆三次幂律的行为。高频日内报价累积分布的尾部通过所谓的“厚尾”（大波动）表现出罕见事件的非高斯n分布。这清楚地证明了对数利率回报率中的大波动比高斯分布中的预期更频繁。我们发现，平均而言，三角关系中的货币汇率之间的相互关系强于三角关系之外的货币汇率之间的相互关系。使用ρqcross相关测度的去趋势互相关方法可以揭示外汇市场中一组货币之间的汇率层次结构。

据我们所知，这是首次将ρqcross–相关系数应用于树状图形式的凝聚层次聚类。此类树状图可能具有与外汇市场中货币组合的对冲、风险优化和多样化相关的重要应用。去趋势互相关系数ρqi对时间尺度和波动幅度敏感，允许进行细微（更复杂）的互相关测量，而不仅仅是简单的全局估计（例如皮尔逊系数）。通过使用ρqcoe系数，当观察到互相关时间的显著变化时，可以区分时间序列的子区间。这种交叉相关性的突然变化，再加上相对较大的波动，可能预示着潜在的三角套利地质机会。我们已经利用2015年和2016年的历史数据证明了这种应用的可行性，当时随着时间尺度s的增加，观察到大型波动（q=4）涉及瑞士法郎、英镑、日元的汇率对的相关性显著增强。最后，我们的推测是，在重大事件期间（例如，对外汇市场的影响），人们可能会预期存在潜在的三角评级机会。我们在2010-2018年的历史交易数据中确实发现了这些事件和机会。