均值方差下的最优再保险与投资策略

假设随机过程u（·）和S（·）满足（du（t）=h（t）u（t）dt+l（t）dW（t）+z（t）dW（t），t∈ [0，T]，dS（T）=u（T）S（T）dt+σ（T）S（T）dW（T），T∈ [0，T]。（3.3）那么最优估计m（·）和n（·）满足dm（t）=h（t）m（t）dt+hl（t）+n（t）σ（t）iσ（t）hdS（t）S（t）- m（t）dti，t∈ [0，T]，˙n（T）=2h（T）n（T）+l（T）+z（T）-hl（t）+n（t）σ（t）i，t∈ [0，T]。（3.4）从上述引理中，我们还可以得到dS（t）=m（t）S（t）dt+σ（t）S（t）d'W（t），t∈ [0，T]，dm（T）=h（T）m（T）dt+hl（T）+n（T）σ（T）id'W（T），T∈ [0，T]。（3.5）3.2随机LQ控制问题的解在本小节中，我们通过两个扩展的随机Riccati方程的解来推导有效策略和有效边界。根据引理3.1，我们可以在完全信息情况下解决由此产生的问题。首先，方程（3.1）可以改写为以下线性SDE：（dX（t）=[r（t）X（t）+B（t）u（t）]dt+u（t）D（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（3.6），其中u（·）≡ （q（·），π（·））∈ UPad[0，T]，W（·）≡ （W（·），\'W（·））和B（t）≡ （aη，m（t）- r（t）），D（t）≡ （D（t），D（t）），D（t）≡ （b，0），D（t）≡ （0，σ（t））。该问题正是一个具有随机系数的随机LQ模型，控制变量是有约束的。

与胡和周[11]的结果类似，效率策略和效率前沿可以通过两个扩展的随机Riccati方程的解以闭合形式表示。现在，我们介绍以下两个非线性倒向随机微分方程（简称BSDE）：dP+（t）=-2r（t）P+（t）+H*+t、 P+（t），∧+（t）dt+∧+（t）dW（t），t∈ [0，T]，P+（T）=1，P+（T）>0，（3.7）数据处理-（t） =-2r（t）P-（t） +小时*-t、 P-（t） ，λ-（t）dt+λ-（t） dW（t），t∈ [0，T]，P-（T）=1，P-（t） >0，（3.8），其中H*+（t，P，∧）：=分钟（·）∈UPad[0，T]向上D（t）D（t）u+2u[B（t）P+D（t）∧],H*-（t，P，∧）：=分钟（·）∈UPad[0，T]上D（t）D（t）u- 2u[B（t）P+D（t）∧].（3.9）此外，定义ξ+（t，P，∧）：=argminu（·）∈UPad[0，T]向上D（t）D（t）u+2u[B（t）P+D（t）∧],ξ-（t，P，∧）：=argminu（·）∈UPad[0，T]上D（t）D（t）u- 2u[B（t）P+D（t）∧],（t，P，∧）∈ [0，T]×R×R.（3.10）类似于[11]中的定理5.2，我们看到（3.7）和（3.8）允许唯一有界一致正解P+（·）和P-（·），分别。由于（2.6）是一个凸优化问题，等式约束EX（T）=d可以通过引入拉格朗日乘子γ来处理∈ R、 这样，问题（2.6）可以通过以下随机控制问题（对于每个固定γ）来解决。定义（x，u（·），γ）：=EX（T）- d- 2γ[X（T）- d]= E|X（T）- γ|- (γ - d） ，γ∈ R、 （3.11）基于拉格朗日对偶定理（见Luenberger[18]），我们可以首先解决以下由拉格朗日乘子γ参数化的无约束问题∈ R： （最小化J（x，u（·），γ）：=E|X（T）- γ|- (γ - d） ，根据：（X（·），u（·））可用于（3.6）。（3.12）我们现在考虑问题的状态反馈控制（3.12）。对于任何实数x，我们定义x+：=最大{x，0}和x-:= 最大值{-x、 0}。定理3.4。设（P+（·），∧+（·））和（P-(·), Λ-（·））分别是BSDE（3.7）和（3.8）的唯一有界一致正解。

然后状态反馈控制U*（t） =ξ+（t，P+（t），∧+（t））X（t）- γe-RTtr（s）ds++ ξ-（t，P-（t） ，λ-（t） （）X（t）- γe-RTtr（s）ds-（3.13）对于问题（3.12）是最优的。此外，在这种情况下，最优成本为j*（x，γ）：=infu（·）∈UPad[0，T]J（x，u（·），γ）=hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- diγ+P+（0）x- d、 如果x>γe-RTr ds，hP-（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2小时XP-（0）e-RTr（s）ds- diγ+P-（0）x- d、 如果x≤ γe-RTr（s）ds。（3.14）证明。Sety（t）：=X（t）- γe-RTtr ds。结果表明，财富方程（3.6）关于y（·）除了初始条件外，具有完全相同的形式：（dy（t）=[r（t）y（t）+B（t）u（t）]dt+u（t）D（t）dW（t），t∈ [0，T]，y（0）=x- γe-RTr（s）ds，（3.15），而成本函数（3.11）可以重写为：y，u（·），γ）=Ey（T）- (γ - d） 。（3.16）上述问题（3.15）-（3.16）正是一个具有随机系数的随机LQ控制问题，控制变量受到约束。因此，最优反馈控制（3.13）遵循【11】中的定理5.1。最后，最优成本为j*（x，λ）=P+（0）x个- γe-RTr（s）ds++ P-(0)x个- γe-RTr（s）ds-- (γ - d） ，经过一些简单的操作后，等于（3.14）的右侧。证明是完整的。定理3.5。对应于d的有效策略≥ d、 其中d：=xeRTr（s）ds，作为财富过程的反馈，isu*（t） =ξ+（t，P+（t），∧+（t））十、*（t）- γ*e-RTtr（s）ds++ ξ-（t，P-（t） ，λ-（t） （）十、*（t）- γ*e-RTtr（s）ds-,（3.17）式中γ*:=d- xP系统-（0）e-RTr ds1- P-（0）e-2RTr ds。（3.18）此外，有效前沿是Var[x*（T）]=P-（0）e-2RTr ds1- P-（0）e-2RTr（s）dshEX*（T）- xeRTr（s）dsi，EX*（T）≥ d、 （3.19）证明。首先，如果d=xeRTr（s）ds，那么相应的效率策略是u*（t）≡ (0, 0). 由此产生的财富过程是X*（t） =xeRTr（s）ds。另一方面，在这种情况下，相关γ*= xeRTr（s）ds。

这意味着当d=xeRTr（s）ds时，（3.19）为有效边界。因此，我们只需要证明任意固定d>xeRTr（s）ds的定理。再次应用拉格朗日对偶定理，我们得到*MV（x）：=infu（·）∈UPad[0，T]JMV（x，u（·））：=supγ∈林福（·）∈UPad[0，T]J（x，u（·），γ）>-∞, （3.20）和（2.6）的最优反馈控制为（3.13），γ替换为γ*在（3.18）中，最大化J*γ上的（x，γ）∈ R、 根据定理3.4。如果γ<xeRTr（s）ds，则表达式（3.14）和≥ xeRTr（s）ds，给出γJ*（x，γ）=2hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- di公司≥ 2hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1执行器ds- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- xeRTr（s）dsi=0。在上述计算中，我们使用了结果P+（0）e-2RTr（s）ds- 1.≤ [11]的引理6.1中的0。因此，supγ∈RJ公司*（x，γ）=supγ∈-∞,xeRTr（s）dsJ*（x，γ）。但对于γ≥ xeRTr（s）ds，根据（3.14）得出*（x，γ）是γ中的二次函数，其最大值由（3.18）给出，其中*MV（x）=supγ∈林福（·）∈UPad[0，T]J*（x，γ）=supγ∈RnhP-（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2小时XP-（0）e-RTr（s）ds- diγ+P-（0）x- do=P-（0）e-2RTtr ds1- P-（0）e-2RTr（s）dsd- xeRTr（s）ds, d≥ xeRTr（s）ds。这证明了（3.19），注意到*（T）=d。证明是完整的。有趣的是，在使用随机过滤后，财富过程（3.1）包含随机系数m（·）。因此，问题变得更加复杂。具体而言，传统的随机Riccati方程转化为两个BSDE（3.7）和（3.8）。通常，这种非线性盲源分离装置没有解析解。然而，如果所有市场系数都是确定性的，那么∧（·）≡ 0，方程（3.7）和（3.8）变成常微分方程。我们可以在下一节中详细了解这一点。4全信息均值-方差问题在本节中，我们推导了全信息均值-方差问题的有效边界。

具体而言，保险公司可以将其盈余投资于金融市场，并购买比例再保险。我们在本节中考虑非累积再保险，即η>θ。根据（2.4），财富过程X（·）满足：dX（t）=aθ- aη+aηq（t）+rX（t）+（u- r） π（t）dt+bq（t）dW（t）+σπ（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（4.1），其中我们让u（T）≡ u，r（t）≡ r和σ（t）≡ σ适用于所有定义4.1。如果π（·），则称策略u（·）：=（π（·），q（·））是可容许的∈ [0, ∞)和q（·）∈ [0, ∞) Ft是否可逐步测量，满足ERTπ（t）dt<∞ andERTq（t）dt<∞. 用UFad[0，T]表示所有可容许策略的集合。施加d是合理的≥ d、 其中d：=xeT r+aθ-aηr（eT r- 1） 如果保险公司将其所有手头财富投资于无风险资产，并将所有即将发生的风险转移给再保险人，则为时间T时的最终财富。均值-方差问题被表述为以下具有完全信息的优化问题：最小化Var[X（T）]=EX（T）- 前任*（T）,从属于：EX（T）=d，u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1）。（4.2）4.1辅助问题的值函数类似地，问题（4.2）可以通过以下随机LQ控制问题（对于每个固定γ）来解决[X（T）- d] +2γ[EX（T）- d],从属于：u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1），（4.3），其中，为了方便起见，在目标函数中引入了乘数γ前面的因子2。

显然，这个问题等价于以下辅助问题X（T）- （d）- γ),从属于：u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1）。（4.4）设置X（t）：=X（t）- （d）- γ） ，则（4.1）等效于以下受控线性SDE：（dx（t）=rx（t）+Bu（t）+fdt+Du（t）dW（t）+Du（t）dW（t），t∈ [0，T]，x（0）=x- （d）- γ） ，（4.6），其中u（·）≡ （q（·），π（·））∈ UFad[0，T]和b≡ （aη，u- r） ，f≡ aθ- aη+（d- γ） 研发部≡ （b，0），D≡ (0, σ) .我们的目标是找到最佳控制u*（·）最小化二次成本函数lj（u（·））=Ex（T）。（4.7）该问题是一个不确定的随机LQ控制问题。该问题的一个重要特征是控制受到约束。在本小节中，我们使用HJB方程和粘度解理论来解决它。与问题（4.6）-（4.7）相关的值函数定义为v（s，y）=infu（·）∈UFad[s，T]J（s，y；u（·）），（4.8），其中x（s）=y∈ R、 s∈ [0，T）。从标准参数（例如Yong和Zhou[30]）中，我们可以看到如果V（·，·）∈C1,2[0，T]×R，则满足以下HJB方程：v（t，x）t+infq≥0,π≥0v（t，x）x个rx+aηq（t）+（u- r） π（t）+aθ- aη+（d- γ） r+bq（t）+σπ（t）v（t，x）x个= 0，t∈ [0，T]，v（T，x）=x.（4.9）由于控制的非负性约束，HJB方程（4.9）没有光滑解。因此，这里的想法是构造一个函数，证明它是它的粘性解，然后利用验证定理构造最优控制。我们将在下一小节中这样做。4.2最优控制和粘度解决方案本小节用于验证以下结果。定理4.2。

定义g（t）：=[aθ- aη+（d- γ） r][er（T-t）- 1] r，A：=-(u - r） 2σ-aη2b。（4.10）然后是值函数V（t，x）=er（T-t） x+g（t）, 如果x+g（t）e-r（T-t）≥ 0,e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）, 如果x+g（t）e-r（T-t） <0，（4.11）是HJB方程（4.9）的连续粘度解，andu*（t，x）=-u - rσx+g（t）e-r（T-t）, -aηbx+g（t）e-r（T-t）,如果x+g（t）e-r（T-t） <0，（0，0），如果x+g（t）e-r（T-t）≥ 0，（4.12）是相关的最佳反馈控制。证据首先，我们证明（4.11）中构造的V（·，·）是（4.9）的粘度解。假设它有一个解v（·，·）∈ C1,2[0，T]×R满足vx> 0。那么，如果vx个≥ 0时，在u处达到（4.9）左侧的最小值*（·）=（q*(·), π*(·))=(0, 0). 假设v（t，x）具有以下形式：v（t，x）=P（t）x+Q（t）x+R（t），（4.13），其中P（·）、Q（·）、R（·）是要确定的可微分函数。插入（4.13）andu*（·）=（q*(·), π*（·））=（0，0）到（4.9），我们有˙P（t）+2rP（t）=0，P（t）=1，˙Q（t）+rQ（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]P（t）=0，Q（t）=0，˙r（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]Q（t）=0，r（t）=0。（4.14）求解它们，我们得到p（t）=e2r（t-t） ，Q（t）=g（t）er（t-t） ，R（t）=g（t），（4.15），其中g（t）在（4.10）中定义。考虑到假设vx个≥ 0，我们有v（t，x）=er（T-t） x+g（t）在该地区=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t）≥ 0,最小值达到（π*（·），q*(·)) = (0, 0).对于（t，x）∈（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） <0, 我们有vx<0。假设控制区域内部达到最小值（4.9）。然后π*（t，x）=-u - rσv（t，x）x个v（t，x）x、 q*（t，x）=-aηbv（t，x）x个v（t，x）x。

（4.16）将其插入（4.9），HJB方程变为v（t，x）t型+rx+aθ- aη+（d- γ） rv（t，x）x个-(u - r） 2σ(v（t，x）x）v（t，x）x个-aη2b(v（t，x）x）v（t，x）x=0，t∈ [0，T]，v（T，x）=x.（4.17）将（4.13）和（4.16）插入（4.17），我们得到P（t）+[2r+2A]P（t）=0，P（t）=1，˙Q（t）+[r+2A]Q（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]P（t）=0，Q（t）=0，˙r（t）+AQ（t）P（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]Q（t）=0，r（t）=0，（4.18），其中Ais在（4.10）中定义。求解它们，我们得到p（t）=e（2A+2r）（t-t） ，Q（t）=g（t）e（2A+r）（t-t） ，R（t）=e2（t-t） 银（t）。（4.19）自vx<0，我们有v（t，x）=e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）.在该地区=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） <0,最小值达到（π*（t） ，q*（t） （）=-u - rσx+g（t）e-r（T-t）, -aηbx+g（t）e-r（T-t）.在内部区域Ai（i=1，2），v（·，·）∈ C1,2[0，T]×R，因此它是这些区域的经典解。然而，切换曲线由A定义=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） =0是V（·，·）的非光滑性发生的地方。首先，直接计算表明V（t，x）=er（T-t） x+g（t）=e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）= 因此，V（·，·）在A上的点上是连续的。此外，我们还很容易获得V（t，x）t=˙P（t）x+˙Q（t）x+˙R（t）=˙P（t）x+˙Q（t）x+˙R（t）=0，V（t，x）x=P（t）x+Q（t）=P（t）x+Q（t）=0。（4.20）也就是说，V（·，·）在A上的点上也是连续不同的。然而，五、XDO不存在于A上，因为P（t）6≡ P（t）。这意味着V不具备smoothnessproperty，无法作为HJB方程（4.9）的经典解。因此，我们需要在粘度解决方案的框架内工作。（请参考Yong andZhou[30]，Li et al。

[14] 粘度溶液的一些基本术语。）可以表明，对于任何（t，x）∈ A、 （D1,2，+t，xV（t，x）={0}×{0}×[P（t）+∞),D1,2，-t、 xV（t，x）={0}×{0}×(-∞, P（t）]。（4.21）对于HJB方程（4.9），我们定义为负（t，x，u，p，p）：=prx+aηq（t）+（u- r） π（t）+aθ- aη+（d- γ） r+Pbq（t）+σπ（t）.（4.22）对于任何（q、p、p）∈ D1,2，+t，xV（t，x），当（t，x）∈ A、 我们有Q+infu≥0G（t，x，u，p，p）=infu≥0Pbq（t）+σπ（t）≥ infu公司≥0P（t）bq（t）+σπ（t）= 因此，V（·，·0是（4.9）的粘度子溶液。另一方面，对于（q，p，p）∈D1,2，-t、 xV（t，x），当（t，x）∈ A、 我们有Q+infu≥0G（t，x，u，p，p）=infu≥0Pbq（t）+σπ（t）≤ infu公司≥0P（t）bq（t）+σπ（t）= 因此，V（·，·）也是（4.9）的粘度超溶液。最后，很容易看出终端条件V（T，x）=xis已满足。因此，V（·，·）是HJB方程（4.9）的粘度解。此外，对于任何（t，x）∈ A、 取（q*（t，x），p*（t，x），P*（t，x），u*（t，x））=（0，0，P（t），0）∈ D1,2，+t，xV（t，x）×UFad[s，t]，然后q*（t，x）+G（t，x，u*（t，x），p*（t，x），P*（t，x））=0。（4.25）然后根据验证定理（Zhou等人【33】）得出*（4.12）定义的（t，x）是最佳反馈控制。证明是完整的。4.3有效策略和有效边界在本小节中，我们给出了问题的有效边界（4.2），即我们推导出了每个有效策略的预期值和终端财富方差之间的关系。首先，注意（4.5）和（4.7），我们有x（T）= E[X（T）- （d）- γ)]= E[X（T）- d]+ γ[EX（T）- d] +γ。因此，对于每个固定γ，我们有minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]= 分钟（·）∈UFad[0，T]Ex（T）-γ=V（0，x）-γ=P（0）x+Q（0）x+R（0）-γ=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ、 （4.26）其中P（·）、Q（·）和R（·）在（4.13）中有规定。

如果x+g（t）e-rT<0，我们在γ中有一个凹二次函数：minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ=e2A（1）TxeT r+aθ- aηr- （d）- γ)-γ.如果x+g（t）e-rT公司≥ 0，我们在γ中有一个线性函数：minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ=xeT r+aθ- aηr- （d）- γ)-γ=xeT r- d+aθ- aηr+xeT r- d+aθ- aηrγ.因此，我们得出结论，在最优策略（4.16）下，问题（4.2）的最优成本为minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +2γ[EX（T）- d]=e2AT公司xeT r+aθ- aηr- （d）- γ)- γ、 如果x- （d）- γ） +g（t）e-rT<0，xeT r- d+aθ- aηr+ 2.xeT r- d+aθ- aηrγ、 如果x- （d）- γ） +g（t）e-rT公司≥ 0。（4.27）注意，上述仍然依赖于拉格朗日乘数γ。类似地，根据拉格朗日对偶定理，需要在γ上使（4.27）中的值最大化∈ R、 简单计算表明（4.27）达到最大值d- xeT r-aθ-aηre-2AT- 1atγ*=xeT r+aθ-aηr- 判定元件-2AT- 1、上述推导得出以下结果。定理4.3。与预期终端财富EX（T）=d对应的问题（4.2）的有效策略，作为时间T和财富X的函数，isu*（t，X）≡ (π*（t，X），q*（t，X））=(-u - rσX+g（t）e-r（T-t）, -aηbX+g（t）e-r（T-t）),如果x- （d）- γ*) + g（t）e-r（T-t） <0，（0，0），如果x- （d）- γ*) + g（t）e-r（T-t）≥ 0，（4.28），其中γ*=xeT r+aθ-aηr-判定元件-2AT-此外，有效前沿是Var[X（T）]=xeT r+aθ-aηr- EX（T）e-2AT- （4.29）4.4数值例子在本小节中，我们给出了一些数值例子来说明本文得到的理论结果。首先，我们考虑（3.3）中u（t）的过滤。设置l（t）≡ 3，z（t）≡ 2，σ（t）≡ 具体而言，从（3.4）中可以看出，升值率过程m（t）的过滤随着h值的增加而增加。如图1所示。