均值方差下的最优再保险与投资策略

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英文标题：
《Optimal Reinsurance and Investment Strategies under Mean-Variance
  Criteria: Partial and Full Information》
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作者：
Shihao Zhu, Jingtao Shi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper is concerned with an optimal reinsurance and investment problem for an insurance firm under the criterion of mean-variance. The driving Brownian motion and the rate in return of the risky asset price dynamic equation cannot be directly observed. And the short-selling of stocks is prohibited. The problem is formulated as a stochastic linear-quadratic (LQ) optimal control problem where the control variables are constrained. Based on the separation principle and stochastic filtering theory, the partial information problem is solved. Efficient strategies and efficient frontier are presented in closed forms via solutions to two extended stochastic Riccati equations. As a comparison, the efficient strategies and efficient frontier are given by the viscosity solution for the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation in the full information case. Some numerical illustrations are also provided.
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中文摘要：
本文研究了均值-方差准则下保险公司的最优再保险和投资问题。风险资产价格动态方程的驱动布朗运动和收益率不能直接观测到。禁止卖空股票。该问题被描述为一个控制变量受约束的随机线性二次型（LQ）最优控制问题。基于分离原理和随机滤波理论，解决了部分信息问题。通过求解两个扩展的随机Riccati方程，以闭合形式给出了有效策略和有效前沿。作为比较，利用哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程在全信息情况下的粘性解给出了有效策略和有效前沿。还提供了一些数字图示。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Reinsurance_and_Investment_Strategies_under_Mean-Variance_Criteria:_Part.pdf (703.35 KB)

2022-6-24 05:09:28 上传

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关键词：投资策略 均值方差 再保险 Mathematical illustration

均值-方差准则下的最优再保险和投资策略：部分和全部信息*朱世豪，+石景涛2020年6月4日摘要本文研究了均值方差准则下保险公司的最优再保险和投资问题。风险资产价格动态方程的驱动布朗运动和收益率不能直接观测到。禁止卖空股票。该问题被描述为一个控制变量受约束的随机线性二次型控制问题。基于分离原理和随机滤波理论，解决了部分信息问题。通过求解两个扩展的随机riccati方程，有效策略和有效前沿以闭合形式呈现。作为比较，在完全信息情况下，通过HJB方程的粘度解给出了有效策略和有效前沿。还提供了一些数字图示。关键词：均值方差、最优再保险和投资、部分信息、随机滤波、粘性解数学学科分类：60H10、93E20、93C41、93E11、49L251简介近年来，将随机控制理论应用于各种模型的最优再保险和最优投资问题的研究兴趣不断增加。众所周知，再保险是降低保险风险的有效方法，而投资也是保险业务中非常重要的因素。效用最大化和破产概率最小化是两个主要的优化准则*这项工作得到了中国国家重点研发项目（2018YFB1305400）和国家自然科学基金（119712661157120511831010）的资助。+山东大学数学学院，济南250100。

中国，电子邮件：zhush10@hotmail.com通讯作者，山东大学数学学院，济南250100，中国，电子邮件：shijingtao@sdu.edu.cnin文学作品。该领域近期工作的部分列表包括：Browne【7】、Yang和Zhang【29】、Promislow和Young【23】、Bai和Guo【1】、Liang等人【16】、Xu等人【28】等。值得一提的是，Bai和Guo【1】通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（简称HJB）方程明确推导出了最优值函数和最优策略。他们还表明，在某些特殊情况下，期望指数效用最大化和破产概率最小化的最优策略是等价的。Liang等人[16]研究了最优投资和再保险策略，其中瞬时投资回报率遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。Xu等人[28]认为金融市场由漂移布朗运动驱动，其系数由外部马尔可夫过程调节。他们推导出了具有预期终端效用的明确最优投资和再保险政策。然而，所有这些工作主要是在预期的公用设施框架内完成的。值得注意的是，均值-方差分析和预期效用公式是金融市场中的两个重要模型。读者可参考Bieleckiet等人【4】、Steinbach等人【25】和MacLean等人【19】讨论预期效用模型和均值方差模型之间的关键差异。Markowitz[20]在投资组合选择中首次提出了均值-方差准则，该准则考虑了预期收益以及单期投资的方差。Li和Ng【13】利用将问题嵌入可处理辅助问题的思想，将Markowitz的均值-方差模型扩展到多周期环境。

在Zhou和Li[32]的论文中，利用随机线性二次型（简称LQ）控制理论研究了连续时间均值-方差问题。考虑到禁止卖空股票的约束，相应的HJB方程本质上没有光滑解。为了解决这一难题，Li等人【14】通过两个RiccatieEquations构建了一个连续函数，并证明该函数是HJB方程的粘度解。Huand Zhou[11]研究了一个随机LQ控制问题，其中控制变量被约束在一个锥中，问题的所有系数都是随机过程。根据田中公式，他们通过求解两个扩展的随机Riccati方程显式地获得了最优控制和最优成本。近年来，在保险建模中采用均值-方差准则越来越受到人们的关注。例如，Bai和Zhang[2]在经典模型及其在均值-方差准则下的差分近似中推导出了最优比例保险和投资策略。Bi等人[3]在破产禁止的均值方差准则下考虑了保险人的最优投资和最优再保险问题。Zhang等人[31]考虑了保险人比例再保险和投资问题的均值-方差准则，该保险人的风险过程由受控复合泊松过程的微分近似驱动。然而，在所有这些工作中，假设驱动布朗运动完全可以被投资者观察到，这在现实中是一个例外，而不是一个规则。实际上，投资者只能观察其决策所依据的股价。

事实上，金融经济学文献中已经广泛研究了金融市场中各种设置下的部分信息最优投资组合问题。Di Nunno和Oksendal[9]认为，对于能够获得通常小于marketevents生成的信息的交易商来说，是一个最优投资组合问题。彭和胡[22]研究了只有部分信息可供使用的保险公司的最优比例再保险和投资策略。L'evy过程的Malliavin演算应用于分析。Wang和Wu【26】获得了部分可观测风险敏感随机控制问题的一些一般极大值原理。Huang等人[12]研究了保险公司在两种情况下的最优保费政策：完全信息和部分信息。在这两种情况下，他们都用相关的最优成本函数来描述最优保费政策。与之前的部分信息预期效用标准不同，Pham[24]考虑了一般半鞅模型的均值-方差套期保值问题，并用鞅方法证明了一个离散模型的分离原则。熊和周[27]证明了连续时间均值-方差组合选择问题的分离原理。Pang等人[21]研究了随机环境下的连续时间平均方差投资组合选择问题。提出了一个具有随机系数的部分信息随机控制问题。他们表明，最优投资组合策略是通过求解一个确定性Riccati型常微分方程（简称ODE）和两个确定性向后ODE构建的。Liang和Song[15]研究了具有均值-方差效用的保险人在部分信息下的最优投资和再保险问题，该问题具有不可观测的马尔可夫调制区域切换漂移过程。

在博弈论框架下，得到了时间一致的均衡策略。Cao等人[8]考虑了均值-方差准则下的最优时间一致性投资和比例再保险策略问题，其中保险人拥有一些关于其索赔过程未来实现的内部信息。给出了扩展HJB方程的验证定理，并得出了最优策略。在本文中，我们将考虑一个新的保险公司的部分信息问题，以实现最优再保险和投资。我们假设保险公司可以接受再保险，并将其财富投资于斯科尔斯黑市。然而，在风险资产价格动态方程中，我们无法直接观察到布朗运动和收益率。事实上，决策者只能获得有关过去风险资产价格和保险索赔随机性的部分信息。我们克服了随机过滤技术所遇到的困难。与Xu等人[28]和Liang等人[16]所考虑的标准不同，我们在本文中应用了均值-方差标准。应用随机LQ控制方法、随机Riccati方程和粘性解理论，得到了有效策略和有效前沿。本文的其余部分组织如下。第二节研究了部分信息下的最优再保险与投资问题。第3节重点讨论了过滤问题和均值-方差标准。通过求解两个扩展的随机Riccative方程，以闭合形式给出了有效策略和有效前沿。第4节介绍了在全信息情况下，通过HJB方程的粘性解，给出了有效策略和有效前沿。这里提供了一些数值说明。

第5节总结了本文。2问题公式我们确定了一个有限的时间范围[0，T]和一个完整的概率空间(Ohm, F、 P），定义了三个一维标准布朗运动W（·）、W（·）和W（·）。我们假设它们是相互独立的。为便于说明，我们将{FWt}0表示为≤t型≤T、 {FWt}0≤t型≤Tand{FWt}0≤t型≤t分别是由W（·）、W（·）和W（·）生成的过滤，并表示{Ft}0≤t型≤T： ={FWtFWt公司FWt}0≤t型≤T、 LetF=f，E[·]是P的期望值。现在考虑一家保险公司，其索赔过程由C（·）表示。遵循Promislow和Young[23]的框架，我们根据漂移布朗运动对索赔过程C（·）建模如下：dC（t）=adt- bdW（t），t∈ [0，T]，（2.1），其中a和b为正常数。W（·）表示保险索赔的随机性。假设保险费是按照期望值原则计算的恒定费率c连续支付的，即c=（1+θ）a，其中θ>0是保险人的相对安全负荷。假设允许保险人将其盈余投资于由无风险资产和风险资产组成的金融市场，其价格动态如下所示：（dB（t）=r（t）B（t）dt，t∈ [0，T]，dS（T）=u（T）S（T）dt+σ（T）S（T）dW（T），T∈ 分别为[0，T]，（2.2）。这里，利率r（·）>0是一个确定性的、一致有界的标量值函数，收益率u（·）是一个适应Ft的过程，它满足u（t）=h（t）u（t）dt+l（t）dW（t）+z（t）dW（t），t∈ [0，T]，（2.3），其中h（·）、l（·）和z（·）是确定性函数。波动率σ（·）是一个确定性、一致有界、标量值函数和σ（·）-1也是有界的。评论上述关于收益率u（·）的假设（2.3）可参考Gennotte【10】。事实上，金融市场存在两种不同的不确定性来源。

firstone，W（·），影响股票价格和回报率。我们可以将其视为经济周期因素。第二个，W（·），影响回报率。我们可以根据经济模型将其作为发行股票或账面市值的公司的规模。在本文中，我们假设FWtand FSt：=σ（Su，0≤ u≤ t） 独立，表示Gt：=FWt FST是t时保险公司唯一可用的信息。也就是说，我们只知道保险索赔的随机性和风险资产的价格过程。除投资外，我们假设保险人可以购买比例保险，以降低潜在的保险风险。再保险水平与价值1相关- 时间t时的q（t）与q（t）≥ 0表示所有t。A策略u（t）：=（π（t），q（t）），其中π（t）表示在t时投资于therisky资产的金额。这里，π（·）∈ [0, ∞) 在不允许卖空的情况下。另一方面，q（·）∈ [0，1]对应比例再保险，q（·）>1对应收购新再保险业务。在上述假设下，保险公司的盈余/财富过程X（·）：dX（t）=cdt- q（t）dC（t）- （1+η）a（1- q（t））dt+（X（t）- π（t））r（t）dt+π（t）dS（t）S（t）=aθ- aη+aηq（t）+r（t）X（t）+（u（t）- r（t））π（t）dt+bq（t）dW（t）+π（t）σ（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（2.4），其中X>0表示初始财富，η表示再保险的安全负荷。通常认为η≥ θ、 其中η=θ表示转移给再保险人的保费比例与保险人承保的每项索赔的比例相同，则该合同称为廉价再保险。此外，如果η>θ，则称为无堆再保险。定义2.1。

如果π（·），则称策略u（·）：=（π（·），q（·））是可容许的∈ [0, ∞)和q（·）∈ [0, ∞) Gt是否可逐步测量，满足ERTπ（t）dt<∞ andERTq（t）dt<∞. 用UPad[0，T]表示所有可容许策略的集合。均值-方差问题是指找到可接受的策略，使得预期的最终财富满足EX（T）=d>0，而通过最终财富Var[X（T）]=E[X（T）的方差衡量的风险- EX（T）]=E[X（T）- d] （2.5）最小。施加d是合理的≥ d、 其中d：=eRTr（s）dsnx+a（θ- η)中兴通讯-Rtr（s）dsdt- 1.ois指时间T时的终端财富，前提是保险公司将其所有手头财富投资于无风险资产，并将所有即将发生的风险转移给再保险人。定义2.2。均值-方差问题被表述为以下具有部分信息的优化问题：最小化JMV（x，u（·））：=Var[x（T）]≡ E[X（T）- EX（T）]，根据EX（T）=d，u（·）∈ UPad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（2.4）。（2.6）此外，最优控制u*（·）满足（2.6）被称为有效策略，和（Var[X*（T）]，d）称为有效点。当参数d超过[d]时，所有有效点的集合+∞), 被称为有效前沿。3有效的策略和部分信息的有效边界在使用部分信息处理一般随机优化问题时，一个臭名昭著的困难是，人们通常无法将过滤和优化分离开来，但某些非常罕见的情况除外。然而，熊和周[27]中的分离原则表明，对于一些特定的均值-方差问题，分离原则碰巧成立：人们可以简单地用财富方程中的过滤器代替回报率，然后解决产生的优化问题，就像在全信息情况下一样。为了简单起见，我们在部分信息部分考虑廉价再保险，即η=θ。

此时，简化为d=xeRTr（s）ds。3.1分离原则和随机过滤器在本小节中，我们首先考虑与我们的模型（2.6）相关的过滤问题，并建立分离原则。具体而言，我们定义了过滤问题的创新过程。我们在这里仅仅是为了得出一个结论，细节可以在熊和周中找到【27】。引理3.1。对于任何容许控制u（·）∈ UPad【0，T】，相应的财富过程X（·）满足以下SDE：dX（t）=aηq（t）+r（t）X（t）+（m（t）- r（t））π（t）dt+bq（t）dW（t）+π（t）σ（t）d'W（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（3.1），其中m（T）≡ E[u（t）| Gt]是u（t）中的最佳过滤器，创新过程W（·）由比亚迪给出W（t）：=σ（t）hdS（t）S（t）- m（t）dti（3.2）是关于P和{Gt}0的布朗运动≤t型≤T、 接下来，我们研究收益率过程u（·）的过滤问题。根据Liptser和Shiryaev【17】中的定理11.1，我们得到以下引理。引理3.2。我们表示n（t）≡ E[（u（t）- m（t））| Gt]。设条件分布fg（x）=P（u（0）≤ x | G）为高斯，N（m（0），N（0）），0≤ n（0）<∞. 然后条件分布FGt（x）=P（u（t）≤ 对于所有t，x | Gt）为高斯，N（m（t），N（t））。因此，m（·）是获得信息{Gt}0后的最佳估计≤t型≤T、 根据Liptser和Shiryaev【17】中的定理12.1，可以在下面的引理中获得最优估计m（·）和n（·）。引理3.3。