带a的投资组合优化问题的宏观定理

全纸日志EX【Zn】=-plog det | I+Qs |+N- 1TrQsQs-nN型-1Xi=1log vi-N- 1log det |▄Qs |+~ eT▄Q-1s ~ eN-1Xi=1（k+riθ）vi，（20），其中单位矩阵I∈ 使用的Rn×nis和EX【f（X）】表示f（X）相对于回报率矩阵X=nxiu的配置平均值√不∈ R（N-1） ×p.此外，序参数矩阵Qs={qsab}∈ Rn×nand这些辅助排序参数的矩阵▄Qs={▄qsab}∈ Rn×n，常数向量~e=（1，1，···，1）T∈ RNRealReady已接受。由此，在资产数量N的限制下，总结为ψ（N）=limN→∞N- 1log EX[锌]=外向，~Qs-αlog det | I+Qs |+TrQsQs-nhlog vi-log det |▄Qs |+~ eT▄Q-1s~e（k+rθ）v, （21）其中投资期比率α=p/（N）-1) ~ 使用O（1）。此外，符号extruf（u）表示f（u）相对于参数u的极值，符号hf（r，v）i=limN→∞N- 1N-1Xi=1f（ri，vi）（22）。根据公式（21）的极值条件，Qs=α- 1I+α（α- 1)（k+rθ）vD、 （23）~Qs=（α- 1） 我-α - 1.（k+rθ）vD（24）得到，其中常数矩阵为整元素1，D∈ 使用Rn×n。Weignore O（n）在以下φ的计算中。此外，在计算公式（21）时，注意到复制对称解的ansatz不是假设的，我们可以计算公式。（23）和（24）。8月22日。物理。Soc。日本。使用φ=limn，完整纸张→0ψ（n）n、 φ=-αlogα- 1.-对数（α- 1) -hlog vi+2（α- 1)（k+rθ）v（25）估计。然后，使用g（0）=φk、 g（1）=φkθ和g（2）=φθ、 g（0）=高压-1iα- 1，（26）g（1）=hv-1riα- 1，（27）g（2）=hv-1riα- 获得1（28）。将其代入式（16），ε=α- 12 hv-1i（1- ρ） +（R- ρR- (1 - ρ） R）V！（29）进行评估，其中R=hv-1rihv-1i，（30）V=高压-1rihv-1i-高压-1rihv-1i（31）已使用。Ris风险资产回报率的加权平均值和风险资产回报率的加权方差。

此外，当R<R时，风险资产的平均回报率低于无风险资产的回报率。也就是说，由于最优投资组合是一种微不足道的投资策略，理性投资者更喜欢零风险、高回报的资产，而不是高风险、低回报的资产，在这里，主要是R≥ 讨论了Ris。5、讨论5.1最小投资风险虽然我们成功地分析得出了等式（29）ε中的最小投资风险perasset，但我们没有充分探讨最小投资风险如何与无风险资产的投资比率（即ρ）相关。因此，我们来求解最佳ρ=ρ*使最小投资风险ε最小化。从9月22日开始。物理。Soc。日本。全文ερ=0，对于任何α>1，ρ*=V+（R- R） （R）- R） V+（R- R） （32）得到并代入式（29）。那么，εmin=α- 12 hv-1i（R- R） V+（R- R） （33）是派生的。从式（32）中，我们可以分析确定无风险资产的投资比率wN=Nρ，这可以最小化最小投资风险。风险资产组合在第5.7.5.2小节R和ρ中讨论*接下来，我们讨论R和ρ之间的关系*. 根据公式（32），ρ*≤ 0<==> R+VR- R≤ R、 （34）0<ρ*< 1.<==> R<R<R+VR- R、 （35）ρ*≥ 1.<==> R≤ 得到了R（36）。从式（34）中可以看出，当预期回报率R较大时，这意味着理性投资者从无风险资产中借入资金（ρ*< 0）投资风险资产。从式（36）可以看出，当预期回报率R很小时，也意味着理性投资者从风险资产中借入资金（ρ*> 1） 并投资于无风险资产。5.3将结果背景化，在此，让我们将我们的发现与同源研究21）中获得的结果进行比较，该研究讨论了无风险资产的投资风险最小化问题，每项资产的最小投资风险如下所示：ε=α- 12 hv-1i1+（R- R） 五.

（37）由此，我们可以将ε与εminin公式（33）进行比较。然后，ε≥ 得到εmin（38）。也就是说，当将包含无风险资产的投资股票与仅包含风险资产的投资股票进行比较时，后者可以比前者降低投资风险。注意，等式（38）的等式为R=R+VR-R、 10月22日。物理。Soc。日本。全文5.4机会损失在本小节中，我们将运筹学中广泛讨论的最小预期投资风险与本文推导的最小投资风险进行比较。由于预期投资风险EX[H（~ w | X）]是指自旋玻璃理论中退火排序系统的哈密顿量，EX[H（~ w | X）]=αN-计算1Xi=1viwi（39）。在此设置中，还使用拉格朗日待定乘数法，可以最小化预期投资风险的投资组合EX[H（~ w | X）]，即~ wOR=arg min ~ w∈WEX[H（~w | X）]，很容易求解。因此，拉格朗日待定乘子函数定义如下：LOR=EX[H（~ w | X）]+k（N（1- ρ) - ~wT~e）+θ（N（R- ρR）- ~wT ~ r）。（40）从LOR的极值条件来看，即，LOR公司wi公司=LOR公司k级=LOR公司θ=0，每项资产的最小预期投资风险ε或=limN→∞N-1分钟~w∈WEX【H（~ w | X）】评估为ε或=α2 hv-1i（1- ρ） +（R- ρR- (1 - ρ） R）V！。（41）比较式（29）中的ε和式（41）中的ε或ε，由最小预期投资风险ε或相对于最小投资风险ε的比率确定的机会损失，即κ=ε或ε，估计为κ=α- 1.（42）根据公式（42），由于机会损失κ仅是投资周期比率α的函数，而不取决于ri、vi、无风险资产的预期收益率和无风险资产的投资组合ρ的概率，因此可以看出这种宏观关系始终成立。

此外，当α向1收敛时，机会损失会很大，因为~ wOR=arg min ~ w∈WEX【H（~w | X）】与~w不一致*式（8）中。因此，通过运筹学方法得出的投资组合，即wOR，不适用于投资的最佳多元化。22年11月。物理。Soc。日本。全文5.5夏普比率的毕达哥拉斯定理。我们讨论夏普比率的宏观关系。夏普比率是一个独立的比率，由每风险回报率确定，并使用EQ符号书写。（2） ，（3）和（29），asS（R）=R- ρR√2ε. （43）从式（2）中可以看出，分子R- ρrme表示每项资产和等式中风险资产的预期回报率。（3） （29）分母√2ε是指每项资产的风险资产回报率的标准差。然后推导出夏普比最大化的期望回报率R*= arg maxRS（R）=ρR+（1- ρ)R+VR, （44）和夏普比S（R）最大值的平方*) 估计为asS（R*) =V+Rα- 1.v-1.. （45）此外，等式（29）中可以最小化和最大化ε=ε（R）的两个预期收益率R分别评估为rmin=arg minRε（R）=ρR+（1- ρ） R，（46）Rmax=arg maxRε（R）=∞, （47）并计算夏普比的平方asS（Rmin）=Rα- 1.v-1., （48）S（Rmax）=Vα- 1.v-1.. （49）然后，宏观关系（R*) = 得到S（Rmin）+S（Rmax）（50）。与式（42）相似，可以看出，在无风险资产和风险资产的情况下，毕达哥拉斯的夏普比率定理也成立。此外，它表明这个毕达哥拉斯定理不依赖于ri，vi，12/22J的概率。物理。Soc。日本。

全文包括无风险资产收益率R、无风险资产组合ρ和投资期限比率α。5.6使用Cauchy–Schwarz不等式（~ aT ~ b）的最大Sharpe比率≤~在~a·~bT~b，我们讨论了最大夏普比。来自Eqs。（2） ，（3）和（29），式（43）中的夏普比替换为（R）=N ~ wT ~ rqN-1～wTJ～w.（51）进一步设置a=J～w和b=J-~r、 因为Cauchy–Schwarz不等式计算为（~ aT ~ b/√~在~ a）≤~bT~b，在大量资产N，S（R）的限制下≤N- 1N ~ rTJ-1～rN=高压-1riα- 获得1（52）。来自hv-1ri=高压-1i（V+R），表明等式（52）中的右侧与等式（45）一致。此外，从这个不等式的相等条件~a=l ~ b（l是标量系数），~w=lJ-得到1～r。比较此andEq。（8） ，这表明k*= 0也适用。即，使用k中的等式（13）*= 0，R*= ρR+（1- ρ)R+VR（53）也可获得，且与式（44）一致。5.7托宾分离定理最后，让我们讨论包括阿里斯自由资产在内的投资股票的托宾分离定理。使用之前工作中获得的结果（即公式（37）），风险资产回报率的标准差y（R）=√2ε估计如下：y（R）=sα- 1hv-1i1+（R- R） 五. （54）此外，从无风险资产回报率的平均值及其标准差，即0，我们可以很容易地评估从点（R，0）到函数y（R）的切线。切线M的坐标设置为（RM，y（RM））。我们将切点M处的投资组合称为市场投资组合。由此，使用切点M处的斜率与连接（R，0）和（RM，y（RM））的直线的斜率一致的条件导出RMand y（RM）。也就是说，它们已解决13/22J。物理。Soc。日本。来自关系y（RM）=y（RM）的完整纸张-0RM-R

那么，RM=R+VR- R、 （55）y（RM）=sα- 1hv-1i1+V（R- R）（56）获得。使用双基金分离定理，对于任意预期回报率系数R，切线yA（R）上点A（R，yA（R））的y坐标=R-RRM公司-Ry（RM）+RM-RRM公司-R·0的计算值为asyA（R）=sα- 1hv-1iR- RpV+（R- R） ，（57）式（57）表示淬火无序系统的资本分配线。使用εminin公式（33），ymin（R）=√2εminisymin（R）=sα- 1hv-1iR- RpV+（R- R） ；（58）由于与式（57）一致，因此确定由代表性资产和无风险资产两种资产组成的投资组合与式（3）中能够最小化投资风险的最优投资组合一致。此外，请注意，RMin公式（55）与公式（38）的相等条件一致。此外，替换ρ*在公式（32）中，转化为k的ρ*式（13）和θ中*式（14）中，k*= -R- Rg（0）（V+（R- R） ）R，（59）θ*=R- Rg（0）（V+（R）- R） ）（60）。我们还将其替换为~w*= k*J-1～e+θ*J-式（8）中的1~r，并获得~w*=R- Rg（0）（V+（R- R） ）J-1（~ r- R~e）。（61）根据等式（61）的结果，尽管无风险资产组合*N=Nρ*根据等式（32）中预期回报率R的系数，每个风险资产的投资比率，即资产1对资产N- 1不依赖于R。因此，对于anyR，由于向量w的方向*, J-1（~ r- R~e），不会改变，它表明w*输入/输出*j=常数。（i，j=1，2···，N- 1） 保持。请注意~w*式（61）中正好是市场组合，并指出了猝灭无序系统的托宾分离定理。14/22J。物理。Soc。日本。全文6。

数值实验在本节中，我们使用数值实验的结果来验证每项资产的最小投资风险ε和夏普比率分析结果的有效性，夏普比率由累积量生成函数φ得出的g（0）、g（1）、g（2）进行评估。我们将资产收益率i EX[\'xiu]的平均值取为Rian，其方差VX[\'xi xiu]asvi=hiri；也就是说，方差是回报率平均值与随机比例系数hi（>0）的平方的乘积。此外，假设RIA和HIA独立分布于以下有界帕累托分布，其定义为（lr≤ 国际扶轮社≤ ur，lh≤ 你好≤ uh）：fr（ri）=1.-cru1-crr公司-l1级-crrr-crilr公司≤ 国际扶轮社≤ ur0，否则，（62）fh（hi）=1.-chu1-chh公司-l1级-chhh公司-奇尔≤ 国际扶轮社≤ uh0，否则，（63），其中ri，hi，fr（ri），fh（hi）的有界帕累托分布的参数分别被接受为（lr，ur，cr）和（lh，uh，ch）。为方便起见，lr、lh、cr、ch>0的区域被认为是可以满足的。使用以下程序，我们数值估计每项资产的最小投资风险ε和夏普比率S。步骤1 ri，Hia由等式随机分配。（62）和（63），然后制备ri，vi（=hiri）。步骤2：资产i'xiu的回报率也由分布随机分配，其中ex'xiu]=RIA和VX'xiu]=vi。此外，修改后的回报率xiu='xiu-riis计算，收益率矩阵X=xiu√N∈ R（N-1） ×pis设置。步骤3我们设置J=XXT∈ R（N-1） ×（N-1） 并计算其逆矩阵J-1、步骤4 g（0）=N~eTJ-1~e，g（1）=N~rTJ-1~e，g（2）=N~rTJ-1～r进行评估。步骤5使用g（0）、g（1）、g（2），V=g（2）g（0）-g（1）g（0）, （64）k*=g（0）V(1 - ρ） g（2）g（0）- （R）- ρR）g（1）g（0）,(65)θ*=g（0）VR- ρR- (1 - ρ） g（1）g（0）（66）15/22J。物理。Soc。日本。

全文以数字方式获得。步骤6使用ε=k（1-ρ） +θ（R-ρR）×NN-1和S=R-ρR√估算了2ε、ε和S。在实验设置方面，我们采用N=1000，p=2000，（α=2），lr=lh=1，ur=uh=cr=ch=2，ρ=0.1，R=1。我们进行了100次试验。由此，我们可以数值估计每资产最小投资风险和夏普比率的典型行为，并将结果与等式进行比较。（29）和（43），如图1所示。图1（a）中的横轴和纵轴分别显示了预期回报率R和每项资产的最小投资风险ε。图1（b）中的水平轴和垂直轴分别显示了预期回报率R和夏普比率S。实线表示所提方法产生的结果，星号witherror条表示数值结果。从这两个图可以清楚地看出，使用所提出的方法生成的结果与数值实验是一致的。换句话说，本文提出的基于累积量生成函数的方法的有效性得到了证实。结论我们扩展了在预算和预期收益约束下解决投资风险最小化问题的分析方法。我们求解了在这些约束条件下可以最小化投资风险的最优投资组合，包括无风险资产。更具体地说，投资市场中的一只股票被视为无风险资产，我们探讨了由无风险资产和风险资产组成的投资组合与仅由风险资产组成的投资组合之间的关系。采用拉格朗日待定乘子法对投资组合优化问题进行了重新表述。

为了分析评估最优解，虽然有必要确定三个矩以估计Wishart矩阵的逆，但作为另一种方法，我们使用一种可以估计三个矩而不直接确定逆矩阵的方法来推导最小投资风险。通过与以往研究结果的比较和数值实验的使用，证实了阿里斯克自由资产对最小化投资风险的重要性。此外，我们还成功地推导了淬火无序系统中的机会损失关系、毕达哥拉斯夏普比定理和托宾分离定理。在此，我们的重点是均值-方差模型，因此，为了发展风险管理理论，未来有足够的研究空间将其扩展到其他投资风险模型。例如，关系分析16/22J。物理。Soc。日本。使用绝对偏差模型和预期缺口模型，在最小投资风险和无风险资产的投资比率之间的完整文件将是重要的查询线。致谢作者感谢与D.Tada进行的富有成效的讨论。这项工作得到了第15K20999、17K01260和17K01249号援助赠款的部分支持；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；坎波基金会安德烈研究项目4号。附录A：副本分析由于包括具有预算和回报约束的无风险资产在内的投资风险最小化问题被视为基本状态估计问题，因此在本附录中，我们使用副本分析来解决该投资组合优化问题。哈密顿量H（~w | X）的玻耳兹曼分布的配分函数Z在等式中。

（3） 逆温度β的值用Z=Z ~ w表示∈Wd ~我们-βH（~ w | X）。（A·1）在大量资产N的限制下，基于复制对称性ansatz，φ=limN→∞N- 1EX[对数Z]=外向-hlog（▄χw+v▄χs）i+qw+v▄qs▄χw+v▄χs+（k+rθ）~χw+v▄χs-αlog（1+βχs）-αβqs2（1+βχs）- k（1- ρ) - θ（R- ρR）+（χw+qw）（￠χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs（A·2），其中序参数qwab=N-1PN-1i=1wiawiband qsab=N-1PN-1i=1VIWIAWI及其辅助顺序参数▄qwab、▄qsaba被使用。此外，副本对称解决方案设置为QWAB=χw+qwa=bqwa 6=b，（A·3）17/22J。物理。Soc。日本。完整纸张SQSAB=χs+qsa=bqsa 6=b，（A·4）~qwab=χw- qwa=b-qwa 6=b，（A·5）~qsab=χs- qsa=b-qsa 6=b，（A·6）ka=k，（A·7）θA=θ，（A·8），其中（A，b=1，2，···，n）。此外，k和θ是与式（1）中的预算约束和式（2）中的回报约束相关的参数。顺序参数集Θ=（k，θ，χw，qw，χs，qs，￠χw，▄qw，▄χs，▄qs）已经应用。根据这些序参数的极值条件，φk级=φθ=φχw=φqw公司=φχs=φqs公司=φ χw=φ qw=φ χs=φ qs=0，k=β（α- 1） 高压-1iV(1 - ρ） （V+R）- （R）- ρR）R,（A·9）θ=β（α- 1） 高压-1iV（R- ρR- (1 - ρ） R），（A·10）χw=hv-1iβ（α- 1） ，（A·11）qw=α- 1.(1 - ρ） +（R- Rρ）V+高压-2ihv-1i（1- ρ） VV+（R- R） +高压-2ihv-1iV+（R- R） V×R- Rρ+V（1- ρ） （R）- R） V+（R- R）, （A·12）～χw=0，（A·13）～qw=0，（A·14）χs=β（α- 1） ，（A·15）qs=α（α- 1） 高压-1i(1 - ρ） +（R- Rρ）V, （A·16）18/22J。物理。Soc。日本。整篇论文χs=β（α- 1） ，（A·17）~qs=β（α- 1） 高压-1i(1 - ρ） +（R- Rρ）V（A·18）通过分析获得，其中R=hv-1rihv-1i，（A·19）R=高压-2rihv-2i，（A·20）V=高压-1rihv-1i-高压-1rihv-1i, （A·21）V=高压-2rihv-2i-高压-2rihv-2i, （A·22）Rρ=ρR+（1- ρ） 使用R（A·23）。