指数函数下的电力欧式期权定价

设uA（τ，x）为以下本地化问题的解：ul，rτ=（LD+LJ）ul，r，on（0，T）×(-Al，Ar）ul，r（0，x）=H（性别），x∈ (-Al，Ar）ul，r（τ，x）=0，x/∈ (-Al，Ar）。（13） 我们将在以下命题中表明，定位误差随域大小A呈指数衰减。命题4.1。假设kHk∞< ∞ Cτ=E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#< ∞. 设ul、r（τ，x）和u（τ，x）分别为柯西问题（9）和（13）的解。然后| u（τ，x）- ul，r（τ，x）|≤ CτkHk∞e-最大值（Al，Ar）+x |，x个∈ (-Al，Ar）（14），其中常数Cτ不依赖于Arand Al.证明。L et Mxτ=supη∈[0，τ]| x+XT- XT公司-η|. Thenul，r（τ，x）=E{Mxτ<max（Al，A r）}H（Yxτ）u（τ，x）=E[H（Yxτ）]。（15） 因此| u- ul，r |=EH（Yxτ）1{Mxτ≥最大值（Al，Ar）}≤ kHk公司∞E{Mxτ≥最大值（Al，Ar）}≤ kHk公司∞Q（Mxτ>m ax（Al，Ar）。（16） [29]中的定理25.18和Rre | x |ν（dx）<∞ implyCτ=E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#< ∞. （17） ButQ（Mxτ>m ax（Al，Ar））=Q（eMxτ>emax（Al，Ar））（18）（19），且自supη∈[0，τ]| x+XT- XT公司-η| ≤ supη∈[0，τ]| XT- XT公司-η|+| x |，n{Mxτ>m ax（Al，Ar）}（supη∈[0，τ]| XT- XT公司-η| ≥ 最大值（Al、Ar）- |x |）。亨塞克eMxτ>emax（Al，Ar）≤ Qesupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|>emax（Al，Ar）-|x |！。（20） 现在，利用马尔可夫不等式，我们得到qesupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|>emax（Al，Ar）！≤E“esupη∈[0，τ]| XT-XT公司-η|#emax（Al，Ar）-|x |。（21）将这些最后的不等式与（（16））g进行比较可以得到期望的结果。4.2积分的截断为了数值计算PID E（9）的积分项，我们需要将积分区域减少到一个有界区间，这将导致大跳跃的截断。然后，我们估计这种近似所产生的误差。准确地说，假设一个新的过程▄St，其特征是跳跃大小ln▄J的对数有界于[Bl，Br]，相关的度量为1{y∈【Bl，Br】}ν，其中，Bland Brare real。我们进一步假设，在没有损失一般性的情况下，Bl<0，Br>0。

在这种情况下，相关PIDE的对应解表示为▄u（τ，x）。我们在下面的命题中分析差异| u- u |。提案4.2。一个有：| u（τ，x）- u（τ，x）|≤ Cτ总工程师-|Bl |+Ce-Br公司, （22）其中Cτ=ChτlS+lRTT公司-τβ（s）（T- s） dsi。证据首先，让▄Xt成为一个新的L'evy过程，定义如下：▄Xt=Ztα（s）-σ（s）ds+Ztσ（s）dWs+Ztln▄Jdqs，（23）和let：▄u（τ，x）=E[H（▄Yxτ）]，（24），其中▄Yxτ=性别+▄XT-XT-τ-RTT公司-τβ（s）eXT-XSD。设置Rτ=XT-XT-（Xτ-~Xτ）并使用Lip-schitz性质H，我们得到：| u（τ，X）- u（τ，x）|=| E[H（Yxτ）]- E【H（~Yxτ）】|≤ cEh | S（ex+~XT）-XT-τ+RT-τ- ex+~XT-XT-τ)-ZTT公司-τβ（s）（e（~XT-Xs+Rs- 电子文本-XSD|≤ cSE[eXT-XT-τ| eRT-τ- 1 |]+ZTT-τβ（s）E[EXT-Xs | eRs- 1 |]ds. （25）自Rτ和▄XT-~Xτ是独立的，我们有| u（τ，X）- u（τ，x）|≤ cex（SE[eXT-XT-τ] E[| eRT-τ- 1 |]+ZTT-τβ（s）E[EXT-Xs]E[| eRs- 1 |]ds）。（26）此外，电子文本-XT-u、 u型∈ [0，T]作为鞅，E[EXT-XT-τ] =1和E[EXT-Xs]=1。作为结果e，| u（τ，x）- u（τ，x）|≤ cex（SE[| eRT-τ- 1 |]+ZTT-τβ（s）E[| eRs- 1 |]ds）。（27）自∈ R、 | ea- 1 |=（ea- 1） +2（ea- 1） +和（ea- 1)+≤ |a |，然后| u（τ，x）- u（τ，x）|≤ cex（SE[| RT-τ|]+ZTT-τβ（s）E[| Rs |]ds）。（28）但：E[| RT-τ|] ≤ lZTT公司-τ-ZBl公司-∞yglnJ（y）dy+Z+∞BryglnJ（y）dyds公司≤τl-e-|Bl | ZBl-∞ye | y | gln J（y）dy+e-|Br | Z+∞Brye | y | glnJ（y）dy≤τlS总工程师-|Bl |+Ce-|Br公司|, （29）其中C=-RBl公司-∞ye | y | glnJ（y）dy和C=R+∞Brye | y | glnJ（y）dy.将（29）代入（25），我们得到：| u（τ，x）- u（τ，x）|≤ CτlS+lZTT公司-τβ（s）（T- s） ds公司总工程师-|Bl |+Ce-|Br公司|, （30）式中，C=命题4.1和4.2中的Cex，当| Bl | a和| Br |增长到整数时，u收敛到u。4.3显式-隐式模式在（0，T）×上定义一个统一的m网格(-Al，Ar）乘以τn=nt、 n=0。。。，M、 xi=ix个- Al，i=0，。。，N、 使用t=t/M和dx=Ar+AlN。

设（uni）为数值al格式的解，我们定义如下：首先，为了近似积分terms，我们使用具有相同分辨率的梯形求积规则x、 让KRLAND KR是这样的【Bl，Br】 [（Kl- 1/2)x、 （韩元+1/2）x] ，n:ZBrBl（u（τ，xi+y）- u（τ，xi））glnJ（y）dy韩元∑j=Klνj（ui+j- ui），（31），其中νj=R（j+1/2）x（j-1/2)xgln J（y）dy.注意，要计算积分项，我们需要将解扩展到[-Al+Bl，Ar+Br]。因此，我们假设此解为零，除了[-Al，Ar]。导数采用有限差分法离散化，因此：ux个我用户界面+1- 2ui+ui-1(x）ux个我用户界面+1- 用户界面xif f f（τ，x）≥ 0ui- 用户界面-1.xif f f（τ，x）≤ 0，（32），其中f（τ，x）=α（T-τ) -σ（T）-τ) -β（T-τ） 性。利用（31）和（32），假设f（τ，x）<0，我们得到以下关系：un+1i- uni公司t=（LDu）n+1i+（LJu）ni，（33），其中（LDu）ni=f（τn，xi）uni+1- uni公司x+σ（T-τn）uni+1- 2uni+uni-1(x） （LJu）ni=Kr∑j=Klνj（uni+j- uni）。（34）最后，我们将问题（9）替换为以下时间步进数值格式：初始化ui=H（Sexi），如果i∈ {0，…N- 1} 对于n=0，。。。，M-1un+1i- uni公司(t） =（LDu）n+1i+（LJu）niif i∈ {0，…，N- 1} un+1i=0，如果/∈ {0，…，N- 1}.（35）在定义了数值格式之后，我们研究了它的一些重要性质，特别是一致性、单调性、稳定性和收敛性。4.4一致性下列命题表明（35）与（9）一致。提案4.3。（一致性）有限差分格式（35）与方程（9）局部一致：即， v∈ C∞（[0，T]×（Al，Ar）），和（τn，xi）∈ [0，T]×R，一公顷：vn+1i- vni公司(t）- （LDv）n+1i- （LJv）ni-vτ（τn，xi）- （LD+LJ）v（τn，xi）= rni公司(t，x）→ 0（36）as(t，x）→ (0,0). 换句话说，c>0，以便：| rni(t，x） |≤ c类(t+x） 。证据

L et公司a=vn+1i- vni公司t型-vτ（τn，xi）a=（LDv）n+1i- LDv（τn，xi）a=（LJv）ni- LJv（τn，xi）。（37）利用二阶泰勒展开式对τ的响应，我们得到了vn+1i≈ vni+t型vτ（τn，xi）+(t）vτ（τn，xi）。在（（37））中的第一个等式中插入此关系，我们得到：| a |=t型vτ（τn，xi）≤t型vτ（τn，xi）∞=tM，（38），其中M=vτ∞. 现在我们证明了| a |是有界的。根据mea n值定理，存在θ∈]τn，τn+1[这样：LDv（τn+1，xi）- LDv（τn，xi）≈ t型τLDv（τn+tθ，xi）。如果将此关系替换为（（37））中的第二个方程，则：| a |=（LDv）n+1i- LDv（τn+1，xi）+t型τL v（τn+tθ，xi）. （39）接下来，4阶v的ta king Taylor表达式给出：vn+1i+1≈ vni+x个vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）vn+1i-1.≈ vn+1i- x个vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi）-(x）vx（τn+1，xi）+(x）vx（τn+1，xi），hencevn+1i+1- 2vn+1i+vn+1i-1(x）≈(x）vx个+(x）vx个.将最后一个结果放入（（39））得到：| a |≤(x） | f（τn+1，xi）|vx个+(x）vx个+(x） σ（T-τn+1）vx个+t型|τL v（τn+tθ，xi）|，（40），因为α、σ、β和f是有界函数。此外，由于衍生品m+nvτnxmare b ounded，它意味着：| a |≤ (x） M+商标。（41）还有：| a |=韩元∑j=Klνj（vni+j- vni）-ZBrBl（v（τ，xi+y）- v（τ，xi））glnJ（y）dy=韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（vni+j- vni）gJ（y）dy-ZBrBl（v（τ，xi+y）- v（τ，xi））gJ（y）dy.自【Bl，Br】起 [（Kl- 1/2)x、 （韩元+1/2）x] ，那么我们有：| a |≤韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（v（τn，xi+yj）- v（τn，xi+y）glnJ（y）dy,利用一阶泰勒展开式，我们得到：| a |≤韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x（yj- y）vx（τn，xi+ψ）glnJ（y）dy,ψ∈]xi+y，xi+yj[。根据方案，我们有x（j- 1/2) ≤ y≤ x（j+1/2），这导致-x个≤ yj公司- y≤x。

因此，| a |≤x个韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)x个vx（τn，xi+ψ）glnJ（y）dy≤x个vx个∞韩元∑j=KlZ（j+1/2）x（j-1/2)xgln J（y）dy=xM，（42），其中M=vx个∞韩元∑j=KlR（j+1/2）x（j-1/2)xglnJ（y）dy. 最后，（38）、（41）和（42）表示| rni(t，x） |≤ t型M+M+ x个xM+M→ 0as(t，x）→ (0,0).4.5稳定性和单调性两个性质对于证明粘性解的收敛性很重要：格式的稳定性和单调性。定义4。稳定性方案（32）是稳定的，当且仅当对于某些有界初始条件，其解存在且有界依赖于t和x、 一致有界于[0，T]×R。也就是说，C>0，t>0，x>0，i∈ Z、 n个∈ {0，…，M}，| uni |≤ C、 如果一个给定的向量v的所有元素都是正的，我们就说它是正的。我们写u≥ v如果u- v≥ 在这一部分中，我们展示了该方案的稳定性，这反过来又意味着离散比较原则，这一性质在金融领域有着重要的解释。这一特性使得使用数值计划计算的期权价值能够检查套利不等式：收益之间的不等式导致期权价值之间的不等式。提案4.5。（稳定性和离散比较原理）如果t型≤ 1.∑Krj=Klνj，方案（32）是稳定的，因此验证了离散比较原则：u≥ 五==> n∈ N*, 联合国≥ 越南。证据首先，考虑（32）的形式：-村+1i-1+（1+at） un+1i- btun+1i+1=1- tKr公司∑j=Klνj！uni+tKr公司∑j=Kluni+jνj，（43），其中c类=(x） σ（T-τn+1）≥ 0a=xf（τn+1，xi）+(x） σ（T-τn+1）≥ 0b=xf（τn+1，xi）+(x） σ（T-τn+1）≥ 0。（44）a和b的正性源于g为正。如果g不是正的，我们改变所用方案中一阶导数的近似值。

无论哪种情况，都有：a=b+c=> 一t=bt+ct型=> 1+at>（b+c）t、 因此| 1+at |>|- ct |+|- bt |，意味着（un+1，…，un+1N）上的线性系统矩阵具有严格占优对角，因此是可逆的。因此，线性系统的解存在且唯一。我们现在用数学归纳法证明这个解是有界的。也就是说，如果kHk∞≤ ∞ 是Bounded的初始条件，那么，n∈ N、 昆克∞≤ kHk公司∞. （45）根据u的定义，我们有kuk∞≤ kHk公司∞. 假设（45）等于f或n。为了证明它等于n+1，我们假设kun+1k∞> kHk公司∞. 根据k.k的定义∞, 我∈ {0，…，n}这样| un+1i |=kun+1k∞, 和我∈ Z、 | un+1i |<| un+1i |。因为a=b+c，我们可以写，kun+1k∞= |un+1i |=-ct | un+1 I |+（1+at） | un+1i |- bt | un+1i |。（46）此外，作为| un+1i-1 |<| un+1i | a和| un+1i+1 |<| un+1i |我们有KUN+1k∞6.-ct | un+1i-1 |+（1+at） | un+1i |- bt | un+1i+1 |。（47）使用（43）和（47），以及t型≤ 1.∑Krj=Klνj，我们得到：kun+1k∞≤1.- tKr公司∑j=Klνj！uni+tKr公司∑j=Kluni+jνj≤1.- tKr公司∑j=Klνj|uni |+tKr公司∑j=Kl | uni+jνj|≤1.- tKr公司∑j=Klνj！昆克∞+ tKr公司∑j=Klνjkunk∞= 昆克∞≤ kHk公司∞,这与我们的假设相矛盾。因此kunk∞≤ kHk公司∞.提案4.6。（单调性）设unand vn是（32）的两个解，分别对应于一些初始条件f和h，满足f（x）≥ h（x）x个∈ R、 如果t型≤ 1.∑Krj=Klνj，然后un≥ vn，n∈ N、 证明。定义wn=un- 越南。我们展示了wn≥ 0n∈ N、 如命题4.5所示，我们继续归纳。通过构造，我们得到wi=f（xi）- b（xi）≥ 0, 我∈ Z、 左侧和右侧≥ 0，并假设：infi∈Zwn+1i<0。自从我∈Z \\{0，…，N}，wn+1i=0，这意味着我∈ {0，…，N}使得wn+1i=infi∈Zwn+1i。使用（43）和t型≤∑Krj=Klνj，我们有∈Zwn+1i=wn+1i=-ctwn+1i+（1+at） wn+1i- btwn+1i≥ -ctwn+1i-1+（1+at） wn+1i- btwn+1i+1=1- tKr公司∑j=Klνj！wni+tKr公司∑j=Klwni+jνj≥ 0，这是一个矛盾。

之前，infi∈Zwn+1i≥ 0，因此wn+1≥ 0.4.6收敛如上所述，我们的方案（35）是局部一致、稳定、单调的，并且验证了离散比较原理。在PDE有限差分格式收敛的通常方法中，一致性和稳定性确保了在解的正则性假设下的收敛性。这些条件在这里并不充分，因为解可能不是光滑的，并且可能不存在高阶导数。这就是粘性溶液的概念被引入的时候。在二阶准抛物/椭圆偏微分方程中，Barles和Souganidis[7]表明，前椭圆（或抛物）偏微分方程、任何局部一致、稳定和单音有限差分格式在每个紧致子集[0，T]×R上一致收敛到唯一的连续粘性解。Rama Cont和EkaterinaVoltchkova在[11]中表明，数值格式的解在[0，T]×R的每个紧致子上一致收敛于唯一粘性解，即使使用数值格式构造的下解和上解可能不具有一致的连续性。本文研究的PIDE依赖于[11]中的sam假设，除了这里，我们是在有限活动测量的情况下，因为jumpsis对数正态分布的大小。然后我们用同样的技巧证明了显-隐格式（35）对问题（9）的粘性解的收敛性。提案4.7。（显隐格式的收敛性）设H为有界分段连续初始条件，则解u(t，x） 在[0，T]×R的每个紧致子集上，该数值格式的解一致收敛于连续问题（9）的解u。证据

定义u（τ，x）=liminf(t，x）→（0,0）（t，y）→（τ，x）u(t，x） （t，y）andu（τ，x）=lim sup(t，x）→（0,0）（t，y）→（τ，x）u(t，x） （t，y）。（48）该证明的目的在于显示以下等式u（τ，x）=u（τ，x）=u（τ，x）。在显示这个等式之前，需要一些预备结果。我们首先给出（35）的等价表达式。u（τn，xi）=F[u（τn- t、 ）]（xi），n=1。。。，M，i∈ 0,..., N、 u（0，xi）=H（Sexi），i∈ 0,..., N、 （49）u（τN，xi））=0，N=0，。。。，M/∈ 0,...,N、 可以通过以下定义定义4确定49 b的支持和基础解决方案。函数w是49 ifw（τn，xi）的上解≥ F[w（τn- t、 ）]（xi），n=1。。。，M，i∈ 0,..., N、 w（0，xi）≥ H（Sexi），i∈ 0,..., N、 （50）w（τN，xi））≥ 0，n=0，。。。，M/∈ 0,...,N、 函数z是49 ifz（τN，xi）的子解≤ F[z（τn- t、 ）]（xi），n=1，。。。，M、 我∈ 0, ...,N、 z（0，xi）≤ H（Sexi），i∈ 0,..., N、 （51）z（τN，xi））≤ 0，n=0，。。。，M、 我/∈ 0,...,N、 为了避免（48）中u和u定义可能不适用的一致连续性和光滑性问题，可以方便地根据9的d亚解和49的super和subsolutions考虑光滑su，并导出与u和u的链接。以下结果将比较原则扩展到super和subsolutions。引理4.9。对于49的任何上解w和下解z，我们有z≤ u≤ w、 证明。对于（i/∈ 0, ...,N） 或（N=0和i∈ 0,...,N） 定义满足了上述不平等。对于n=1。。。，M、 我∈ 0,..., N来自格式的单调性，我们有z（τN，xi）≤ F[z（τn- t、 ）]（xi）≤ F[u（τn- t、 ）]（xi）=u（τn，xi）=F[u（τn- t、 ）]（xi）≤ F[w（τn- t、 ）]（xi）≤ w（τn，xi）。引理4.1 0。设w和z分别是9的光滑上解和下解。那么对于所有ε，存在 > 0，以便t，x，≤ , n≥ 0, 我∈ Z、 Z（τn，xi）-ε<u（τn，xi）<w（τn，xi）+ε证明。

选择0<q（T+1）<ε的q su ch，并设w（τ，x）=w（τ，x）+q（1+τ），注意，常数函数始终是一个解。事实上，从定义中可以看出，该方案是线性的。如果我/∈ 0,...,N、 我们有▄w（τN，xi）=w（τN，xi）+q（τ+1）≥ q≥ 0。（52）如果n=0且i∈ 0,...,N、 ~w（0，xi）=w（0，xi）+q≥ H（性别）。（53）如果n≥ 1，我∈ 0,...,N根据模式e的一致性，我们在w中观察到ta（τN，xi）- w（τn- t、 xi）(t）- LDw（τn- t、 xi）- LJw（τn- t、 xi）=w（τn，xi）- w（τn- t、 xi）(t）-LDw（τn- t、 xi）- LJw（τn- t、 xi）+q>0（54）-→wτ（τ，x）- （LD+LJ）w（τ，x）+qast，x个-→ （0,0），（τn，xi）-→ （τ，x），统一于（0，T[×O）。因此对于任何足够小的 > 0，全部t，x个≤ , 我们有w（τn，xi）≥ F【~w（τn- t、 ）]（xi），n≤ 1.我∈ 0,...,N） 。（55）结合52、54和55，表明函数▄w是49的上解。事实上，引理4.9意味着u（τn，xi）≤ ~w（τn，xi）+q（1+T）<w（τn，xi）+ε，n≥ 0, 我∈ Z、 这是理想的特性。下限z（τn，xi）-ε可以用同样的方式证明，然后完成证明。继引理52和引理54之后，我们得到了下面的引理4.1 1。设u和u为48的函数定义。对于问题9的任何光滑上解w（τ，x）和任何子解z（τ，x），我们有For（τ，x）∈ [0，T]×O，z（τ，x）≤ u（τ，x）≤ u（τ，x）≤ w（τ，x）。（56）证明。根据上限和下限的定义，引理4.10表示欲望d属性。在给出一些需要的性质后，我们可以开始证明收敛性（即证明u=u=u）。I f H，R上的Hare平滑函数，使得H≤ H≤ H、 那么w（τ，x）=E[H（Yxτ）]和z（τ，x）=E[H（Yxτ）]分别是柯西问题9的上解和下解。Fr om引理4。11我们得到56。注意，Ifw（τ，x）-u（τ，x），u（τ，x）-z（τ，x）可以变小，这将影响t极限(t，x）→（0,0）（τn，xi）→（τ，x）u(t，x） （τn，xi）=u（τ，x）。

实际上，仍需构造近似值H和H.Letζ，。。。。，ζIbe H的不连续点。我们假设H的跳跃以δ为界。给定ε>0和H，H光滑函数，满足以下关系式sh（x）≤ H≤ H（x）x个∈ R、 | H（x）- H（x）|≤δx个∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε），| H（x）- H（x）|≤εx个/∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε）。我们有w（τ，x）- z（τ，x）=E[H（Yxτ）- H（Yxτ）]≤δQ（Yxτ∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε））+εQ（Yxτ/∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε）（57）≤δQ（Yxτ∈I[j=1（ζj-ε、 ζj+ε））+ε。（58）注意到tε>0{Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）}={Yxτ∈ {ζ，….，ζI}}。因为Yxτ有一个绝对连续的分布，所以我们有Q（{Yxτ∈ {ζ，….，ζI}}）=0。因此Q（Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）-→ 0为ε-→ 因此w（τ，x）- z（τ，x）-→ 0为ε-→ 0和不等式z（τ，x）≤ u（τ，x）≤ w（τ，x）与Lemm a4.11一起表示完成pro的预期结果。备注4.12。当τ=0时，格式不会在H的不连续点处收敛到初始条件。这是由于Q（Yxτ∈ISj=1（ζj-ε、 ζj+ε）-→ Q（性别∈ {ζ，….，ζI}）=1{x∈{ln（ζS），…，ln（ζIS）}}。然而，这没有实际意义，因为在τ=0.5数值结果下数值计算解并不重要。在本节中，我们讨论了模式实现的细节，并给出了数值结果和一些解释。在开始模拟之前，参数方案如下所示，参数用于影响下表1：方案p a参数M n AlAr1 100 175-0.096 0.079结果与时间无关，如下所示。图1绘出了到期时未到期与剩余时间的不同现货价格的看涨期权。注意，由于剩余时间的增加，所有四种情况下的均值回复和价格上限效应都会导致在上述给定的设定参数下，买入价收敛到零。