利用波动率指数期货跟踪波动率指数：投资组合构建与绩效

杠杆作用与波动率指数期货的低回报相结合，将投资组合推至负值。从本节和前一节来看，很明显，如果要通过期货组合跟踪波动率指数，就需要动态策略。直接优化未对VIX波动作出反应的收益率投资组合的价格轨迹，并直接优化因过度杠杆而产生负值的收益率投资组合的回报率轨迹。在下一节中，我们将看到一个模型iven and Dynamic strategy，它似乎可以克服这两个陷阱。样本中的SpotVXXPortfolioZero0 200 400 600 800 1000 1200050100150200250（a）图7：spot VIX、ETF VXX和最优VIX回报组合的时间序列。x轴表示交易日数，y轴表示价格。所有价格标准化为100美元起价。4最佳动态复制在本节中，我们制定了复制指数收益的最佳策略。该模型建立在指数、指数期货和跟踪por tfolio的离散时间动力学基础上。通过在disc rete time中工作，我们将能够捕获期货市场中存在的每日按市价计价功能。然后，我们将找到最佳动态权重，以便在两个期货合约之间分配资本，从而复制指数的每日回报。4.1期货投资组合和价格动态为了维持期货头寸，投资者向结算机构提供一定的风险敞口fr操作，例如20%的美元价值保证金。该金额被称为初始保证金，而在结算机构持有的账户被称为保证金账户。

保证金账户标记为市场，这意味着如果我们表示成熟度Ti的期货价格，如在第j天观察到的byf（i）j，保证金账户收到的现金流等于f（i）j- f（i）j-1对于每个期货单位，投资者在j日结束时做多。假设投资者在交易期货时没有头寸限制。因此，任何投资组合权重（投资组合财富的分数）都有可能达到任何正值或负值。投资组合权重的大小表示该组合中杠杆的程度。此外，如果这些现金流累积到实质负值，保证金账户将低于一个称为维持保证金的水平。在这种情况下，投资者收到追加保证金通知，必须将账户资金补充至初始保证金。该账户将以无风险利率支付抵押品。在我们的离散时间模式l中，为了简单起见，我们假设全部曝光量保持在保证金上。这很简单，因为没有必要将追加保证金或维持保证金纳入模型中。每个时间步都是一天，我们用t、 在这里，t=1/252，因为每年有n=252个交易日。因此，期货合约按照时间步长按市值计价。因此，投资者必须根据前一天价格产生的信息，对第二天的持股做出所有决定，并且日内持仓保持不变。投资者持股的价值由离散时间过程{Xj}表示∞j=0，其中Xis是初始财富。进一步补充，有N份期货合约可供交易，到期日T<TN.那么，在第i个到期日（i=1，…，N）持有部分财富w（i）j的投资组合将拥有w（i）jXjf（i）jmany个到期日j的期货合约单位。

让连续复合无风险利率为r，使1美元增长为ert第二天就开始。从上面可以看出，如果期货合约的投资组合值Xjon day j，那么它值xj+1=Xjert+NXi=1w（i）jXjf（i）jhf（i）j+1- f（i）ji，j≥ 第j+1天为0（4.1）。因此，投资组合的每日回报率由xj+1Xj给出- 1=ert型- 1+NXi=1w（i）j“f（i）j+1f（i）j- 1#, j≥ 0.（4.2）这是与交易所共同配售的无风险回报与投资者持有的各种期货合约的加权平均每日回报之和。投资者跟踪的指数值由离散时间随机过程{Sj}表示∞j=0。假设指数满足以下等式（动机和讨论见下文）：Sj+1- Sj=u（θ- Sj）t+g（jt、 Sj）√tZj+1，j≥ 0，（4.3）其中{Zj}∞j=1是历史al测度P下独立且分布相同的标准正态随机变量。因此，指数的平均回报率等于j+1Sj- 1 =uθtSj公司- ut+g（jt、 Sj）Sj√tZj+1，j≥ 0。（4.4）这是由c连续时间平均值恢复模型DST=u（θ- St）dt+g（t，St）dZt，（4.5），其中u，θ为正参数，g（·，·）为一般局部波动函数，zt为历史测度P下的标准布朗运动（SBM）。漂移u（θ-当St<θ（对应St>θ）时，St为正（对应负），因此St趋于上升（对应下降）。这意味着Stmean返回θ。通过用一个特定的函数实例化g（·，·），可以得到许多著名的均值回复模型。例如，当g（t，St）=σ时，该模型称为Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型（Uhlenbeck和Ornstein（1930）），当g（t，St）=σ时√该模型被称为Cox-Ingerso-llRoss（CIR）模型（Cox et al.（1985））。

以波动性期货为例，Gr–ubichler和Longsta off（1996）以及Zhang和Zhu（2006）通过CIR过程对标准普尔500波动性指数（VIX）进行建模，并提供了期货价格的公式。期货价格是在风险中性度量下计算的，但对于跟踪和交易，我们还需要考虑历史度量下的动态。因此，投资者的最佳交易策略取决于这两个指标的参数。我们进一步假设，在风险中性指标Q下，指数保持相同的均值回复特性，但参数不同。即，dSt=eu（eθ- St）dt+g（t，St）deZt，（4.6），其中eu，eθ>0，g（·，·）是与上述相同的局部波动函数，是风险中性度量下的SBM。我们用λ（t，St）表示满足dZt=dZt的风险市场价格- λ（t，St）dt使λ（t，St）=u（θ-St）- eu（eθ- St）g（t，St）。（4.7）对于风险溢价的m，这表示指数在两个衡量指标下的均值变化特性。在该模型下，到期日为T的期货合约的价格为：=f（T，S；T）=EQ[ST | ST=S]=（S-eθ）e-eu（T-t） +eθ，（4.8）只要函数g（·，·）满足可积条件eq“ZTe2euξg（ξ，Sξ）dξ<∞,  T、 （4.9）根据伊藤公式，Fttar的动力学由DFTT=dSte给出-eu（T-t） +eue-eu（T-t） （St-eθ）dt（4.10）=e-eu（T-t） g（t，St）deZt（4.11）=e-eu（T-t） g（t，St）（λ（t，St）dt+dZt）。（4.12）方程（4.11）表示Q下的动态，而（4.12）反映P下的动态。在（4.8）之后，我们用离散时间指数j，asf（i）j=eθ+（Sj）来表示期货价格-eθ）e-eu（Ti-jt） ，则，j≤Ti公司t、 （4.13）这里，Ti是第i个期货合约的到期日（以年为单位），是t、 上述内容已定义j≤Ti公司t、 为了简化计算，我们假设所有正在考虑的合同都在时间j=0之前生效。

对于波动率指数期货，如果N≤ 7且交易期限小于或等于6个月。在gene-ral的情况下，我们也可以简单地更新可用期货的集合，并且仍然保持所有j≤Ti公司t、 当我们改变度量时，这是一个标准属性：漂移改变，但波动性保持不变。为了记下每个期货合约的回报，我们将（4.12）离散化为getf（i）j+1- f（i）j=e-eu（Ti-jt） g（jt、 Sj）λjt型+√tZj+1, j≥ 0，（4.14），其中λj：=λ（j，Sj）=u（θ-Sj）- eu（eθ- Sj）g（jt、 Sj），j≥ 0（4.15）是风险的离散时间市场价格。让第i份期货合约的到期时间（年）在第j天用D（i）j表示：=Ti-jt、 因此，第i份期货合约的每日回报率为f（i）j+1f（i）j- 1=e-euD（i）jg（jt、 Sj）eθ+Sj公司-eθe-euD（i）jλjt型+√tZj+1=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθλjt型+√tZj+1= B（i）jλjt型+√tZj+1, j≥ 0，（4.16），其中我们定义了b（i）j：=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ，j≥ 0。（4.17）将（4.16）代入（4.2），我们现在可以得到每个时间步j的投资组合回报率方程：Xj+1Xj- 1=ert型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+√tNXi=1w（i）jB（i）jZj+1，j≥ 0。（4.18）4.2最优跟踪问题我们现在讨论波动率指数期货的动态组合，旨在跟踪波动率指数的每日收益。每天j，投资者都会寻求将投资组合回报与倍数β的有条件预期平方偏差最小化∈ 指数回报率的R。minw（i）j，i=1，。。。，NEP“Xj+1Xj- βSj+1Sj+β- 1.Fj#，（4.19），其中{Fj}∞j=0是表示第j天观察到的价格产生的信息的离散时间过滤。杠杆系数允许我们考虑更一般的目标，尽管β=1的值在第2节和第3节中特别重要。数量β- 1来源于优化问题（4.19）中的objectivecriterion是一个有质量的回报差异。

即Xj+1Xj- 1.- βSj+1Sj- 1.=Xj+1Xj- βSj+1Sj+β- 1、此外，预期是通过历史指标P进行衡量的。我们之所以做出这种选择，是因为投资者根据历史（而非风险中性）指标实现了现金流。风险中性度量仅用于记录离散时间期货价格方程。ETN，VXX是一种交易所交易产品，可将财富动态分配给两个未来合约。再平衡基于波动率指数期货的滚动周期，并在每个周期中重复。特别是，在周期开始时，VXX将其全部财富持有在1个月期货中，并通过每日再平衡，减少其持有的1个月期货，购买2个月期货。到1个月期货到期时，VXX已经卖出了1个月期货的全部头寸，并持有2个月期货（到期时为1个月期货）100%的财富。VXX在一个月内减少持有量是线性的和确定性的。为了降低优化问题（4.19）的复杂性并便于与VXX进行比较，我们考虑了一种特殊情况，其中N=2，并且增加了一个条件，即每天j，我们必须有w（i）j+w（i）j=1。我们不要求对重量有任何其他限制。具体而言，我们不会对权重的符号或大小设置任何限制，通常我们会发现，根据优化问题（4.19），需要在一份期货合约中利用位置来优化跟踪波动率。请注意，I和I是优化问题的参数，而不是优化变量本身。

它们是通用的，我们将在NumericalImplementation n中考虑几个不同的对。以下命题给出了（4.19）在我们特定情况下的完整解决方案：在离散时间模型（4.3）下的命题4.1，指数S的投资组合为n=2个未来，对到期日为Ti6=tigen的S进行拉回，通过（4.1），最优策略（w（i）*j、 w（一）*j） 与优化问题（4.19）相关的是W（i）*j=-αα+ννα+ν，w（i）j=1-w（一）*j、 具有最佳目标函数值（να- να）α+ν，其中α：=ert型- 1 + tB（i）jλj- βut型θSj- 1., (4.20)α:= tλjB（i）j- B（i）j, (4.21)ν:=√t型B（i）j-βg（jt、 Sj）Sj, (4.22)ν:=√t型B（i）j- B（i）j. （4.23）证明。结合（4.4）和（4.18），我们计算投资组合回报与指数回报目标倍数之间的差异：Xj+1Xj- 1.- βSj+1Sj- 1.= 呃t型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+√tNXi=1w（i）jB（i）jZj+1- βut型θSj- 1.-βg（jt、 Sj）Sj√tZj+1。这可以用φ+φZj+1的形式表示，其中φ：=ert型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj- βut型θSj- 1.,和φ：=√tNXi=1w（i）jB（i）j-βg（jt、 Sj）Sj√t、 φ和φ都是s-tochastic，依赖于j、Sj以及其他模型参数。然而，它们对于Fj都是可测量的。利用这一点以及Zj+1独立于Fj的事实，我们得出结论，在Fj条件下，收益差为正态分布的均值φ和方差φ，其条件二阶矩由t型- 1 + tNXi=1w（i）jB（i）jλj+βut型1.-θSj!+√tNXi=1w（i）jB（i）j-βg（jt、 Sj）Sj√t！。现在，我们设置N=2和w≡ w（i）j=1的w（i）jso- w、 然后，优化问题（4.19）与Inw等价∈R（α+αw）+（ν+νw），（4.24），其中α、αν和ν在（4.20）–（4.23）中定义。

与φ和φ一样，这四个系数都是随机的，依赖于j、sj以及模型和期货合约的参数，但我们在这里抑制了依赖性。线性函数的平方总是共凸的，因为共凸函数的和是凸的，所以整体优化问题是凸的。因此，当可解时，一阶条件是全局最优的必要条件和有效条件，由2（α+αw）α+2（ν+νw）ν=0给出，从而给出最优策略w*= -αα+ ννα+ ν.为了使这个临界点存在，我们需要α6=0或ν6=0。只要B（i）j6=B（i）j，这两种情况都是如此，这相当于tog（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ6=g（jt、 Sj）eθeeuD（i）j+Sj-eθ<==> eeuD（i）j6=eeuD（i）j<==> D（i）j6=D（i）j。该最终条件与期货合约相等，且具有不同的到期时间，此处假设。最后，直接替换w*在目标函数中，（α+αw）+（ν+νw），得到最佳目标函数值。作为上述命题的推论，我们可以推导出一个索引值sj，以便存在零预期平方误差。推论4.2.1在离散时间模型（4.3）下，对于投资组合为N=2未来的指数S，其到期日Ti6=Tigiven by（4.1），优化问题的目标函数（4.19）的最佳值为0，当且仅当sj=βeueθβeu+’r，（4.25），其中‘r：=（ert型- 1)/t、 证明。使用命题4.1中的符号，当且仅当αα=νν时，优化问题（4.19）的最佳目标函数值为0。

这相当于t型- 1 + tB（i）jλj+βut型1.-θSjtλj（B（i）j- B（i）j）=√t型B（i）j-βg（jt、 Sj）Sj√t（B（i）j- B（i）j）。重新排列术语后，使用r=（ert型- 1)/t、 我们得到rSj+βu（Sj- θ) = -βg（jt、 Sj）λj。现在将方程（4.15）应用于风险λj的市场价格，最后一个方程减少到'rSj+βu（Sj- θ) = -βhu（θ-Sj）- eu（eθ- Sj）i<==> \'r Sj=βeu（eθ- Sj），这使我们得到了所需的（4.25）。备注4.1有趣的是，临界值独立于交易日j和合同到期日。Leung和Ward（2018）提供了该结果的连续时间模拟，用连续复合利率代替“r”。这是动态复制中产生的利率的交易频率和复利频率之间的直观对应关系。5实施和讨论在本节中，我们实施第4.2节中描述的最佳策略。特别地，我们将函数g（·，·）设置为g（t，St）=σ√St，对应于众所周知的NCIR模型的离散时间版本（参见Cox等人（1985））。我们从第5.1节开始，讨论在历史和风险中性措施下该模型的校准。在第5.2节中，我们模拟了该策略并讨论了其特性，并与VXX进行了比较和对比。5.1经验估计建议4.1中得出的最优策略需要两组参数：历史测度下的参数和风险中性测度下的参数。我们从历史度量开始，利用最大似然估计（MLE）框架对参数su、θ和σ进行排序。假设指数S遵循CIR模型DST=u（θ- St）dt+σpStdZt，其中u、θ、σ>0，zt为SBM。进一步假设我们观察到STA{St，…，Stn}的离散采样。

然后，Stjat时间的条件概率密度tjgiven Stj-1=sj-1（等距）时间增量t：=tj- tj公司-1由FCIR给出（sj | sj-1.θ、 u，σ）=σexp-sj+sj-1e级-ut￠σsjsj公司-1e级-ut型qIq公司σqsjsj-1e级-ut型,常数σ=σ1- e-ut2u，q=2μθσ- Iq（z）是第一类q阶贝塞尔函数的修正值。使用观测值{sj}nj=1，可以通过最大化平均对数似然来估计循环模型参数：l（θ，u，σ| s，…，sn）：=n- 1nXj=2ln fCIR（sj | sj-1.θ, u, σ)= -2 ln（￠σ）-（n）- 1） σnXj=2（sj+sj-1e级-ut） +n- 1nXj=2昆士兰sjsj公司-1e级-ut型+ ln智商σqsjsj-1e级-ut型.将模型校准到样本数据后，我们得到（u，θ，σ）=（10.86，18.81，6.37）。接下来，我们将讨论风险中性度量。回顾一下，在这种测量下，波动率不会发生变化，我们只需校准平均r外翻的参数：eu和eθ。为此，我们采用了矩量法（MOM）fra-mework，这是行业标准。特别是，我们将在时间和合同到期期间满足条件期望EQ[STi | St]。特别是，根据FTIT=（Stj）给出的时间tjis观察到的到期时间为Ti的S期货价格-eθ）e-eu（Ti-tj）+eθ。在任何特定的交易日，我们都会观察现货价格以及整个期限结构。因此，用于校准风险中性参数的数据集是一组三元组nStj、Ti、fTitj: j=1。。。，n、 i=1。。。，Njo，其中NJI是j日可交易的期货合约数量。我们利用所有已交易VIX期货合约的所有可用价格数据。让我们表示sj：=Stjand f（i）j：=fTitj。