随机偏微分方程仿射状态过程的仿射实现

叶理（Mt）t∈如果foreach g，则称为SPDE（1.1）的函数∈ M映射（1.12）为a ffine，映射（1.13）为square-a ffne。2.9. 定义。叶理（Mt）t∈如果每个g的SPDE（1.1）被称为a ffine且可接受∈ M映射（1.12）是一个直线且向内的映射，映射（1.13）是平方且平行的映射。2.10. 提议假设对于每个t∈ T和每个x∈ C⊕U SDE（1.9）具有C⊕ U值强解X=（Xt）t∈Tt（在备注2.1的意义上），其中|β：Tt×C⊕ U→ V和σ：Tt×C⊕ U→ Vn由（1.10）和（1.11）给出。然后叶理（Mt）t∈（1.1）不变。证据让t∈ T和h∈ Mtbe任意。然后存在唯一的x∈ C⊕假设h=ψ（t）+x。我们定义过程r=（rt）t∈Ttas rt：=ψ（t+t）+Xt，其中X=（Xt）t∈Ttis a C⊕ X=X的（1.9）的U值强解。然后我们有ro∈ Mt+o。现在，让我们∈ t任意。通过（1.6），我们得到所有s的∏Gβ（rs）=ddsψ（t+s）∈ [0，t]，随机集A Ohm 如果集合{ω，×R+称为消失∈ Ohm : （ω，t）∈ A代表一些t∈ R+}是一个P-空集，参见[22，1.1.10]。具有仿射态过程7且hencert=ψ（t）的仿射实现+ψ（t+t）- ψ（t）+ x+Ztβ（s，Xs）ds+Zt∏σ（s，Xs）dWs=h+Ztddsψ（t+s）ds+Zt∏Vβ（ψ（t+s）+Xs）ds+Ztσ（ψ（t+s）+Xs dWs=h+Zt∏Gβ（rs）ds+Zt∏Vβ（rs）ds+Ztσ（rs）dWs=h+ZtArs+α（rs）ds+Ztσ（rs）dWs，表明r是（1.1）的强解，r=h。2.11. 提议如果叶理（Mt）t∈对于（1.1）而言，它是唯一且可容许的，那么对于（1.1）而言，它也是不变的。证据这是命题2.10和[15，Thms.2.13和2.14]的结果。3、具有仿射和容许状态过程的仿射实现的存在性在本节中，我们给出了关于具有仿射和容许状态过程的仿射实现的存在性的主要结果。一般的数学框架是第2节的数学框架。

唯一的区别是我们没有指定空间G H对于直和分解H=G⊕ V提前；相反，我们只指定SPDE（1.1）和状态空间C的参数（A，α，σ⊕ U、 此外，让我 H是一个非空子集，我们称之为初始点集。3.1. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U，带初始点I，如果每个h∈ 存在一个区间T∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带h∈ M、 这对于（1.1）是不变的。3.2. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U具有初始点I和一个f状态过程if对于每个h∈ 我有一段时间∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带h∈ M、 对于（1.1）而言，这是可变的。3.3. 定义。SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U具有初始点I和一个可容许状态过程，如果对于每个h∈ 存在间隔T∈ J和a叶理（Mt）t∈t由C生成⊕ U带H∈ M、 对于（1.1）而言，它是不变的、唯一的且可容许的。关于初始点集，我们假设它允许分解i=我⊕ C⊕ 带子集的U我 H、 我们称之为I的边界，H=G⊕ V，其中G：=h二。在续集中，我们用∏G:H表示→ G和∏V:H→ V相应的投影。3.4. 假定我们认为我∩ D（A）在G中打开∩ D（A）关于图范数k·kD（A），由khkd（A）=qkhkH+kAhkH，h给出∈ D（A）。3.5. 假定我们假设α：H→ H是关于k·kH的Lipschitz连续，即α（D（A）） D（A）和α| D（A）：D（A）→ D（A）相对于k·kD（A）是lipschitz连续的。8斯特凡挺杆3.6。定理。假设假设假设3.4和3.5已完成。

那么以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ 具有初始点I和一个可容许状态过程的U。（ii）我们有 D（A）和σ（I） Vn，对于每个g∈ 我有（1.15）–（1.17）。证据（一）=> （ii）：这是提案2.7的结果。（二）=> （i） ：让h∈ 我很武断。然后是唯一的g∈ I和v∈ C⊕ 通常h=g+v。自I在G中打开∩ D（A）关于图形虫k·kD（A），存在 > 0这样b（g） 一、 其中B（g） G∩ D（A）表示开放球B（g） ={g∈ G∩ D（A）：千克- gkD（A）<}.根据[23，Thm.6.1.7]，存在一个经典解φ∈ C（R+；H）带φ（R+） 确定性演化方程的D（A）（ddtφ（t）=Aφ（t）+α（φ（t））φ（0）=h。因为φ：R+→ （D（A），k·kD（A））是连续的，存在δ>0使得φ（t）∈ B（g）⊕ V代表所有t∈ T、 其中T∈ J表示区间T:=[0，δ]。因此，定义ψ：T→ G asψ（t）：=πGφ（t），t∈ T、 我们有ψ（0）=和ψ（T）∈ I代表所有t∈ T、 （3.1）此外，函数∏Vφ：T→ V是V值时间不均匀ODE（ddtν（t）=∏Vβ（ψ（t）+Д（t））Д（0）=V的解。因此，通过（1.16）和（3.1），我们推断∏Vφ（t）∈ C⊕ U代表所有t∈ T、 因此φ（T）∈ I代表所有t∈ T、 （3.2）我们确定了叶理（Mt）T∈Tas Mt：=ψ（t）⊕ C⊕ U然后我们有h∈ 曼德M 一、 因此，条件（1.5）和（1.7）已完全满足。此外，通过（3.1）、（3.2）和（1.15），对于所有t∈ T我们得到ddtψ（T）=ddt∏Gφ（T）=∏Gddtφ（T）=∏Gβ（φ（T））=∏Gβ（ψ（T）+∏Vφ（T））=∏Gβψ（t）（πVφ（t））|{z}∈V+β（ψ（t））= πGβ（ψ（t）），因此β（ψ（t））∈ 因此，通过（3.1）和（1.15），对于所有T∈ T和所有v∈ C⊕ 我们推断β（ψ（t）+v）=β（ψ（t））+βψ（t）（v）{z}∈五、∈ T Mt，仿射状态过程的仿射实现9showing（1.6）。

此外，根据（1.16）和（1.17），叶理（Mt）t∈对于（1.1）而言，Tisa ffine是可容许的，因此，根据命题2.11，它对于（1.1）也是不变量。3.7. 评论关于定理3.6，让我们做以下补充说明。o假设3.4和3.5仅用于证明含义（ii）=> （i） .o如果σ是额外的Lipschitz连续的，那么定理3.6中关于a ffne实现的存在性以及关于a ffne（但不一定允许）状态过程的a ffne实现的存在性的类似版本是正确的。在这些情况下，条件（1.16）和（1.17）可能会被削弱，假设3.4和3.5以及Lipschitz连续性σ仅用于证明蕴涵（ii）=> （i） 。漂移依赖于波动性的SPD在本节中，我们给出了关于漂移项具有依赖于波动性的特定结构的SPD存在一个可容许状态过程和一个可容许状态过程的结果。一般数学框架如第3节所述。除此之外，我们还将对漂移的结构进行以下假设。4.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）我们有σ（H） 越南。（2） 映射σ：H→ L（V）是Lipschitz连续的。（3） 有一个线性算子S∈ L（L（V），H）带ran（S） D（A）使得α=Sσ。在第6节中，我们将看到假设4.1特别适用于数学金融中的HJMM方程。由于L（V）是有限维的，假设4.1意味着假设3.5已经完成。4.2. 引理。假设我 D（A）。然后，对于每个g∈ I以下陈述是正确的：（1）我们有βg（v）=Av+Sσg（v），v∈ C⊕ U、 （2）我们有（1.15）当且仅当ifAv+Sσg（v）∈ 五、 五∈ C⊕ U、 证明。

对于每个v∈ C⊕ U我们有βg（v）=β（g+v）- β（g）=A（g+v）+Sσ（g+v）- Ag公司- Sσ（g）=Av+Sσg（v），这建立了证明。特殊的结构α=Sσ意味着β是a ffne，前提是σ是平方a ffne。更准确地说，我们有以下辅助结果。4.3. 引理。假设我 D（A），让g∈ 我希望地图7→ （1.17）中的σ（g+v）为平方。然后映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个函数。证据这是结构β=a+Sσ的直接结果。然而，如果σ额外平行，这通常并不意味着β向上指向；这里有一个标准。10 STEFAN TAPPE4.4。引理。假设我 D（A），让g∈ 我认为条件（1.17）已满。那么下面的陈述是等价的：（i）我们有（1.15）和（1.16）。（ii）我们有（1.18）–（1.20）。证据根据命题A.20，我们得到σg（u）=0，u∈ U、 （4.1）根据（4.1），条件（1.19）和（1.20）暗示（1.15）。现在，假设条件（1.15）已满。我们定义β∈ V和β∈ L（V）asβ：=πV（Ag+Sσ（g））和β（V）：=Av+Sσg（V）。然后，乘以（1.15），对于每个v∈ C⊕ U我们有∏Vβ（g+V）=∏Vβ（g）+βg（v）= πVβ（g）+βg（V）=β+β（V）。因此，根据命题A.10和（4.1），条件（1.16）等同于（1.18）–（1.20）。4.5. 定理。假设假设假设3.4和4.1已完成。那么以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ 具有初始点I和一个可容许状态过程的U。（ii）我们有 D（A），每个g∈ 我有（1.17）–（1.20）。证据这是定理3.6和引理4.4的结果。一般结果（定理3.6）中的条件（1.15）在漂移形式为α=Sσ的当前情况下具有进一步的后果。

为了概述这些结果，我们定义了有限维子空间K L（V）为K：=S-1（V）∩ R、 其中R：=hσ（I）I，以及有限维子空间 L（V，L（V））为L：=L（V，K）。4.6. 提议假设我 D（A）和每个g的∈ I条件（1.15）已满。那么以下陈述是正确的：（1）对于每个v∈ C⊕ U地图7→ σg（v）：我→ L（V）（4.2）是常数模K.（2），如果对于每个g∈ I（1.17）中的映射为方形，然后映射为7→ σg：我→ L（V，L（V））（4.3）是常数模L证明。让v∈ C⊕ 你要武断。此外，设g，g∈ 我很武断。ByLemma 4.2我们有σg（v）- σg（v）=Av+Sσg（v）-Av+Sσg（v）∈ 五、 这意味着σg（V）- σg（v）∈ K、 这证明了第一种说法，第二种说法是直接的结果。特别是，如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，并且我们有K={0}，那么映射（4.2）或（4.3）必须分别是常数。以下结果可视为[16，Prop.9.3]的推广，这是利率模型的结果。仿射状态过程的仿射实现114.7。提议假设V∩ S（R）={0}和ker（S）∩ R={0}，并且SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕ U和初始点I。然后SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕U具有初始点si和一个（但不一定允许的）状态过程。证据根据备注3.7，我们有 D（A）和（1.15）。让g∈ 我很武断。ByLemma 4.2我们有av=βg（v）- Sσg（v），v∈ C⊕ U、 自V起∩ S（R）={0}我们得到βg∈ L（V）和Sσg∈ L（V，S（R））。Sinceker（S）∩ R={0}我们推断σg∈ L（V，L（V））。因此，mappingv 7→ （1.17）中的σ（g+v）为平方。因此，通过引理4.3，映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）if a ffne，这完成了证明。

现在，我们推导出关于子空间V生成的a ffene实现的存在性的一些结果；也就是说，现在，在状态空间的结构中没有合适的锥。为此，我们需要准指数波动率的概念。4.8. 定义。我们引入以下概念：（1）如果σk（H） D（A∞) 对于所有k=1，n、 然后我们定义子空间Aσ HasAσ：=nXk=1hAmσk（h）：m∈ Nand h∈ 你好（2） 如果我们有σk（H），波动率σ称为A-拟指数 D（A∞)对于所有k=1，n和dim Aσ<∞.对于某些SPDE（如第6节中的HJMM方程），存在a ffene变现的一个有效条件是波动率σ为a-拟指数。以下两个结果为σ提供了进一步的条件，这些条件对于获得一个有效的状态过程是必要的。4.9. 提议假设波动率σ为A-拟指数。然后，以下语句是等价的：（i）SPDE（1.1）有一个由V生成的a ffne实现，具有初始点SD（a），以及a ffne和容许状态过程。（ii）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffine实现，初始点SD（a）和a ffine状态过程。（iii）我们有σ V，每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：v→ L（V，L（V））（4.4）是常数。如果前面的条件已满足，则SPDE（1.1）具有由σ生成的一个完整的实现，该σ具有初始点D（a）和一个完整且可容许的状态过程。证据（一）<=> （ii）：这个含义很明显，因为V是一个线性空间。（一）=> （iii）：根据定理4.5，我们得到σ（H） VN和A（V） V，表示σ 五、此外，根据备注A.19，对于每个h∈ H映射（4.4）是恒定的。（三）=> （i） ：根据引理A.26和定理4.5，SPDE（1.1）具有由σ生成的、具有初始点D（A）的、具有α和容许状态过程的anaffine实现。12斯特凡挺杆4.10。

推论假设波动率σ为A-拟指数，且σk（H）i≤ 对于所有k=1，n和（4.5）hσk（h）i∩ hσl（h）i={0}对于所有k，l=1，n，k 6=l.（4.6），则以下语句是等效的：（i）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffne实现，具有初始点sd（a）以及a ffne和容许状态过程。（ii）SPDE（1.1）具有由V生成的a ffine实现，初始点SD（a）和a ffine状态过程。（iii）我们有σ V，每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：v→ Vnis常数。如果前面的条件已满足，则SPDE（1.1）具有由σ生成的一个完整的实现，该σ具有初始点D（a）和一个完整且可容许的状态过程。证据这是命题4.9和A.28的直接结果。5、仿射实现存在的充分条件和最大初始点集的构造在这一节中，我们给出了具有一个可容许状态过程的一个仿射实现存在的充分条件。一般的数学框架如第4节所述（特别是我们定义了C型状态空间⊕ u且漂移的形式为α=Sσ），但我们不预先指定初始点的集合I。相反，让G H是一个闭子空间，使得H=G⊕ 五、5.1. 提议假设假设4.1已完成，则对于每个g∈ G wehave（1.17），地图G 7→ σg:g→ L（V，L（V））（5.1）是常数，我们有ac+S（σ（c）- σ(0)) ∈ （C）⊕ hci）⊕ U、 c类∈ C（5.2）和（1.20）。然后，SPDE（1.1）具有由C生成的a ffine实现⊕ U，初始点Si={h∈ （G）∩ D（A））⊕ C⊕ U：∏V（A∏Gh+Sσ（∏Gh））∈ 内景C⊕ U} （5.3）且具有一个有效且可容许的状态过程，且初始点集具有分解I=我⊕ C⊕ U、 其中边界由I={g∈ G∩ D（A）∏V（Ag+Sσ（g））∈ 内景C⊕ U} 。（5.4）证明。

检查定义（5.3）和（5.4），我们发现分解I=我⊕ C⊕ U、 根据I的定义（5.3），我们可以看到 D（A）。注意到∏Vβ：（G∩ D（A），k·kD（A））→ （V，k·kV）是连续的I=（Vβ∏）-1（内部C⊕ U）定义（5.4），以及⊕ U在V中打开，我们得出I在G中打开∩ D（A）。因此，假设3.4已经完成，我们也有G=hIi，根据H的标准进行闭合。此外，根据定义（5.4），每个g的条件（1.18）已满∈ 一、 由于映射（5.1）是常数，对于每个g∈ I和每个c∈ C由（5.2）得到Ac+Sσg（C）=Ac+Sσ（C）=Ac+Sσ（C）- σ(0)) ∈ （C）⊕ hci）⊕ U、 仿射状态过程的仿射实现13（1.19）。因此，根据定理4.5，SPDE（1.1）具有由C生成的有效实现⊕ U具有初始点I和一个可容许的状态过程。5.2. 评论映射（5.1）为常数的条件来自命题4.6.5.3。评论检查命题5.1的证明，我们可以看到 （5.3）给出的D（A）是初始点的最大集合，使得I在G中打开∩ D（A）关于图范数k·kD（A）（见假设3.4）和条件（1.18）已满。我们将在第7节说明命题5.1，在这里我们给出HJMM方程的示例，并构造最大初始点集。6、HJMM方程在本节中，我们将前几节的结果应用于HJMM（Heath Jarrow Morton Musiela）方程。这是一个SPDE，用于模拟零息票债券市场中的利率期限结构。让我们简要介绍一下我们考虑的模型。到期日为T的零息债券是一种以T向持有人支付一个货币单位的金融资产。

其价格为t≤ T可以写成一单位国内货币的连续贴现p（T，T）=exp-ZTtf（t，s）ds,式中，f（t，t）是时间t时瞬时借款的现行利率，也称为日期t的远期利率。在通过Musiela参数化rt（x）=f（t，t+x）（见[6]）转换原始HJM（Heath Jarrow Morton）动态的正向利率（见[21]）后，可将远期利率视为HJMM（Heath Jarrow Morton-Musiela）方程（drt）的弱解=ddxrt+αHJM（rt）dt+σ（rt）dWtr=h，（6.1），这是类型（1.1）的特定SPDE。HJMM方程（6.1）的状态空间是前向曲线H:R的可分离希尔伯特空间H+→ R、 d/dx表示由平移半群生成的微分算子。为了确保债券市场没有套利，我们考虑了鞅测度下的HJMM方程（6.1）。然后是漂移项αHJM:H→ H由αHJM（H）=nXk=1σk（H）∑k（H），H给出∈ H、 （6.2）式中，∑=（∑，…，∑n）：H→ Hn定义为∑k（h）：=Zo∑k（h）（η）dη∈ H和k=1，n、 关于（6.1）的推导和提取条件（6.2），我们参考（例如）参考【14】。此外，下面的状态空间选择（已在[14]中使用）具有我们在续集中需要的所有属性。We fix a14 STEFAN Tappeno递减C函数w:R+→ [1, ∞) 使w-1/3∈ L（R+），用H表示所有绝对连续函数的空间H:R+→ R这样的塔赫语：=|h（0）|+ZR+| h（x）| w（x）dx1/2< ∞.除了状态空间H和漂移（6.2）的特殊选择之外，一般的数学框架是第3.6.1节的数学框架。假定