随机偏微分方程仿射状态过程的仿射实现

我们假设满足以下条件：（1）我们有V D（D/dx）。（2） 我们有σ（H） 越南。（3） 映射σ：H→ L（V）是Lipschitz连续的。以下结果表明，假设4.1已经完成，这意味着HJMM方程（6.1）属于前面章节中考虑的框架。6.2. 提议有一个线性算子S∈ L（L（V），H）带ran（S）D（D/dx），使得αHJM=Sσ。证据设λ=（λ，…，λd）是V的基，使得（λ，…，λm）是C的基，其中m=dim C。如备注a.8中所指出的，在不损失一般性的情况下，我们可以假设λ是V的正交基。我们定义Sλ∈ L（Rd×d，H）asSλΦ=HΦ·λ，∧i，Φ∈ Rd×d.HereΦ·λ∈ hd理解为矩阵乘法，向量∧=（λ，…，λd）∈ hdi由∧i：=Roλi（η）dη，对于i=1，d、 我们用符号hh，gi：=dXi=1higif表示h，g∈ 高清。自V起 D（D/dx），我们已经运行了（Sλ） D（D/dx），由于状态空间H的性质。设ψλ，λ：L（V）→ Rd×dbe定义A.22中的规范同构。我们定义∈ L（L（V），H）作为S：=Sλψλ，λ。然后，通过（6.2）和引理A.25，我们得到αHJM=hσ，∑i=hσλ·λ，σλ·λi=h（σλ）>·σλ·λ，λi=Sλ（（σλ）>·σλ）=Sλ（σ）λ，λ=Sλψλ，λ（ψλ，λ）-1（σ）λ，λ=Sσ，我们已经跑了（S） D（D/dx），因为ran（Sλ） D（D/dx），完成证明。如果波动率σ为Lipschitz连续且（d/dx）-拟指数，则HJMM方程（6.1）具有由子空间生成的有效实现；参见，例如【5，第6.4款】、【27，第6.2款】或【29，第6.2款】。相应的状态过程不一定是一个有效的过程；命题4.9和推论4.10提供了波动率σ的标准。6.3. 实例假设波动率σ：H→ H的形式为σ（H）=Φ（H）λ（6.3），具有连续映射Φ：H→ R和λ（x）=e-γx，x∈ 某些常数γ的R+∈ (0, ∞).

众所周知（参见，例如[27]），具有仿射状态过程15（6.1）的HJMM方程仿射实现具有由子空间V=hλ，λi生成的a ffene实现，但状态过程通常不是a ffene。这与命题4.7并不矛盾；正弦σ（h）=αHJM（h）=Φ（h）λ∧=Φ（h）λ- λγ，我们有S（R）=hλ- λi，因此V∩ S（R）6={0}。在本节的其余部分，我们将介绍一维实现存在的一些结果。为此，我们假设dim V=1，且波动率σ：H→ H的形式为（6.3），具有连续映射Φ：H→ R和a函数λ∈ 五、我们区分了尺寸U=1和尺寸C=1这两种情况，其中V=C⊕ U和C=hCi。首先，我们假设dim U=1。以下结果补充了关于Vasicek模型的Hull-White扩展存在一个有效实现的结果；例如，参见【5，第7.2款】。6.4. 提议以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（6.1）有一个由U和初始曲线（d/dx）生成的有效实现。（ii）HJMM方程（6.1）具有一个由U生成的函数实现，该函数具有初始曲线D（D/dx）以及函数和容许状态过程。（iii）有常数ρ，γ∈ R使得λ（x）=ρ·e-γx，x∈ R+，（6.4）和每小时∈ H映射u 7→ Φ（h+u）：u→ R是常数。证据（一）=> （ii）：这个含义来自命题4.7，因为U是线性空间。（二）=> （i） ：这一含义显而易见。（二）<=> （iii）：这种等价性是定理4.5和推论4.10的结果。现在，假设dim C=1，让我 D（D/dx）是形式I=我⊕ C使得H=G⊕ C、 其中G：=h二。在不丧失一般性的情况下，我们假设λ∈ C

以下两个结果补充了关于Cox-Ingersoll-Ross模型的Hull-White扩展存在唯一实现的结果；例如，参见【5，第7.3款】。6.5. 提议假设HJMM方程（6.1）有一个由C生成的具有初始曲线I的函数实现。那么HJMM方程（6.1）有一个由C生成的具有初始曲线I和状态过程的函数实现，并且有一个映射ψ：H→ R、 连续线性函数`∈ H*用`（λ）=1和G ker（`），常数ρ>0和γ∈ R使得Φ（h）=ρpψ（ΔGh）+`（h），h∈ 一、 （6.5）ddxλ+ρλ∧+γλ=0。（6.6）证明。这是命题4.7、备注3.7和命题4.6的结果。6.6. 提议假设HJMM方程（6.1）有一个由C和初始曲线I生成的a ffine实现。那么以下语句是等效的：（I）那么HJMM方程（6.1）有一个由C和初始曲线I生成的a ffine实现，并有一个ffine和容许状态过程。在HJMM方程的上下文中，我们同意谈论初始曲线，而不是初始点。16 STEFAN TAPPE（ii）在（6.5）中，我们有ψ≡ 0，我们有∏Cddxg∈ 所有g的hλi+∈ 一、 证明。这是定理4.5的结果。7、HJMM方程和最大初始曲线集的示例在本节中，我们给出了HJMM方程（6.1）的示例，其中包含函数化、函数和容许状态过程，并针对这些示例构造了最大初始曲线集。设H为前一节6中给出的状态空间。在本节中，我们假设波动率σ：H→ H的形式为σ（H）=ρp |`（H）|λ（7.1），函数为λ∈ D（D/dx），常数ρ>0和连续线性泛函`∈ H*使得`（λ）=1。在我们的第一个示例中，设λ为某常数γ的Riccati等式（6.6）的解∈ R.7.1。评论

Riccati微分方程的解ddx∧+ρ∧+γ∧=1，∧（0）=0由∧（x）=2（exp（xpγ+ρ）给出- 1） （pγ+2ρ+γ）（exp（xpγ+2ρ）- 1） +2pγ+2ρ，x∈ R+，（7.2）参见，例如，[14，第7.4.1节]。因此，函数λ=1-ρΛ- γ∧（7.3），其中∧由（7.2）给出，是普通微分方程（6.6）的解。7.2. 提议HJMM方程（6.1）有一个由C=hλi+生成的有效实现，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：`（h）≥ 0和`（h）+（ρ`（λ∧）+γ）`（h）>0}，且具有一个有效且容许的状态过程，且初始曲线集的分解I=我⊕ C、 其中边界由I={h∈ D（D/dx）：`（h）=0，`（h）>0}。证据设置G：=ker（`），我们有直和分解H=G⊕ C、 相应的投影由∏Gh=h给出- `（h） λ和∏Ch=`（h）λ表示h∈ H、 （7.4）我们有⊕ C={h∈ H：`（H）≥ 0}.（7.5）对于每个g∈ G我们有（1.17），映射（5.1）是常数，条件（5.2）满足Riccati方程（6.6）。根据（7.4）和Riccati方程（6.6），对于每个h∈ 我们有∏Cddx∏Gh=∏Cddx（h- `（h） λ）=∏Ch+`（h）ρλΛ + γλ=`（h） +`（h）ρ`(λΛ) + γ`(λ)λ =`（h） +（ρ`（λ∧）+γ）`（h）λ、 由于G=ker（`），对于每个G∈ G我们有σ（G）=αHJM（G）=ρ`（G）λ∧=0。仿射状态过程的仿射实现17因此，考虑到（7.5），应用命题5.1完成预测。7.3. 评论让h∈ 我很武断。根据命题7.2，存在一个间隔∈ J、 参数化ψ∈ C（T；G），以及一个具有状态空间R+的唯一容许过程x，使得R=h的HJMM方程（6.1）的强解R由T=ψ（T）+Xt·λ，T给出∈ T、 应用`，这就得到了`（rt）=`（ψ（T）+Xt·λ）=Xt，T∈ T、 表示`（r）=X。

所以，`（r）是一个具有状态空间r+的有效进程，它充当实现的状态进程。线性函数的常用选择`∈ H*是短端的求值，即`（h）=h（0）。注意，条件`（λ）=1已满，因为∧（0）=0，我们有λ的表示（7.3）。我们得到以下结果。7.4. 推论HJMM方程（6.1）有一个由c=hλi+生成的有效实现，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：h（0）≥ 0和h（0）+γh（0）>0}（7.6），且具有一个有效且容许的状态过程，且初始曲线集的分解I=我⊕ C、 其中边界由I={h∈ D（D/dx）：h（0）=0，h（0）>0}。证据注意到`（λ∧）=0，这是命题7.2的直接结果。7.5. 评论让h∈ 我很武断。根据备注7.3，我们可以选择短速率r（0）作为FDR的状态过程，即r=h的HJMM方程（6.1）的强解r由t=ψ（t）+rt（0）·λ，t给出∈ T对于某个时间间隔T∈ J、 特别地，我们有P（rt（0）≥ 0）=1表示所有t∈ T、 期望假设（参见，例如，[16，引理7.2]）意味着初始曲线满足度（T）=EPt[rt（0）]≥ 0表示所有t∈ T、 式中，Pt表示T向前测量。这与初始曲线集I的表示（7.6）一致，它表明要么h（0）>0，要么h（0）=0，h（0）>0。对于下一个示例，我们假设（7.1）中的函数λ由λ（x）=e给出-γx，x∈ 某些常数γ的R+∈ (0, ∞), （7.1）中的函数满足`（λ）=1和`（λ）=0。然后，根据命题4.9，HJMM方程（6.1）不可能有一个由某个子空间生成的、具有一个可容许状态过程的a ffene实现。

然而，我们将证明它允许由形式为C的状态空间生成的a ffne实现⊕ 具有尺寸C=1和尺寸U=1的U，以及一个有效且可容许的状态过程。7.6. 提议HJMM方程（6.1）有一个由C生成的有效实现⊕ U=hλi+⊕ hλi，初始曲线i={h∈ D（D/dx）：`（h）≥ 0和`（h+γ·h）>0}，并具有一个有效且可容许的状态过程。18 STEFAN Tapperoof（斯特凡挺杆防护）。如备注A.8所述，我们可以假设（λ，λ）是V的正交基。设置G：=ker（`）∩ hλi⊥, 我们有直和分解h=G⊕ V，相应的投影由∏Gh=h给出- `（h） λ- hh，λiHλ和∏Vh=`（h）λ+hh，λiHλ，（7.7），我们有⊕ C⊕ U={h∈ H：`（H）≥ 0}.（7.8）对于每个g∈ G我们有（1.17），映射（5.1）是常数。此外，wehaveddxλ+Sσ（λ）=ddxλ+αHJM（λ）=-γλ + ρλΛ = -γλ + ρλ - λγ∈ 五、 表明条件（5.2）已满足，条件（1.20）已满，因为λ（x）=e-2γx，x∈ R+。按（7.7），每小时∈ 我们有∏Vddx∏Gh=∏Vddx（h- `（h） λ- hh，λiHλ）=∏V（h+γ·`（h）λ+2γhh，λiHλ）=`（h）λ+hh，λiHλ+γ·`（h）λ+2γhh，λiHλ=`（h+γ·h）λ+hh+2γ·h，λiHλ，自G ker（`），对于每个g∈ G我们有σ（G）=αHJM（G）=ρ`（G）λ∧=0。因此，考虑到（7.8），应用命题5.1完成证明。线性SPDE和自然科学中的例子在本节中，我们将线性SPDE（drt=Artdt+σ（rt）dWtr=h（8.1）与连续波动率σ：h→ Hn，并给出一些自然科学的例子。以下两个结果基本上表明，线性SPDE（8.1）当且仅当波动率σ为a-拟指数时，才允许a ffne变现；有关密切相关的结果，请参见示例[29，Thm.5.6]。8.1. 提议假设线性SPDE（8.1）有一个由具有初始点D（a）的某个子空间生成的a ffine实现。那么波动率σ是指数的。证据

存在一个有限维子空间U，使得线性SPDE（8.1）有一个由U与初始点D（a）生成的a ffine实现。根据备注3.7，我们有U D（A）和A（U） U、 这会产生σ U、 证明σ是A-拟指数。8.2. 提议假设波动率σ为A-拟指数且Lipschitz连续。然后，线性SPDE（8.1）有一个由σ和初始点D（a）生成的a ffne实现。证据设置U：=Aσ我们有U D（A）和A（U） U、 因此，根据备注3.7，线性SPDE（8.1）有一个由σ和初始点SD（a）生成的有效实现。现在，我们描述了线性SPDE（8.1）何时具有一个具有一个可容许状态过程的a ffne实现。仿射状态过程的仿射实现198.3。提议以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）的一些子空间生成的a ffne实现，并且具有a ffne和容许状态过程。（ii）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）和有效状态过程的一些子空间生成的有效实现。（iii）波动率σ为A-准指数，对于每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：Aσ→ L（Aσ，L（Aσ））是常数。如果之前的条件已满足，则线性SPDE（8.1）具有由σ与初始点D（a）以及α与容许状态过程生成的a函数。证据这源于命题4.9和8.1。8.4. 推论假设条件（4.5）和（4.6）已满。

然后，以下陈述是等价的：（i）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）的一些子空间生成的a ffne实现，并且具有a ffne和容许状态过程。（ii）线性SPDE（8.1）具有由具有初始点D（a）和有效状态过程的一些子空间生成的有效实现。（iii）波动率σ为A-准指数，对于每个h∈ H映射V 7→ σ（h+v）：Aσ→ σ是常数。如果之前的条件已满足，则线性SPDE（8.1）具有由σ与初始点D（a）以及α与容许状态过程生成的a函数。证据这是命题8.3和A.28的直接结果。以下是一些自然科学中产生的SPDE的例子。对于以下内容， 表示拉普拉斯运算符。8.5. 实例我们考虑自由欧几里德量子场的随机量化（参见[25，Ex.1.0.1]）（dXt=( - m） Xtdt+σdWtX=h，（8.2），其中m∈ R+表示“质量”，波动率σ∈ Hnis常数。根据Proposition 8.3，以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.2）有一个由一些初始点为D的子空间生成的有效实现() 具有一个可容许的状态过程。（ii）波动率σ为-准指数。8.6. 实例我们考虑随机电缆方程（参见[10，Ex.0.8]）（dVt=τ（λ及物动词- Vt）dt+σdWtV=h，（8.3），其中λ>0表示长度常数，τ>0表示电缆的时间常数，波动率σ∈ Hnis常数。根据命题8.3，以下陈述是等效的：（i）线性SPDE（8.3）有一个由一些初始点为D的子空间生成的有效实现() 具有一个可容许的状态过程。（ii）波动率σ为-准指数。20 STEFAN TAPPEAppendix A。

凸锥和仿射映射本附录的目标是提供关于凸锥和仿射映射的重要结果，这是我们在本文中所需要的。在本节中，设为Hilbert空间。设C为有限维真凸锥，isC=hλ，λmi+：=mXi=1αiλi：α，αm≥ 0线性无关λ，λm∈ H代表一些m∈ N、 我们称（λ，…，λm）为C的基。如果kλikH=1表示alli=1，…，则称（λ，…，λm）为赋范基，m、 A.1。引理。设λ=（λ，…，λm）和u=（u，…，um）是C的两个基。那么以下陈述是真的：（1）我们有hλi+∪ . . . ∪ hλmi+=hui+∪ . . . ∪ humi+。（A.1）（2）假设两个碱基λ和u均已赋范。设αi，βi，γi，δi∈ R、 i=1，如果mXi=1αiλi=mXi=1γiuiandmXi=1βiλi=mXi=1δiui.（A.2），那么我们有mXi=1αiβi=mXi=1γiδi.（A.3）证明。让M∈ Rm×mbe线性空间hci上的单位算子关于基λ和u的矩阵，即λj=mXi=1Mijuifor all j=1，m、 那么m是非负的，也就是Mij≥ 所有i为0，j=1，m、 因此，根据[1，引理4.3，第68页]有c，厘米∈ (0, ∞) 和置换π：{1，…，m}→ {1，…，m}这样m=diag（c，…，cm）·eπ（1）。eπ（m）,其中e，相对长度单位∈ Rm表示Rm中的单位向量。因此，对于所有j=1，…，我们有λj=cπ（j）uπ（j），m、 这证明了（A.1）。如果两个基λ和u被赋范，那么对于所有j=1，…，我们甚至有λj=uπ（j），m、 因此，如果（A.2）已满，则我们有（A.3）。A、 2。定义。我们引入以下概念：（1）我们将C的边定义为C：=hλi+∪ . . . ∪ hλmi+，其中（λ，…，λm）表示C的基。（2）设C∈ C任意。如果c=0，则我们定义 hci+：=C，否则，我们定义新的锥体asC hci+：=hλi:i∈ {1，…，m}\\{j}i+，仿射状态过程的仿射实现，其中（λ，，）。

. . , λm）表示C和j的基∈ {1，…，m}是唯一索引，因此c∈ hλji+。A、 3。评论根据引理A.1，边的定义C和新锥体C hci+不取决于基础的选择。A、 4。定义。我们定义内积h·、·iCashh、giC：=mXi=1αiβi，其中h=mXi=1αiλ，g=mXi=1βiλi，且（λ，…，λm）表示C.a.5的标准基。评论根据引理A.1，内积h·、·Ic的定义不取决于标准基的选择。现在，让我们 H是有限维子空间，使得C∩ U={0}，其中C=hCi。我们假设子空间V=C⊕ U满意度dim V≥ 1、A.6。定义。我们定义内积h·、·iVashc+u、c+uiV：=hc、ciC+hu、uiH。A、 7。评论请注意，C=U⊥U=C⊥, 考虑希尔伯特空间（V，h·，·iV）。A、 8。评论设λ=（λ，…，λd）为V的基，使得C=hλ，λmi+，其中m=dim C.oH上存在内积（·，·）H，使得H·，·ih和（·，·）H在希尔伯特空间H上生成等价范数，基λ是V相对于（·，·）H的正交基，内积H·，·iv根据定义A.6构造，符合（·，·）Hto V的限制因此，我们可以假设，在不丧失一般性的情况下，λ是关于原始内积h·、·iH的正交基，并且h·、·iv与h·、·iH到V的限制一致。A、 9。定义。A映射β：C⊕ U→ V称为向内指向C的边界点⊕ U（简写为向内指）ifhβ（v），ηiV≥ 所有v为0∈ C⊕ U和所有η∈ C带hv，ηiV=0。（A.4）现在，让β：C⊕ U→ V是一个有效映射。然后是唯一的β∈ Vandβ∈ L（V）使得分解β（V）=β+β（V），V∈ C⊕ U、 （A.5）A.10。提议