随机偏微分方程仿射状态过程的仿射实现

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Affine realizations with affine state processes for stochastic partial
  differential equations》
---
作者：
Stefan Tappe
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  The goal of this paper is to clarify when a stochastic partial differential equation with an affine realization admits affine state processes. This includes a characterization of the set of initial points of the realization. Several examples, as the HJMM equation from mathematical finance, illustrate our results.
---
中文摘要：
本文的目的是阐明具有仿射实现的随机偏微分方程何时允许仿射状态过程。这包括实现初始点集的特征化。几个例子，如数学金融学中的HJMM方程，说明了我们的结果。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Affine_realizations_with_affine_state_processes_for_stochastic_partial_different.pdf (701.1 KB)

2022-6-24 06:35:59 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：偏微分方程 微分方程 偏微分 Differential Mathematical

随机偏微分方程仿射状态过程的仿射实现Stefan Tappeastract。本文的目的是阐明一个具有a ffne实现的随机偏微分方程何时允许a ffne状态过程。这包括实现初始点集的特征描述。几个例子，如数学金融中的HJMM方程，说明了结果。1、导言本文的目的是阐明当一个形式为（drt=（Art+α（rt））dt+σ（rt）dWtr=h（1.1）的半线性随机偏微分方程（SPDE）受一个Rn值维纳过程W（对于一些正整数n∈ N） 通过a ffne实现，允许a ffne和容许状态过程。精细实现是特定类型的有限维实现（FDR）。用H表示（1.1）的状态空间，我们假设它是一个可分离的希尔伯特空间，FDR的思想是，对于每个起点H∈ I（其中I Hdenotes初始点集）对于某些Rd值（通常是时间非齐次）过程X和确定性映射（deterministicmapping）：Rd，我们可以将弱解r表示为（1.1）locallyasr=Д（X）（1.2）→ H、 这使得有限维SPDE（1.1）更易于处理。如果我们有形式（1.2）的表示，那么映射ν是不变子流形M的参数化。在这种情况下，术语a ffene具有双重含义，我们现在将对此进行解释。对于每个起点h，我们谈论一个有效的实现∈ 我们可以用确定性曲线ψ：T局部地将弱解r表示为（1.1）asr=ψ+X（1.3）→ H、 其中，对于某些δ>0，T=[0，δ]，并且在形式为C的状态空间中具有值的processX⊕ 具有有限尺寸特性的U C H和有限维子空间U H、 在这种情况下，我们也说2010年数学学科分类。60H15、91G80。关键词和短语。

随机偏微分方程、a ffne实现、a ffne状态过程、初始点集。我感谢Ozan Akdogan、Darrell Duffee、Damir Filipovi'c和Matthias Schütt提出的宝贵意见和进行的讨论。我也很感谢一位匿名推荐人仔细研究了我的论文，并提出了宝贵的意见和建议。2 STEFAN Tappeth SPDE（1.1）有一个由C生成的有效实现⊕U、 和不变量流形（Mt）t∈这是一个a ffne spacesMt=ψ（t）+C的集合⊕ U、 t型∈ T、 （1.4）也称叶理，曲线ψ是（Mt）T的参数化∈T、 我们说，这样的a ffne实现对于每个起点h都有一个ffne和可容许的状态过程sif∈ I（1.3）中出现的过程X是状态空间C上的一个（典型的时间非齐次）有效且可容许的过程⊕ U其中，术语a ffne表示X的局部特征为a ffne，即漂移为a ffne，波动率为平方a ffne，术语容许表示状态空间C⊕ U对于X是不变的，这意味着漂移是向内的，波动率在C的边界点平行于边界⊕ U、 有大量关于SPD FDR的文献，特别是数学金融中的HJMM方程。这里我们使用HJMM方程这个名称，因为它是[21]中的Heath Jarrow Morton（HJM）模型，Musiela参数化在[6]中给出。文献中已经深入研究了由维纳过程驱动的HJMM方程FDR的存在性，我们参考了文献[5、4、18、19]和其中的参考文献，并参考了文献[3]。如【18】所示，维纳过程驱动的HJMM方程的FDR的存在意味着a ffine实现的存在。

文献[27]研究了维纳过程驱动的HJMM方程，文献[28，24]研究了莱维过程驱动的HJM方程，文献[29]研究了莱维过程驱动的一般SPD方程。由于其分析的可处理性，尤其是在数学金融领域的应用方面，一系列流程受到了越来越多的关注。例如，我们参考[12、13、11、15、17]了解正则状态空间上的一个函数过程，以及参考[7、9、26]了解更一般状态空间上的一个函数过程。我们还提到了最近的文献[2]和[8]，其中研究了由有效过程驱动的HJM类型模型。请注意，我们的状态空间C⊕ U对应于正则态间隔m+×Rd-m、 本文的目的是阐明SPDE（1.1）何时允许具有一个有效且可容许的状态过程的有效实现，这在文献中尚未研究过，并推导（1.1）的参数（a，α，σ）和初始点集I的条件，这是必要且有效的。这包括集合I结构的特征化，我们将使用它来构建这个集合以用于具体示例。为了概述本文的主要结果，让我们首先讨论agiven不变叶理（Mt）t∈t出现在（1.3）中的状态过程X的有效性和可容许性可以通过（a，α，σ）来表征；我们参考第2节和附录A了解更多详细信息和准确陈述。出租汽车 H是一个闭子空间，因此我们有一个直接分解H=G⊕ Vof希尔伯特空间，其中V=C⊕ U和C=hCi，圆锥体生成的线性空间。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设参数化ψ的值在G中，即ψ∈ C（T；G）。

自叶理（Mt）t∈这在文献中是不变量的，如果一个过程在刚才描述的意义上是一个有效且可容许的，那么它通常被称为一个有效过程。为了本文的目的，我们将仔细区分术语a five和acceptable。随后，子空间G将由初始点集I唯一确定。仿射状态过程的仿射实现对于SPDE（1.1），我们得到了著名的切向条件 D（A），（1.5）β（h）∈ T所有T的mt∈ T和所有h∈ Mt，（1.6）σ（M） Vn，（1.7），其中M=St∈TMt，集合D（A）表示线性算子的域A:D（A） H→ H出现在（1.1）中，我们使用符号β=A+α，并且t Mt：=ddtψ（t）+V表示时间t时M的切线空间；参见，例如，【27】。表示方式M：=M∩G叶理的边界，我们有分解m=M⊕ C⊕ U、 切向条件（1.6）表示βg（v）∈ V代表所有g∈ M和所有v∈ C⊕ U、 （1.8）我们使用符号βg（v）：=β（g+v）-β（g）。正如我们将看到的，对于每个起始点h∈ M从叶理来看，（1.3）中出现的状态过程X是一些X∈ C⊕U、 式中，系数β：S×C⊕U→ V和σ：S×C⊕U→ VN适用于适当的时间间隔S 对于某些t，R+由|β（t，x）=∏Vβ（ψ（t+t）+x），（1.10）|σ（t，x）=σ（ψ（t+t）+x），（1.11）给出∈ R+。这里的投影∏Vrefer是直和分解h=G⊕ 五、

从（1.9）–（1.11）中，我们可以看到（1.3）中的状态过程X是一个ifne，并且仅当o对于每个g∈ M映射V 7→ ∏Vβ（g+V）：C⊕ U→ V（1.12）是一个函数，对于每个g∈ M映射V 7→ σ（g+v）：C⊕ U→ Vn（1.13）为平方，且（1.3）中的状态过程X可容许当且仅当o对于每个g∈ M映射（1.12）向内，并且o对于每个g∈ M映射（1.13）是平行的。这里的术语square-a ffne表示映射7→ σ（g+v）：=σ（g+v）σ*（g+v）：C⊕ U→ L（V）（1.14）是一个函数。在（1.14）中，我们使用标识Vn~=L（Rn，V），关于伴随算子，在Rn上我们考虑标准内积，在V上我们考虑标准内积h·、·iV，这是通过原始内积h·、·I和锥C定义的。也就是说，性质酮C的唯一赋范基在h·、·iV下成为C的正交基，在U上成为内积h·，·Iv与Hilbert空间的原始内积h·、·Ih一致。此外，映射（1.12）称为C边界点处的向内指向⊕ U（简写为内向）ifhη，∏Vβ（g+V）iV≥ 所有v为0∈ C⊕ U和所有η∈ C，hη，viV=0,4 STEFAN Tappen，映射（1.13）称为平行于C边界点处的边界⊕ U（短平行）如果每个k=1，n对于所有v，我们有hη，σk（g+v）iV=0∈ C⊕ U和所有η∈ C，hη，viV=0。现在，让我们给出关于存在一个具有一个且可容许状态过程的一个实现的主要结果；我们参考第3节了解更多详细信息和准确陈述。回想一下，除了状态空间C⊕ U、 我们固定了一个setI 初始点的H。我们对这个集合的基本结构假设是，它包含一个分解I=我⊕ C⊕ 带子集的U我 H、 我们称之为I的边界，H=G⊕ V，其中G：=h二。

条件（1.5），（1.7），（1.8）以及我们对映射（1.12）和（1.13）的解释将我们引向OREM 3.6，其中指出，SPDE（1.1）具有一个有效且可容许的状态过程，当且仅当我们有 D（A）和σ（I） Vn，对于每个g∈ 我们有βg（v）∈ 五、 五∈ C⊕ U、 （1.15）v 7→ ∏Vβ（g+V）：C⊕ U→ V是一个内向的函数，（1.16）V 7→ σ（g+v）：C⊕ U→ Vnis方形和平行。（1.17）在应用中，我们经常会遇到这样的情况：漂移的形式为α=Sσ，线性算子为S∈ L（L（V），H）；特别是，上述HJMM方程就是这种情况。在这种情况下，我们将导出关于参数（A，σ）和初始点集I的条件。如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，漂移的结构α=Sσ是针对有效态过程的存在而定制的。让我们简要概述一下我们在这种情况下的主要结果；请参阅第4节，了解更多详细信息和准确陈述。如果映射为7→ （1.17）中的σ（g+v）是平方，那么映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个函数。但是，如果映射v 7→ （1.17）中的σ（g+v）是平方且平行的，这通常并不意味着映射v 7→ （1.16）中的∏Vβ（g+V）是一个内向的函数；正如我们将要展示的，当且仅当对于每个∈ I我们有∏V（Ag+Sσ（g））∈ C⊕ U、 （1.18）Ac+Sσg（c）∈ （C+hci）⊕ U、 c类∈ C、 （1.19）金∈ U、 U型∈ U、 （1.20）其中C表示圆锥体C的边缘。这将导致我们得出下一个结果（见定理4.5），该结果表明，漂移形式为α=Sσ的SPDE（1.1）具有一个有效且可容许状态过程的有效实现，当且仅当我们有 D（A），每个g∈ 我有（1.17）–（1.20）。一般结果（定理3.6）中的条件（1.15）在漂移形式为α=Sσ的情况下具有进一步的后果。

为了概述这些结果，我们定义了有限维子空间K L（V）为K：=S-1（V）∩R、 其中R：=hσ（I）I，以及有限维子空间L L（V，L（V））asL：=L（V，K）。然后，我们得到以下结果：o如果SPDE（1.1）有一个带有一个（但不一定是允许的）状态进程的a ffne实现，那么映射7→ σg：我→ L（V，L（V）），（1.21），其中我们使用符号σg（V）：=σ（g+V）- σ（g），是常数模量；见提案4.6。特别是，如果K={0}，则映射（1.21）必须是常量。仿射状态过程的仿射实现5o如果SPDE（1.1）有一个有效的实现，并且我们有V∩S（R）={0}和ker（S）∩ R={0}，则SPDE（1.1）具有一个具有相同（但不一定允许）状态过程的函数化；请参阅位置4.7。这一结果可视为[16，Prop.9.3]的推广，这是利率模型的结果。在第5节中，我们还将考虑漂移的结构α=Sσ，并提供关于参数（A，σ）的充分条件，以证明存在具有α和容许状态过程的α实现，而无需事先指定初始点集I。相反，我们的结果（命题5.1）提供了一个初始点集的构造，我们将看到这种构造的i是最大的。我们将应用刚才描述的结果（命题5.1）来构造PDE的具体示例的最大初始点集，如利息理论中Cox-Ingersoll-Ross模型的Hull-White扩展。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了关于SPDE不变叶理的必要结果。在第3节中，我们研究了具有一个可容许状态过程的一个可实现的存在性。

在第4节中，我们研究了上述结构α=Sσ漂移的情况，在第5节中，我们提供了一个有效条件，证明存在一个具有唯一容许状态过程的函数化，并构造了初始点的最大集。在第6节中，我们介绍了HJM方程，并展示了它如何融入我们的框架。在第7节中，我们给出了HJMM方程的示例，其中包含a ffne实现和a ffne及容许状态过程，并构造了最大初始曲线集。在第8节中，我们讨论了线性SPDE和自然科学中出现的其他例子。为了方便读者，我们在附录a.2中提供了关于凸锥和a ffne映射的重要结果。SPDES的不变叶理在本节中，我们提供了关于PDE的不变叶理的必要结果。有关（1.1）型SPDE的更多详细信息，请参阅[10]、[25]或[20]，有关不变叶理的更多详细信息，请参阅[27]。设H为可比喻Hilbert空间，设A:D（A） H→ H是H上C-半群的极小生成元。设α：H→ H和σ：H→ Hn（对于某些积极因素n∈ N） 是连续映射。2.1. 评论我们称过滤概率空间B=(Ohm, F、 （Ft）t∈满足通常条件的R+，P）为随机基。本文从鞅的角度理解了（1.1）的强、弱、弱解的概念（参见【10，第8章】），也就是说，我们不预先定义随机基B，而是称之为一对（r，W）—其中r是一个连续的、适应的过程，W是一些随机基B上的Rn值标准维纳过程—一个（1.1）的强、弱或弱解，如果进程r具有相应的属性。让C H是一个有限尺寸的适当凸锥（更多详情请参见附录a），并让U H是有限维子空间，使得C∩ U={0}，其中C=hCi。

我们假设子空间V=C⊕ U满意度dim V≥ 1、出租 H是一个闭子空间，使得希尔伯特空间允许直接SUM分解H=G⊕ 五、我们引入区间集j：={[0，δ]：δ∈ (0, ∞)} ∪ {R+}。对于以下内容，我们确定一个区间T∈ J、 对于t∈ T我们确定时间间隔Tt∈ Jasett：={t∈ R+：t+t∈ T} 。6斯特凡挺杆2.2。定义。A系列（Mt）t∈Tof子集Mt H、 t型∈ T被称为由C生成的叶理⊕ U，如果存在映射ψ∈ C（T；G）使得mt=ψ（T）⊕ C⊕ U代表所有t∈ T、 （2.1）映射ψ称为叶理（Mt）T的参数化∈T、 在下面的内容中，让（Mt）T∈Tbe由C生成的叶理⊕ U2.3. 评论注意，（Mt）t的参数化ψ∈这是唯一的，因为我们要求它在G.2.4中有它的值。定义。我们定义所有叶的并集M：=St∈t和边界M：=M∩ G、 注意，我们有分解M=M⊕ C⊕ U、 2.5。定义。对于每个t∈ T我们定义切线空间T Mt：=ddtψ（T）⊕ 五、2.6. 定义。叶理（Mt）t∈它被称为所有t的SPDE（1.1）iff的不变量∈ T和h∈ mtt有一个弱解r=（rt）t∈Ttto（1.1），其中r=hs等于ro∈ Mt+o高达瞬逝集。对于以下内容，我们定义了映射β：=A+α：D（A）→ H、 2.7。提议以下陈述是正确的：（1）如果叶理（Mt）t∈对于（1.1），它是不变的，那么我们有（1.5）–（1.7）。（2） 如果我们有（1.5）–（1.7），那么我们有（1.8），并且A和β是连续的onM。证据很明显，（1.5）和（1.6）意味着（1.8）。剩余资产的证明类似于[27，Thm.2.11]，因此省略。对于本节的其余部分，假设这些条件（1.5）–（1.7）已满足。接下来的两个定义与我们在第1节中的讨论相对应。有关以下概念的更多详细信息和解释，请参阅附录A。2.8. 定义。