场外做市商的规模问题：一般结果和维度

很容易证明（见[10]）存在唯一的最大化子|Δi，a*（p） hipon R的特征为p=△i，a*（p） +λi，a（△i，a*（p） ）λi，a（△i，a*（p） ）。根据隐函数定理，p∈ R 7→δi，a*（p） 是连续可微分的且△i，a*（p） =2-∧i，a（△i，a*（p） ）λi，a（△i，a*（p） ）（λi，a（△i，a*（p） ））>0，p∈ R、 尤其是△i，a*正在增加。我们介绍▄嗨，a:p∈ R→ supδ∈Rhip（δ）。然后p∈ R、 我们有▄Hi，a（p）=hip（▄δi，a*（p） ）和▄Hi，a（p）=-∧i，a（△i，a*（p） ）<0。So▄Hi，ais减小▄δi，a*（p）=∧i，a-1.-你好，a（p）.现在让我们回顾一下p∈ R、 Hi，a（p）=supδ≥-δ∞hip（δ）。对于所有p∈ R因此-δ∞≤δi，a*（p） ，我们显然有hi，a（p）=hip（△i，a*（p） ）。否则，如果△i，a*（p） <-δ∞, 我们可以很容易地看到臀部（.）正在增加]- ∞,δi，a*（p） ]并在[△i，a上减小*（p） ，则+∞[，表示hi，a（p）=hip(-δ∞).这意味着Hi，a（p）中的上确界在唯一的δi，a处达到*（p） 由δi，a给出*（p） =最大值（△i，a*（p） ，则，-δ∞).尤其是δi，a*是连续的，不会减少，所以嗨，ais是连续的。此外，对于所有p∈ R使得|Δi，a*（p） >-δ∞, 我们有Hi，a（p）=▄Hi，a（p）so Hi，ais在▄δi上递减，a*-1(-δ∞), +∞[及其在此区间上的导数isHi，a（p）=-∧i，a（△i，a*（p） ）=-∧i，a（δi，a*（p） ）。打开]- ∞,δi，a*-1(-δ∞)[，Hi，ais a ffene及其衍生工具isHi，a（p）=-∧i，a(-δ∞) = -∧i，a（δi，a*（p） ）。因此，通过δi的连续性，a*, Hi，ais在R上不断分化和减少。特别是，Hi，a（p）|≤∧i，a(-δ∞) 对于所有p∈ R、 你好，ais Lipschitz。在下面的内容中，我们用Li表示Hi的Lipschitz常数，afor all i∈ {1，…，d}，我们定义了类似的Li，b所有i的Hi，b的Lipschitz常数∈ {1, . . .

，d}。对于π∈ C（Rd，R+），让我们考虑Cπ以下向量空间：Cπ=（u∈ C（Rd，R）谱仪半定量分析∈研发部u（q）1+π（q）< +∞).配备标准u∈ Cπ7→ kukπ=supq∈研发部u（q）1+π（q）, Cπ是Banach空间。现在我们在本文的其余部分考虑存在p∈ N*且C>0，从而：oq∈ Rd，π（q）≤ C（1+kqkp），oq、 y型∈ Rd，1+π（q+y）1+π（q）≤ C（1+kykp），o我∈ {1，…，d}，RR*+zpui，b（dz）+zpui，a（dz）< +∞,其中k.k表示Rd上的欧几里德范数。此外，我们假设ψ，`d∈ Cπ。备注3。对于备注2的示例，很自然地选择二次函数π，使得ψ，`d≤ π. 然后，只要ui，频带ui，a有一个有限的秒矩，上述假设就满足p=2。提案1。适用于所有u∈ Cπ，函数f（u）：q∈ Rd7→ ψ（q）-dXi=1ZR*+zHi，bu（q）- u（q+z）zui，b（dz）-dXi=1ZR*+zHi，au（q）- u（q- zei）zui，a（dz）单位为Cπ。证据让u∈ Cπ。让我们考虑一下q∈ Rd和一个接近q的序列（qn）。从ψ的连续性，我们得到了limn→+∞ψ（qn）=ψ（q）。而且我∈ {1，…，d}，z∈ R*+, 从Hi，band u的连续性来看，我们有Limn→+∞zHi，bu（qn）- u（qn+zei）z= zHi，bu（q）- u（q+z）z.这一假设尤其意味着ψ和` dhave至多在整数处多项式增长。现在，我们写Hi，b（p）≤ 嗨，b（0）+李，b | p |所以我们得到了，bu（qn）- u（qn+zei）z≤ zHi，b（0）+Li，b | u（qn）- u（qn+zei）|≤ zHi，b（0）+Li，b | u（qn）+CLi，bkukπ（1+π（qn））（1+zp）≤ zHi，b（0）+Li，bsupn | u（qn）|+CLi，bkukπ1+supnπ（qn）（1+zp），假设可积。

对于与ask边相关的项和Lebesgue的主导收敛定理，使用相同的方法，我们得出以下结论：→+∞F（u）（qn）=F（u）（q），因此是F（u）的连续性。此外，对于所有q∈ Rd，我们有F（u）（q）1+π（q）=ψ（q）1+π（q）-dXi=1ZR*+z1+π（q）Hi，bu（q）- u（q+z）zui，b（dz）-dXi=1ZR*+z1+π（q）Hi，au（q）- u（q- zei）zui，a（dz）≤ kψkπ+dXi=1ZR*+z1+π（q）Hi，bu（q）- u（q+z）zui，b（dz）+dXi=1ZR*+z1+π（q）Hi，au（q）- u（q- zei）zui，a（dz）≤ kψkπ+dXi=1ZR*+1+π（q）直，b（0）+李，bu（q）- u（q+zei）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+1+π（q）支，a（0）+李，au（q）- u（q- zei）ui，a（dz）≤ kψkπ+dXi=1ZR*+zHi，b（0）+Li，bkukπ+CLi，bkukπ（1+zp）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+zHi，a（0）+Li，akukπ+CLi，akukπ（1+zp）ui，a（dz）。我们得出结论，supq∈研发部F（u）（q）1+π（q）< +∞ 因此F（u）∈ Cπ。因此，我们可以定义一个函数F:Cπ→ Cπ使得，对于所有的u∈ Cπ和所有q∈ Rd，F（u）（q）=ψ（q）-dXi=1ZR*+zHi，bu（q）- u（q+z）zui，b（dz）-dXi=1ZR*+zHi，au（q）- u（q- zei）zui，a（dz）。现在我们来讨论函数F的主要性质。提案2。F是Cπ上的Lipschitz。证据让u，v∈ Cπ。

对于所有q∈ Rd，我们有| F（u）（q）- F（v）（q）|≤dXi=1ZR*+z嗨，bv（q）- v（q+zei）z- 嗨，bu（q）- u（q+z）zui，b（dz）+dXi=1ZR*+z嗨，av（q）- v（q- zei）z- 嗨，au（q）- u（q- zei）zui，a（dz）。因此| F（u）（q）- F（v）（q）|≤dXi=1ZR*+Li，bv（q）- v（q+zei）- u（q）+u（q+zei）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+李，av（q）- v（q- zei）- u（q）+u（q- zei）ui，a（dz）。≤dXi=1ZR*+Li，b | v（q）- u（q）|ui，b（dz）+dXi=1ZR*+Li，bv（q+zei）- u（q+zei）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+Li，a | v（q）- u（q）|ui，a（dz）+dXi=1ZR*+李，av（q- zei）- u（q- zei）ui，a（dz）。因此，我们得到| F（u）（q）- F（v）（q）| 1+π（q）≤dXi=1ZR*+Li，bku- vkπui，b（dz）+dXi=1ZR*+CLi，bku- vkπ（1+zp）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+李，阿库- vkπui，a（dz）+dXi=1ZR*+CLi，aku- vkπ（1+zp）ui，a（dz）。通过取q的上确界，我们得到存在一个常数K>0，如hkf（u）- F（v）kπ≤ Kku大学- vkπ。我们得出结论，F是Lipschitz连续的。F的Lipschitz性质允许获得以下存在唯一性定理：定理1。存在唯一的函数W∈ C（[0，T]，Cπ），使得w：（T，q）∈ [0，T]×Rd7→ W（t）（q）是终端条件W（t，q）=-`d（q），q∈ Rd证明。让我们观察W∈ C（[0，T]，Cπ）是柯西问题的解（W（T）=F（W（T）），t型∈ [0，T]W（T）=-`dif且仅当w：（t，q）∈ [0，T]×Rd7→ W（t）（q）是（2）的解，终端条件W（t，q）=-`d（q），q∈ As（Cπ，k.kπ）是Banach空间，F:Cπ→ Cπ是Lipschitz连续的，我们通过Cauchy-Lipschitz定理知道，上述方程存在唯一的最大解W，并且该解实际上是全局的，这意味着W定义在[0，T]上。2.3验证理论我们现在想证明θ实际上是定理1中定义的函数，并使用验证参数推导与问题（1）相关的最优控制。定理2。

设w为定理1中定义的函数。Let（t，q）∈ [0，T）×Rd.让我们定义（△i）i∈{1，…，d}=（\'δi，b，\'δi，a）i∈{1，…，d}∈ A这样我∈ {1，…，d}，s∈ [t，t]，z>0：(R)δi，b（s，z）=δi，b*w（s，qs）-) - w（s，qs）-+ zei）z,？δi，a（s，z）=δi，a*w（s，qs）-) - w（s，qs）-- zei）z,式中δi，b*和δi，a*引理1和（qs）t中是否定义了函数≤s≤T=（qt，q，（\'δ，…，\'δd）s）T≤s≤T、 那么，θ（T，q）=w（T，q）和（(R)δ，…，(R)δd）是我们的随机控制问题的最优控制，从时间T开始，qt=q。Let（δi）i∈{1，…，d}=（δi，b，δi，a）i∈{1，…，d}∈ A是一个任意控件，让我们用（qs）s表示∈[t，t]过程qt，q，（δ，…，δd）ss∈[t，t]。让我们首先证明∈ {1，…，d}，E“ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)∧i，b（δi，bs）ui，b（dz）ds#<+∞.以Mw表示数量支持∈[0，T]kw（T，·）kπ，我们有“ZTtZR”*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)∧i，b（δi，bs）ui，b（dz）ds#≤ ∧i，b(-δ∞)E“ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）+ |w（s，qs）-)|ui，b（dz）ds#≤ ∧i，b(-δ∞)MwE“ZTtZR*+1+π（qs-+ zei）+1+π（qs-)ui，b（dz）ds#≤ ∧i，b(-δ∞)MwE“ZTtZR*+（C（1+zp）（1+π（qs-)) + 1+π（qs-))) ui，b（dz）ds#。因此，“ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)∧i，b（δi，bs）ui，b（dz）ds#≤ ∧i，b(-δ∞)MwE“ZTtZR*+（C（1+zp）（1+C（1+kqs-kp））+1+C（1+kqs-kp）ui，b（dz）ds#。随后，我们只需证明ZTtkqs-kpds< +∞.自kqsk以来≤ kqk+kqs- qk、kqskp≤ 2p级-1（kqkp+kqs- qkp），我们需要证明ZTtkqs-- QKPD< +∞.当我们在研发中工作时，这相当于证明ZTtkqs-- QKPPD< +∞,其中k（x，…，xd）kp=Pdi=1 | xi | p为此，我们为每个j∈ {1，…，d}，两个独立的泊松过程Nj，带Nj，a，其各自的强度∧j，b(-δ∞) 和∧j，a(-δ∞), 和（ξj，bk）k≥1和（ξj，ak）k≥1两个i.i.d.随机变量序列，其各自的分布为uj、带uj、a。

那么，我们有ZTtkqs-- QKPPD= E“ZTtdXj=1锆*+zJj，b（dt，dz）-锆*+zJj，a（dt，dz）pds#≤ E“ZTtdXj=1ZR*+zJj，b（dt，dz）+ZR*+zJj，a（dt，dz）！p#≤ EZTtdXj=1Nj，bsXk=1ξj，bk+Nj，asXk=1ξj，akpds≤ 2p级-1E级ZTtdXj=1Nj，bsXk=1ξj，bkp+Nj，asXk=1ξj，akpds公司≤ 2p级-1ZTtdXj=1E新泽西州，英国p-1Nj，bsXk=1ξj，bkp+ E新泽西州，asp-1Nj，asXk=1ξj，akpds公司≤ 2p级-1ZTtdXj=1呃新泽西州，英国电信皮埃尔ξj，bpi+Eh新泽西州，aT皮埃尔ξj，a圆周率ds公司≤ 2p级-1TdXj=1Eh新泽西州，英国电信piZR公司*+zpuj，b（dz）+Eh新泽西州，aTpiZR公司*+zpuj，a（dz）！<+∞.根据以上所述，我们有∈ {1，…，d}，E“ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)Ji，b（ds，dz）#=E“ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)∧i，b（δi，bs）ui，b（dz）ds#，当然，我们可以类似地证明，对于所有i∈ {1, . . .

，d}，E“ZTtZR*+w（s，qs）-- zei）- w（s，qs）-)Ji，a（ds，dz）#=E“ZTtZR*+w（s，qs）-- zei）- w（s，qs）-)∧i，a（δi，as）ui，a（dz）ds#。现在，通过应用It^o的公式，我们得到w（T，qT）=w（T，q）+ZTtwt（s，qs）ds+dXi=1ZTtZR*+w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)Ji，b（ds，dz）+dXi=1ZTtZR*+w（s，qs）-- zei）- w（s，qs）-)Ji，a（ds，dz）。通过取期望值，我们得到E[w（T，qT）]=w（T，q）+E“ZTt(wt（s，qs）+dXi=1ZR*+∧i，b（δi，b（s，z））w（s，qs）-+ zei）- w（s，qs）-)ui，b（dz）+dXi=1ZR*+∧i，a（δi，a（s，z））w（s，qs）-- zei）- w（s，qs）-)ui，a（dz））ds#，通过定义w，得出以下不等式：E[-`d（qT）]≤ w（t，q）+E“ZTt（ψ（qs）-dXi=1ZR*+z∧i，b（δi，b（s，z））δi，b（s，z）ui，b（dz）-dXi=1ZR*+z∧i，a（δi，a（s，z））δi，a（s，z）ui，a（dz））ds#，当（δi）i∈{1，…，d}=\'\'δi我∈{1，…，d}。换句话说，E“ZTt（dXi=1ZR*+z∧i，b（δi，b（s，z））δi，b（s，z）ui，b（dz）+z∧i，a（δi，a（s，z））δi，a（s，z）ui，a（dz）- ψ（qs））ds- `d（qT）#≤ w（t，q），当（δi）i时相等∈{1，…，d}=\'\'δi我∈{1，…，d}。通过取（δi）i的上确界∈{1，…，d}∈ A、 我们得到θ（t，q）=w（t，q），事实上\'\'δi我∈{1，…，d}是最优的。3利用因子解决多资产做市商问题现在让我们考虑问题（1）的特殊情况，其中q∈ 对于某些连续函数ψ和dw，ψ（q）=ψ（q∑q）和\'d（q）=\'d（q∑q），最多在整数处多项式增长。

本案例涵盖了文献的示例（见备注2）。如果d资产的价格是使用少量k个因素建模的，就像大多数金融资产价格计量经济学模型一样，那么方差协方差矩阵∑的形式是∑=βVβ+R，其中β是实数系数的d×k矩阵，V是各因素的k×k方差协方差矩阵，R是残差的d×d方差协方差矩阵。如果因子的解释力很高，那么R与∑相比应该很小（例如在弗罗贝尼乌斯范数中）。我们的方法是忽略残差，即将R设置为0。换言之，我们将市场风险预测在维度k的因素上。正如我们将在第4节中看到的，这种方法提供了目标函数（1）测量的非常好的结果。在接下来的内容中，我们还讨论了一种基于蒙特卡罗模拟的近似方法，在没有剩余风险的情况下，一旦计算出最优报价，就可以考虑R的影响。第4.3.1节将讨论这种附加近似方法的优缺点低维近似现在我们假设∑=βVβ，即R=0。在这个假设下，我们可以把问题（1）写成e“XT+dXi=1qiTSiT的最大化-\'\'d（βqT）V（βqT）-ZT′ψ（βqt）V（βqt）dt#。（3） 使用与第2节相同的思想，此表达式可以写成“TZ（ZR*+dXi=1δi，b（t，z）z∧i，b（δi，b（t，z））ui，b（dz）+δi，a（t，z）z∧i，a（δi，a（t，z））ui，a（dz）-ψ（βqt）V（βqt）)dt公司-\'\'d（βqT）V（βqT）#.让我们介绍一下（ft）t∈[0，T]=（βqt）T∈[0，T]。

然后，最大化（3）的问题等价于最大化“TZ（ZR*+dXi=1δi，b（t，z）z∧i，b（δi，b（t，z））ui，b（dz）+δi，a（t，z）z∧i，a（δi，a（t，z））ui，a（dz）-ψftV英尺)dt公司-\'\'dfTV英尺#.我们问题的状态过程现在是马尔可夫过程（ft）t∈[0，T]代替（qt）T∈[0，T]：我们已经将问题的维数从d降到k。让我们引入▄J:[0，T]×Rk×A→ R因此，t型∈ [0，T]，f=（f，…，fk）∈ Rk，（δi）i∈{1，…，d}∈ AJ（t，f，（δi）i∈{1，…，d}）=E“TZt（ZR*+dXi=1δi，b（s，z）z∧i，b（δi，b（s，z））ui，b（dz）+δi，a（s，z）z∧i，a（δi，a（s，z））ui，a（dz）-ψfsV fs)ds公司-\'\'dfTV f英尺#,其中（fs）s∈[t，t]=（ft，f，（δi）i∈{1，…，d}s）s∈[t，t]是在时间t从状态f开始并由（δi）i控制的状态过程∈{1，…，d}。值函数|θ：[0，T]×Rk→ 然后将问题的R定义为：|θ（t，f）=sup（δi）i∈{1，…，d}∈AJ（t，f，（δi）i∈{1，…，d}），（t，f）∈ [0，T]×Rk。通过使用与第2节中相同的参数，我们可以证明∧θ是以下积分微分Hamilton-Jacobi方程的唯一（在一大类函数中）光滑解：0=~θt（t，f）-ψfV f+dXi=1ZR*+zHi，bθ（t，f）-θ（t，f+zei）zui，b（dz）+dXi=1ZR*+zHi，aθ（t，f）-θ（t，f- z▄ei）zui，a（dz），（t，f）∈ [0，T）×Rk，（4）终端条件|θ（T，f）=-\'\'d（fV f），f∈ Rk，其中我∈ {1，…，d}，~ei=βei。此外，最优控制现在由以下公式给出：(R)δi，b（s，z）=δi，b*θ（s，fs-) -θ（s，fs-+ z▄ei）z,？δi，a（s，z）=δi，a*θ（s，fs-) -θ（s，fs-- z▄ei）z.当R=0时，问题归结为在适当的终端条件下找到（4）的解|θ。

特别是，从数值的角度来看，我们需要近似一个包含时间加上k个空间维度的方程的解，如果k很小，这在网格方法中是可行的。3.2考虑剩余风险的蒙特卡罗方法正如我们将在第4节中看到的，上述近似方法提供了通过目标函数（1）的值测量的非常好的结果。然而，当市场风险被预测在低维因素空间中时，就会出现错误地看似无风险的资产线性组合。为了防止经常访问与低风险错误关联的地区的库存轨迹，有必要寻找能够解释由矩阵R衡量的剩余风险的方法。在下文中，我们提出了一种近似方法来考虑剩余风险。该想法包括不考虑ε中的一阶展开式，其中∑=βVβ+εR。该想法背后的基本原理是，对于具有高解释力的因子模型，R应较小，因此使用微扰方法是有意义的。当ε=0时，我们知道如何解决这个问题，值函数由θ给出。