场外做市商的规模问题：一般结果和维度

为了近似ε>0时问题的值函数θ，我们考虑θ（t，q）=∧θ（t，βq）+εη（t，q）+o（ε）形式的一阶展开式，（t，q）∈ [0，T]×Rd.通过将此表达式插入方程（2），我们正式得到0=~θt（t，βq）+εηt（t，q）+o（ε）-ψ（βq）V（βq）+εqRq+dXi=1ZR*+zHi，bθ（t，βq）-θ（t，βq+zei）z+εη（t，q）- η（t，q+zei）z+o（ε）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+zHi，aθ（t，βq）-θ（t，βq- z▄ei）z+εη（t，q）- η（t，q- zei）z+o（ε）ui，a（dz）和|θ（T，βq）+εη（T，q）+o（ε）=-\'\'d（βq）V（βq）+εqRq.假设ψ和dare可以进行泰勒展开，我们得到0=~θt（t，βq）+εηt（t，q）-ψ（βq）V（βq）- εψ（βq）V（βq）qRq+dXi=1ZR*+zHi，bθ（t，βq）-θ（t，βq+zei）zui，b（dz）+εdXi=1ZR*+嗨，bθ（t，βq）-θ（t，βq+zei）zη（t，q）- η（t，q+zei）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+zHi，aθ（t，βq）-θ（t，βq- z▄ei）z+ εdXi=1ZR*+嗨，aθ（t，βq）-θ（t，βq- z▄ei）zη（t，q）- η（t，q- zei）ui，a（dz）+o（ε），和￠θ（T，βq）+εη（T，q）+o（ε）=-\'\'d（βq）V（βq）- ε\'\'d（βq）V（βq）qRq+o（ε）。作为|θ检验（4），我们得到0=ηt（t，q）-ψ（βq）V（βq）qRq+dXi=1ZR*+嗨，bθ（t，βq）-θ（t，βq+zei）zη（t，q）- η（t，q+zei）ui，b（dz）+dXi=1ZR*+嗨，aθ（t，βq）-θ（t，βq- z▄ei）zη（t，q）- η（t，q- zei）ui，a（dz）。η（T，q）=-\'\'d（（βq）V（βq））qRq。这个方程虽然在空间维度d中，但是线性的。因此，根据费曼-卡克表示定理，我们得到以下公式：η（t，q）=EP-ZTt？ψ（βqs）V（βqs）QSRQSD-\'\'d（βqT）V（βqT）qTRqTqt=q,其中，对于所有i，P以下∈ {1，…，d}，Ji，band Ji，ahave他们各自的强度核，由￠νi，bt（dz）=-嗨，bθ（t，βqt-) -θ（t，βqt-+ z▄ei）zui，b（dz），~νi，at（dz）=-嗨，aθ（t，βqt-) -θ（t，βqt-- z▄ei））zui，a（dz）。备注4。

值得注意的是，（qs）s的动力学∈P下的[t，t]是与R=0时使用最优引号相关的。由于这种概率表示，我们可以使用aMonte Carlo方法轻松计算给定时间t和库存q的η（t，q），因此可以轻松计算价值函数的近似值和考虑剩余风险的一阶最优报价的近似值。当然，在实践中，就计算时间而言，对库存的所有可能价值进行蒙特卡罗模拟的成本将高得令人望而却步，但在收到特定案例的报价请求并给出当前时间和库存（这将在第4.1.4节中讨论）后，也可以（在线）使用此方法。备注5。在计算与资产i相关的最优报价时，依赖于近似θ（t，qt-) - θ（t，qt-±zei）’θ（t，βqt-) -θ（t，βqt-±zei）+η（t，qt-) - η（t，qt-±zei）。计算η（t，qt-) - η（t，qt-±zei），在估算η（t，qt）时应使用相同的样本路径-) 和η（t，qt-±zei）。这与希腊人用蒙特卡罗方法计算衍生品合约的结论是一样的。4数值结果4.1两种资产的情况：一个因素vs.两个因素4.1.1模型参数在本节中，我们将我们的多资产做市模型应用于两种高度相关资产（herebonds）的情况。我们的目标是表明，在这种情况下，简化的单因素模型给出的结果与完整的双因素模型非常相似。为此，我们考虑具有以下特征的两种资产：o资产价格：S=S=100 e.o资产波动率1：σ=1.2 e·天-.o 资产2的波动率：σ=0.6 e·天-.o 相关性：ρ=0.9。o强度函数∧i，b（δ）=∧i，a（δ）=λRF Q1+eα∧+β∧δ，i∈ {1，2}，λRF Q=30天-1，α∧=0.7，β∧=30 e-1.

这相当于每个资产每天30个RFQ，当回答的报价为参考价格且概率为1+e时，交易概率为1+e0.7\'33%-当回答的报价是参考价格提高3美分时，交易0.2’55%。o请求大小根据γ分布Γ（αu，βu）分布，αu=4，βu=4·10-这对应于10000个资产的平均请求大小（即大约1000000个e），标准偏差等于平均值的一半。因此，方差-协方差矩阵由∑给出=1.44 0.6480.648 0.36= OhmDOhm\'0.906 0.4240.424 -0.9061.744 00 0.0560.906 0.4240.424 -0.906.我们可以看到，与第一个特征值相比，第二个特征值非常小。这证明，利用第3节的结果，即通过考虑β\'0.9060.424和V’1.744。关于目标函数，我们考虑以下内容：oT=12天给出的时间范围。该水平线确保在t=0时向固定报价收敛–参见下面的图5和图20。oψ：q∈ R7级→γq∑q，γ=8·10-7e-1.o`d=0.4.1.2带2个因子的结果由于θ和￠θ是在[0，T]×R上定义的，因此近似值函数的第一步是将状态空间限制为一个紧集。传统的处理方法是设置边界条件。

在以下情况下，我们等效地施加风险限额，即不会产生库存q的交易∈ r因此，允许q∑q>B，其中B=2.4·10。然后，我们使用带线性插值的单调显式Euler格式，在尺寸为141×141的网格上对因子进行线性插值，并将RFQ尺寸分布划分为4种尺寸：z=6250、z=12500、z=18750和z=25000资产，然后分别由非常小、小、大、，和非常大的尺寸–概率分别为p=0.53、p=0.35、p=0.10和p=0.02。作为系数函数的值函数（时间t=0）如图1所示。图2中绘制了通过线性插值获得的作为库存函数的相应值函数。从价值函数中，我们得到做市商的最优报价和询价，作为库存量和请求量的函数。图3和图4绘制了资产1和资产2（在RFQ规模最小的情况下）的最佳投标报价（时间t=0）。