场外做市商的规模问题：一般结果和维度

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英文标题：
《Size matters for OTC market makers: general results and dimensionality
  reduction techniques》
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作者：
Philippe Bergault, Olivier Gu\\\'eant
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In most OTC markets, a small number of market makers provide liquidity to other market participants. More precisely, for a list of assets, they set prices at which they agree to buy and sell. Market makers face therefore an interesting optimization problem: they need to choose bid and ask prices for making money while mitigating the risk associated with holding inventory in a volatile market. Many market making models have been proposed in the academic literature, most of them dealing with single-asset market making whereas market makers are usually in charge of a long list of assets. The rare models tackling multi-asset market making suffer however from the curse of dimensionality when it comes to the numerical approximation of the optimal quotes. The goal of this paper is to propose a dimensionality reduction technique to address multi-asset market making by using a factor model. Moreover, we generalize existing market making models by the addition of an important feature: the existence of different transaction sizes and the possibility for the market makers in OTC markets to answer different prices to requests with different sizes.
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中文摘要：
在大多数OTC市场，少数做市商向其他市场参与者提供流动性。更准确地说，对于资产清单，他们设定了同意买卖的价格。因此，做市商面临一个有趣的优化问题：他们需要选择出价和要价来赚钱，同时降低在动荡市场中持有库存的风险。学术文献中提出了许多做市商模型，其中大多数涉及单一资产做市，而做市商通常负责一长串资产。然而，当涉及到最优报价的数值近似时，处理多资产做市的罕见模型受到维数灾难的影响。本文的目的是提出一种利用因子模型解决多资产做市问题的降维技术。此外，我们通过增加一个重要特征来概括现有做市商模型：存在不同的交易规模，OTC市场的做市商有可能对不同规模的请求回答不同的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Size_matters_for_OTC_market_makers:_general_results_and_dimensionality_reduction.pdf (2.47 MB)

2022-6-24 06:52:15 上传

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关键词：做市商 Participants Quantitative Optimization Dimensional

场外做市商的规模问题：一般结果和维度还原技术*Philippe Bergault+Olivier Guéant摘要在大多数OTC市场中，少数做市商为其他市场参与者提供流动性。更准确地说，对于资产清单，他们设定了同意买卖的价格。因此，做市商面临着一个有趣的优化问题：他们需要选择出价和要价来赚钱，同时减轻在动荡的市场中持有库存的风险。学术文献中提出了许多做市商模型，其中大多数涉及单一资产做市，而做市商通常负责一长串资产。然而，当涉及到最优报价的数值近似值时，处理多资产做市的罕见模型会从维度的角度提供支持。本文的目的是提出一种利用因子模型解决多资产做市问题的降维技术。此外，我们通过增加一个重要特征来概括现有做市商模型：存在不同的交易规模，OTC市场的做市商有可能回答不同规模的不同价格要求。关键词：做市，随机最优控制，维数灾难，积分微分方程，风险因素模型。1简介金融市场的电子化改变了做市商的传统角色。这一点在大多数订单驱动型市场（如许多股票市场）中得到了证明，在这些市场中，负责维护公平有序市场的传统做市商现在经常与高频做市商竞争。令人惊讶的是，在过去十年中，许多以经销商为中心的OTC市场也经历了与电子交易相关的剧变。

大西洋两岸的公司债券市场就是这种情况，在大西洋两岸，电子化过程由多经销商对客户（MD2C）平台主导，使客户能够同时向多个经销商发送相同的报价请求（RFQ），从而使他们立即相互竞争。投资银行内部也在进行电子化，因为大多数投行都将其tradersby算法替换为能够为客户提供大量资产的报价，并自动化其做市业务，至少是小型票据。建立做市商算法是一项艰巨的任务，因为做市商面临的优化问题涉及静态和动态组件。做市商确实面临着第一个（静态）交易：高利润率和低交易量与低利润率和高交易量。做市商很少引用较大的买卖价差（无偏斜）交易，但每笔交易都会带来较大的按市值计价（MtM）收益。相反，一个做市商如果报价的买卖价差很小（没有偏斜），那么他通常会进行交易，但每次交易都会带来很小的MtM收益。*作者要感谢伊夫·阿奇杜（巴黎大学迪德罗分校）、巴斯蒂安·巴尔达奇（巴黎理工大学）、纪尧姆·比奥奇（巴黎巴黎大学）、尤利娅·曼齐乌克（巴黎大学第一附属索邦分校和巴黎理工大学）、多明戈·普埃尔塔斯·特里洛（巴黎大学迪德罗分校）、玛丽·克莱尔·昆茨（巴黎大学迪德罗分校）、安德烈·塞尔扬托夫（巴黎大学），以及法国巴黎银行（BNP Paribas）的Goncalo Simoes，感谢他们就这一问题与他们进行了多次深入的讨论。

此外，两位匿名裁判值得热烈感谢，因为他们的评论后，论文得到了实质性的改进。+巴黎大学索邦分校1号，索邦经济中心，106 Boulevard de l\'H^opital，75642 Paris Cedex 13，France，philippe。bergault@etu.univ-巴黎1.fr巴黎大学索邦分校，索邦经济中心，106 Boulevard de l\'H^opital，75642 Paris Cedex 13，France，olivier。gueant@univ-paris1.fr通讯作者。除了这种简单的静态交易之外，做市商还面临着一个动态问题：在一个动荡的市场中，他们必须以动态的方式报价，以减轻其市场风险敞口，尤其是根据其库存调整报价。例如，如果一个拥有长期库存的单一资产做市商想要——一种合理的行为——降低其购买概率并增加其出售概率，那么她应该在出价方以保守的方式定价，而在要价方以相当激进的方式定价。做市商面临的优化问题已在一长串学术论文中得到解决。做市商文献中经常引用的前两篇参考文献是两篇经济学论文：格罗斯曼和米勒[7]以及何和斯托尔[15]。如果从理论角度来看，前者是一个经典，那么后者在2008年由Avellanda和Stoikov复兴，以建立第一个单一资产做市的实用模型。自那以后，人们提出了许多模型，其中大多数都是为了解决单一资产做市的同样问题。例如，[12]对Avellanda和Stoikova提出的随机最优控制问题进行了严格的分析，并证明了在指数强度函数的情况下，该问题归结为线性常微分方程（ODE）系统。Cartea等人。

（[3、4、5]）对文献做出了很大贡献，并为初始模型添加了许多特征：阿尔法信号、歧义厌恶等。他们还考虑了不同的目标函数：风险调整后的预期，而不是[1]和[12]的冯·诺依曼·摩根斯坦预期效用。[9，10]中对这两种目标函数都考虑了多资产做市，作者指出，对于一般强度函数，问题归结为求解（先验非线性）常微分方程组。上述大多数模型都非常适合处理场外交易市场或订单驱动市场中的做市交易，当交易/差价比率较大时。对于主要的股票市场或一些外汇平台，其他模型更适合，例如Guilbaud和Pham的模型，他们真正考虑了微观结构（见[13，14]）。尽管关于做市商的文献越来越多，但有几个问题很少得到解决。第一个例子是交易规模：在围绕报价请求组织的市场中，报价可以而且应该取决于请求的规模。第二个也是更普遍的问题是最优报价的数值逼近问题。如果理论上可以通过ODE系统的解决方案来计算最优报价，那么该系统的大小（随着资产数量呈指数增长）会阻止使用网格方法对资产超过4或5的投资组合进行任何具体计算。据我们所知，与高维做市商模型相关的哈密尔顿-雅可比方程的近似解的唯一尝试是[8]，其中作者提出了一种受强化学习技术启发的方法，该方法使用神经网络而不是网格。在本文中，我们的目标是双重的。我们的第一个目标是推广现有模型，引入贸易规模分布。

这种扩展并不简单，因为最优控制不能再用实值随机过程建模，而是必须用可预测的映射建模。从数学角度来看，其结果是问题不再归结为一个有限的常微分方程组，而是归结为一个Hamilton-Jacobi型积分微分方程，该方程可以被视为有限维空间中的一个普通微分方程。我们的第二个目标是提出一种数值方法，用于在大量资产上近似市场制造商的最优买卖报价。为此，我们证明了问题的真实维度不是资产数量，而是资产价格相关矩阵的秩。然后，通过使用因子模型，我们展示了如何近似做市商的最优报价。事实上，如果将市场风险预测到低维因素空间，那么解决做市问题归根结底就是解决低维汉密尔顿-雅可比方程。特别是，如果因子数小于3，则可以独立于资产数应用网格方法。此外，我们建议使用蒙特卡罗方法来近似剩余风险的影响，在将风险预测到因素空间时，未考虑剩余风险的影响。在第2节中，我们介绍了具有分布式请求大小的做市模型。我们将随机最优控制问题相关的值函数描述为Hamilton-Jacobi型积分微分方程的解，使用ODE技术在一个精心选择的有限维空间和验证参数中进行。随后，我们提供了最佳报价的表达式，作为时间、库存和请求大小的函数。

在第3节中，我们展示了当不同资产价格之间的依赖结构可以由风险因素建模时，如何简化方程。然后，我们将展示这种简化如何产生近似值，通过在网格上求解低维方程，帮助解决维数灾难。我们还解释了如何使用蒙特卡罗模拟来解释因子未考虑的风险部分。我们将第4节中的这些技巧应用于2和30种债券的投资组合，并讨论结果。期权做市也得到了解决，例如参见[2、6、16]。2带标记点的做市过程在本文中，我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 P；F=（英尺）t≥0）满足通常条件。我们假设这个概率空间足够大，以支持我们引入的所有过程。2.1建模框架和符号我们考虑一个负责d资产的做市商。对于i∈ {1，…，d}，资产i的参考价格由过程（Sit）t建模≥0具有以下动力学：dSit=σidWit，Sigiven，σi>0，和（重量，…，Wdt）t型≥具有相关矩阵（ρi，j）1的d维布朗运动≤i、 j≤d、 适应过滤（Ft）t≥0、我们用∑表示=ρi，jσiσj1.≤i、 j≤d与过程相关的方差-协方差矩阵（St）t≥0=（St，…，Sdt）t型≥这些资产通过询价（RFQ）进行交易：做市商首先收到希望购买或出售特定资产的客户的报价请求，然后向客户提出价格，客户最终决定是否接受以该价格进行交易。在任何时候，做市商必须准备好提出买入和卖出任何d资产的出价和询价。

报价和询价取决于z的大小∈ R*+RFQ（在本文中，我们使用符号R*+:= (0, +∞)).对于给定的资产i，它们由映射Si、b、Si、a建模：Ohm ×【0，T】×R*+→ R为P B（R*+)-可测，其中P表示Ohm ×[0，T]和B（R*+) 表示R的Borelian集*+.对于每个i∈ {1，…，d}，我们引入了Ji，b（dt，dz）和Ji，a（dt，dz）两个cádlág R~+标记点过程。对于i∈ {1，…，d}，我们表示为νi，bt（dz）t型≥0和νi，at（dz）t型≥0分别为Ji，b（dt，dz）和Ji，a（dt，dz）的强度核。此外，我们假设νi，bt（dz）t型≥0和νi，at（dz）t型≥0验证：νi，bt（dz）=∧i，b（δi，b（t，z））ui，b（dz），νi，at（dz）=∧i，a（δi，a（t，z））ui，a（dz），其中对于所有i∈ {1，…，d}，ui，b，ui，a是R上的两个概率测度*+, δi，b（t，z）=Sit- Si，b（t，z），δi，a（t，z）=Si，a（t，z）- 坐下，然后∧i，b，∧i，a是一对满足以下假设（H）的函数：“∧i，带∧i，aare两次连续可微，“∧i，带∧i，aare递减，且δ ∈ R、 ∧i，b（δ）<0和∧i，a（δ）<0，olimδ→+∞∧i，b（δ）=0和limδ→+∞∧i，a（δ）=0，osupδ∈R∧i，b（δ）∧i，b（δ）（λi，b（δ））<2和supδ∈R∧i，a（δ）∧i，a（δ）（λi，a（δ））<2。就我而言∈ {1，…，d}，Ji，b（dt，dz）和Ji，a（dt，dz）分别为资产i的投标和投标交易量建模。做市商的库存，由d维过程（qt）t建模≥0=（qt，…，qdt）t型≥因此，0具有以下动态：我∈ {1，…，d}，dqit=ZR*+zJi，b（dt，dz）-锆*+zJi，a（dt，dz），带Qgive。备注1。对于给定资产i，∧i，。通常具有∧i、，。（δ） =λi，。RF Qfi，。（δ） ，其中λi，。RF QI是报价和fi请求到达的（恒定）强度，。（δ） 根据做市商提出的报价δ，给出请求将导致交易的概率。

此外，ui，。应视为大小的分布。符号指定转置运算符。它在这里将线向量转换为列向量。附录中明确阐述了这些过程。请注意，在我们的模型中，与大多数实际OTC市场一样，在多个资产中不存在同时RFQ。最后，过程（Xt）t≥0为做市商的现金账户建模时，动态XT=dXi=1ZR*+Si，a（t，z）zJi，a（dt，dz）-dXi=1ZR*+Si，b（t，z）zJi，b（dt，dz）=dXi=1ZR*+（Sit+δi，a（t，z））zJi，a（dt，dz）-dXi=1ZR*+（坐下- δi，b（t，z））zJi，b（dt，dz）=dXi=1ZR*+δi，b（t，z）zJi，b（dt，dz）+δi，a（t，z）zJi，a（dt，dz）-dXi=1Sitdqit。We fixδ∞≥ 0，并确定容许控制集A，bya=（δ=δi，b，δi，a1.≤我≤d：Ohm ×【0，T】×R*+7.→ R2dδ为P B（R*+) - 可测量的我∈ {1，…，d}，δi，b（t，z）≥ -δ∞P dt公司 ui，ba。e、 和δi，a（t，z）≥ -δ∞P dt公司 ui，aa。e、 ）。如【10】所证明，在假设（H）下，函数δ∈ R 7→ Δ∧i，b（δ）和δ∈ R 7→ Δ∧i，a（δ）在R上有唯一的最大值。在[-δ∞, +∞), 它们从下方以-δ∞∧i，b(-δ∞) 和-δ∞∧i，a(-δ∞), 分别地对于两个给定的连续罚函数ψ：Rd→ R+和\'d：Rd→ R+，模拟做市商的风险规避，我们的目标是最大化目标函数“XT+dXi=1qiTSiT- `d（qT）-ZTψ（qt）dt#，（1）在容许控制集A上。备注2。例如，我们可以选择ψ（q）=γq∑q或ψ（q）=γ√q∑q（对于γ>0）和\'d（q）=0，\'d（q）=ζq∑qor\'d（q）=ζ√q∑q（对于ζ>0），如【4】、【5】、【8】和【10】中所述。将其公式应用于Xt+Pdi=1qitSitt型≥0在0和T之间，很容易看出问题等价于最大化“TZ（dXi=1ZR*+δi，b（t，z）z∧i，b（δi，b（t，z））ui，b（dz）+δi，a（t，z）z∧i，a（δi，a（t，z））ui，a（dz）- ψ（qt））dt- `d（qT）#，在容许控制集A上。我们引入函数J:[0，T]×Rd×A→ R因此，t型∈ [0，T]，q=（q。

，qd）∈ Rd，（δi）i∈{1，…，d}∈ A、 J（t，q，（δi）i∈{1，…，d}）=E“TZt（dXi=1ZR*+δi，b（s，z）z∧i，b（δi，b（s，z））ui，b（dz）+δi，a（s，z）z∧i，a（δi，a（s，z））ui，a（dz）- ψqt，q，（δi）i∈{1，…，d}s)ds公司- `dqt，q，（δi）i∈{1，…，d}T#,哪里qt，q，（δi）i∈{1，…，d}ss≥这是库存过程，从时间t的状态q开始，由（δi）i控制∈{1，…，d}。值函数θ：[0，T]×Rd→ 然后将问题的R定义为：θ（t，q）=sup（δi）i∈{1，…，d}∈AJ（t，q，（δi）i∈{1，…，d}），（t，q）∈ [0，T]×Rd。我们在这里为报价引入一个唯一的下界，与资产、边长、大小和时间无关。概括是向前延伸的。我们将证明θ是以下积分微分哈密尔顿-雅可比（HJ）方程的唯一（在一大类函数中）经典解：0=wt（t，q）- ψ（q）+dXi=1ZR*+zHi，bw（t，q）- w（t，q+zei）zui，b（dz）+dXi=1ZR*+zHi，aw（t，q）- w（t，q- zei）zui，a（dz），（t，q）∈ [0，T]×Rd，（2）终端条件w（T，q）=-`d（q），q∈ Rd，其中HI，b:p∈ R 7→ supδ≥-δ∞∧i，b（δ）（δ- p） 嗨，a:p∈ R 7→ supδ≥-δ∞∧i，a（δ）（δ- p） ，以及在哪里e预计起飞时间表示Rd.2.2的正则基（2）引理1的解的存在性和唯一性。我∈ {1，…，d}，Hi，band Hi，aare是两个全局Lipschitz连续可微递减函数。此外，Hi，b（p）（分别为Hi，a（p））的定义的上限在唯一的δi，b处达到*（p） （分别为δi，a*（p） ）。此外，δi，b*和δi，a*是连续且不递减的函数。证据我们只为提问方证明结果。投标方的证明类似。让我∈ {1，…，d}。对于p∈ R、 我们的专长：δ∈ R 7-→ ∧i，a（δ）（δ- p） 。Hip是一个连续可微分函数，δ为正∈ （p+∞) 否则是不积极的。