随机系数自回归过程的弱极限及其应用

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英文标题：
《Weak Limits of Random Coefficient Autoregressive Processes and their
  Application in Ruin Theory》
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作者：
Yuchao Dong (LASP), J\\\'er\\^ome Spielmann (LAREMA, UA)
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We prove that a large class of discrete-time insurance surplus processes converge weakly to a generalized Ornstein-Uhlenbeck process, under a suitable re-normalization and when the time-step goes to 0. Motivated by ruin theory, we use this result to obtain approximations for the moments, the ultimate ruin probability and the discounted penalty function of the discrete-time process.
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中文摘要：
我们证明了一大类离散时间保险盈余过程在适当的重新规范化下，当时间步长为0时，弱收敛于广义Ornstein-Uhlenbeck过程。受破产理论的启发，我们利用这一结果获得了离散时间过程的矩、最终破产概率和贴现惩罚函数的近似值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Weak_Limits_of_Random_Coefficient_Autoregressive_Processes_and_their_Application.pdf (482.04 KB)

2022-6-24 07:09:52 上传

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关键词：随机系数 自回归 Applications Differential Quantitative

随机系数自回归过程的弱极限及其在破产理论中的应用。DONGLAREMA，UMR 6093，Angers大学，CNRS，SFR数学，Franceycdong@fudan.edu.cnJ.斯皮尔曼·拉雷马（SPIELMANNLAREMA），UMR 6093，安格斯大学（University Angers），CNRS，SFR Mathic，Francejerome。spielmann@univ-愤怒。fr（对应）摘要。我们证明了一大类离散时间保险盈余过程在适当的重新规范化下，当时间步长为0时，弱收敛于广义OrnsteinUhlenbeck过程。受破产理论的启发，我们利用这一结果得到了离散时间过程的矩、最终破产概率和贴现惩罚函数的近似值。2010年理学硕士课程分类：60F17（初级）、91B30、60J60。关键词：不变性原理、弱收敛性、自回归过程、随机递归方程、广义Ornstein-Uhlenbeck过程、破产概率、首次通过时间。1、IntroductionLet（ξk）k∈N*和（ρk）k∈N*是两个独立的随机变量序列，ρk>0（P- a、 对于所有k∈ N*. 具有随机系数的一阶自回归过程，缩写为DRCA（1）或RCAR（1），参见例[20]，由（1）θk=ξk+θk给出-1ρk，k∈ N*.本文已被《保险：数学与经济学》接受出版，并将于2020年3月出版。该文件已通过DOI在线提供：https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2019.12.001.（CC BY-NC-ND2020）2自回归过程的弱极限和θ=y∈ R、 这种过程也称为随机递归或微分方程，经常出现在应用概率中。例如，文献[1]中提出，RCA过程可用于与水文、气象学和生物学相关的问题。我们还参考了[32]，以获得更详尽的示例列表。

在破产理论中，theRCA（1）过程是保险公司剩余资本的经典模型，其中（ξk）k∈N*表示随机付款或收入流和（ρk）k∈N*表示从一个周期到下一个周期的随机回报率，例如参见[22]、[23]、[24]和[30]。在本文中，我们证明了过程（1）在时间步长为0时的收敛性，并对（2）Yt=eRt给出的广义Ornstein-Uhlenbeck（GOU）过程进行了适当的重新规范化y+Zt0+e-卢比-dXs公司, t型≥ 0，其中R=（Rt）t≥0和X=（Xt）t≥0是具有漂移的独立稳定L'evy过程。弱收敛的主要用途之一是证明过程路径的某些泛函收敛于极限过程的泛函，并在两次支付之间的步长及其绝对值很小时，将后者的值作为前者的近似值。受破产理论的启发，我们将使用这种技术来证明最终破产概率的收敛性，一种简单形式的贴现惩罚函数和矩。通常，（2）被选为先验基础上具有投资风险的保险盈余过程的模型。然后，针对R和X的不同选择，在“带投资的破产问题”标题下研究破产问题。我们参考文献[27]和其中的参考文献对相关文献进行概述。因此，本文的主要趋同结果也可以被视为连续时间模型（2）的理论证明，在保险和市场风险的保险盈余过程模型的背景下，其精神与[9]中的结果相同。在精算数学中，类似的收敛结果和剩余过程泛函的近似是一条发展很好的研究路线。

文献[16]表明，带漂移的复合泊松过程弱收敛于带漂移的布朗运动，并表明在有限时间和最终破产概率收敛于极限模型。这些结果在[13]中3次推广到自回归过程更一般的跳跃弱极限，在[3]和[12]中推广到更一般的跳跃大小。对于[14]中的复合泊松过程，确定性函数w.r.t.的积分也证明了类似的收敛结果，这与保险公司可以在确定性利率下投资的假设相对应。文献[28]对之前的一些结果进行了推广，其中表明，具有跳跃扩散盈余过程和随机跳跃扩散投资的一般模型收敛到特定的扩散过程。与我们的结果更密切相关的是论文[7]和[10]。在[7]中，我们发现AR（1）过程（即系数ρkaredterministic和常数）弱收敛于标准的OrnsteinUhlenbeck过程。在文献[10]中，我们证明了当变量ξkaredterministic且满足某些正则性条件时，我们有一个类似的弱收敛结果，其中（2）中的过程X被替换为一个deterministic函数。[9]中的结果也密切相关。在这篇论文中，作者研究了数学金融中出现的某些离散时间模型到连续时间模型的弱收敛性，并证明了某些泛函（如看涨期权价格）值的收敛性。特别是，对于ξk=0的情况，对于所有k∈ N*, theyshow，使用与我们相同的重新规范化（见下文第2节开头），证明离散时间过程（1）收敛到带漂移的布朗运动的Dol'eans-Dade指数。

这推广了著名的文献[6]，其中证明了简单随机游动的指数正确地重新归一化收敛到Black-Scholes模型。最后，在[8]中还研究了离散时间过程（1）和（2）之间的关系，其中表明GOU过程在某种意义上是RCA（1）过程的连续时间类似物。更准确地说，它们表明，任何连续时间过程S=（St）t≥0序列（Snh）n∈N*在以h>0的速率采样的过程中，满足形式（1）的方程，对于所有h>0，以及一些附加条件，是形式（2）的GOU过程，其中X和R是一般的evy过程。我们的主要结果与这个类比是一致的，但似乎与其他方面无关。本文的结构如下：在引入假设和符号后，我们证明了定理1中（1）到（2）的弱收敛性。根据这个结果，我们在定理2中推导出破产时间分布的收敛性。然后，当ξ和ln（ρ）都是平方可积的时，我们给出了定理3中折扣惩罚函数4自回归过程的弱极限、定理4中的最终破产概率和定理5中的矩的简单形式收敛的充分条件。我们用精算理论和数学金融的例子来说明这些结果。2、自回归过程的弱极限与破产时间的收敛在本节中，我们证明了离散时间过程弱收敛于GOU过程，并证明了其在破产时间分布上的收敛性。2.1. 假设和收敛结果。我们将使用以下一组假设。假设（Hα）。我们说，一个随机变量Z满足（Hα）的分布函数满足（Z≤ -x）~ kZx公司-α和P（Z≥ x）~ kZx公司-α、 作为x→ ∞, 对于一些1<α<2，其中kZ，kZare常数使得kZ+kZ>0。

注意，这意味着E（| Z |）<∞.假设（H）。我们说，一个随机变量Z满足（H）ifZ是Var（Z）>0的平方可积的，其中Var（Z）是Z的方差。我们现在介绍一些符号，并回顾关于度量空间、稳定随机变量和L'evyprocess上的Tweak收敛的一些经典事实。回想一下，c`adl`ag的空间D函数是R+→ R可以配备Skorokhod度量，使其成为一个完整且可分离的度量空间，参见第VI.1节，第324页【17】。设D为该拓扑的Borelsigma字段。给定一系列随机元素sz（n）：(Ohm（n） ，F（n），P（n））7→ （D，D），带n≥ 我们说（Z（n））n≥1弱收敛或分布到Z：(Ohm, F、 P）7→ （D，D），如果Z（n）的定律弱收敛于Z的定律，当n→ ∞. 我们用Z（n）d表示弱收敛→ Z和我们使用相同的符号表示R上测度的弱收敛。关于这些概念的更多信息，请参阅第六章，第324页。关于指数α的稳定随机变量Z，最常用的定义方法是通过其特征函数：E（eiuZ）=exp[iγu- c | u |α（1- iβsign（u）z（u，α））]，自回归过程的弱极限5whereγ∈ R、 c>0，α∈ (0, 2], β ∈ [-1，1]和z（u，α）=（tanπα如果α6=1，-πln | u |如果α=1。稳定L'evy过程（Lt）t≥0是L'evy过程，使得LTI等于某个稳定的随机变量，对于每个t≥ 0，具有已执行的参数β∈ [-1、1]和γ=0（例如，参见[11]中的定义2.4.7 p.93。）最后，注意如果（Zk）k∈N*是一个i.i.d.随机变量序列，Z表示（Hα）或（H），则存在一个稳定的随机变量Kα和一个常数cα>0，使得（3）nXk=1Zk- uZcαn1/αd→ Kα，作为n→ ∞, 其中uZ=E（Z）。事实上，当zsaties（H）、α=2、cα=1和Kα是方差Var（Z）的标准正态分布时。（有关这些事实，请参见【11】中的第2.2 p.70-81节。）备注1。

假设（Hα）和（H）并未涵盖所有可能的情况。例如，分布函数满足P（Z）的随机变量Z≤ -x）~ x个-2，作为x→ ∞, 既不满足（Hα）也不满足（H）。在这种情况下，下面定理1和定理2的证明仍然有效。然后，归一化序列（cαn1/α）n∈N*in（3）替换为（Sα（n）n1/α）n∈N*, 其中Sα：R*+→ R*+是一个缓慢变化的函数（见[11]中的定理2.2.15）和序列（ξ（n）k）k的定义∈N*和（ρ（n）k）k∈N*必须通过将cα替换为Sα（n）来调整以下内容。此外，为了能够在下面定理1的证明中得到（11），我们需要一个额外的假设；例如，Limx就足够了→∞Sα（x）>0存在并且是有限的。现在我们来介绍本节的主要假设和结果。假设（H）。我们假设（ξk）k∈N*和（ρk）k∈N*是两个独立的随机变量序列，ρk>0（P-a、 对于所有k∈ N*, 且ξ（分别为ln（ρ））满足（Hα）或（H）（分别为（Hβ）或（H））我们用cα（分别为cβ）表示常数，用Kα（分别为Kβ）表示极限稳定随机变量apparingin（3）。用（Lαt）t表示≥0（分别为Lβt）t≥0）通过将Lαd=Kα（分别为Lβd=Kβ）得到的稳定L'evy过程。6自回归过程的弱极限Fix n∈ N*, 我们想要将时间间隔划分为n个长度为1/n的子间隔，并在细分的每个时间点更新离散时间过程。为了将其形式化，我们定义了以下过程（4）θ（n）千牛= ξ（n）k+θ（n）k- 1nρ（n）k，k∈ N*,式中（ξ（n）k）k∈N*和（ρ（n）k）k∈N*必须从初始序列中定义。

根据文献[10]中的一个想法，我们让uξ=E（ξ）和uρ=E（ln（ρ）），并定义：ξ（n）k=uξn+ξk- uξcαn1/α和ρ（n）k=exp（γ（n）k），其中γ（n）k=uρn+ln（ρk）- uρcβn1/β。这些定义确保Enxk=1ξ（n）k！=uξ和EnXk=1ln（ρ（n）k）！=uρ.此外，当ξ和ln（ρ）都满足（H）时，我们选择α=β=2和cα=cβ=1，然后我们有以下方差稳定性质：VarnXk=1ξ（n）k！=Var（ξ）和VarnXk=1ln（ρ（n）k）！=Var（ln（ρ））。最后，我们定义了过滤F（n）={, Ohm}, F（n）k=σ（（ξ（n）i，ρ（n）i），i=1，k） ，k∈ N*F（n）t=F（n）[nt]，对于t≥ 0，其中[.]是函数，定义θ（n）为θ（n）t=θ（n）给出的（连续时间）随机过程[nt]n, t型≥ 0、定理1。在（H）下，我们有θ（n）d→ Y，作为n→ ∞, 其中Y=（Yt）t≥0是GOU过程（2），其中Xt=uξt+Lα，Rt=uρt+Lβt，对于所有t≥ 此外，Y满足以下随机微分方程：（5）Yt=Y+Xt+Zt0+Ys-d^Rs，t≥ 0，自回归过程的弱极限7，其中^Rt=Rt+hRcit+X0<s≤t型e卢比- 1.- 卢比, t型≥ 0，且Rcis是R的连续鞅部分，且Rtis其跳跃时间≥ 示例1（帕累托损失和稳定的对数回报）。假设（Hα）非常普遍，且易于检验。为了说明这一点，我们采用形状参数1<α<2的帕累托（I型）分布的负值表示损失ξ，即由其分布函数Fξ（x）=(-x）-α、 对于x≤ -条件α确保ξ有一个有限的第一时刻，但有一个有限的第二时刻。此外，ξ满足（Hα），常数kξ=1，kξ=0。我们还有|ξ=-α/(α - 1） thatnXk=1ξk- uξcα，ξn1/αd→ -Kα，ξ，as n→ ∞, 对于cα，ξ=π2Γ（α）sin（απ/2），其中Γ是伽马函数，其中Kα，ξ是指数α的稳定随机变量，γ=0，c=1，β=1（参见[31]中的p.62）。对于对数返回ln（ρ），我们采用指数x1<α<2，参数|γ=0，|c=1和|β的稳定分布∈ [-1, 1].

那么，我们有uρ=0和nxk=1ln（ρk）- |ρc|α，ρn1/|αd→ Kα，ρ，作为n→ ∞. 因此，定理1暗示θ（n）d→ Y，作为n→ ∞, 其中YT=eRty+Zt0+e-卢比-dXs公司, t型≥ 0，其中Xt=uξt+Lαand Rt=uρt+Lαt，其中Lα和Lα是Lαd=-Kα，ξ和L|αd=K|α，ρ。如前所述，我们将对定理1在破产理论中的应用感兴趣，现在我们陈述这一研究方向的主要结果。确定以下停车时间，对于n≥ 1，τn（y）=inf{t>0：θ（n）t<0}8具有约定inf的自回归过程的弱极限{} = +∞, τ（y）=inf{t>0：Yt<0}。定理2。假设（H）成立。我们有，尽管如此≥ 0，limn→∞P（τn（y）≤ T）=P（τ（y）≤ T）和τn（y）d→ τ（y），作为n→ ∞.定理2暗示了对于任何连续和有界函数f:R，E（f（τn（y））到E（f（τ（y））的收敛性+→ R、 例如，对于一种简单形式的离散罚函数，我们可以得到以下收敛结果。推论1。假设（H）成立。我们有Limn→∞E（E-ατn（y）{τn（y）<+∞}) = E（E-ατ（y）{τ（y）<+∞}),对于所有α>0。当ξ和ln（ρ）均满足（H）时，极限稳定随机变量实际上是标准正态随机变量，极限过程由两个带漂移的独立布朗运动定义。推论2（纯扩散极限）。假设ξ和ln（ρ）都满足（H），然后θ（n）d→ Y，作为n→ ∞, 对于Y=（Yt）t≥0由（2）定义，Rt=uρt+σρWt，Xt=uξt+σξИWt，对于所有t≥ 0，其中（Wt）t≥0和（￠Wt）t≥0是两个独立的标准布朗运动σξ=Var（ξ）和σρ=Var（ln（ρ））。示例2（帕累托损失和NIG日志返回）。为了说明（H），我们再次取损失ξ的帕累托（I型）分布的负值，但形状参数α>2，因此分布也包含一个二阶矩。

对于对数返回，ln（ρ）取参数为0的正态逆高斯NIG（α，β，δ，u）≤ |β|<α，δ>0和u∈ R、 即，由以下动量母函数（6）e（eu ln（ρ））=exp定义的随机变量uu+δλ -pα- （β+u）,式中λ=pα- β、 适用于所有u∈ R、 那么，众所周知，uξ=-αα - 1, σξ=α(α - 1)(α - 2） 自回归过程9的弱极限，且|ρ=u+βδλ，σρ=δαλ。因此，在这种情况下，推论2产生θ（n）d→ Y，Y=euρt+σρWty+Zt0+e-uρs-σρWsd（uξs+σξОWs）, t型≥ 0，其中（Wt）t≥0和（￠Wt）t≥0是两个独立的标准布朗运动。2.2. UT条件及定理1和定理2的证明。现在我们来看看这些定理的证明。该策略是将离散时间过程重写为随机积分，并使用基于半鞅一致紧性条件的随机积分的弱收敛结果。要重写离散时间过程，请注意，通过归纳，对于所有n∈ N*和k∈ N*, 由θ（n）给出千牛= ykYi=1ρ（n）i+kXi=1ξ（n）ikYj=i+1ρ（n）j=kYi=1ρ（n）iy+kXi=1ξ（n）iiiyj=1（ρ（n）j）-1.其中，根据惯例，我们设置qkj=k+1ρ（n）j=1，对于所有n∈ N*. 因此，（7）θ（n）t=[nt]Yi=1ρ（n）iy+[nt]Xi=1ξ（n）iiYj=1（ρ（n）j）-1..设X（n）t=P[nt]i=1ξ（n）i和R（n）t=P[nt]i=1γ（n）i，我们得到（8）θ（n）t=eR（n）ty+Zt0+e-R（n）s-dX（n）s.事实上，上述对离散时间过程的重写对于本文中的大多数证明都是非常有用的。备注2。证明弱收敛性的另一种方法是，由于[X（n），R（n）]t=0，对于所有n∈ N*, 我们发现θ（n）满足以下随机微分方程：θ（n）t=y+X（n）t+Zt0+θ（n）s-d^R（n）s，自回归过程的10个弱极限，其中^R（n）t=R（n）+X0<s≤t（eR（n）s- 1.- R（n）s）=[nt]Xi=1（eγ（n）i- 1） ，并将众所周知的稳定性结果用于随机微分方程的解。