随机系数自回归过程的弱极限及其应用

但是，[N（N），N（N）]t=X0<s≤t型(N（N）s）=[nt]Xi=1ξi- uξ√n.因此，显式地编写随机积分并使用与之前相同的计算，我们得到p（E（n）2，T）≤4KE∞Xi=[新台币]+1ξi- uξ√ne-2Pij=1γ（n）j=4Kσξn∞Xi=[nT]+1E（e-2γ（n））i≤4KCTσξC1/nn（1- C1/n）。同样，使用上面r.h.s.上的表达式收敛的事实，当n→ ∞, 我们发现这一限制→∞lim支持→∞PE（n）2，T= 0andlim supn→∞P（τn（y）<∞) ≤ P（τ（y- ) < ∞).所以，让 → 0并使用y 7的连续性→ P（τ（y）<∞), weobtainlim supn公司→∞P（τn（y）<∞) ≤ P（τ（y）<∞).[28]给出了极限过程最终破产概率的显式表达式。24自回归过程的弱极限3.3。矩的近似值。在本节中，我们获得了一个计算固定时间限制过程Y的矩的草书公式，为了简单起见，我们选择T=1，并证明θ（n）的矩收敛于Y的矩。这提供了一种近似θ（n）矩的方法。提案2。假设极限过程Y=（Yt）t≥0由（2）给出，对于所有t，Xt=uξt+σξИWt，Rt=uρt+σρWt≥ 0.Wehave，对于所有p∈ N、 （15）Esup0≤t型≤1 | Yt | p< ∞.此外，让mp（t）=E[（Yt）p]，对于每个0≤ t型≤ 1和p∈ N、 我们有以下递推公式：m（t）=1，（16）m（t）=（yeκρt+uξκρ（eκρt- 1） 当κρ6=0时，当κρ=0时，y+uξt，其中κρ=uρ+σρ/2，对于每个p≥ 2，（17）mp（t）=ypeapt+Zteap（t-s） （bpmp-1（s）+cpmp-2（s））ds，其中ap=puρ+pσρ/2，bp=puξ，cp=p（p- 1)σξ/2.证据对于p，力矩（15）的存在如下≥ 2，根据SDEs强解的一般存在性结果，参见[21]中的推论2.2.1 p.119，对于p=1，参见Cauchy-Schwarz\'sinequality。为所有0设置mp（t）=E[（Yt）p]≤ t型≤ 1和p∈ N*.

假设p≥ 2、对于r∈ N*, 定义自回归过程的停止时间θr=inf{t>0:|Yt |>r}弱极限{} = +∞. 然后，应用It^o引理并使用hY，Y It=σξt+σρRtYsds，得到（Yt∧θr）p=yp+puξZt∧θr（Ys）p-1ds+pσξZt∧θr（Ys）p-1dWs+pκρZt∧θr（Ys）pds+pσρZt∧θr（Ys）pdW s+p（p- 1） σξZt∧θr（Ys）p-2ds+p（p- 1） σρZt∧θr（Ys）pds。因此，利用Fubini定理和随机积分是鞅的事实，我们得到[（Yt∧θr）p]=yp+puξZt∧θrE[（Ys）p-1] ds+pκρZt∧θrE[（Ys）p]ds+p（p- 1） σξZt∧θrE[（Ys）p-2] ds+p（p- 1） σρZt∧θrE[（Ys）p]ds。现在我们可以把极限取为r→ ∞, 并使用（15）将其传递到上述方程的l.h.s.预期范围内。通过区分w.r.t.t，我们得到以下ODEDTTE[（Yt）p]=pκρ+p（p- 1)σρE[（Yt）p]+puξE[（Yt）p-1] +p（p- 1） σξE[（Yt）p-2] ，E[（Y）p]=yp。这是一个一阶非齐次线性方程，可以显式求解得到（17）。对于p=1，使用与上述相同的技术，我们得到（Yt）=y+uξt+κρZtE（Ys）ds。如果κρ=0，则无需证明。如果κρ6=0，我们通过微分w.r.t.t得到，ddtE（Yt）=uξ+kρE（Yt），E（Y）=Y，这可以得到（16）。26自回归过程的弱极限我们现在陈述近似结果。定理5。假设（H）成立。假设E（|ξ| q）<∞, 和（18）supn∈N*E公式γ（n）n=supn∈N*E（ρ（n））qn<∞,对于某些整数q≥ 2、然后，对于每个p∈ N*因此，1≤ p<q，wehavelimn→∞E[（θ（n））p]=E[（Y）p]=mp（1），对于命题2中定义的函数mp。在开始证明该定理之前，我们给出了一个例子ToLustrate条件（18）。示例5（使用NIG log返回近似矩）。取ln（ρ）为正态逆高斯NIG（α，β，δ，u）随机变量，0≤ |β|<α，δ>0和u∈ R（回忆一下示例2的定义）。修复q≥ 2.

我们可以在函数x 7上使用泰勒公式→pα- （β+x）约为0，取α-β+q√n= λ -q√nβλ-q2nα[α- （β+xn）]3/2，对于某些xn∈ [0，q/√n] ，其中λ=pα- β和，回忆（6），limn→∞E公式γ（n）n=经验值quρ-qδα2λ.由于该限值存在且对每个q都是有限的≥ 2，序列是有界的，矩的收敛性仅取决于ξ的最大矩。注意，作为一种特殊情况，NIG分布包含标准高斯分布。定理5的证明。通过推论2，我们知道θ（n）d→ Y、 我们还有（θ（n））pd→ （Y） p，作为n→ ∞, 对于1≤ p<q。因此，可以证明序列（（θ（n））p）n∈N*是一致可积的，根据德拉瓦利·普桑的标准，这是由条件SUPN隐含的∈N*E（|θ（n）| q）<∞.定义R（n）t=R（n）- R（n）1-tand▄X（n）t=X（n）- X（n）1-t定义为t的R（n）和X（n）的时间反转过程∈ [0, 1]. 可以检查（▄R（n）t）0≤t型≤1d=（R（n）t）0≤t型≤1和（￠X（n）t）0≤t型≤1d=（X（n）t）0≤t型≤1通过检查这些过程的特征是否相等（因为自回归过程的弱极限27【n】-[n（1-t） ]-1=ceil（nt）-1=[nt]，其中ceil是天花板函数），并应用定理II。4.25 p.110英寸【17】。（有关特性的计算，另请参见[17]中第97页的示例。）因此，我们可以模仿定理3.1的证明。在[4]中获得θ（n）=eR（n）y+Z0+eR（n）-R（n）s-dX（n）sd=eR（n）y+Z0+eR（n）u-dX（n）ud=eR（n）y+Z0+eR（n）u-dX（n）u.然后，使用| a+b | q≤ 第2季度-1（| a | q+| b | q），我们得到|θ（n）| q≤ 第2季度-1.yqE公司eqR（n）+ EZ0+eR（n）u-dX（n）uq.用I（n）和I（n）表示出现在上述不等式r.h.s.上的期望。我们将分别对待每个期望。对于I（n），我们只有（19）个supn∈N*I（n）=supn∈N*nYi=1E（等式γ（n）i）=supn∈N*E公式γ（n）n<∞.对于I（n），我们首先定义M（n）t=P[nt]I=1ln（ρI）-uρ√n、 对于0≤ t型≤ 1.

可以检查（M（n）t）0≤t型≤1是鞅，对于每个n∈ N*（对于上述定理1定义的过滤。）事实上，鞅性质的检查方式与定理1证明中X（n）的检查方式相同，可积性也很清楚。因此，（eM（n）t）0≤t型≤1是一个子鞅，利用Doob不等式我们得到sup0≤t型≤1eR（n）tq=sup0≤t型≤1equρ[nt]nEsup0≤t型≤1eM（n）tq≤ 最大值（1，euρq）qq- 1.qE（eqM（n））=最大值（1，e-uρq）qq- 1.qE（eqR（n））。所以假设（18）和（19）意味着（20）supn∈N*Esup0≤t型≤1eR（n）tq< ∞.28自回归过程的弱极限写X（n）t=uξA（n）t+n（n）t，过程在定理1的证明中定义，并使用| A（n）t |的事实≤ t、 对于所有t≥ 0，我们有i（n）≤ 第2季度-1.E|uξ|Z0+eR（n）s-dA（n）sq+ EZ0+eR（n）s-dN（n）sq≤ 第2季度-1 |uξ| qEsup0≤t型≤1eR（n）q+ 第2季度-1E级Z0+eR（n）s-dN（n）sq.但是，根据两次应用的Burkholder-Davis-Gundy不等式和序列的独立性，我们得到Z0+eR（n）s-dN（n）sq≤ DqE公司Z0+e2R（n）s-d[N（N）]s问题2！≤ DqE公司sup0≤t型≤1eqR（n）E（[N（N）]q/2）≤ dqDqEsup0≤t型≤1eR（n）qE（| N（N）| q）对于某些正常数dqa和dq。因此，supn∈N*I（n）≤ 第2季度-1 |uξ| supn∈N*Esup0≤t型≤1eR（n）tq+ 第2季度-1dqDqsupn∈N*Esup0≤t型≤1eR（n）tq苏普∈N*E|N（N）| q,所以（20）意味着检查supn就足够了∈N*E（| N（N）| q）是有限的。（注意，在[2]中引理5.1的证明中，在不同的上下文中使用了与用于证明I（n）的完整性相似的论点。）利用多项式定理，我们得到（| N（N）| q）=Xk+····+kn=qqk，千牛nYi=1Eξ- uξ√nki！，式中，求和取k+···+kn=q的所有非负整数解。自E（（ξ- uξ）ki）=0，当ki=1时，对于所有i=1，…，我们可以在ki6=1的分区上求和，n

现在，自从ki/q≤ 1，我们有Jensen不等式Nyi=1Eξ- uξ√nki！≤nYi=1Eξ- uξ√nqkiq=n-q/2E（|ξ- uξ| q）。自回归过程的弱极限29因此，I（n）≤ 第2季度-1E（|ξ）- uξ| q）n-q/2Xk+···+kn=q，ki6=1qk，千牛.式中，I（n）=E（| n（n）| q），因为我们需要取n的上确界∈ N*, 我们需要检查上述不等式的r.h.s.是否以n为界。为此，请注意多项式系数之和等于（21）[q/2]Xi=1镍Xl+···+li=q-2iql+2，li+2,其中，对于每个i=1，[q/2]，第二个和取l+·····+li=q的所有非负整数解-2i。如果（k，…，kn）是k+····+kn=q的非负整数解，那么，由于ki6=1，（k，…，kn）中的非零项的数量最多为[q/2]。因此，假设我是非零项的数量和（j，…，ji）它们的指数，我们发现（kj-2） +··+（kji-2） =q- 2i，产生所声称的等式。那么，我们有ql+2，li+2≤ Ci公司q- 2il，锂,Ci=2时-智商/（q）- 2i）！andXl+···+li=q-2iq- 2il，锂= 智商-2i。设Cq=maxi=1，。。。，【q/2】Ciand Kq=2q-1CqE（|ξ- uξ| q），注意（21）中的二项式系数以n[q/2]和thatI（n）为界≤ 青山口组-q/2[q/2]Xi=1镍智商-2i≤ 青山口组-q/2+[q/2][q/2]Xi=1iq-2i，以n为界。因此，supn∈N*I（n）<∞, 苏普∈N*I（n）<∞ 和SUPN∈N*E|θ（n）| q≤ 第2季度-1yqsupn∈N*I（n）+2q-1supn∈N*I（n）<∞.序列（（θ（n））p）n∈N*是一致可积的，我们有limn→∞E[（θ（n））p]=E[（Y）p]。30自回归过程的弱极限确认作者感谢Lioudmila Vostrikova对论文的有益讨论和评论。他们还想感谢“卢瓦尔河流域治理”的D'e'Math项目和“卢瓦尔河流域治理”的PANORisk项目提供的财政支持。参考文献[1]J.和ˇel。

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