随机系数自回归过程的弱极限及其应用

我们参考[9]了解该方法在数学金融中不同模型的有趣应用。然而，在我们的例子中，这种方法似乎更难，因为过程（^R（n）t）t≥0小于（R（n）t）t≥我们现在回顾UT条件，弱收敛结果，并给出两个引理来检查我们的情况下的条件。定义1。考虑定义在上的实值半鞅Z（n）序列(Ohm（n） ，F（n），（F（n）t）t≥0，P（n）），对于每个n∈ N*. 用H（n）表示由H（n）={H（n）| H（n）t=Ln，0+pXi=1Ln，i[ti，ti+1）（t），p∈ N、 0=t<t<···<tp=t，Ln，iis F（N）ti- 用| Ln，i |测量≤ 1}.序列（Z（n））n∈N*如果所有t>0，则为UT（在[17]中也称为P-UT，表示“均匀光”和“可预测的均匀紧”） > 0，存在M>0，这样，supH（n）∈H（n），n∈N*P（n）Zt0+H（n）s-dZ（n）s> M< .有关UT条件的更多信息，请参见【17】中的第VI.6节。UT条件的一个有趣结果由以下命题给出，这是[17]定理6.22 p.383的一个特例。提案1。设（H（n），Z（n））n∈N*是定义在上的实值半鞅序列(Ohm（n） ，F（n），（F（n）t）t≥0，P（n））。If（H（n），Z（n））d→（H，Z）为n→ ∞ 序列（Z（n））n∈N*是UT，那么Z是半鞅，当n→ ∞,H（n），Z（n），Z.H（n）s-dZ（n）sd→H、 Z，Z.Hs-dZs公司.以下引理基于【17】中的备注6.6 p.377。自回归过程的弱极限11引理1。设（Z（n））n∈N*是定义为局部有界变差的实值半鞅序列(Ohm（n） ，F（n），（F（n）t）t≥0，P（n））。对于每个t>0和 > 0时，存在M>0，因此SUPN∈N*P（n）V（Z（n））t>M< ,其中V（.）表示过程的总一阶变化量，然后是（Z（n））n≥1为UT。证据

对于每个n∈ N*, H（n）∈ H（n）和t>0，我们发现p∈ N和0=t<t<···<tp=t，以便Zt0+H（n）s-dZ（n）s≤ |Ln，0 |+pXi=1 | Ln，i | Zti+1- Zti |≤ 1+pXi=1 | Zti+1- Zti公司|≤ 1+V（Z（n））t。因此，该假设暗示了UT性质。以下引理基于【19】中的备注2-1。引理2。设（Z（n））n∈N*是定义在上的实值局部鞅序列(Ohm（n） ，F（n），（F（n）t）t≥0，P（n））和Z上的实值半鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。用ν（n）表示Z（n）的跳跃测量的补偿器。如果Z（n）d→ Z为n→ ∞, 那么下列条件是等价的：（i）（Z（n））n∈N*为UT，（ii）对于每个t>0和 > 0，存在a，M>0，这样SUPN≥1P（n）ZtZR | x | 1{| x |>a}ν（n）（ds，dx）>M< .证据引理3.1。在[18]中，我们知道，在假设z（n）d下→ Z为n→ ∞, （i） 相当于对每个t>0和每个 > 0时，存在M>0，因此SUPN≥1P（n）（V（Ba，n）t>M）<,其中V（.）是过程的总一阶变差，Ba是Z（n）的第一个半鞅特征（对于截断函数h（x）=x1{| x |>a}）。12自回归过程的弱极限在这种情况下，让我们计算V（Ba，n）。对于>0和n∈ N*, 定义Zn，at=Z（n）t-P0<s≤t型Zs公司{|Zs |>a}和Ba，nt=RtRRx1{| x |>a}ν（n）（ds，dx）。我们有，~ Zn，at=~ Zn，at+Ba，nt- Ba，nt=Z（n）t-ZtZRx1{| x |>a}（u（n）（ds，dx）- ν（n）（ds，dx））- Ba，nt，其中u（n）是Z（n）的跳跃度量。因此，由于上面最后一行r.h.s.上的两个模式是局部鞅，它们的差异是一个有界跳跃的局部鞅，因此Z（n）的firstsemima鞅特征是Ba，nt。因此，V（Ba，n）t=ZtZR | x | 1{| x |>a}ν（n）（ds，dx），这就完成了证明。我们现在准备好证明定理1了。定理1的证明。

为了能够应用命题1，我们需要证明（eR（n），X（n））n∈N*在定律中收敛为n→ ∞ （X（n））n∈N*是UT。首先，请注意，通过定义γ（n）k，我们得到（9）R（n）t=[nt]Xi=1γ（n）k=uρ[nt]n+[nt]Xi=1ln（ρi）- uρcβn1/β。但是【nt】/n→ t作为n→ ∞. 根据稳定泛函收敛定理（参见[11]中的定理2.4.10 p.95），上述方程的r.h.s.之和弱收敛到稳定的L'evy过程（Lβt）t≥0，Lβd=Kβ。因此，我们得到（e-R（n）t）t≥0=经验值-【nt】Xi=1γ（n）kt型≥0天→e-uρt-Lβtt型≥类似地，通过ξ（n）i的定义，我们得到（10）X（n）t=[nt]Xi=1uξn+[nt]Xi=1ξi- uξcαn1/α=uξA（n）t+n（n）t，对于所有t≥ 再次应用稳定泛函收敛定理，我们得到（N（N）t）t≥0天→ （Lαt）t≥0，作为n→ ∞, 其中，Lα是稳定的L'evy运动，自回归过程的弱极限13，Lαd=Kα，与（Lβt）t无关≥0自序列（ξk）k起∈N*和（ρk）k∈N*都是独立的。利用独立性，我们还可以得到耦合的收敛性（eR（n），X（n）），作为n→ ∞.证明（X（n））n∈N*是UT，足以证明（A（n））n∈N*和（N（N））N∈N*都是UT。注意，A（n）是每个n的局部有界变化过程≥ 1，V（A（n））=A（n）。自A（n）t起≤ t、 适用于所有n∈ N*, 我们有SUPN≥1P（A（n）t>M）≤ P（t>M），对于所有M>0，因此，通过引理1，序列（A（n））n∈N*是UT。现在，请注意，当t>s和[nt]≥ [ns]+1，使用（ξk）k的i.i.d.性质∈N*我们得到（N（N）t- N（N）s | Fs）=【nt】Xi=【ns】+1Eξi- uξcαn1/α= 0.当t>s且[nt]<[ns]+1时，N（N）t- N（N）s=0，因此E（N（N）t-N（N）s | Fs）=0。这表明N（N）是eachn的局部鞅∈ N*.

然后，用ν（n）表示n（n）跳跃测度的补偿器（这是确定性的，因为n（n）也是具有独立增量的半鞅），我们为每个n设置n=ZtZR | x | 1{| x |>1}ν（n）（ds，dx）∈ N*, 我们将证明（确定性）序列（sn）n∈N*收敛（因此是有界的）。首先，我们有ztzr | x | 1{| x |>1}ν（n）（ds，dx）=EX0<s≤t型|N（N）s | 1{|N（N）|≥1}!=【nt】Xi=1Eξi- uξcαn1/αξi-uξcαn1/α≥1.!=【nt】cαn1/αE|ξ- uξ|1{|ξ-uξ|≥cαn1/α}.14自回归过程的弱极限要计算r.h.s.上的期望值，请注意，对于任何非负随机变量Z和常数a≥ 0我们有（Z1{Z≥a} ）=EZZ{Z≥a} dx公司= EZ∞{Z≥x个∨a} dx公司=Z∞P（Z≥ x个∨ a） dx=aP（Z≥ a） +Z∞aP（Z≥ x） dx。因此，sn=[nt]cαn1/αE(ξ- uξ) 1{(ξ-uξ)≥cαn1/α}+【nt】cαn1/αE-(ξ- uξ) 1{-(ξ-uξ)≥cαn1/α}= 【nt】Pξ≥ uξ+cαn1/α+【nt】cαn1/αZ∞cαn1/αP（ξ≥ uξ+x）dx+[nt]Pξ≤ uξ- cαn1/α+【nt】cαn1/αZ∞cαn1/αP（ξ≤ uξ- x） dx。利用ξ满足度（Hα）这一事实，我们可以看到Pξ≤ uξ- cαx1/α~kξc-ααx-1和Pξ≥ uξ+cαx1/α~ kξc-ααx-1，作为x→ ∞. 所以limn→∞sn=limn→∞kξcαα[nt]n- 画→∞cαn1/αkξc1-ααn（1-α)/α1 - α+limn→∞kξcαα[nt]n- 画→∞cαn1/αkξc1-ααn（1-α)/α1 - α=kξ+kξcαααα- 1吨。（11） 因此，序列是有界的，如果M>0足够大，我们会发现supn≥1P（sn>M）<, 对于每个 > 0，通过引理2，我们已经证明了序列（N（N））N∈N*是UT。最后，我们利用命题1和h（x，x，x）=（x+y）/x，（θ（n）t）t的连续映射定理得到≥0天→ （Yt）t≥0其中Y=（Yt）t≥0由（2）给出，其中Rt=uρt+Lβt，Xt=uξt+Lαt，表示所有t≥ 在这种情况下，对于所有t，我们有[R，X]t=0≥ 0，（参见[29]中的定理33及其证明p.301-302），因此，使用It^o引理和自回归过程的Theoremble极限15II。8.10 p.136在【17】中，我们得到了随机微分方程（5）。定理2的证明。

我们首先证明P（inf0≤t型≤TYt=0）=0。首先，请注意inf0≤t型≤TYt=0=sup0≤t型≤T-中兴通讯0+e-卢比-dXs公司= y.利用过程的独立性，我们得到inf0≤t型≤TYt=0=ZDP公司sup0≤t型≤T-Zt0+g（s-)dXs公司= y体育课-R（dg），其中D是c\'adl\'ag函数和Pe的空间-Ris过程法则（e-Rt）t≥0.表示S（g）t=-Rt0+g（s-)dXs，适用于所有t≥ 0、Let（ti）i∈N*是[0，T]的枚举序列∩ Q、 因为S（g）=（S（g）t）t≥0是一个具有独立增量的过程，对于每个固定时间ti>0，S（g）与L'evy过程L=（Lt）t具有相同的规律≥由特征三重态（aL，σL，νL）定义，其中aL=uξtiZtig（s-)ds，σL=σξtiZtig（s-)dsandνL（dx）=νξ（dx）tiZtig（s-)ds，其中（aξ，σξ，νξ）是X的特征三元组，见定理4.25p。110英寸【17】。那么，众所周知，如果σL>0或νL（R）=∞, 参见[5]中的提案3.12 p.90。但是，当ξ满足（H）时，我们有σξ>0和σL>0。当ξ满足（Hα）时，我们有νξ（R）=∞ 和νL（R）=∞. 因此，在这两种情况下，Lti都承认无粘性，我们得到P（S（g）ti=y）=P（Lti=y）=0。自（S（g）t）t起≥0是我们的日常用品SUP00≤t型≤TS（g）t=支持∈[0，T]∩QS（g）t，16个自回归过程的弱极限，由于c\'adl\'ag过程几乎可以肯定地达到它的上确界，Psup0≤t型≤TS（g）t=y= Psupt公司∈[0，T]∩QS（g）t=y！≤ P【i】∈N{Sti=y}！=画→∞PN[i=1{Sti=y}！≤ 画→∞NXi=1P（Sti=y）=0。因此，P（inf0≤t型≤TYt=0）=0。接下来，请注意inf0≤t型≤TYt<0 {τ（y）≤ T}inf0≤t型≤TYt公司≤ 0和inf0≤t型≤Tθ（n）T<0 {τn（y）≤ T}inf0≤t型≤Tθ（n）T≤ 0.自θ（n）d→ 通过定理1，我们从连续映射定理中得到≤t型≤Tθ（n）td→ inf0≤t型≤TYt，对于所有T≥ 0，因为对于Korokhod拓扑，到固定时间的上确界（和内确界）是连续的（参见第2.4条，第339页，见[17]）。

所以，根据portmanteau定理，lim supn→∞P（τn（y）≤ T）≤ lim支持→∞Pinf0≤t型≤Tθ（n）T≤ 0≤ Pinf0≤t型≤TYt公司≤ 0= Pinf0≤t型≤TYt<0= P（τ（y）≤ T），andlim infn→∞P（τn（y）≤ T）≥ lim信息→∞Pinf0≤t型≤Tθ（n）T<0≥ Pinf0≤t型≤TYt<0= Pinf0≤t型≤TYt公司≤ 0= P（τ（y）≤ T）。自回归过程的弱极限173。纯扩散情形下破产函数的收敛与逼近在本节中，我们得到了贴现罚函数的一个简单形式的收敛的充分条件、最终破产概率和矩，并给出了逼近这些量的方法。为了能够更进一步（并获得极限过程破产泛函的实用表达式），我们现在将自己限制在（H）情形。假设（H）。我们假设ξ和ln（ρ）都满足（H）。因此，Y由（2）给出，其中Xt=uξt+σξИwt，Rt=uρt+σρWtor，等效地，由（5）的解给出，X和ΓRt=κρt+σρwt，κρ=uρ+σρ/2.3.1。贴现惩罚函数的近似值。我们已经在推论1中看到，贴现惩罚函数的一种简单形式是收敛的。在这一节中，我们给出了极限过程的这个量的表达式，它将取决于二阶常微分方程的解。引理3。让α>0。方程（12）（σξ+σρx）fα（x）+2（uξ+κρx）fα（x）- 2αfα（x）=0，允许解fα：R+→ 对于所有x，R满足（P）fα（x）>0∈ R+、fα（x）≤ 0，对于所有x∈ (0, +∞).此外，如果uρ≤ 0，满足（P）的（12）的每一个其他解▄fα由▄fα（x）=Kfα（x）给出，对于所有x∈ R+，对于某些常数K∈ R*+.证据定义（x）=表达式xuξ+κρzσξ+σρzdz！=经验值2uξσξσρarctanσρσξx1+σρσξx！κρ/σρ，andg（x）=-2ασξ+σρx，对于所有x∈ R+。然后，我们可以将（12）改写为Sturm-Liouville形式（p（x）fα（x））+p（x）g（x）fα（x）=0.18自回归过程的弱极限。满足（p）的（主）解的存在性遵循推论6.4。

p、 357英寸[15]。解在常数因子下唯一确定的事实如下∞p（x）-1dx=∞ 并执行6.7。p、 358英寸[15]。备注3。在α>κρ的条件下，可以使用[28]中定理A.1中的等高线积分方法获得（12）的精确解。否则，ODE可以使用数值积分进行求解。我们现在证明近似结果。定理3。假设（H）成立，且|ρ≤ 设α>0，设fα：R+→ R是（12）满足（P）的任意解。我们有Limn→∞E（E-ατn（y）{τn（y）<+∞}) = E（E-ατ（y）{τ（y）<+∞}) =fα（y）fα（0）。证据折现罚函数的收敛性是推论1的内容。现在，我们使用定理2.1证明的思想计算极限过程的值。在【25】中。首先，我们证明了L=（fα（Yt∧τ（y））e-α（t∧τ（y）））t≥0是关于Y的自然过滤的鞅。利用It^o引理和hY，Y It=σξt+σρRtYsds这一事实，我们得到了fα（Yt∧τ（y））e-α（t∧τ（y））=fα（y）+σξN（1）t+σρN（2）t+Zt∧τ（y）e-αsI（Ys）ds，其中n（1）t=Zt∧τ（y）e-αsfα（Ys）dWs=Zt{s≤τ（y）}e-αsfα（Ys）dWs，N（2）t=Zt∧τ（y）e-αsfα（Ys）YsdWs=Zt{s≤τ（y）}e-αsfα（Ys）YsdWsandI（Ys）=（σξ+σρYs）fα（Ys）+2（uξ+κρYs）fα（Ys）- 2αfα（Ys）。自1{s≤τ（y）}适应于y的自然过滤，N（1）和N（2）是局部鞅，由于fα解（12），L也是局部鞅。自回归过程的弱极限19注意，Yt∧τ（y）≥ 0（P- a、 对于所有t≥ 0，且fα不随（P）增加。因此，我们有fα（Yt∧τ（y））≤ fα（0），我们发现L是有界局部鞅，因此是鞅。利用常数期望的性质，我们得到，对于t≥ 0，fα（y）=Efα（Yt∧τ（y））e-α（t∧τ（y））或等效yfα（y）=Efα（Yt∧τ（y））e-α（t∧τ（y））{τ（y）<+∞}+ e-αtEfα（Yt）1{τ（y）=∞}.再次自fα（Yt∧τ（y））≤ fα（0），我们可以传递到极限t→ ∞ 在第一个预期中。

类似地，在事件{τ（y）=∞}, 我们有≥ 0（P-a、 s.）和fα（Yt）≤ fα（0），对于所有t≥ 0，第二项变为0，作为t→ ∞. 最后，利用Y几乎是连续过程的事实，我们得到Yτ（Y）=Yτ（Y）-= 0（P- a、 s.）和fα（y）=Efα（Yτ（Y））e-ατ（y）{τ（y）<+∞}= fα（0）Ee-ατ（y）{τ（y）<+∞}.引理3还保证这个结果不依赖于（12）的解的特定选择。3.2. 最终破产概率的近似值。我们已经看到，当ξ和ln（ρ）都满足（H）时，我们有limn→∞P（τn（y）≤ T）=P（τ（y）≤ T），对于所有T≥ 我们想用最终破产概率P（τ（y）<∞) 因为对于后者，限制过程存在一个显式表达式。然而，下面的经典例子（见例[13]）表明，即使最终破产概率收敛，最终破产概率也可能无法收敛。实际上，取（Z（n））t≥0为确定性过程定义Z（n）t=（如果t<n，则为0，-1如果t≥ n、 那么，我们有Z（n）→ Z、 作为n→ ∞, 式中，对于所有t，Zt=0≥ 0，并且我们还有有限时间破产概率的收敛性，因为，asn→ ∞, inf0≤t型≤TZ（n）t→ 0，对于所有T>0。但inf0≤t型<∞Z（n）t=-1，对于所有n∈ N*, 因此最终破产概率无法收敛。一般来说，证明最终破产概率的收敛性是一个困难的问题，取决于特定的模型（另一个讨论见[13]）。不过，我们可以给出这种收敛的充分条件。20自回归过程的弱极限定理4。假设（H）成立。

当uρ≤ 0，我们有Limn→∞P（τn（y）<∞) = 1、当|ρ>0时，我们另外假设存在C<1和n∈ N*以便（13）支持≥氖e-2γ（n）n=supn≥氖（ρ（n））-2.n≤ C、 那么，limn→∞P（τn（y）<∞) = P（τ（y）<∞) =H类(-y） H（0）其中，对于x≤ 0，H（x）=Zx-∞（σξ+σρz）-（1/2+uρ/σρ）exp2uξσξσρarctanσρσξzdz。在开始定理的证明之前，我们给出了两个例子来证明条件（13）。例3（破产概率与正态对数收益的近似值）。取ξ为满足（H）和ln（ρ）d=N（uρ，σρ）的任意随机变量，其中uρ>0，则e-2γ（n）n=e-2(uρ-σρ），对于所有n∈ N*, 因此n=1，条件C<1等于uρ>σρ。示例4（破产概率与NIG对数回报的近似值）。更一般地，取ξ为任何满足（H）的随机变量，ln（ρ）为正态逆高斯NIG（α，β，δ，u）随机变量，0≤ |β|<α，δ>0和u∈ R（回顾示例2的定义）。然后我们可以在函数x 7上使用泰勒公式→pα- (β -x） 约为0，以获得（14）sα-β -√n= λ +√nβλ-nα[α- (β -xn）]3/2，对于某些xn∈ [0, 2/√n] ，其中λ=pα- β. 由于平均值由uρ=u+Δβ/λ给出，因此我们使用（6）和（14）limn获得→∞Ee-2γ（n）n=经验值-2uρ+2δαλ= 经验值-2.u +δβλ- δαλ.自回归过程的弱极限21因此，当u+Δβλ- Δαλ>0，该极限严格小于1，我们可以找到n∈ N*并且C<1，这样（13）就可以满足。取β=0，σ=δ/α，我们得到了示例3中给出的正常回报的条件。定理4的证明。我们有∈ N*T>0，P（τn（y）<∞) ≥ P（τn（y）≤ T）根据定理2，lim infn→∞P（τn（y）<∞) ≥ P（τ（y）≤ T）。所以，让T→ ∞,lim信息→∞P（τn（y）<∞) ≥ P（τ（y）<∞).现在如果P（τ（y）<∞) = 1，相当于uξ≤ [26]中的0，没有其他证据可以证明。

所以我们假设P（τ（y）<∞) < 或者uξ>0，我们将证明lim supn→∞P（τn（y）<∞) ≤ P（τ（y）<∞),在附加条件（13）下。修复y> > 0，T>0，当τn（y）>T时，用K（n）表示,t事件k（n）,T型=(Zτn（y）T+e-R（n）s-dX（n）s< ).我们有，{τn（y）<∞} = {τn（y）≤ T}∪ {τn（y）∈ （T，∞), K（n）,T}∪ {τn（y）∈ （T，∞), （K（n）,T） {}。但是，在{τn（y）事件上∈ （T，∞), K（n）,T} ，ZT0+e-R（n）s-dX（n）s+Zτn（y）T+e-R（n）s-dX（n）s<-Y这意味着ZT0+e-R（n）s-dX（n）s<-y+,或等于τn（y- ) ≤ T，乘以（8）。因此，{τn（y）≤ T}∪ {τn（y）∈ （T，∞), K（n）,T} {τn（y- ) ≤ T}。22自回归过程的弱极限然后，我们有{τn（y）∈ （T，∞), （K（n）,T） {} （K（n）,T） {和Thusim supn→∞P（τn（y）<∞) ≤ P（τ（y- ) ≤ T）+lim支持→∞P（K（n）,T）{.所以，我们需要证明这一点→∞lim支持→∞P（K（n）,T）{= 利用分解（10），我们得到（K（n）,T）{(|uξ|Zτn（y）T+e-R（n）s-dA（n）s≥)∪(Zτn（y）T+e-R（n）s-dN（n）s≥)用E（n）1和E（n）2表示，t上述方程r.h.s.上的集合。当n≥ n、 回顾积分的显式形式，利用马尔可夫不等式，我们得到P（E（n）1，T）≤2 |uξ| nE[nτn（y）]+1Xi=[nT]+1e-Pij=1γ（n）j≤2 |uξ| nE∞Xi=【nT】+1iYj=1e-γ（n）j=2 |uξ| n∞Xi=[新台币]+1Ee-γ（n）i=2 |uξ| nEe-γ（n）[新台币]∞Xj=1Ee-γ（n）j、 但是，由于E（E-γ（n））≤ E（E-2γ（n））1/2≤ C1/（2n）<1，我们有p（E（n）1，T）≤2|uξ|C1/（2n）n（1- C1/（2n））CT。此外，很容易看出C-1/（2n）（n（1-C-1/（2n）））-1.→ -2/ln（C）为n→ ∞, 如此有限→∞lim支持→∞P（E（n）1，T）=0。另一方面，利用Chebyshev和Burkholder-Davis-gundy不等式，我们得到了p（E（n）2，T）≤EZτn（y）T+e-R（n）s-dN（n）s≤EsupT<t<∞中兴通讯+e-R（n）s-dN（n）s!≤4KEZ∞T+e-2R（n）s-d[N（N），N（N）]s,其中K是常数。