半正定仿射Volterra型过程的马尔可夫提升

我们假设（i）S*tν∈ Y*对于所有t>0，即使ν不一定位于Y*本身，但仅在Z中*;（ii）RTK*sνkY*ds<∞ 对于所有t>0。对于（4.5）中的直线ar运算符β，我们定义（t）：=β（S*tν），（4.6），对应于Volterra方程Lloc（R+，Sd）中的内核。定义∈ Lloc（R+，Sd）是第二类预解式的对称化版本（参见[17，定理3.1]），用于解算* RK+RK* K=K- RK，（4.7），其中K*Rk表示卷积，即K*RK=R·K（·）- s） RK（s）ds。示例4.4。我们想到的β和S的主要例子*, 对于核K，则为以下规格：β（λ）=Z∞λ（dx），S*tν（dx）=e-xtν（dx）。在这种情况下，K=R∞e-xtν（dx）与伴随算子β*由恒常函数（β）给出*（u） ）（x）=u，对于all x∈ R+。备注4.5。到半群S*t=e-在上述示例中，我们将空间Z的（主要）规格关联起来：let Z 这样的话∈ Y地图：R+→ Sd，x 7→ xy（x）位于Z，配备有操作规范，即khykZ=rsupx≥0ky（x）k+supx≥0kxy（x）k FOR hy∈ Z对应的对偶空间Z* Y*是满足fykZ的正则Sd值BorelmeasuresνonR+的空间∞（十）∧ 1） ν（dx）k<∞.注意，我们可以指定形式为νij（dx）=x的ν到b e度量的分量--嗨，嗨∈0,,这就产生了分数核Kij（t）=R∞e-xtνij（dx）≈ tHij公司-. 这些又是粗糙协方差建模的主要工具。备注4.6。在本文中，我们选择使用核K的表示作为示例4.4中指定的矩阵值度量ν的拉普拉斯变换来处理矩阵值度量的状态空间。然而，我们可以在前向协方差曲线的希尔伯特空间上进行同样的分析。这对应于[9，第5.2节]的多元类比。提案4。7.

在假设4.3下，存在（4.4）的唯一温和解，其值为Y*. 此外，解算子是一个弱算子-*-连续映射λ7→ λt，对于每个t>0，且解满足（λt）≤ C（λ） ，对于所有λ∈ Y*和t∈ [0，ε]对于一些正常数C和ε。14 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanremark 4.8。方程（4.4）的唯一温和解通过（4.3）常数方程λt=S的变化满足*tλ+Zt（S*t型-sνβ（λs）+β（λs）s*t型-sν）ds，对于所有t≥ 应用线性算子β并利用性质（4.5），我们得到了形式为β（λt）=β（S*tλ）+ZtβS*t型-sνβ（λs）+β（λs）s*t型-sνds=β（S*tλ）+Zt（K（t- s） β（λs）+β（λs）K（t- s） ）ds（4.8），其中我们使用了（4.6）。证据我们遵循[9]的公式，将证明转化为矩阵值设置。我们首先展示了Picard迭代模式相对于Y上对偶范数的完全标准收敛性*. 定义λt=λ，λn+1t=S*tλ+Zt（S*t型-sν）β（λns）ds+Ztβ（λns）（s*t型-sν）ds，n≥ 0。然后，根据假设4.3（i），每个λn等于Y*. 考虑nowkλn+1t- λntkY*= kZt（S）*t型-sν）（β（λns）-β（λn-1s）ds+Zt（β（λns）-β（λn-1s））（S*t型-sν）dskY*≤ 2kβkopZtkS*t型-sνkY*kλns- λn-1平方公里*ds，其中kβkopdenotes是β的算子范数。假设4.3（ii）和Gronwall不等式的扩展版本参见[10，引理15]，然后得出（λnt）n的收敛性∈Nto与对偶范数k·kY对应的λtwi*在紧致区间上均匀分布。有关强连续半群和弱解的详细信息，请参见[20]。证明了Y中（4.4）的温和溶液的存在*, 现在考虑Sd值过程β（λt）：β（λt）=β（S*tλ）+ZtβS*t型-sνβ（λs）+β（λs）s*t型-sνds，=β（S*tλ）+Ztβ（S*t型-sν）β（λs）+β（λs）β（s*t型-sν）ds=β（S*tλ）+Zt（RK（t- s） β（s*sλ）+β（s*sλ）RK（t- s） ）ds（4.9），其中我们应用了属性（4.5）。

记住，Rk表示第二类K（t）=β（S）的预解式*（4.7）中介绍的tν），通过它我们可以用t 7的积分来求解上述方程→ β（S*tλ）。根据假设自*是个弱者-*-连续解算子，映射λ7→ （t 7→ β（S*tλ）弱-*-从Y开始作为贴图连续*到C（R+，Sd）（具有C（R+，Sd）上紧集上的一致收敛拓扑）。从（4.9）中，我们推断β（λt）较弱-*-每t连续≥ 0，这清楚地转换为方程的解映射（4.4）。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升15最后，我们必须证明（λt）在所有时间间隔[0，ε]上均成立。首先观察t∈ [0，ε]kS*tλkY*≤ CkλkY*对于所有λ∈ Y*假设S*对于某些常数C，它是强连续的≥ 1、对于t∈ [0，ε]kλtkY*≤ 3（CkλkY）*+ tZtkS公司*t型-sνβ（λs）kY*+ tZtkβ（λs）s*t型-sνkY*)≤ 3（CkλkY*+ 2εkβkopZtkS*t型-sνkY*kλ天空*ds）。现在考虑核K′（t，s）=6εKβkopkS*t型-sνkY*{s≤t} 用R′theresolvent of-K′，它是非正的。通过与[9]中完全相同的参数，我们得到了t∈ [0，ε]kλtkY*≤eCkλkY*(1 -ZεR′（s）ds），对于一些康斯坦特克。由于定义了.从这一点来看，独特性也以标准的方式随之而来。由于我们的目标是考虑Sd+-测度值过程，我们用以下弱-*-闭凸圆锥={λ∈ Y*|λ是r+}上的Sd+-值度量。下一个命题是，如果以下假设成立，（4.4）的解保持E不变：假设4.9。我们假设（i）S*t（E） E（ii）ν是一个Sd+-值度量；（iii）β（E） Sd+。提案4.10。让假设4.3和4.9生效。

然后，（4.4）的解保持E不变，它在（E）上定义了一个广义Feller半群，) byPtf（λ）：=所有f的f（λt）∈ B（E） 和t≥ 0.证明。首先考虑稍微修改的方程dλt（dx）=A*λt（dx）dt+S*εν（dx）β（λt（·））dt+β（λt（·））S*εν（dx）dt（4.10），对于某些ε>0。然后操作员B=S*εν（dx）β（·）+β（·）S*εν（dx）有界，相关半群由Pεt=eBt给出。由于S的假设*, ν和β，我们有B（E） E表示Pεt（E） E代表所有t≥ Trotter KatoTheorem（参见，例如，[12，定理III.5.8]）然后得出与（4.10）相关的半群将e映射到自身。根据定理3.1，当ε=0时，这也适用于极限。因为根据命题4.7，解算子是弱的-*-继续，我们可以得出λ7→ f（λt）位于B中（E） 对于B的稠密集（E） 根据定理m 2.15。此外，它满足了 （2.13）满足t 7的（范数）-连续性→ λt。因此，满足假设2.16的所有条件，因此解算子定义了B上的广义Fe ller半群（Pt）（E） 作者：T heorem 2.18。这个广义的Feller半群与以前构造的极限重合。16 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF TEICHMANNBy根据之前的结果，我们现在可以在Es上构造一个广义Feller过程，该过程由S的倍数跳跃*对于某些ε，εν≥ 0，瞬时强度为β（λt）。回想一下，E* Y表示E的（前）极锥，即*= {y∈ Y | Y∈ Cb（R+，Sd-)}.回顾（4.2）中的符号，并定义以下集合d={y∈ Y | Y∈ dom（A）s.t.hhy，νii定义良好}。（4.11）提案4.11。让假设4.3和4.9生效。此外，设u为Sd+上的一个确定的Sd+值度量，使得Rkξk≥1kξkku（dξ）k<∞.

考虑更新的λt=A*λtdt+νβ（λt）dt+β（λt）νdt+S*ενdNt+dNtS*εν，（4.12），其中（Nt）t≥0是一个纯跳跃过程，跳跃大小以Sd+和补偿器Z·ZSd+ξTr（β（λs）u（dξ））ds为单位。（i） 然后对于每个λ∈ E和ε>0时，SPDE（4.12）通过与（4.12）的发生器相关的广义Feller过程在Egiven中有一个解。（ii）此广义Feller过程也是（4.12）的概率弱解析温和解，即λt=S*tλds+ZtS*t型-sνβ（λs）ds+Ztβ（λs）s*t型-sνds++ZtS*t型-s+ενdNs+ZtdNsS*t型-s+εν，这正好符合方程（4.12）。特别是对于每个初始值，可以在适当的概率基础上构造过程N。沿有限的变化路径，以路径方式定义随机积分。此外，对于每个家庭（fn）n∈ B（E） ，t 7→ fn（λt）可选择为所有n的bec\'agl\'ad。（iii）对于每个ε>0，对应的Riccati方程tyt=R（yt）带R:D∩ E*→ Y由r（Y）=Ay+β给出*Z∞y（x）ν（dx）+ν（dx）y（x）+ β*ZSd+（exp（hy，S*ενξ+ξS*ενi）-1） u（dξ）！，（4.13）对于所有初始值y，允许一个温和意义上的唯一全局解∈E*.（iv）a ffne变换公式成立，即λ[exp（hy，λti）]=exp（hyt，λi），其中ytsolvestyt=所有y的R（yt）∈ E*在R givenby（4.13）的温和意义上。此外，yt∈ E*对于所有t≥ 0.证明。我们假设ν6=0，否则没有什么可以证明的。为了证明第一个断言，我们采用了第3.4条。根据命题4.7和命题4.1 0，确定性方程（4.4）在E上有一个温和的解，根据假设4.3，它定义了一个广义Feller半群（Pt）t≥B上的0（E） 。位置3.4中的运算符A对应于（Pt）t的生成器≥0，即与（4.12）的纯确定性部分相关联的半群。

这是一个传输半群，根据备注3.3，我们可以得到一个关于半正定仿射VOLTERRA过程17权函数的新马尔可夫提升的等价范数 在B上（E） ，这样kPtkL（B▄（E） （）≤ exp（ωt）。因此，我们满足提案3.4的条件。注意，通过与命题4.10相同的论证和应用定理2.18，我们可以证明（Pt）t≥0还定义了一个广义的Feller半群onB√（E） 。对于从字面上理解为压力设置的详细证明，请参见[9]。最后，我们需要验证（3.3）-（3.5），如下所示（λ+S*ενξ+ξS*εν）Tr（β（λ）u（dξ））≤ M（λ） ，Z√（λ+S*ενξ+ξS*εν）Tr（β（λ）u（dξ））≤ M（λ） ，ZTr（β（λ）u（dξ））≤ 议员（λ） ，在u上的第二个力矩条件下为真。关于（3.6），如备注3.3所示（λ） =支持≥0exp(-ωt）Pt(λ) .我们尤其知道 ≤ ~ 它认为Ptf（x）=f（ψt（x）），其中ψ是（4.4）的线性解。与| suptc（t）一起使用- suptd（t）|≤支持c（t）-d（t）|我们得到了一些eωZ~（λ+S*ενξ+ξS*εν) - ~(λ)~(λ)Tr（β（λ）u（dξ））≤Z支持≥0exp(-ωt）| Pt（λ+S*ενξ+ξS*εν) -Pt公司(λ)|~(λ)Tr（β（λ）u（dξ））≤Z支持≥0exp(-ωt）|（ψt（λ+S*ενξ+ξS*εν)) -（ψt（λ））|(λ)Tr（β（λ）u（dξ））=Z支持≥0exp(-ωt）（2kψt（λ）kY*kψt（S*ενξ+ξS*εν）kY*+ kψt（S*ενξ+ξS*εν）kY*)(λ)×Tr（β（λ）u（dξ））≤ eω。最后一个不等式由ψ的线性和二阶矩条件u决定。

命题3.4现在可以得出以下结论：A+B，其中B由bf（λ）=Z（f（λ+S）给出*ενξ+ξS*εν) -f（λ））Tr（β（λ）u（dξ）），生成断言的广义Feller半群EP。对于（ii），我们现在直接从广义Feller过程的性质构造概率弱且分析温和的解：取y∈ D在（4.11）中定义，并考虑Sd值鞅MYT：=hhy，λtii-hhy，λii-ZthhAy，λsii+hhy，νβ（λs）+β（λs）νiids-ZtZhhy，S*ενξ+ξS*t的ενiiTr（β（λs）u（dξ））ds（4.14）≥ 0（根据定理2.13进行适当且可能的正则化后）。现在让y与上面一样，具有hhy，S*ενξ+ξS*对于所有ξ，ενii=πξ+ξπ∈ Sd+和一些固定π∈ Sd+。对于此类定义，πt=πNt+Ntπ：=Myt+ZtZhhy，S*ενξ+ξS*ενiiTr（β（λs）u（dξ））ds（4.15）18 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanfor t≥ 0，这是一个c\'agl\'ad半鞅。请注意，左侧仅定义Nπ，而不是更具暗示意义的πN+Nπ。那么Nπ不依赖于构造。事实上，对于所有yiwith hhyi，S*ενξ+ξS*ενii=πξ+ξπ对于所有ξ，i=1，2，我们显然有ztzhhy- y、 S*ενξ+ξS*ενiiTr（β（λs）u（dξ））ds=0和My- My=我的-y=0。后者源自这样一个事实，即当hhy，S*ενξ+ξS*对于所有ξ，ενii=0，因为在这种情况下，其二次变化vanis hes。此外，通过（4.15）中Nπ的定义，其补偿器由Tr（πξ+ξπ）Tr（β（λs）u（dξ））ds给出。由于有足够的时间对整数个π进行之前的构造，以获得所有必要的投影，因此可以将过程N定义为Nπ=πN+Nπ，如符号所示。通过（4.14）和（4.15）的定义，我们得到hhy，λtii=hhy，λii+ZthhAy，λsiids+Zthhy，νβ（λs）+β（λs）νiids+hhy，s*ενNtii+hhy，NtS*y的ενii∈ D、 这种分析性较弱的形式可以转化为一种温和的旁观者方法。

事实上，请注意，积分只是一条很长的有限变量路径，因此我们可以很容易地应用常数的变化。关于c\'agl\'ad属性的最新断言是定理2.13的一个推论，指出（λ） 不会爆炸。这证明了（ii）。关于（iii），请注意，首先，我们有一种独特的温和解决方案tyt=Ayt+β*Z∞y（x）ν（dx）+Z∞ν（dx）y（x）, y∈ Y、 （4.16）因为这是（4.4）的伴随方程。对于带跳跃的方程，我们通过Picard迭代处理命题4.7中的eedas。用Sβ表示与（4.16）相关的半群*定义t=y，ynt=Sβ*ty+ZtSβ*t型-sβ*ZSd公司+exp（hyn-1s，S*ενξ+ξS*ενi）- 1.u（dξ）！ds。此外，对于t∈ [0，δ]对于某些δ>0，我们有x 7的loc al-Lipschitz连续性→ exp（x）kyn+1吨- yntkY公司≤ kZtSβ*t型-sβ*ZSd+（exp（hyns，S*ενξi）- exp（hyn-1s，S*ενξi））u（dξ）！dskY公司≤ZtCkSβ*t型-sβ*kopkyns公司- yn公司-1skYZSd+kS*ενξkY*u（dξ）！ds。通过对Gr-onwall不等式的推广（见[10，引理15]），这将产生（ynt）n的收敛性∈n关于k·ky，因此存在（4.13）的唯一局部温和解，直到某个最大寿命t+（y）。t+（y）=∞ 半正定仿射VOLTERRA过程的forMARKOVIAN提升∈ E*根据子类估计值Kytky=kSβ*ty+ZtSβ*t型-sβ*ZSd+（exp（hys，S*ενξ+ξS*ενi）-1） u（dξ）！dskY公司≤ kSβ*tykY+ZtkSβ*t型-sβ*kopZSd+| exp（hys，S*ενξ+ξS*ενi）-1u（dx）！ds公司≤ kSβ*tykY+t sups≤tkSβ*sβ*kopu（Sd+），其中我们使用了| e xp（hy，S*ενξ+ξS*ενi）-1| ≤ 一年一次∈ E*在最后的估计中。为了证明（iv），只需注意，通过广义Feller半群的存在，初始值exp（hy，.i）的抽象Cauchy问题可以为y唯一解∈ E*. 索引d，Eλ[exp（hy，λti）]唯一解tu（t，λ）=Au（t，λ），u（0，λ）=exp（hy，λi），其中A表示与（4.12）相关的生成器。

设置u（t，λ）=exp（hyt，λi），我们有tu（t，λ）=exp（hyt，λi）R（yt），其中右侧仅为exp（hyt，λi），因此A ffne变换公式成立。这也意味着yt∈ E*对于所有t≥ 0，仅仅是因为eλ[exp（hy，λti）]≤ 1表示所有λ∈ E我们现在准备陈述这一部分的主要定理，即λt=A型方程的存在唯一性结果*λtdt+νdXt+dXtν，（4.17），其中（Xt）t≥0是一个n Sd+-值的纯跳跃It^o半鞅，f rmXt=Ztβ（λs）ds+ZtZSd+ξuX（dξ，ds），（4.18），其中β在（4.5）中指定，满足假设4.9和跳跃uX的随机度量。其补偿器满足以下条件：假设4.12。tr给出的uXis补偿器β（λt）u（dξ）kξk∧ 1.式中，u是关于Sd+满意度kξk的Sd+值有限度量≥1kξkku（dξ）k<∞.为了推导后继定理，我们需要以下一组更丰富的基元SD={fy:E→ [0 , 1]; λ 7→ exp（hy，λi）| y∈ E*∩ dom（A）s.t.hhy，νii定义良好}。（4.19）定理4.13。让条款4.3、4.9和4.12生效。（i） 然后，随机偏微分方程（4.1 7）允许唯一马尔可夫解（λt）t≥由广义Feller半群B给出的E中的0（E） 其生成器采用傅里叶元素集fy:E→ [0 , 1]; λ 7→ y的exp（hy，λi）∈ D∩ E*式中，D在（4.11）中定义，形式为（λ）=fy（λ）（hAy，λi+hR（hhy，νii），λi），（4.20）20 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanw，R:Sd-→ Y由r（u）=β给出*（u） +β*ZSd+（exp（Tr（uξ））- 1） u（dξ）kξk∧ 1.（4.21）（ii）该广义Feller过程也是（4.17）的概率弱解析温和解，即λt=S*tλds+ZtS*t型-sνdXs+ztdxs*t型-sν，该等式（4.17）正确，特别是对于每个初始值，过程X可以在适当的概率基础上构造。

随机整数是沿着有限的变化路径以路径方式定义的。此外，对于每个家庭（fn）n∈ B（E） ，t 7→ fn（λt）可以选择为所有n的bec`ag。（iii）满足a ffine变换公式，即λ[exp（hy，λti）]=exp（hyt，λi），其中ytsolvestyt=所有y的R（yt）∈ E*在轻度s和R:D情况下，t>0∩E*→ Y由R（Y）=Ay+R（hhy，νii）（4.22）给出，R在（4.2 1）中定义。此外，yt∈ E*对于所有t≥ 0.（iv）对于所有λ∈ E、 相应的随机Volterra方程，Vt：=β（λt），由Vt=β（λt）=β（S）给出*tλ）+Ztβ（S*t型-sν）dXs+ZtdXsβ（s*t型-sν）=h（t）+ZtK（t- s） dXs+ZtdXsK（t- s） （4.23）h（t）=β（s*tλ）允许一个具有c′ag轨迹的概率弱解。（v） Volterra方程v的拉普拉斯变换由λ[exp（Tr（uVt））]=exp给出Tr（uh（t））+ZtTr（R（ψs）h（t-s） ）ds,（4.24）式中，h（t）=β（S*tλ），R:Sd-→ Sd公司-, u 7→ R（u）=u+RSd+（eTr（uξ）-1） u（dξ）kξk∧1和ψt解矩阵Riccati-Volterra方程ψt=uK（t）+ZR（ψs）K（t- s） ds，t>0。因此，（4.23）中的随机Volterra方程的解是唯一的。备注4.14。这里的一个要点是，当Sε的ε趋于零时，我们就失去了命题4.11（ii）中所述的c\'agl\'ad性质。只要核k是一个奇点a t=0，就不可能在m=1的情况下预先提供有限的增长边界，如ε→ 0，但我们得到了c\'ag版本（与OREM 2.13和备注2.14中的第二个结论进行比较）。备注4.15。注：对于β，如例4.4所示，上述方程式大大简化了。尤其是β*在（4.21）中，仅仅是身份。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升21证明。