半正定仿射Volterra型过程的马尔可夫提升

对于每个连续线性泛函l : B（十）→ R X上存在一个有限符号氡测量u，因此（2.5）l（f） =所有f的ZXf（x）u（dx）∈ B（十） 。另外（2.6）ZX（x） |u|（dx）=klkL（B（十） ，R），其中|u|表示u的总变化度量。接下来我们将考虑B上的强连续半群（十） 空间和覆盖非常相似的结构，如连续函数在∞ 在局部紧空间上。定义2.5。一类有界线性算子Pt:B（十）→ B（十） 堡垒≥ 0称为广义Feller半群，如果（i）P=i，B上的恒等式（十） ，（ii）Pt+s=所有t，s的Pt≥ 0，（iii）对于所有f∈ B（十） 和X∈ 十、 限制→0Ptf（x）=f（x），（iv）存在常数C∈ R和ε>0，因此对于所有t∈ [0，ε]，kPtkL（B（十） （）≤ C、 （v）所有t均为阳性≥ 0，即f∈ B（十） ，f≥ 0，我们有Ptf≥ 由于Riesz表示性质，我们得到了以下关键定理：定理2.6。Let（Pt）t≥0满足定义2.5的（i）至（iv）。然后，（Pt）t≥0在B上连续性很强（十） ，即，（2.7）极限→0kPtf- fk公司= 0表示所有f∈ B（十） 。如果半群Pt在0附近增长，就像某些ω的exp（ωt）一样，我们也可以建立一个正极大值原理∈ R相对于操作员规范onB（十） 。事实上，在[11，定理3.3]中证明的以下定理是伪压缩半群的Lumer-P-hilips定理的一个重新表述，它使用了一个推广的正极大值原理，该原理在后半群中得到了表述。定理2。7、设A为B上的运算符（十） 具有域D和ω∈ R

一个封闭生成广义Feller半群（Pt）t的不可闭函数≥0带KPTKL（B（十） （）≤ exp（ωt）表示所有t≥ 0当且仅当（i）D是稠密的，（ii）A- ω对于某些ω>ω具有稠密图像，（iii）A满足广义正极大值原理，即对于f∈ Dwith公司(-1f）∨ 0≤ （z）-1f（z）部分z∈ 十、 Af（z）≤ ωf（z）。作为对广义定理的新贡献，我们将得出一个关于不变子空间的陈述，这对于构造有限维OU过程的平方至关重要。定理2.8。设X是带权的加权空间, 和q:X→ q（X）bea（满射）连续映射自（X，) 到加权空间（q（X），). LetP（1）是作用于B上的广义Feller半群（十） 。假设o q≤ 关于X，设D是B的稠密s子空间（q（X））。此外，对于每个f∈ DB（q（X））和每t≥ 0，有一些g∈ B（q（X））使得p（1）t（fo q） =克o q，（2.8）半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升7，此外还有一个常数C≥ 1这样P（1）t(o q）≤ Co q（2.9）则有一个广义Feller半群P（2）作用于B（q（X））使得p（1）t（fo q） =（P（2）tf）o q（2.10）证明。连续映射q定义了一个线性算子M from B（q（X））至B（十） 通过f 7→ fo q、 请注意，从km fk开始，M是有界的≤ kf k, f∈ B（q（X））由于假设oq≤ . 它也是内射的，但它的图像不一定是环形的。假设（2.8）和（2.9）现在意味着P（1）tMf∈ rg（M）每f∈ B（q（X）），而不仅仅是f∈ D、 因此，我们可以定义（2）tf：=M-1P（1）tMf，通过构造B上线性算子的半群（q（X））。由于M是连续的，它的图是闭的，因此P（2）是一个有界线性算子。此外，定义2.5的属性（iv）由于消耗（2.9）而保持真实。

由于f≥ 0由于假设（2.8）和P（1）是广义Feller半群这一事实，我们得到了P（2）tf=M-1P（1）tMf=M-1P（1）t（fo q） |{z}≥0=米-1（克o q） =克≥ 这里，g是非负的，因为P（1）t（f）是正的oq） 。通过（2.8）和P（2）的定义，（2.10）显然是正确的。因此，limt→0P（2）tf（q（x））=极限→0P（1）tf（q（x））=f（q（x）），对于x∈ 因此，定义2.5的属性（iii）。因此，定义2.5的所有条件都是满足的，我们可以确定算子（P（2）t）形成了一个广义的费勒半群。备注2.9。在一般半群的设置中，半群对（甚至不闭合）子空间的限制是否保持强连续性尚不清楚。备注2.10。有几种方法可以证明（2.8）是令人满意的。一般来说，不足以假设P（1）的生成元具有这种性质。推论2.11。让定理2.8中除假设（2.9）外的假设成立，并另外假设o q=.那么同样的结论也成立了。特别是运算符M的范围：B（q（X））→ B（十） ，f 7→ fo q关闭。我们从[9]中重申了广义Feller过程的存在性和路径性质。值得注意的是，在这个非常通用的上下文中，存在着可计数多个测试函数的c ` ag版本。定理2.12。Let（Pt）t≥0be t的Pt1=1的广义Feller半群≥0.则存在一个过滤的可测量空间(Ohm, （Ft）t≥0）具有正确的连续过滤，以及适应的随机变量族（λt）t≥0使得对于任何初始值λ∈ X存在概率测度Pλ，其中eλ[f（λt）]：=EPλ[f（λt）]=Ptf（λ）8 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmann t≥ 0和每f∈ B（十） 。马尔可夫性质成立，即EPλ[f（λt）| Fs]=Pt-sf（λs）几乎肯定是关于Pλ的。定理2.13。

Let（Pt）t≥0be广义Feller半群与let（λt）t≥0be过滤概率空间上的广义Feller过程。然后对于每个可数族（fn）n≥B中的0个函数（十） 我们可以选择流程的版本fn（λt）（λt）t型≥0，这样所有n的轨迹都是c\'agl\'ad≥ 0、如果额外lyPt ≤ exp（ωt） 为true，则（exp(-ωt）（λt））t≥0是一只超级m艺术莺，可以选择有c\'agl\'ad轨迹。在这种情况下，我们得到fn（λt）t型≥0可以选择具有“agl”和“rajectories”。备注2.14。在一般情况下，当Pt ≤ M exp（ωt） 对于M>1，我们得到fn（λt）t型≥0仅限c`ag轨迹。要了解这一点，请考虑可测量的样本事件集{sup0≤t型≤1.（λt）≤ R} 。然后我们可以在可度量紧集上构造{ ≤ R} 流程的c\'agl\'ad版本fn（λt）（λt）t型≤1和（λt）t型≤1反过来也是fn（λt）t型≥0、极限R→ ∞, 然而，由于我们无法控制正确的限制，这只会导致c` agversion。2.2. Banach空间的对偶空间。对于我们的理论来说，最重要的游乐场将是Banach空间对偶的闭子集，其中弱-*-由于Banach-Alaoglu定理，拓扑学看起来是σ-紧的。假设E Y*是对偶空间Y的闭子集*关于一些Banach空间Y，其中Y*装备了它的弱点-*-拓扑结构。考虑下半连续函数: E→ (0, ∞)并表示为（E，) 相应的加权s速度。对于B中的函数，我们有以下近似结果（见[11，定理4.2]）（E） 通过圆柱函数。设置气缸：=g（h·，yi，…，h·，yNi）：g∈ C∞b（RN）和yj∈ Y，j=1，N,（2.11）其中h·，·i表示Y之间的配对*和Y。我们用Cyl表示：=SN∈NcylnE上有界光滑连续圆柱函数集。定理2.15。

B缸关闭（E） 与B一致（E） ，其元素恰好是函数f∈ B（E） 满足（2.3）和f | KRisweak-*-对于任何R>0，连续。证据见【9】。假设2.16。Let（λt）t≥0表示某个随机基上的时间齐次马尔可夫过程(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Pλ），其值在E中。然后我们假设（i）存在常数C和ε>0，使得（2.12）Eλ[（λt）]≤ C（λ） 对于所有λ∈ E和t∈ [0, ε];（ii）（2.13）限制→0Eλ[f（λt））]=任何f的f（λ）∈ B（E） 和λ∈ E（iii）对于B的稠密子集中的所有f（E） ，映射λ7→ Eλ[f（λt）]位于b（E） 。备注2.17。当然，不等式（2.12）意味着| Eλ[f（λt）]|≤ C（λ） 对于allf∈ B（E） ，λ∈ E和t∈ [0, ε].半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升9定理2.18。假设假设2.16成立。则Ptf（λ）：=Eλ[f（λt）]满足广义Feller性质，因此是B上的强连续半群（E） 。证据这源于【11，第5节】的论点。3、近似理论为了证明一般生成元的马尔可夫解的存在性，Awe至少可以在伪逆情况下直接应用定理2。7，其中，我们必须计算生成器满足稠密区域D非正极大值原理，并且对于至少一个ω>ω的范围- ω是稠密的，或者我们通过（有限活性跳跃）生成器来近似一般的基因，并应用以下（众所周知的）近似定理。当常数M>1时，它们也适用于一般情况。定理3.1。Let（Pnt）n∈N、 t型≥0be是Banach空间Z上具有生成元（An）n的强连续半群序列∈确保存在均匀（n）增长边界M≥ 1和ω∈ R带KPNTKL（Z）≤ t的M exp（ωt）（3.1）≥ 0

让我们进一步D ∩ndom（An）是具有以下三个性质的稠密子空间：（i）D是所有Pn的不变s子空间，即对于所有f∈ 我们有Pntf∈ D、 对于n≥ 0和t≥ 0.（ii）有一个范数k.kDon D，这样就有关于k.kD的均匀增长边界，即有MD≥ 1和ωD∈ R带KPNTFKD≤ MDexp（ωDt）kf kd for t≥ 0和n≥ 0.（iii）序列Anf收敛为n→ ∞ 对于每个f∈ D、 在以下意义上：存在n个数字的序列anm→ 0为n，m→ ∞ 这样的话，坎夫- Amfk公司≤ anmkf kd对每个f都成立∈ 对于所有的n，m，则存在一个强连续的s半群（P∞t） t型≥0在Z上具有相同的生长限制，因此limn→∞Pntf=P∞所有f的tf∈ Z在时间紧集和D有界集上一致。D上的Fur Themore收敛是有序的（anm）。对于每个n∈ N、 （Pnt）t≥0是广义Feller半群，则该性质也转移到极限半群。证据见【9】。为了实现a ffine过程的目的，需要一个更一般的近似定理版本，我们在续集：定理3.2中说明了这一点。Let（Pnt）n∈N、 t型≥0be是Banach空间Z上具有生成元（An）n的强连续半群序列∈确保存在均匀（n）增长边界M≥ 1和ω∈ R带KPNTKL（Z）≤ t的M exp（ωt）≥ 0、设D ∩ndom（An）是具有以下两个性质的子集：（i）线性跨度span（D）是稠密的。10 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF TEICHMANN（ii）有一个标准k.kDon span（D）su ch，对于每个f∈ 对于t>0，存在序列af，tnm，可能取决于f和t，kAnPmuf- AmPmufk≤ af、tnmkf KD对n、m和0保持为真≤ u≤ t、 带af、tnm→ 0为n，m→ ∞.然后存在一个强连续s半群（P∞t） t型≥0在Z上具有相同的生长限制，因此limn→∞Pntf=P∞所有f的tf∈ Z在时间上一致紧。

对于每个n∈ N、 （Pnt）t≥0是广义Feller半群，则该性质也转移到极限半群。证据见【9】。我们对定理3.1的首次应用是将有界生成器上的众所周知的结果扩展到无界极限的下一个位置。我们在这里重复[9]中的一句话，因为这有助于理解度量的第四个条件：备注3.3。Let（Pt）t≥0be具有kPtkL（B）的广义Feller半群（十） （）≤某些M的M exp（ωt）≥ 1和一些ω。此外，对于某些连续映射ψt:x，假设其为传输类型，即Ptf（x）=f（ψt（x））（3.2）→ 十、 现在定义一个新函数▄（x） ：=支持≥0exp(-ωt）Pt（x） 对于x∈ 十、 请注意▄ 是允许的权重函数，因为{ ≤ R} =∩t型≥0{Pt ≤ exp（ωt）R}≤ { ≤ R} 定义为 和x 7的连续性→ ψt（x），它导致紧集的闭子集的一个区间。此外，我们还有 ≤ ~ ≤ M通过增长界，因此B上的范数（十） 等于tokf k°= supx公司∈X | f（X）|（x） 。此外，kPtfk≤ exp（ωt）kf k▄适用于所有t≥ 0和f∈ B（十） 。事实上，这是以下估计KPTFK的结果= supx公司f（ψt（x））supsexp(-ωs）（ψs（x））≤ supx公司f（ψt（x））supsexp(-ω（t+s））（ψt+s（x））≤ exp（ωt）supxf（ψt（x））supsexp(-ωs）（ψs（ψt（x）））≤ exp（ωt）kf k▄.因此，| Ptf（x）|≤ exp（ωt）~（x） kf k▄,这意味着 ≤ exp（ωt）~, t型≥ 0、提案3.4。让（X，) 是具有权函数的加权空间 ≥ 1.

考虑B上的运算符A（十） 在B上生成密集域dom（A）（十） 广义Feller半群（Pt）t≥0如（3.2）中所述的运输类型，以便≥ 0我们有kPtkL（B（十） （）≤ Mexp（ωt）对于一些Mandω和这样的b√（十） B（十） 是左不变的。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升11进一步考虑一系列有限测度u（x，.）对于x∈ X在X上，因此运算符B作用于B（十） byBf（X）：=Z（f（y）- f（x））u（x，dy）表示x∈ X上产生连续函数{ ≤ R} 对于R≥ 0，并且以下属性为真：o对于所有x∈ XZ公司（y） u（x，dy）≤ M（x） ，（3.3）以及ZP（y） u（x，dy）≤ M（x） ，（3.4）和zu（x，dy）≤ 议员（x） ，（3.5）对某些常数M成立对于某些常数eω∈ RZ公司支持≥0exp(-ωt）Pt（y）- s upt公司≥0exp(-ωt）Pt（x） 支持≥0exp(-ωt）Pt（十）u（x，dy）≤ eω，（3.6）对于所有x∈ 十、 尤其是y 7→ 支持≥0exp(-ωt）Pt（y） 应可积于u（x，.）然后A+B生成一个广义Feller半群（P∞t） t型≥B上的0（十） 令人满意的KP∞tkL（B（十） （）≤ Mexp（（ω+～ω）t）。证据见【9】。备注3.5。与经典Feller理论相比，如果 这个命题的一般特征允许通过扰动从简单的过程构建基因ral过程。提升随机Volterra跳跃过程的Sd+值基于上面的广义Feller过程理论，我们现在将处理以下类型的矩阵-测度值SPDEsdλt（dx）=A*λt（dx）dt+ν（dx）dXt+dXtν（dx），λ∈ E、 （4.1）如下文所示，该方程对应于（1.2）中Volterra跳跃过程的马尔可夫升力。我们在此考虑第2.2节的设置。下垫Banach空间Y*ishere扩展半实线性上有限Sd值正则Borel测度的空间+：=R+∪ {∞} E表示Y的（正定义）子集*.

此外，A*是强连续半群S的生成元*在Y上*, ν ∈ Y*（或在由Z表示的稍大的空间中*在续集中）。前对偶空间Y由Cb（R+，Sd）函数给出。由于R+是紧的，所以Y=Cb（R+，Sd）是可分离的。驱动过程X是一个Sd值的纯跳It^o半鞅，其微分特征在λ上线性衰减，具体如下。让我们注意到，X的其他形式的差异特征，特别是线性情况下的差异特征，可以很容易地纳入该设置中。12 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmann Y和Y之间的配对*, 用h·、·i表示，通过：h·、·i:Y×Y指定*→ R、 （y，λ）7→ hy，λi=TrZ∞y（x）λ（dx）,其中Tr表示跟踪。我们还通过h·、·ii:Y×Y定义了另一个bilinea r图*→ Sd，（y，λ）7→ hhy，λii=Z∞y（x）λ（dx）+Z∞λ（dx）y（x）。（4.2）在下文中，我们总结了我们环境的主要因素。对于normon SDW，我们写下k·k，它由kuk=pTr（u）表示u∈ Sd。假设4.1。在本节中，我们将在以下条件下工作：（i）我们得到了一个可容许的权函数 在Y上*（在第2条的意义上）使（λ） =1+kλkY*, λ ∈ Y*,其中k·kY*表示Y上的范数*, 这是λ的总变化量。（ii）给出了一个闭凸锥E Y*（在续集《标准差+值测度的锥》中）包括（E，) 是第2节意义上的加权空间。

这将用作（4.1）的状态空间。（iii）让Z Y是一个连续嵌入的子空间。（iv）我们假设一个半群S*带发电机A*以强连续方式作用于Y*和Z*, 关于尊重ive范数拓扑。此外，我们假设对于任何矩阵A∈ Sdit认为*t（λ（·）A+Aλ（·））=（S*tλ（·））A+A（S*tλ（·））。（4.3）（v）我们假设λ7→ S*tλ较弱-*-Y上连续*和在Z上*对于everyt≥ 0（考虑到弱者-*-域和imagespace上的拓扑）。（vi）我们假设*, 由A和域dom（A）表示 Z 在z上生成一个关于相应范数拓扑的强连续半群（但不一定在Y上）。为了分析（4.1）的可解性，我们首先考虑以下线性确定性方程dλt（dx）=A*λt（dx）dt+ν（dx）β（λt（·））dt+β（λt（·））ν（dx）dt（4.4）∈ Y*, ν ∈ Z*和来自Y的βa有界线性算子*→ Sdwhich satifies for A∈ Sdandλ∈ Y*β（λ（·）A+Aλ（·））=β（λ（·））A+Aβ（λ（·））。（4.5）我们用β表示*: Sd公司→ Y调整整数运算符定义的viaTr（uβ（λ））=Tr（Z∞β*（u） （x）λ（dx））=hβ*（u） ，λi，u∈ Sd，λ∈ Y*.备注4.2。请注意，这里的漂移规格可能更一般，但为了便于理解，我们将此方向留给感兴趣的读者。为了便于注释，在随后编写（4.4）类型的n（S）PDE时，我们通常将dx参数忽略。在以下假设条件下*和ν∈ Z*我们不能保证（4.4）可以在空间Y上求解*对于双重范数k·kY，始终是温和意义上的*采用标准的校正方法。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升13假设4.3。