半正定仿射Volterra型过程的马尔可夫提升

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英文标题：
《Markovian lifts of positive semidefinite affine Volterra type processes》
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作者：
Christa Cuchiero and Josef Teichmann
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider stochastic partial differential equations appearing as Markovian lifts of matrix valued (affine) Volterra type processes from the point of view of the generalized Feller property (see e.g., \\cite{doetei:10}). We introduce in particular Volterra Wishart processes with fractional kernels and values in the cone of positive semidefinite matrices. They are constructed from matrix products of infinite dimensional Ornstein Uhlenbeck processes whose state space are matrix valued measures. Parallel to that we also consider positive definite Volterra pure jump processes, giving rise to multivariate Hawkes type processes. We apply these affine covariance processes for multivariate (rough) volatility modeling and introduce a (rough) multivariate Volterra Heston type model.
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中文摘要：
我们从广义Feller性质的角度考虑出现为矩阵值（仿射）Volterra型过程的马尔可夫提升的随机偏微分方程（参见例{doetei:10}）。我们特别介绍了半正定矩阵锥中具有分数核和值的Volterra-Wishart过程。它们由状态空间为矩阵值测度的无限维Ornstein-Uhlenbeck过程的矩阵积构造而成。与此平行，我们还考虑了正定Volterra纯跳跃过程，从而产生了多元Hawkes型过程。我们将这些仿射协方差过程应用于多元（粗糙）波动率建模，并引入了一个（粗糙）多元Volterra-Heston模型。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Markovian_lifts_of_positive_semidefinite_affine_Volterra_type_processes.pdf (419.66 KB)

2022-6-24 07:25:48 上传

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关键词：volterra 马尔可夫 Volt LTE err

半正定AFFINEVOLTERRA型过程的马尔可夫提升Christa CUCHIERO和JOSEF TEICHMANNAbstract。我们从广义Feller性质的角度考虑了矩阵值（a ffne）Volterra型过程的马尔可夫提升出现的随机偏微分方程（参见例[11]）。我们在正半限定矩阵的锥中引入了具有分数核和值的Volterra-Wishart过程。它们由状态空间为矩阵值测度的有限维Ornstein-Uhlenbeck过程的矩阵积构成。与此平行，我们还考虑了正有限Volterra纯跳跃过程，从而产生了多元Hawkes型过程。我们将这些a ffne协方差过程应用于多元（粗糙）波动率建模，并引入（粗糙）多元Volterra-Heston模型。1、导言本文的目的是研究[9]在多元设置下s-to-Castic Volterra过程的有限维马尔可夫提升的结果：我们主要关注随机Volterra过程取正半有限矩阵Sd+锥中的值的情况。由于其与可处理的粗糙协方差建模的相关性，我们将集中讨论该情况，将粗糙波动率（例如，[3，16，5]）扩展到d“粗略相关”资产的设置。从有限维视角观察随机波动过程，可以发现第一眼自然低维波动过程的一般无标记性。事实上，这种方法实际上可以超越迄今为止所考虑的单变量情况，并处理多个资产的多变量粗糙协方差模型问题。此外，联合马尔可夫升降机允许应用整个过程。

关于沃尔泰拉型过程中马尔可夫升降机的理论和实践优势，我们参考文献[9]的介绍。现在，让我们开始解释为什么矩阵值正定义的情况实际上比R+中的标量情况更复杂，例如Volter-raCox-Ingersoll-Ross过程取值（参见[14，1，4]，其中它在粗糙的Heston模型中显示为方差过程）：考虑一个标准Wishar t过程，如[6，8]中所定义，其形式为dxt=（d-1） Idddt+pXtdWt+dWtpXt，X∈ Sd+。（1.1）此处√. 表示布朗运动的矩阵平方根、单位矩阵和W a d×d矩阵。Dift中维度d的（必要）存在明显阻碍了该方程的有限维版本，可以通过2010年数学学科分类的变化预测得到Volterra型方程。60H15、60J25。关键词和短语。随机偏微分方程、a ffne过程、Wishart过程、Hawkes过程、随机Volterra过程、粗糙波动率模型。作者感谢ETH基金会和埃尔文·施罗丁格研究所的支持。Christa C uchiero感谢维也纳科学技术基金会（WWTF）在MA16-021.2拨款项下提供的财政支持。Christa CUCHIERO和JOSEF Teichmanconstants of rmula（关于R+的此类预测，请参见[9]）。为了避免这一困难，我们在本文中提出了两种方法：o我们发展了purejump正半有限Volterra过程的有限维马尔可夫提升理论我们在一般情况下发展了高斯过程的平方理论，以构建Wishart过程的有限维类似物。

然而，它们的有限维投影看起来不同于按照VolterraCox-Ingersoll-Ross过程的角色模型天真推测的Volterra-Wishart过程。它们在维度1上也有所不同，如下所示。跳跃部分看起来很自然，当约束为有限变化跳跃时，不会出现任何进一步的概率问题。请注意，在（非Volterra）正半无限矩阵上的一个函数过程的情况下，二次变化跳跃也不可能（见[19]）。利用文献[11，9]中的广义Feller方法，我们得到了一类新的随机Volterra过程，其值为Sd+of the或MVT=h（t）+Zt（K（t- s） Vs+VsK（t- s） ）ds+ZtK（t- s） dNs+ZdNsK（t- s） ，（1.2），其中h:R+→ Sd+是一些确定性函数，K是L（R+，Sd+）中的一个（潜在分形）核，N是一个纯跳跃过程，其跳跃大小随Sd+中的跳跃大小而变化，其补偿器是V中的一个线性函数。这使得ins可以定义一个多元Hawkes过程bN（一维情况见[18]），其中ndn的值由N的对角线条目给出，即diag（N）=bN，而nis的compensator由r·Vs，iids给出（见示例4.16）。通过有限维升力f（1.2）的a ffinetransform公式，我们能够导出vt的拉普拉斯变换表达式，该表达式可以通过矩阵Riccati-Volterra方程计算。连续部分的困难来自几何构造，但可以通过构建无约束过程的正方形来绕过几何构造。让我们在有限维环境中说明这个想法：设W为布朗运动的n×d矩阵，设ν为Rd×dk中的ma矩阵，由k个子矩阵νi组成∈ Rd×d，i=1，k、 即，ν=（ν，…，νk）。现在定义一个高斯过程，其值为Rn×dkbyγ：=Wν。

然后，利用It^o\'s乘积公式，将Rdk×dk值过程γtγt表示以下方程式dγtγt=nννdt+ν数据仓库tγt+γtdWtν。（1.3）遵循Marie France Bru【6，第5.2小节】并设置λt：=γtγt，这也可以通过独立布朗运动的kd×kd矩阵Bsatisfyingqγ来表示tγtdBt√νν = γ更家族的tdWtν（1.4）形式dλt=nννdt+√ννdBtpλt+pλtdBt√νν .（1.5）我们的文章致力于分析指数变量νg等连续的情况，这是有限维Wishartprocess的唯一可能形式。我们认为，广义的费勒过程是实现这一目标的正确舞台。在本文中，我们选择e度量空间，但可以在函数空间的设置中进行类似的分析，例如[15]的希尔伯特空间设置（参见[9，第5.2节]）。在测度值设置下，我们对半正定仿射VOLTERRA过程3进行马尔可夫提升，如下所示：le tγ是一个有限维的Ornstein-Uhlenbeck过程，在R+上取Rn×d值正则Borel测度的值。然后Volterra-Wishart程序将γ作为有限维投影（dx）γ（dx）在Sd+上，可写为VT=h（t）+nZtK（t- s） K（t- s） ds+ZtK（t- s） 数据仓库sY（t，s）ds+ZtY（t，s）dWsK（t- s） ，（1.6），其中h和K如（1.2）所示，W是布朗运动的n×d矩阵，Y（t，s）=R∞e-x（t-s） γs（dx）。如备注5.4所述，V与Volterra-Ornstein-Uhlenbeck过程Xt的矩阵平方相对应，以γ（dx）的有限维投影获得。Volterra-Wishart过程（1.6）也可以根据Xt的前向过程写入，即（e[Xt | Fs]）≤t、 名称VT=h（t）+nZtK（t- s） K（t-s） ds+ZtK（t- s） 数据仓库sE[Xt | Fs]ds+中兴通讯[Xt | Fs]dWsK（t- s） 。注意，这不是标准的Volterra形式，例如在[2]中，因为Y（t，s）orE[Xt | Fs]不能分别表示为Vt的函数。

然而，通过移动到与（1.4）类似的外地，它可以表示为路径函数（Vs）≤t、 对于n=d=1，它也会上升到与VolterraCIR过程不同的方程。我们在第5节中详细解释了（1.6）和（1.3）-（1.5）之间的关系。请注意，通过选择K作为分数核矩阵，（1.6）的轨迹变得粗糙，因此V符合粗糙协方差建模的条件，不同资产及其协变量的粗糙度可能不同。这与计量经济学观察结果一致。在第6节中，我们展示了如何定义此类模型：我们引入了一个（粗糙的）带跳跃的多元Volterra-Hestontype模型，并表明它可以再次在a ffine框架中进行转换。这与使用Fourierpricing方法对篮子或价差期权进行定价特别相关。本文的其余部分组织如下：在第1.1节中，我们介绍了一些符号并回顾了某些函数分析概念。在第2节和第3节中，我们回顾并扩展了[9]中所述的广义Feller过程的结果。特别地，定理2.8给出了广义费勒过程的不变（子）空间的一个结果，这对于如上所述的平方构造至关重要。在第4节中，我们将所提出的理论应用于SPDE，SPDE是（1.2）型矩阵值随机Volterra跳跃过程的提升。第5节致力于介绍有限维Wishart过程的理论，这些过程反过来会产生（粗糙的）Volterra-Wishart过程。在第6节中，我们将这些过程应用于多变量（粗略）波动率建模。1.1. 符号和一些函数分析概念。

对于背景影响函数分析，我们参考优秀教科书[21]作为主要参考，参考同等优秀书籍[12，20]作为强连续半群的背景。我们将应用以下符号：设Y是Banach空间，Y*其对偶空间，即具有强对偶范数λkY的线性连续泛函的s空间*= supkyk公司≤1 | hy，λi |，4 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF TEICHMANNwhere hy，λi：=λ（y）表示在点y处对线性泛函λ的求值∈ Y因为在方程（1.2）的情况下，Y的锥E*将是我们的状态空间，我们用前对偶表示法表示极锥，即*=y∈ Y | hy，λi≤ 所有λ为0∈ E.我们用normkAkL（Y，Y）：=supkykY表示从Banach空间Yto到YbyL（Y，Y）的有界线性算子空间≤1卡基。如果Y=yw，我们只写k·kL（Y）。在Y上*我们通常会在强拓扑（由强dua l范数诱导）之外考虑弱拓扑-*-对于pology，它是最弱的局部凸拓扑，使得所有线ar泛函hy，·i on Y*不断的让我们回顾以下事实：o弱者-*-当且仅当Y是有限维时，拓扑是可度量的：这是由于拜尔自Y以来的theo-rem范畴*可以写成闭集的可数并，其中至少有一个必须包含一个op-e-n集，这反过来意味着存在紧邻域，即。

严格有限维现象n.o任意半径R in Y的范数球kro*对于弱者来说是紧凑的-*-拓扑学，即巴拿赫-阿洛格鲁定理这些球是可度量的当且仅当Y是可分离的：这是真的，因为Y可以等距嵌入到C（K）中，其中Y 7→ hy，·i，代表y∈ Y由于Y是一个寓言，它的嵌入图像也是可分离的，这意味着，通过观察Y在C（K）中生成的代数，C（K）是可分离的，当且仅当Kis可度量时才是可分离的。尽管有些结果更为一般，尤其是通常仅使用KRI的紧性，但在这篇文章中，我们将始终假设可分性。最后，给出了一类线性算子（Pt）t≥0对于s，t，在PtPs=Pt+s的Banach spa ce Y上≥ 0和P=I，其中I表示恒等式，如果limt→0Pty=y对每个y都适用∈ Y我们通常用定义为limt的A表示其生成器→第0页-YT全部y∈ dom（A），即存在限制的元素集。请注意，dom（A）对于半群P是左不变的，并且它对由运算符或mkykdom（A）：=pkyk+kAykis构成的域等式的限制也是一个非常连续的半群。此外，正如引言中已经使用的那样，Sd表示对称d×d矩阵的向量空间，Sd+正半限定矩阵的锥。此外，我们用diag（A）表示由amatrix A.2的对角元素组成的向量。广义Feller半群与过程在随机Volterra过程（signe d）的马尔可夫提升背景下，测度值过程以一种自然的方式出现。基因化的Feller框架是为这种过程而设计的，因为它允许考虑非局部紧状态空间。对于状态空间为矩阵值测度的Ornstein-Uhlenbeck过程，我们需要在第5节中明确说明这一点。

除此之外，在此设置中可以轻松构建具有无限但有限活动的跳跃过程，请参见命题3.4和第4节。我们将首先从[9]中收集一些结果，并根据本文的目的进行概括。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升52.1。定义和结果。首先，我们引入加权空间，并给出一个中心Riesz-Markov-Kakutani表示结果。这里的底层空间e X是一个完全正则的Hausdor ff拓扑空间。定义2.1。A函数: 十、→ (0, ∞) 如果集KR：={x，则称为容许权重函数∈ X：（十）≤ R} 对于所有R>0，都是紧致且可分离的。容许权函数 必然是下半连续的，并且从下面以一个正常数为界。我们把这对X和一个可容许权重函数一起称为 加权空间。加权空间是σ-紧的。在下面的备注中，我们澄清了凸子集E的局部紧性问题 X whenX是局部凸拓扑空间，且 凸面的备注2.2。设X为可分局部凸拓扑空间，E为凸子集。此外，让 是凸容许权函数。然后 在E上是连续的当且仅当E是局部紧的。确实如果 在E上是连续的，那么E上的拓扑当然是局部紧的，因为每个点都有一个类型为的紧邻域{ ≤ R} 对于某些R>0。另一方面，如果拓扑体E是局部紧的，那么对于每个点λ∈ E有一个凸的紧邻域V E使(λ) - （λ） 在V上以一个k>0的数字为界，由此得到凸性|（s（λ）- λ) + λ) - (λ)| ≤ λ的sk- λ∈ s（V- λ） ands公司∈]0, 1]. 这反过来意味着 在λ处连续。从现在开始 应始终表示允许的权重函数。

为了完整性，我们首先对一般的Banach空间值函数进行定义，尽管在后继中我们将只讨论R值函数：设Z为范数为k·kZ的Banach空间。向量空间（2.1）B（X；Z）：=f:X→ Z：supx∈十、（十）-1kf（x）kZ<∞具有范数（2.2）kf k的Z值函数f的:= supx公司∈十、（十）-1kf（x）kZ，是Banach空间本身。同样清楚的是，对于Z值有界连续函数，c连续嵌入Cb（X；Z） B（X；Z）成立，其中我们考虑有界连续函数的上确界nor m，即supx∈Xkf（x）k.定义2.3。我们定义B（X；Z）作为B中Cb（X；Z）的闭合（X；Z）。格式空间B（X；Z）是Banach空间。如果range空间Z=R，从现在开始就是这样，我们将写下b（十） 为了B（X；R）和类似的B（十） 。我们考虑B的元素（十） 作为连续函数，其生长由. 更精确地说，我们可以通过【11，定理2.7】得到f∈ B（十） 当且仅当f | KR∈ C（KR），对于所有R>0和（2.3）limR→∞supx公司∈X\\KR（十）-1kf（x）k=0。此外，根据[1 1，定理2.8]，它认为对于每一个f∈ B（十） 带supx∈Xf（x）>0，存在z∈ X使得（2.4）（十）-1f（x）≤ （z）-1f（z）适用于所有x∈ 十、 它强调了连续函数空间在∞关于局部紧空间。现在让我们陈述以下Riesz类型的关键表示定理：6 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmantheorem 2.4（B的Riesz表示（十） ）。