半正定仿射Volterra型过程的马尔可夫提升

现在考虑下面的Fourier-bas-is-elementsbD={fy:bE→ [0, 1]; λ 7→ 经验值(-hyb公司y、 λi）| y∈ Y（Rn×d）}，在Bb中为去义（bE）通过双重拓扑的定义。我们现在检验了广义Feller半群P（OU）对应于f的（5.1）满足假设（2.8）∈bD，即每f∈bD存在一些g，例如p（OU）t（fo q） =克o q（5.16）因此我们需要计算Eγ经验值-hyb公司y、 γtbγti. 引理5.7给出的表达式为（5.17）。因此（5.16）显然是令人满意的。这证明了这一点。关于a ffene性质，我们可以从引理5.7推断ψ和φ由ψt=（2qt（yby） +Idd）-1（StybSty），φt=nlog det（2qt（yby） +Idd）。引理5中给出了qt。然后求导数，得到Riccatidi微分方程的形式。下面的引理为γtb的拉普拉斯变换提供了一个明确的表达式γt。这毫不奇怪地描述了具有n个自由度的非中心Wishart分布的拉普拉斯变换。引理5.7。设γ为（5.1）中定义的Ornstein-Uhlenbeck过程。然后fory∈ Y（Rn×d），γtb的拉普拉斯变换γ由γ给出经验值(-hyb公司y、 γtbγti）= det（2qt（yby） +Idd）-n×exp(-h（2qt（yby） +Idd）-1（StybSty），γbγi），（5.17），其中qt（yby） =RtR∞R∞S*sν（dx）y（x） y（x）S*sν（dx）ds。证据为简单起见，首先假设*等于0。然后（5.1）变成γt（dx）=γ（dx）+Wtν（dx）。修复y∈ Y（Rn×d）使得r∞y（x）ν（dx）定义良好。

然后我们有了HYBy、 γtbγti=hyby、 （γ+Wtν）b（γ+Wtν）i=hyby、 γbγi+hyby、 γbWtνi+hyby、 Wtνbγi+hyby、 WtνbWtνi.30 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmannot现在thathyby、 γbWtνi=TrWtZ公司∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）γ（dx）=: Tr（Wta），hyby、 Wtνbγi=TrZ∞Z∞γ（dx）y（x） y（x）ν（dx）Wt型=: Tr（aWt） =Tr（Wta) = Tr（Wta），hyby、 WtνbWtνi=TrZ∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）ν（dx）W行波管=: Tr（bWtWt），其中∈ Rd×n，a∈ Rn×d，b∈ Rd×dand a=a.对于以下计算，设n=1。然后使用这些表达式，我们发现经验值(-hyb公司y、 γtbγti）= 经验值(-hyb公司y、 γbγi）E经验值(-2 Tr（Wta）-Tr（bW行波管）= 经验值(-hyb公司y、 γbγi）（2π）dtdZR1×de-2 Tr（xa）-Tr（bxx）-2txxdx=exp(-hyb公司y、 γbγi）×det（2b+tIdd）td（2π）dZR1×de-2xa-x（2b+tIdd）xdet（2b+tIdd）dx=det（2b+tIdd）tdexp(-hyb公司y、 γbγi）exp（2a（2b+tIdd）-1a），其中在最后一行中，我们使用了具有协方差（2b+tIdd）的高斯随机变量的矩母函数公式-1、简化进一步扩大规模经验值(-hyb公司y、 γtbγti）=det（2b+tIdd）tdexp（h）（2b（2b+tIdd）-1.- Idd）（yby） ，γbγi）=det（2bt+Idd）exp（h-（Idd+2bt）-1（yby） ，γbγi）。（5.18）对于常规n，请注意，我们可以编写tWt=nXj=1Wj、 tWj，t，其中Wjare是W的行，因此取R1×d的值。相似的Tr（Wta）=TrnXj=1Wj，tZ∞Z∞ν（dx）y（x） y（x）γ0，j（dx）=:nXj=1Wj，taj，其中γ0表示γ的行。使用所有Wjand应用的独立性（5.18），然后引导脚趾经验值(-hyb公司y、 γtbγti）=det（2bt+Idd）nexp(-h（Idd+2bt）-1（yby） ，γbγi）。半正定仿射VOLTERRA过程的马尔可夫提升31*6=0现在可以追溯到这种情况。实际上，通过常数公式的变化，γ由γt=S得出*tγ+ZtdWsS*t型-sν（dx）。因此，我们需要将bt替换为QT=ZtZ∞Z∞S*t型-sν（dx）y（x） y（x）S*t型-sν（dx）dsandγby s*tγ。然后得出（5.1 7）。请注意，这现在适用于一般情况∈ Y（Rn×d）偶数ifR∞y（x）ν（dx）不一定很明确。6.

（粗略）Volterra型仿射协方差模型本节的目标是将上述构造的协方差模型应用于具有d资产的多元随机波动率模型。我们以第5节的Volterra-Wishart过程为例，定义了一个（粗略的）多元VolterraHeston模型，价格过程中可能出现跳跃。粗糙度可以通过指定ν来实现，反过来，也可以通过Volterra-Wishart过程的核心来实现，如标记4.5所示。以P表示的对数价格过程，并根据todPt取RdeVolves中的值=-诊断（Vt）dt-ZRd（eξ- 1.- ξ） Tr（Vtm（dξ））+XtdBt+ZRdξ（uP（dξ）- Tr（Vtm（dξ）），（6.1），其中xt表示备注5.4中定义的Volterra OU过程，1所有条目为1且eξ的向量inrdw必须低于od分量。此外，Bt是一个Rn值布朗运动，它可以与（5.1）中出现的矩阵布朗运动相关联，如下Bt=Wt +q（1-)eBt。这里，eBtis是一个Rn值布朗运动，独立于W和 ∈ Rd.此外，uPdenotes用压缩因子Tr（V m（dξ））计算跳跃的随机测度，其中V是（5.10）的Volterra-Wishart过程，m是Rd上支持的正半有限元测度。作为第5节和[7，第5节]的推论，我们得到以下结果，也就是说，对数价格过程与（5.5）中的有限维Wishartprocessλg是一个完全马尔可夫过程。在形成精确的陈述之前，请注意，连续协变量hpi，λkl（dx，dx）由hpi，λkl（dx，dx）itdt=（β）决定（γt）γt（dx））il（ν（dx）)k+（β（γt）γt（dx））ik（ν（dx）)l、 其中γ是（5.1）的有限维OU过程。

注意β（γt）γt（dx）也可以写成线性映射frombE→ Y*（Sd）表示beeβ，即β（λt）（dx）=β（γt）γt（dx）。（6.2）这里，括号代表协变量，而不是配对。32 CHRISTA CUCHIERO和JOSEF Teichmanin在4.4的标准示例中，我们得到了eβ（λ）（dx）=Rxλ（dx，dx）。eβ从Y（Sd）到Y（Rn×d）b的伴随算子Y（Rn×d）用β表示*由heβ（λ）给出，yi=hλ，eβ*（y） i，y∈ Y（Sd），其中括号是各个空间中的成对。有了这个答案，我们现在准备陈述结果。它的证明结合了第5节和[7，第5节]的结果。推论6.1。（5.5）中定义的λ和（6.1）中定义的P的联合过程（λ，P）是具有状态空间（bE，Rd）的马尔可夫过程。从某种意义上讲，对于（y，v）∈ Y（Rn×d）×Rd，我们有eλ，P经验值-hyb公司y、 λti+ivPt公司= 经验值(-φt- hψt，λi+ivP） 。（6.3）函数ψ满足以下Riccati微分方程，即ψ=yby和tψt=R（ψt，iv）在温和意义上，与R:bE*×iRd→是*给定byR（yby、 iv）（x，x）=Ay（x）by（x）+y（x）bAy（x）- 2Z∞Z∞y（dx）by（dx）νbν（dx，dy）y（dy）by（dx）+dXi=1ivibβ*（eiei） （x，x）+bβ*（ZRd（iv）（eξ- 1.- ξ） m（dξ））（x，x）+bβ*（vv)（x，x）+eβ*（Z）∞y（·）by（x）ν（dx））（x，x）（四）+ （四）eβ*（Z）∞ν（dx）y（·）by（x））（x，x）-bβ*（ZRd（exp（ivξ) - 1.- （四）ξ） m（dξ））（x，x），其中bβ*andeβ*分别是（5.9）中给出的bβ和（6.2）中给出的eβ的伴随算子。函数φ满足φ=0和tφt=F（ψt），F:bE*→ Rgiven byF（yby） =nhyby、 νbνi.备注6.2。本着类似的精神，我们可以使用（4.23）中给出的伏尔泰跳跃过程V定义多元协变量模型。

原木价格过程（在某种风险中性措施下）根据todPt=-诊断（Vt）dt-ZRd（eξ- 1.- ξ） Tr（Vtm（dξ））+√VtdBt+ZRdξ（uP（dξ）- Tr（Vtm（dξ）），其中B是d维布朗运动，且（4.17）中给出的马尔可夫提升λ的P和u的跳跃测度m可以是半正定仿射VOLTERRA过程的Sd+×Rd马尔可夫提升支持的一些常用测度的边缘。参考文献33【1】E.Abi Jaber和O.El Euch。Volterra-Heston模型的马尔可夫结构。《统计与概率快报》，149:63–722019年。[2] E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。《应用可能性年鉴》，2019年出版。[3] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4）：571–5892007。[4] E.Al\'os和Y.Yang。2014年，分馏赫斯顿模型的封闭式期权定价近似公式。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887–9042016年。[6] M.F.布鲁。Wishart流程。《理论概率杂志》，4（4）：725–7511991。[7] C.Cuchiero，A ffene和多项式过程。博士论文，ETH Z¨urich，2011年。[8] C.Cuchiero、D.Filipovi\'C、E.Mayerhofer和J.Teichman。在正半无限矩阵上的一系列过程。《应用概率年鉴》，21（2）：397–4632011。[9] C.Cuchiero和J.Teichman。广义Feller过程和随机Volterra过程的马尔可夫抬升：Affee案例。arXiv:1804.104502018年。[10] R.C.Dal ang。推广鞅测度随机积分，并将其应用于空间齐次SPDE。概率电子杂志，4（6），1999年。[11] P.D¨orsek和J.Teichman。随机（部分）微分方程分裂格式的半群观点。

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