简单行为模型中的涌现不等式与内生动力学

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然后K演变为˙K=（rs- δ） K+wsL=α斯里兰卡1.-αs- δK+α吉隆坡1.-αsL。对于α=1/2，此简化为˙K=s√斯里兰卡- δK.（S1）假设s在时间τ之前没有变化，这有两个由K（t）给出的解=B- Ee公司-δt/2δ,r（t）=pL/K/2=AB- Ee公司-δt/2，w（t）=pK/L/2=B- Ee公司-δt/24A（S2），对于所有t<τ，其中A=δ√L/2，B=s√五十、 E有两个可能的值s√L±δ√K、 因为我们对r为正的情况感兴趣，所以我们有E=s√L- δ√知道r（t）和w（t），我们现在可以确定在时间τ之后哪个家庭消费最多。家庭i的capitalKi（t）演变为˙Ki=（sir（t）- δ） Ki+wsiLi=siAB公司- Ee公司-δt/2- δKi+B- Ee公司-δt/24AsiLi。这有一个涉及复杂超几何函数的解析解。对于较小的τ值，我们可以通过近似t的r（t）和w（t）来简化问题∈ [0，τ]通过其中期值r（τ/2）和w（τ/2），得出˙Ki≈ GiKi+Fiwith Gi=siAB-Ee公司-δτ /4- δ和Fi=B-Ee公司-Δτ/44AsiLi，求解asKi（t）≈ （Ki（0）+Fi/Gi）eGit- 金融机构/金融机构。家庭i在时间τ的相应消费量为thenCi（τ）=（1- si）（r（τ）Ki（τ）+w（τ）Li）≈ (1 - si）H（（Ki（0）+Fi/Gi）eGiτ- Fi/Gi）+Li/4HH=AB时-Ee公司-Δτ/2=As√L（1-e-δτ /2)+δ√Ke公司-δτ /2. 由于我们假设所有家庭在时间τ时都会模仿导致最大Ci（τ）的Si，我们可以通过确定复制的sithatgets是大于还是小于s来确定s是否会增加或减少。由于我们还假设家庭储蓄率在s周围分布很近，所有Ki（0）都很相似，这个问题可以通过观察当Si从s以下增加到s以上时，Ci（τ）是增加还是减少来回答，即通过研究导数Ci（τ）/在点si=s处。在N的系数之前，该导数为（1- s） H类eGτ- 1G（L/4H-HF/G）+eGττH（K+F/G）- H[（eGτ- 1） F/G+eGτK]- L/4H（S3），其中F=B-Ee公司-Δτ/44AsL和G=sAB-Ee公司-δτ /4- δ.

只要上述表达式是正的或负的，s将分别随时间增加或减少。当s和K不再变化时，即当方程[S1]中给出的˙K（K=K）以及Ci（τ）/式[S3]给出的sias为零。˙K=0的解是K=Ls/δ，此时我们有E=0，H=δ/2s，G=-δ/2，F/G=-Ls/δ=-K、 HK=Ls/2δ，HF/G=-Ls/2δ=-香港。将所有这些代入等式[S3]并将其设置为零，得出了以下关于稳态s的令人惊讶的简单近似方程式：s？≈1.- e-δτ/22 - e-Δτ/2（S4），如正文所述。模拟详细信息对于正文中的所有模拟，除非另有说明，否则我们使用了以下参数：uL=1/N，K（t=0）i=1 i和完全连接的网络，N=100，δ=0.05。我们发现，在每个家庭的劳动力中增加小的异质性并不会显著改变动态，对于不同的初始资本分配，均衡动态也保持不变，不同的初始资本分配具有不同的Iki=K。对于图1，储蓄率分布图显示了时间5τ·10时模拟的最终状态，远远超出模型达到其渐近动力学的点。对于τ的每个值，运行200个独立的模拟，并记录每个τ的所有SIA值，以构建一个直方图，该直方图被归一化，因此对于具有相同τ的每组模拟，这些值相加为一。在图4中，Erd"os–Rényi随机图的构造使得每个节点都连接到每个其他节点，以避免家庭是静态的，折旧率δ=0.2以加快计算。储蓄率相关性和拓扑图在图S1中，我们显示了两种振荡模式下总储蓄率的平均值。

我们可以观察到较低储蓄率的值在2%-23%之间，较高储蓄率的值在65%-90%之间。此外，我们可以看到，高储蓄率的值与低储蓄率的值有着强烈的反相关，因为它们的平均值仍为s？=0.5.有效时间偏好率在RCK模型中，贴现率是一个自由参数，代表性家庭通过选择储蓄率S来解决跨期优化问题*RCK=αδρ+δ（参见主要论文的方法部分）。相比之下，在我们基于代理的模型的稳定体系中，许多通过平均社会互动时间τ的社会学习来学习个人储蓄率的个体家庭的短视行为导致总储蓄率s收敛到稳定状态s？大约是多少？ABM公司≈1.- e-δτ/22 - e-Δτ/2，如上所述。那么，决定s的主要家庭特征是什么？Rcki是贴现率ρ，而决定s的主要家庭特征？ABMis社会互动时间τ。比较上述两个方程，我们发现，ABM中给定的社会互动时间τ导致的总储蓄率与贴现率ρ（τ）=δ/2eδτ/2大致相同- 1在RCK模型中。相反，RCK模型中给定的贴现率ρ会导致与社会互动时间τ（ρ）=δln大致相同的聚合贴现率1 +δ2ρ在ABM中。对于各种折旧率δ，ρ和τ之间的关系如图S2所示。较高的折旧率导致较低的贴现率，这是由于s*ABMonδ与经典经济最优储蓄率的反比关系*Rckw，ρ。因此，较高的折旧会导致对未来的偏好增加。

虽然一开始可能违反直觉，但可以通过以下事实来解释：*RCKI是通过优化代表性代理获得的，该代理需要更高的储蓄率来实现更高的折旧率，以实现最佳消费。在δ或τ较小或ρ较大的情况下，我们甚至有ρ≈ 1/τ，这意味着RCK模型的贴现率几乎与我们模型的社会互动率完全对应。单户免费消费我们在上文中已经看到，如果一组家庭的总储蓄率为s，那么个人消费Ci将大致演变为等式S3。如果家庭集合足够大，它将包含一些使用接近Si值的储蓄率的家庭j，Si使等式S3最大化。让我们称后者为对s的最佳响应，并用s表示它？i（s）。由于当时j户是这个群体中最消费的成员，社会学习意味着其他家庭将开始复制sj≈ si（s），之后s将略微向ss移动？我也是。我们已经看到，当s等于s的值时？，还有s？i=s？，那是什么？是一种平衡。结果表明，对于略高于s？的s值？，我们有s？i<s？，对于略低于s？的s值？，我们有s？i> s？。由于更新是异步发生的，因此在s远离s？的一些随机扰动之后？，这意味着s向s移动？具有一定的惯性，使那些模仿s的家庭？首先，在这种情况下，我的消费暂时高于其他人。有趣的是，最佳回答之间的差异是什么？i（s）和平衡点s？强烈且高度非线性地依赖于τ，如图S3所示。对于τ低于某个临界值，s？i（s）非常接近s？，这可以解释为什么不仅总储蓄率s，而且所有个人储蓄率s都接近s？在我们模型的稳定区域。

然而，对于高于临界值的τ，s？如果s>s，i（s）接近零？如果s<s？，则非常大？，随着τ的增加，趋于统一。只要s>s？，越来越多的家庭将转向si≈ 0，材料减少，直到s<s？，之后，越来越多的家庭将转向非常大的si，使s再次增加，使处于si中间值的家庭越来越少。这解释了在我们的模型的振荡区域中出现两个独立的类和极端不等式。在这两种情况下，具有反周期储蓄率的家庭可以被视为对其他家庭行为的“搭便车”。当s<s？，那些拥有大量累积资本的家庭，由于资本的总体稀缺性而获得高额租金。当s>s？，由于资本的总体丰富性，工资和收入都会增加，因此那些小口饮酒的家庭不会消费他们暂时大量收入中的较大份额。临界相互作用时间的依赖性在图S4和图S5中，我们在正文中显示了图4的备选视图。这里，我们展示了τconthe平均邻居数hki、住户数N和链路密度p的依赖关系。如果不使用正文中的平均最短路径长度，我们看不到清晰的对齐。定性不同振荡的例子改变网络结构和模拟的代理数量不仅会改变τcbut的值，还会改变振荡的频率。我们使用图S6中的"os–Rényi随机图[S1]和图S7中的Watts-Strogatz“小世界”[S2]网络显示了各种模拟在振荡状态下的300个时间步长间隔。

我们可以发现，减少代理数量和社会互动时间τ会增加总资本曲线的粗糙度，表明具有不同振幅的多个振荡频率。使用每时间步的折旧率δ大致对应于每年的实际折旧，我们发现，较大的振荡频率通常在50-100年的范围内，较小的振荡（如图S7中的下面板）在15-20年的范围内。这些结果表明，虽然典型商业周期的主振荡频率过低，但该模型可以产生不同频率的各种振荡，这些振荡相互叠加，类似于经济波动。参考文献[S1]Erd"os P，Rényi A（1959年）关于随机图。出版《数学》6:290–297。【S2】Watts DJ，Strogatz SH（1998），“小世界”网络的集体动力学。《自然》393（6684）：440。补充图100 200 300 400N0.10.30.50.70.91.0链路密度pMean s |（s<0.5）0.0250.0500.0750.1000.1250.1500.1750.2000.225s100 200 300 400N0.10.30.50.70.91.0链路密度pMean s |（s>0.5）0.650.700.750.800.850.90S图S1：高和低节省率对网络拓扑的依赖性。我们显示了s<0.5的低模式（左）和s>0.5的高模式下的平均节省率值作为热图。我们可以看到一系列不同的值，这些值取决于网络的拓扑结构。1001011020.00.10.20.30.40.5（）=0.80=0.20=0.06=0.01图S2：作为社交时间函数的有效折扣率。相应的折现率ρ（τ）=δ（eδτ/2- 1)-1我们的模型显示了不同折旧率δ和低社会互动时间τ<τc.1011001011021031041050.00.20.40.60.81.0储蓄率sis*s*i | s*+s*i | s*图S3：最佳反应动力学。

最优个人储蓄率s？i（圆和三角形）给定+ （蓝色圆圈）或-（橙色三角形）总储蓄率s偏离其平衡值s？（绿线）作为社会互动时间τ的函数 = 10-在τ的临界值以下，最佳响应非常接近平衡值，而在临界值以上，它们在扰动的相反方向上迅速向非常小或非常大的值发散，从而稳定s，但由于逆周期利用大租金（如果s<s？）而导致暂时收益或大尺寸（如果s>s？）。0 100 200 300 400k101102critN=50N=100N=200N=300N=400图S4：临界相互作用时间τcas网络平均度的函数。这里，τcis显示为不同平均度下网络大小N的函数，对于Erd"os–Rényi图[S1]和α=0.5，δ=0.2，临界速率随平均度hki而增加。50 100 150 200 250 300 350 400N101102critp=0.1p=0.3p=0.5p=0.7p=0.9p=1.0图S5：关键互动时间τcagainst户数。这里，对于Erd"os–Rényigraphs【S1】和α=0.5，δ=0.2，τcis显示为不同链路密度p下网络大小N的函数。关键互动时间与家庭数量成比例，与链接密度成反比。0 50 100 150 200 250 300时间步长24.624.825.025.2聚合资本KErd s Rényi，n=5000，k=200，=500，=10%0 50 100 150 200 250 300时间步长202224聚合资本KErd s Rényi，n=1000，k=200，=100，=10%0 50 150 200 250 300时间步长24.7525.0025.2525.50聚合资本KErd s Rényi，n=1000，k=200，=500，=10%图S6：不同Erd"os–Rényi图的各种振荡模式。参数在图的标题中给出。