简单行为模型中的涌现不等式与内生动力学

（4） 该近似值如图1中的绿色所示，并在整个稳定状态下提供了良好的拟合。经典RCK模型中的最优储蓄率取决于贴现率ρ，这是一个自由参数。如SI所示，替换s*从式[4]到经典RCK模型的关系，我们的模型根据社会互动时间τ和折旧率δ，ρ（τ）=δ/2eδτ/2给出了有效的折扣- 1.（5）0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.000.250.500.751.00储蓄率时间演化0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500051015资本Ki0 500 1000 2000 2500 3000 35000.40.50.6s0.0 1.0历史图SI101101KI10 12 Y91011产出图2：振荡状态下的内生商业周期。我们展示了τ>τc时的几个时间序列。左上面板显示了四个随机选择的家庭的储蓄率si（t）随时间的变化，以及总储蓄率s。左中面板显示了相同四个家庭的资本Ki（t）随时间的变化。左下面板显示了叠加在总储蓄率上的总产出的循环行为。右侧的面板是所示变量的直方图，在较长的时间间隔内累积。极限为τ→ 0，折现率ρ→ ∞, 与观察到的集体近视行为一致。但对于τ→ ∞, ρ → 因此，在这种情况下，个别近视家庭的集体行为“好像”他们是有远见的，紧急有效贴现率ρ（τ）不是一个自由参数，而是社会互动时间τ的函数。了解振荡区域（τ>τc）以更深入地了解振荡区域中发生的情况，其中τ>τc，在图3中，我们阐释了集体和个体动力学。在图中。

3A我们将人均消费率c表示为平均资本k的函数。这说明了总消费和资本如何围绕最佳稳态（k）运行*, c*) 标准RCK模型，生成商业周期。关于最优储蓄率s*=在theRCK模型的0.5中，有效总储蓄率s通常大于s*当系统低于最佳曲线且小于s时*当它高于最优性曲线时。这很有趣，因为最优性曲线是通过在有限的时间范围内优化家庭消费获得的，而我们的模型没有明确的优化。为了了解个人层面的情况，在图3B中，我们绘制了两个不同时期所有家庭的资本与储蓄率的快照，时间t。此时，经济刚刚开始从衰退中复苏。有两组家庭，分别对应于右上角的富裕家庭和左下角的贫困家庭。更多的家庭贫困，因为根据r，回报r与总资本成反比∝ K-1+α，其中α=0.5，这意味着投资回报率很高。当蓝色显示的家庭有机会更新其储蓄率时，它复制其中一个富裕家庭的更高储蓄率，如箭头所示向右过渡，并开始通过储蓄更多来积累资本。其他家庭紧随其后，最终经济达到了时间t下面板所示的状态，在那里，许多家庭储蓄率很高，而且很富有。由此产生的资本过剩使得储蓄回报率较低，再加上他们的高储蓄率，导致这些家庭的消费下降。

因此，当没有一个富裕家庭轮到更新时，它会复制一个储蓄率低的家庭，并继续疯狂消费。在这一点上，它的消费率变得非常高，所有邻国都效仿它，在降低总储蓄率的同时，创造了消费热潮。大多数家庭最终会变得贫困，这种循环会重演。这些动力学在补充材料中也作为动画给出。t“A Bt#图3：振荡区的内生动力学。A： 我们绘制了人均消费c与人均资本k的对比图，并将总储蓄率s显示为大于0.5时为红色，小于0.5时为蓝色。轨道围绕最佳稳态（k）运行*, c*) 标准RCK模型，位于虚线优化曲线和实心黑色˙k=0线的交点处。每个点对应一个时间步；轨道是逆时针的。B： 振荡动力学原因的说明。如图A所示，这两个面板显示了两个不同时期的快照。当时，总储蓄率低，总资本低，经济萧条；在时间t，情况正好相反。单个家庭的资本和储蓄率以不同颜色的点显示。有两个集群，分别对应富户和贫困户。当前正在转换储蓄率的家庭由一个箭头指示，该箭头将其以前的状态连接到当前状态。

黑色虚线曲线表示消费量最高的家庭I的iso消费曲线。临界社会互动时间什么决定临界社会互动时间τc？模拟最佳启发式结果的近似值在时间范围τ上是最优的行为有助于理解驱动过渡的不稳定性。假设外部冲击的大小 使总储蓄率s偏离s*, 假设家庭i被允许优化其储蓄率Si，而其他家庭保持其不变。数值研究表明，当τ τcT计算的最佳储蓄率保持在接近于▄s。相反，当τ τc，如果 > 0则最佳储蓄率非常小，接近0，如果 < 0最佳储蓄率很大，接近1（见图S3）。发生这种情况是因为 > 0总储蓄率很高，因此投资回报率很低，这阻碍了储蓄。同样，当 < 0总储蓄率低，因此投资回报高，这鼓励了储蓄。这会破坏s周围的单模型解的稳定性*. 虽然精确值取决于.网络大小和结构到目前为止，我们在模拟中使用了完整的网络，但通常情况下，行为取决于网络大小和结构。例如，我们研究了平均度hki=N p的Erd"os–Rényi网络，其中p是任意两个节点连接的可能性。关键社会互动时间τcdepends在hki和N上（见图S4和S5）。从任何给定节点开始，每次移动一条链路，到达的邻居数以hki的速率随时间呈指数增长。

干扰在网络中传播所需的典型距离是平均最短路径长度χ，定义为从任何给定节点到任何其他节点必须穿过的平均节点数。基于这一逻辑，我们研究了τc、χ和hki之间的经验关系，发现了τc的比例~ e-χ/hki。（6） 图4显示，这可以很好地预测τc。因为χ随N增加而增加，在大N极限下，系统始终处于振荡状态。改变网络大小和结构参数也会导致振荡性质发生质的变化，从而影响其频率、幅度和可变性。（参见SI中的一些示例）。1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2Avg。最短路径长度102103104kcfittedN=100N=200N=300N=400StableRegimeOscillatoryRegime图4：关键社交时间取决于网络属性。绘制的邻域平均数hki乘以临界相互作用时间τcis的对数与不同N和p值的平均最短路径长度χ的对数，符合式[6]。稳定区（τ<τc）用蓝色阴影表示。讨论我们在这里的主要目的是通过演示如何从异质行为模型中自然产生新兴的不平等和内生性动力学，提出一个概念性观点。尽管如此，我们的模型预测，在衰退期间，储蓄率在产出上升之前上升（见图2）。在19个经合组织国家的私人储蓄中观察到了这一点[2]。虽然我们的模型有两个随机输入，但它们很小，并且在性质上与驱动标准模型动力学的冲击截然不同。第一个随机输入决定了各个家庭在泊松过程下更新储蓄率的时间。

这必须是随机的，以确保家庭更新储蓄率的顺序不同。（固定订单导致静态经济）。第二个随机输入是储蓄率的复制错误。这很小（1%），其值对行为影响不大。与影响整个经济的标准冲击不同，这两种投入都是在单个家庭层面上进行的，对每个家庭的影响不同。对于许多家庭来说，复制错误可以抵消，但内生动力仍然存在。因此，虽然随机输入在我们的模型中是必要的，但它们不会像标准模型的冲击那样直接推动繁荣和衰退。这就是为什么我们说我们模型中的经济动态是内生的。为了说明我们的模型与标准宏观经济模型之间的概念差异，有必要对一个简单的物理系统进行分析。考虑一下杆的平衡问题，在这个问题中，一个人试图移动他的手来保持杆处于垂直位置，如图5所示。短杆比长杆翻转得更快，图5：杆平衡问题类似于在不稳定的经济中优化储蓄的问题。一名男子试图将一根杆子保持在相反的位置。如果极点足够长，这是可能的，但控制过程中的小误差会导致极点角度的内生振荡。使其无法保持垂直位置，因为在人做出反应之前，杆会翻转。然而，如果电杆足够长，男子可以移动手进行补偿，并将电杆保持在大致垂直的位置。当磁极长度约为一米时，稳定性和不稳定性之间会出现一个急剧的临界过渡。

尽管如此，即使磁极很长，也不可能保持完美的垂直位置，磁极也会大幅振荡。一个标准宏观经济模型风格的论点将假定人是一个完美的极点平衡器，角度的任何偏差都必须由外部冲击驱动，例如突然导致极点偏离垂直方向的阵风。在这种观点下，每次电击后，人都会完美地移动手，使极轴尽可能快地再次转动，但在他能够做到这一点之前，另一次电击击中了极轴，使极轴围绕其垂直位置振荡。对于极点平衡，很明显，这种解释是错误的。相反，假设振荡是由不完美控制内生引起的理论提供了更好的解释。从经验上证实这一点并不重要——只需尝试平衡60厘米的杆即可。对130厘米。我们的建议是，我们也应该重新审视对商业周期的概念性解释。在上面的类比中，男人的手的位置就像家庭储蓄决策的集合，而极/重力系统就像经济。我们的模型支持这样一种观点，即商业周期中发生的储蓄和投资变化至少有一部分是由于家庭和企业的不完善推理而内生的。我们的模型还表明，具有异质性的模型可能有助于阐明商业周期与不平等之间的相互作用。

如此丰富的行为产生于如此简单的模型，这一事实支持了基于经验衍生行为规则的宏观经济学研究议程。资料和方法发布后，将在此处提供源代码（Python）。标准RCK模型在我们的标准RCK模型公式中，我们遵循[1，p.287–317]，[4，p.85–135]，并使用连续时间，如原始[37]所示。为了简洁起见，我们忽略了劳动力增长。假设柯布-道格拉斯生产函数Y=KαL1，则使用固定数量的劳动力L和不同数量的资本支出，经济产生一个单一的计价商品Y-资本和劳动力弹性α，1-α ∈ (0, 1). 因此，人均产量y=y/L是人均资本k=k/L的函数，仅y=kα。该模型假设完全竞争的要素市场，因此这两个要素根据其边际产品进行补偿，给出工资和资本租金SW=LY=（1- α） y，r=KY=αy/k，（7），从而将计价商品完全重新分配给家庭，使代表性企业没有利润。利率的主要模型参数是储蓄率s≤ 1和资本折旧率δ>0，控制总资本和人均资本增长，˙K=s（rK+wL）- δK，˙K=(R)rk+w- c、 （8）式中，r=r- δ是实际回报率，c=（1- s） （rk+w）是人均消费量。家庭的目标是最大限度地提高其贴现总效用r∞dt e-ρtu（c（t）），通过选择储蓄率的最优路径s（t），其中ρ>0是其贴现率。对于瞬时效用，假设一个由θ参数化的常数相对风险规避（CRRA）函数≥ 0，θ6=1，u（c）=（c1-θ-1)/(1 -θ).

这个问题的解决方案完全符合拉姆齐-凯恩斯方程，该方程给出的相对消费增长率为˙c/c=（\'r-ρ） /θ，尤其是，该系统有两个稳定状态，c=0，一个平凡的状态，其中c=k=0，另一个状态，实际回报率等于贴现率，\'r=ρ，对应于修改后的“黄金法则”[1，p.300]，资本、消费和储蓄率由k给出*=αρ + δ1.-α、 c类*= k*α- δk*, s*RCK=αδρ+δ。（9） 对于极限情况ρ→ 0，这再现了索洛模型的黄金法则[4，p.35]，s*RCK=sgold=α，导致最大可能的可持续消费，c*=(1-α)(α/δ)α/(1-α). 当ρ>0时，贴现率会促使家庭储蓄减少，并将消费转向现在。感谢Paul Beaudry、Jean-Philippe Bouchaud、Roger Farmer、Cars Hommes、Ulrike Kornek、Bastian Ott、MartinBraml、Marco Pangallo和Frederik Schaff提出的宝贵意见和建议。YMA由AIMS的EPSRCCDT（EP/L015897/1）资助，JDF由贝利·吉福德和新经济思维研究所资助。参考文献【1】D.Acemoglu。现代经济增长导论。普林斯顿大学出版社，2009年。[2] Y.阿德玛和L.波齐。oecd国家的商业周期波动和家庭储蓄：面板数据分析。《欧洲经济评论》，79:214–2332015。[3] T.P.Ballinger、M.G.Palumbo和N.T.Wilcox。预防性储蓄和跨代社会学习：一项实验。《经济杂志》，113（490）：920–9472003。[4] R.J.Barro和X.Sala-i Martin。经济增长。麻省理工学院出版社，2004年。[5] P.Beaudry、D.Galizia和F.Portier。恢复宏观经济波动的极限周期观点。技术报告，国家经济研究局，2015年。[6] P.Beaudry、D.Galizia和F.Portier。将周期重新纳入商业周期分析。CEPR讨论文件编号：DP116472016。[7] S.Benartzi和R.H。

泰勒。短视的损失厌恶和股权溢价之谜。《经济学季刊》，110（1）：73–921995年2月。[8] B.J.L.Berry、L.D.Kiel和E.Elliott。自适应代理、智能和紧急人类组织：通过基于代理的建模捕获复杂性。《美国国家科学院院刊》，99（补充3）：7187-71882002年5月。[9] L.Blume和D.Easley。进化和市场行为。J、 经济。《理论》，58（1）：1992年9月至40日。[10] M.Boldrin和L.Montrucchio。资本积累路径的不确定性。《经济理论杂志》，40（1）：26–391986年。[11] M.Boldrin和M.Woodford。显示内生波动和混沌的平衡模型：综述。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1992年。[12] W.A.Branch和B.McGough。具有异质期望的新凯恩斯主义模型。《经济动力学与控制杂志》，33（5）：1036-10512009。[13] A.L.Brown、Z.E.Chua和C.F.Camerer。动态储蓄实验中的学习和本能诱惑。《经济学季刊》，124（1）：197–2312009。[14] E.Carbone和J.Duffy。生命周期消费计划、社会学习和外部习惯：实验证据。《经济行为与组织杂志》，106:413–4272014。[15] J.J.Choi、D.Laibson、B.C.Madrian和A.Metrick。强化学习和储蓄行为。《金融杂志》，64（6）：2515–25342009。[16] H.Dawid、P.Harting和M.Neugart。经济趋同：异质代理模型的政策含义。《经济动力与控制杂志》，44:54–802014。[17] R.H.日。古典经济增长中出现的混乱。Q、 J.经济。，98(2):201–213, 1983.[18] P.De Grauwe。动态随机一般均衡（dsge）模型的科学基础。《公共选择》，144（3）：413–4432010年9月。[19] P.德格劳威。动物精神与货币政策。