动态均值-方差投资组合优化

注意到这个性质，我们有一个命题：命题1。动态均值-方差优化器的最优股票投资策略由θ给出*t=ut- rγσe-r（T-t）- （St英尺St+ρνtσt英尺St）e-r（T-t） （3.19）式中，ft=Et[W*T]- Wter（T-t） =Et[RTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]表示股票投资的预期总收益者损失从上述表达式中，我们观察到最优政策由两部分组成，即ut- rγσ作为夏普比率[]与风险规避γ结合。通常，它会告诉投资者资产的回报对所承担风险的补偿程度。基于夏普比率进行投资是一种仅在下一个小时间间隔内优化回报的策略，没有需求”。其次，对冲需求是在动态优化目标下补偿未来波动的结果。此外，期限（St英尺St+ρνtσt英尺St）意味着预期投资组合收益对股价的敏感性(英尺St）和驱动套期保值需求的状态变量条件（ρνtσt），这为影响策略的因素提供了直觉。我们实际上可以定量地展示这种关系。股票和状态变量的召回动态由dst=uStdt+σStdwt，dXt=mtdt+νtdwXt给出，wt和wxt之间的相关性为ρ。我们将对冲条款改写如下：-St公司英尺St+ρνtσt英尺St=-σtdt（Stσt英尺Stdt+ρνtσt英尺Stdt）=-σtdt（cov（σtdwt，Stσt英尺标准载重吨+英尺XtνtdwXt））=-σtdtcov（dStSt，dft）（3.20）从上面的表达式来看，套期保值需求是正（负）的，当短期股票在一个小的区间内，股票与投资组合收益之间存在负相关，这意味着一个方差目标。因此，负相关导致正对冲需求。在命题1中，我们推导了最优策略的表达式。

然而，3.19仅给出了*T- Wter（T-t） EtRTtθ*sus- rer（T-s） DSComputeable公式。我们现在的目标是获得最优政策的表达式，在定义ft时明确使用ut，σt，mt，νt策略3.19：ft=Et[ZTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]=Et[ZTtγ（us- rσs）ds]- Et[ZTt（Ssfs公司Ss+ρνsσsfs公司Ss）（us- r） ds]（3.21）期限源自对冲需求。为了避免第二项妨碍我们进行显式计算，我们现在寻求一种可能消除对冲影响的概率度量。注意FT+Wter（T-t） =Et[W*T] 是鞅，然后对其应用Ito\'sLemma，得到：d（ft+Wter（T-t） （）=ftdt公司+f十二烷基硫酸钠+fXdX公司+f十二烷基硫酸钠+fXdX公司+fSXdSdX+[（ut- r） rσt- （StfS+ρνtσtftX- t） ]dt+[（ut- r） rσt- （StσtfS+ρνtftX- t） ]载重吨（3.22），自英尺+重量（t-t） 是鞅，上面的dt部分必须为零，即：ft+rStfS+（mt- ρνtut- rσt）fX+（σtStfS+νtfX+2ρνtσtStf十、S） +γ（ut- rσt）=0（3.23），根据费曼-卡克定理，3.23给出了以下方程的唯一解：ft=E*t[ZTtγ（us- rσs）ds]（3.24），其中*t[·]表示概率测度下的期望*. 底部*, stock和state变量适应以下过程：dStSt=rdt+σtdw*t（3.25）dXt=（mt- ρνtut- rσt）dt+νtdw*Xt（3.26）带dw*t=dwt+ut- rσtdt，dw*Xt=dwXt+ρut- rσtdt（3.27）保持近视项。因此，我们可以参考新的措施*作为对冲中性措施。此外，如果市场是完整的（ρ=±1），对冲中性措施与风险中性措施一致。然后，我们将上述发现总结为命题2：命题2。

最优投资政策表示为：θ*t=ut- rγtσe-r（T-t）-（StE*t[RTtγ（us-rσs）ds]St+ρνtσtE*t[RTtγ（us-rσs）ds]St）e-r（T-t） （3.28）其中预期投资组合收益表示为：ft=f（St，Xt，t）=E*t[ZTtγ（us- 对冲中性措施下的rσs）ds]（3.29）*, 其中，具有相关ρ的两个标准布朗运动由：dw给出*t=dwt+ut- rσtdt，dw*Xt=dwXt+ρut- rσtdt（3.30）P到P的Radon-Nikodym导数*由：dP给出*dP=e-RT（us-rσs）ds-RTus-rσSDW（3.31）以市场本身为特征。对于分析解决方案无法注意到必须在对冲中性措施下进行模拟的情况*, 部分导数可以重写为Malliavin导数，以便通过蒙特卡罗进行调整。3.3博弈论解释我们回顾，对于DMVO，时间不一致性是阻碍动态编程的障碍。我们使用总方差的“神奇”公式处理了这个问题。然而，这并非纯粹的巧合。在推导HJB方程时，我们假设我们已经选择了最优策略，即在博弈中达到纯策略纳什均衡。更准确地说，我们假设在投资期的每个时间点都有很多参与者【0，T】。每个参与者采取一个投资策略θtsuch，即值jtt，TJtJθt，St，Xt，tθt。纯策略纳什均衡点θ*应满足以下两个条件：o固定时间t。对于任何时间s∈ （t，t），站在时间s处的玩家将对θ作出反应*.o给定目标函数jt和财富约束，θ*也应该是站在t的玩家的最优策略。因此，如上所述的平衡点应该满足HJB方程3.14，并且与我们的最优策略一致，该最优策略采用明确的形式3.28.3.4对最优最终财富结果的分析：owtwtρwtwXt。

然后我们可以写：dwt=p1- ρ（dwXt- ρdwt）o替换θ的表达式*在3.28到3.11中，应用伊藤引理，我们得到：d（Wter（T-t） ）=-干膜厚度+ut- rγσtdwt+q1- ρνt英尺Xtdwt（3.32）将3.32从t积分到t，我们可以得到最优财富。其均值、方差和值函数JT可以相应地导出。我们将结果总结为以下命题：命题3。对于DMVO目标，终端财富、其均值、方差和价值函数由以下公式给出：W*T=Wter（T-t） +ft+γZTtus- rσsdws+q1- ρZTtνsfs公司Xsdws（3.33）vart[宽*T] =γEt[ZTtγ（us- rσs）ds]+（1- ρ） Et[νs(fs公司Xs）ds]（3.34）Et[宽*T] =Wter（T-t） +英尺（3.35）Jt=Wter（t-t） +英尺-2γEt[ZTtγ（us- rσs）ds]-γ(1 - ρ） Et[νs(fs公司Xs）ds]（3.36）最优财富由两个无风险条件表示（T-t） +Ft和两个风险术语γRTtus-rσsdwsp1- ρRTtνsfs公司XsdWSRISK条款由可对冲来源γRTtus生成-rσsdwsand a unhedgeable sourcep1- ρRTtνsfs公司Xsdws，这是由于市场的不完全性以及股票和状态变量之间的协同运动。此外，它们也是方差的驱动因素。对冲术语γEt[RTtγ（us-方差中的rσs）ds]完全依赖于状态变量。然而，对于第二个ρ，如果两个市场之间的完整性ρ很接近，则此推断可能不正确，因为对状态变量的敏感性也受ρ的影响，其中关系错综复杂，结论因不同的经济环境而异。此外，市场不完全性ρ也会影响平均最优财富。如前所述，较低的|ρ|会导致较低的对冲需求。具体而言，市场不完全程度越高，投资者的积极需求越低，从而导致预期的最终财富越低。最后，值函数的结果是不确定的。

在完全市场中，当套期保值需求为正时，期望最优财富较高，方差较低。然而，当对冲需求为负时，这种关系是模糊的，因为预期最优财富越低，方差越小。3.5预承诺策略在本章开始时，我们讨论了DMVO目标的问题是更迟的，我们推导了一个时间一致的投资政策，该政策既能在瞬间实现DMVO目标的最大化，又能使投资者在以后改变政策的动机最大化。现在，我们关注第二种解决时间不一致性的方法，即预承诺。遵循预承诺策略的投资者在时间0时将其价值函数最大化，并且不允许她在未来对其进行调整。此外，如果我们限制投资者在投资期内坚持其初始政策（例如，债权人订立的一些契约），那些选择时间一致性策略的人将不会调整其政策，因此，预承诺投资者在初始价值函数方面拥有优势。还值得一提的是，与时间一致性策略相比，DMVO objectiveconsider预承诺策略的问题分析解决方案是一个很好的基准。众所周知，不完全市场中的预承诺策略是一个复杂的问题。因此，我们将在完整的市场环境下演示该策略。我们定义了一个价格密度过程ξt，它表示某一状态下某一单位财富在时间t时的每单位概率的价格：ξt=ξe-rt公司-Rt（us-rσs）ds-Rtus-rσsdws（3.37）这不是一个陌生的结果，因为我们记得在对冲中性度量中*, theRadon-Nikodym导数由-Rt（us-rσs）ds-Rtus-rσsdws。承诺策略下的DMVO目标制定为：maxWTE【WT】-γvar【WT】（3.38）s.t。

E[ξ行波管]≤ W（3.39）为了获得解析解，我们推导了拉格朗日数：L=E【WT】-γvar[重量]- λ（E[ξ行波管]- W） （3.40）一阶条件如下所示：1- γ^WT+γE【^WT】- λξT=0（3.41）注意到性质E[ξTerT]=1，E[WT]=1，取ξ=1，我们得到：^WT=γ（1+γEt[^WT]- ξTerT）（3.42）将3.42替换为等于约束3.39，我们得到了解析解，它由以下命题表示：命题4。平均方差优化器在预承诺下的最优终端财富由：^WT=WerT+γE[ξT]e2rT给出-γξTerT（3.43），根据州价格密度重写：W*T=WerT+γE[ξTerTZT（us- rσs）]-γ[lnξT+rT+ZT（us- rσs）ds]（3.44）两种策略得出的结果通常不同，如上所示。然而，可以证明，在短决策区间内，3.43中给出的预承诺设定下的财富是时间一致性最优终端财富3.44给出的财富的二阶近似值。此外，风险的市场价格或夏普比率，us- rσS可用作比较指标。我们注意到，当夏普比率等于零时，两种财富重合。此外，如果夏普比率设置为常数，则两种策略的最佳财富会变得更具表达力和信息量。

我们将结果总结为以下命题：命题5。us- rσsu- rσ-投资者在预承诺策略和时间一致策略下的最优财富，^wt和W*T、 由以下公式得出：^WT=WerT+γe（u-rσ）T-γξTerT=WerT+γe（u-rσ）T-γe-(u-rσ）T-u-rσwT（3.45）W*T=WerT+γ（u- rσ）T-γ[lnξT+rT+（u- rσ）T]=WerT+γ（u- rσ）T-γ(u - rσ）wT（3.46）通过一些简单的代数，可以很容易地证明^wT>W*T、 这是一个期望的结果，可以应用参数方法（例如，Breeden和Litzenberger（1978）[]）或非参数方法（Ait Sahalia和Lo，1998[]）从amarket来源估算价格密度ξ。第4章应用和实际结果在本章中，我们说明了该策略的有用性，并且在3中获得的理论结果基于一个仅包含一只风险股票的市场，我们将首先推导出股票由恒定方差弹性（CEV）模型驱动的显式经济环境。最后，我们在第4.34.1节多个股票公式中展示了不同策略的实际表现。我们希望在本节将第3章中的发现扩展到多变量情况。与两个相关的布朗变量不同，具有nrisky资产和kstateviables的市场具有由两个布朗运动向量sw=（w，…，wN）T，wx=（wX1，…，wXK）TwithN×k相关矩阵ρ=（ρnm）生成的不确定性。每个元素ρnM表示与wxM之间的相关系数，其中1≤ n≤ N≤ m级≤ K、 我们还表示u=（u，…，uN）Tas为预期收益向量，σ=（σ，…，σN）Tas为协方差矩阵，σiσi1。。。，σiNwj。投资者也可以选择投资一种利率不变的无风险债券。然后，库存S=（S，…，SN）t以下过程：dSitSit=ui（St，Xt，t）dt+σt（St，Xt，t）Tdwt（4.1），对于所有1≤ 我≤ N

类似地，状态变量如下：dXjt=mj（Xt，t）dt+νt（Xt，t）TdwXt（4.2），对于所有1≤ j≤ K、 andm=（m，…，mK）T，ν=（ν，…，νK）皮重状态特征定义类似于u。利用上述符号，财富过程由：dWt=[rWt+θTt（ut- r） ]dt+θTtσtdwt（4.3），其中θt=（θ1t，…，θNt）是在时间t投资于每只股票的资金向量。遵循DMVO目标的投资者旨在解决以下问题：maxθE【WT】-γvar【WT】（4.4）s.t.dWt=【rWt+θTt（ut- r） ]dt+θTtσtdwt上述目标对应于单个股票案例中的目标。我们可以建立一个调整后的价值函数和HJB方程，并根据预期收益推导出最优策略。我们将结果总结在下面的命题中，这实际上是命题2的一般化版本：命题6。多重股票市场中的最优时间一致性投资策略由θ给出*t=γ（σtσTt）-1（ut- r） e类-r（T-t）- （诊断（St）(英尺St）T+（νTρTσ-1吨）(英尺St）T）e-r（T-t） （4.5）其中预期投资组合收益ftis由以下公式得出：f（St，Xt，t）=E*t[ZTtγ（us- r） T（σsσTs）-1（us- r） ds]（4.6），其中*t[·]是对冲中性点下的预期*. 具有相关矩阵ρ的两个标准布朗运动由：dw给出*t=dwt+σ-1（ut- r） dt（4.7）dw*Xt=dwXt+ρTσ-1t（ut- r） dt（4.8）和P到P的Radon-Nikodym导数*由：dP给出*dP=e-RT（us-r） T（σsσTs）-1（us-r） ds公司-RT（σ-1s（us-r） ）Tdws（4.9）最优政策包括一个短视期限和一个对冲期限，这并不奇怪。此外，我们还应该注意到，交叉相关性的影响通过对冲需求的第二个期限进入。应用第3章中使用的类似技术，我们还可以获得最佳的终端财富：W*T=Wter（T-t） +ft+γZTt（σ）-1s）T（us- r） dws+qI- ρρTZTtνs(fs公司Xs）Tdws（4.10）4.2本节中的恒定方差弹性（CEV）。各种文献中有不同的表述。

这里，在第3章中的类似市场设置下，股票应遵循以下CEV过程：dStSt=udt+(R)σSα/2tdwt（4.11），其中α表示瞬时股票回报的弹性。值得注意的是，varianceterm现在变成了σSαt，当α=0时，CEV过程被简化为几何布朗运动。期权定价理论已经对这一过程进行了很好的研究，尤其是当研究人员想要用厚尾模型来模拟股票价格时。一个有趣的特性是，股票价格大致遵循非中心卡方分布（Lindsay&Brecher，2010）[]。此外，α<α>[]。这是我们在第4.3节中用于分析策略绩效的一个重要结果。有了DMVO目标，就可以导出最优策略的显式形式，如下所述。这里省略了证明，因为这不是我们在本节中的主要兴趣。提案7。CEV模型下的最优时间一致性策略由θ给出*t=ut- rγ′σSαte-r（T-t）-γ（ut- r′σSα/2t）e-αr（T-t）- 1re-r（T-t） （4.12）如果市场由多个股票组成，最优政策将采用θ的形式*t=γ（σtσTt）-1[（ut- r） Sαt]e-r（T-t）-γ（σtσTt）-1[（ut- r） Sαt]e-r（T-t） （4.13）其中表示按Hadamard元素划分。从上述结果中，我们注意到第二项，即套期保值需求，受到弹性α的很大影响。此外，根据术语-αr（T-t）-1、正弹性导致正Hedging需求。还有一种定性解释：正弹性意味着夏普比率随着股票价格的上涨而下降，从而导致股票回报和预期投资组合收益之间的负相关。

利用第3章中的类似推理，负相关性给出了正的套期保值需求。4.3实际结果在本节中，我们想从实践的角度证明上述策略的有用性。我们选择了两个不同的来源：一个是真实的市场数据，另一个是模拟的股票数据。由于完整的结果需要一些涉及复杂蒙特卡罗过程的参数估计，我们将其简化为常数参数。因为财富并不影响我们的投资政策，投资政策代表的是投资股票的资金，所以讨论战略的绝对财富是没有意义的。相反，我们根据趋势评估战略。4.3.1数据描述考虑到长期和低波动性，我们选择从10年期内选择每周股票价格。为实际使用准备了两组数据。首先，市场由标准普尔500指数前20名的组成部分组成。没有10年有效期的股票将被废除，例如Facebook。所有数据均从Yahoo Finance下载。为了证明策略的有效性，我们还根据微分几何布朗运动（GBM）和CEV生成了股票。数据摘要如下：o真实数据：标准普尔500指数前20名。2007年10月29日至2017年11月1日的10年期周股价（523个时间戳）。o模拟数据：模拟数据的两个子集，分别来自GBM和CEV。10年一周的价格，每个子集50只股票。平均回报率设定为12.5%。