动态均值-方差投资组合优化

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英文标题：
《Dynamic Mean-Variance Portfolio Optimisation》
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作者：
Xiang Meng
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The portfolio optimisation problem, first raised by Harry Markowitz in 1952, has been a fundamental and central topic to understanding the stock market and making decisions. There has been plenty of works contributing to development of the mean-variance optimisation (MVO) so far. In this paper, one kind of them, namely, dynamic mean-variance optimisation (DMVO) is mainly discussed. One can apply either precommitment or game-theoritical approach to address time-inconsistency in DMVO. We use the second approach to seek for a time-consistent strategy. After obtaining the optimal strategy, we extend the result to a CEV-driven economy. In order to prove the usefulness of them, strategies are fit into both real market data and simulated data. It turns out that the strategy whose assumptions are close to market conditions generally gives a better result. Lastly, a selected strategy is chosen to compare with another strategy came up by deep learning technique.
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中文摘要：
投资组合优化问题是哈里·马科维茨于1952年首次提出的，它一直是理解股票市场和决策的一个基本和中心话题。到目前为止，已有大量的工作致力于均值-方差优化（MVO）的发展。本文主要讨论其中的一种，即动态均值-方差优化（DMVO）。可以应用预承诺或博弈论方法来解决DMVO中的时间不一致性。我们使用第二种方法来寻求时间一致的策略。在获得最优策略后，我们将结果推广到CEV驱动的经济。为了证明这些策略的有效性，我们将这些策略与真实市场数据和模拟数据进行了拟合。事实证明，假设接近市场条件的策略通常会产生更好的结果。最后，选择一种策略与深度学习技术提出的另一种策略进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynamic_Mean-Variance_Portfolio_Optimisation.pdf (866.97 KB)

2022-6-24 07:43:22 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimisation Mathematical Quantitative

Meng Xiang动态均值方差组合优化主管：新加坡国立大学数量金融系助理教授Zhou ChaoQF4199荣誉项目2017/2018致谢我想向帮助我实现这一目标的人表示感谢。首先，我要感谢我的导师周超教授。你的引导和耐心是促使我进行这项研究的最重要因素。我还需要感谢我的父母，当我感到失落时，他们一直在鼓励我。没有你的持续支持，完整的工作就不可能完成。iiAbstractThe portfolio Optimization problem，由哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年首次提出，一直是理解股票市场和决策的一个基本和中心话题。到目前为止，已有大量的工作致力于均值方差优化（MVO）的发展。本文主要讨论其中的一种，即动态均值-方差优化（DMVO）。人们可以应用预承诺或博弈论方法来解决MVO中的时间不一致性问题。我们使用第二种方法来寻求时间一致的策略。在获得最优策略后，我们将结果推广到CEV驱动的经济。为了证明这些策略的有用性，将这些策略整合到实际市场数据和模拟数据中。事实证明，假设接近市场条件的策略通常会给出更好的结果。

最后，选择一种策略与深度学习技术提出的另一种策略进行比较。iiiContents1简介12均值-方差优化43动态均值-方差优化73.1市场假设73.2 DMVO政策的确定83.3博弈论解释153.4最优终端财富分析163.5预承诺策略184应用和实际结果214.1多股公式214.2恒定方差弹性（CEV）234.3实际结果244.3.1数据描述254.3.2设计和方法254.3.3结果和讨论265机器学习基准32A精选股票列表36A。1精选标准普尔500指数股票36A。2精选新加坡交易所股票38参考文献40IV第1章简介在现代数学金融中，投资组合优化一直是理解股市和决策的基础和核心。1952年，哈里·马科维茨（HarryMarkowitz）在该地区取得了重大突破[]，他的理论通常被称为现代投资组合理论（ModernPortfolio theory，MPT）。该理论为投资者应如何在所有可能的资产组合中分配资金这一基本问题提供了答案。马科维茨之前的所有理论都被投资回报和风险之间的权衡所阻碍。Markowitz使用样本均值和方差的统计度量对收益和风险进行了量化，并进一步表明，为了做出非最优选择，收益和风险应该一起考虑。这一理论在投资决策方面发生革命性变化的原因有几个。首先，该理论表明，投资组合的风险不仅取决于各个组成部分的风险，还取决于它们的共同运动。

相应的定性原则旨在选择在当前价格下能够产生最高未来现金流的证券。然而，马科维茨的投资组合理论表明，在一定的预期回报水平下，AHA中各成分之间的相关性是最小方差。除了Markowitz最初的出版物之外，迄今为止已有大量的工作对均值方差优化（MVO）的发展做出了贡献。本文主要讨论其中的一种，即动态均值-方差优化（DMVO）。traditionalMVO被认为是一种静态策略，因为它只在每个时间点优化投资组合。相比之下，DMVO寻求一种能够在每个瞬间间隔和整个投资周期内优化财富的战略。MVO的一个主要障碍是Bellman最优性原则不适用于MVO的多周期设置。所指对象不明确，无法直接应用动态规划。在针对DMVO的研究中，人们通常采用两个连续的时间设置来处理时间不一致性。对于离散时间的情况，Li和Ng（2000）[]提出了嵌入技术。他们将时间不一致问题转化为随机线性二次型（LQ）控制问题。第二个解决方案是采用博弈论的观点，这是本文的主要主题。请注意，时间不一致的本质是投资者可以偏离未来的最优政策，在下一个瞬间区间内获得最优。Strotz（1955年[]研究了确定性拉姆齐问题。在DMVO方面，Basak和Chabakauri（2010年）[]是第一位使用博弈论方法解决问题的作者。作者巧妙地调整了时间不一致的更一般的术语。

该方法研究动态目标函数的一般形式，能够处理不同的市场环境和一组特定的随机控制问题。Bjork、Murgoci和Zhou[]在2014年进一步研究了一般风险规避案例。在他们的研究中，风险规避被视为财富的函数而不是常数，并使用动态规划导出线性系统解。他们还导出了一个具体案例的显式解，研究了它的实际行为，并证明它在经济上是合理的。本文组织如下：在第2节中，我们回顾了经典的MVO问题。市场数据的非实质性结果。两组市场数据，一组来自现实世界，另一组来自理论，我们比较了我们的“理论”策略与长期短期记忆（LSTM）策略下的结果，这是一种应用深度学习技术的代表性方法。第2章均值方差优化假设股票市场考虑风险资产。。。，序号：。将其平均收益表示为uuu，u。。。，unσij由向量ωω=（ω，ω，…，ωn）表示，其中每个ωi表示投资于股票i的资金比例。投资组合均值和方差是投资组合收益和风险的代表，分别由u=ωTωTωTuu和σ=ωTωTωT∑ωω给出。本文假设协方差矩阵为正定义，即每ωω6=，ωTωTωT∑ωω>0。该约束确保由S、S、…、。。。，其他人无法复制SN。给定一定水平的预期投资组合回报，人们寻求一个风险最小化的投资组合。MVO问题的形式为：minωTωTωT∑ωω（2.1）s.T.1TωTωTω=1（2.2）ωTωTωTu≥ u（2.3）该公式满足正常投资情况。

对于某个市场，根据市场特征和全球趋势，投资组合经理应该考虑最低的预期回报。然而，风险似乎并不明显。然后很自然地确定了投资的目标，例如，根据投资组合风险的上限，最大化预期回报。我们观察到，对于上述问题，如果我们将最后一个约束设置为相等，则MVO将成为一个二次问题，可以使用拉格朗日乘子方法解析求解。在这种情况下，问题被表示为最小ωTωTωT∑ωωω（2.4）s.T。1TωTωTω=1（2.5）ωTωTωTu=u（2.6）可能的解析解。然而，它偏离了现实，因为并没有投资组合经理需要精确的回报水平（事实上，回报越多越好）。这也是为什么投资经理很少直接使用该策略的原因。尽管如此，我们将在第4章中看到，该战略仍然为我们提供了一些启示。为了解决这个问题，我们首先得到拉格朗日：L（ωωω，λ，λ）=ωTωTωT∑ωω- λ（1TωTωTω- 1) - λ（ωTωTωTu- u）（2.7），然后将2.7的一阶导数设置为零：∑ωωω- λ- λuu=0（2.8）考虑到2.5和2.6，我们现在的重点是求解线性系统ω- λ- λu=0TωTωTω=1ωTωTωTu=u（2.9）使用Cauchy-Schwartz不等式定义以下常数a=1TTT∑11 b=1TTT∑c=uT∑TuT∑u，注意协方差为正定义，我们可以很容易地看到ac>b。因此，系统的解或最优投资组合由ω*ω*ω*= （c）- buac- b） ∑-11+（au- 美国银行- b） ∑-1uu（2.10）从上述解中，我们观察到该策略高度依赖于平均回报、协方差矩阵和预期回报。一般来说，风险回报率（夏普比率）较高的股票将分配更多权重。

此外，我们将在第4章中看到，预期回报会影响投资的波动性。第3章动态均值方差优化3.1市场假设我们首先考虑满足马尔可夫性质的市场，该市场由两种资产组成：无风险债券和风险股票。我们进一步假设有限的投资期限为[0，T]。不确定性由过滤概率空间表示(Ohm, F，{Ft}，P）。在空间上定义了两个相关系数为ρ的布朗运动，即WandWx。然后，{Ftt∈[0，T]}实际上是WANDWX生成的强化过滤，我们假设所有随机过程都是由它适应的。此外，假设所有过程都定义良好，没有明确规定的规则条件。设r为无风险债券的恒定利率，股票价格遵循动态：dSt=uStdt+σStdwt（3.1）uσ，满足dxt=m（Xt，t）dt+ν（Xt，t）dwXt（3.2）在本文的以下部分，我们使用ut，σt，mt，ν表示3.1和3.2中定义的四个系数。很明显，当-< ρ<1由于另一方面存在不确定性，对于ρ=±1的特殊情况，市场达到动态完整性。假设投资者的初始财富为0。定义她选择的政策θt，即她在timet投资的金额。在市场格局下，财富遵循以下过程：dWt=[rWt+θt（ut- r） ]dt+θtσtdwt（3.3）假设投资者寻求动态均值-方差策略，目标是最大化最终财富wt。代替2.4、2.5和2.6给出的静态MVO公式，我们将拉格朗日2.7改写为以下形式：maxθE【WT】-γvar【WT】（3.4）s.t.dWt=【rWt+θt（ut- r） ]dt+θtσtdwt3.2 DMVO策略的确定Basak和Chabakauri（2010）[]给出的解决方案基于动态编程方法。

它类似于Strotz（1056）[]提出的先驱方法，该方法试图通过递归关系处理时间不一致性。具体来说，我们不能直接应用动态规划的主要原因是缺少方差项的塔楼属性。这里，关于塔的属性，我们指的是迭代期望公式：Et[Et+τ[WT]]=Et[WT]（3.5）。这对于期望来说不是问题，但它会给方差带来麻烦，尤其是在塔的属性无法应用的情况下。为了解决这个问题，我们需要稍微改变原始的MVO目标。方差分解公式提供了救助，其形式如下：V art[WT]=Et[V art+τ（WT）]+V art[Et+τ（WT）]（3.6）该公式还提供了如何选择最佳投资政策的信息：固定时间tθτtτ说明了时间t+τ时预期终端财富的方差。因此，在时间t+τ时，投资者可能有动机偏离在时间t时获得的最优政策。我们调用时间t时的DMVO目标函数：Ut=Et[WT]-γV艺术【WT】（3.7）我们现在将偏离政策的动机纳入DMVO目标，即将3.6替换为3.7。进一步应用风塔特性toE【WT】，我们获得了新的DMVO目标：Ut=Et【Ut+τ】-γV art[Et+τ（WT）]（3.8）这种调整使我们能够递归地确定最优策略，并将问题转化为时间一致性问题。

换言之，投资者选择其最优政策时，考虑到该政策在未来总是最优的，并且她能够在投资期的后期调整该政策。接下来，我们寻求关于值函数的递归关系，它将是θ*不锈钢∈t、 归纳起来，我们定义了价值函数Jtas:Jt=J（Wt，St，Xt，t）：=Et[W*T]-γV艺术【W】*T] （3.9）请注意，最佳码头财富W*由最优策略θ推导出*s、 s∈[t，t]。将[t，t+τ]、τ>0表示为决策区间，即投资者可以选择在时间t+τ的区间后调整其timetinvestmentpolicy。我们进一步假设投资者遵循最优政策θ*sfromt+τtoT。然后，关于递归步骤，问题被简化为寻求从t到t+τ的投资策略θsf，从而使以下目标最大化：Et[Jt+τ]-γV art[Et+τ（WT）]（3.10）再次注：由于存在第二项（时间一致性调整项），最优策略θ*sover[t+τ，t]不一定是[t，t+τ]上的最优值。在得到HJB方程之前，我们想重写[t，t+τ]上的目标。将伊藤引理应用于财富约束3.3，我们得到：d（Wter（T-t） ）=θt（ut- r） er（T-t） dt+θtσter（t-t） dwt（3.11）将3.11从t+τ积分到t，取t+τ时的期望值，我们得到：Et+τ[W*T] =Wt+τer（T-t型-τ） +ft+τ（3.12），其中w*是最佳财富，然后是θ*sover【t+τ，t】，ft=Et【W】*T]- Wter（T-t） =Et[RTtθ*s（us- r） er（T-s） ds]表示对[t，t]的预期收益。将3.12替换为3.10，并进一步注意到-t） 根据filtrationft，将[t，t+τ]上的目标重写为：Jt=最大θs，s∈[t，t+τ]{Et[Jt+τ]-γV art[英尺+τ- ft+Wt+τer（T-t型-τ)- Wter（T-t） ]}（3.13）受财富约束3.3和终端条件jt=WT的约束。

终端条件是由V arT[WT]=0和ET[WT]=WT得出的。从3.13可以明显看出，ft+τ也是由最优策略θ确定的*sovert+τtoT。因此，我们在θ之间建立连接*t、 ft，jt由以下引理中给出的HJB方程得出：引理1。DMVO目标下的值函数J遵循递归关系0=maxθtEt[dJt]-γV art[干膜厚度+干膜厚度（T-t） ）]（3.14）s.t.d（Wter（t-t） ）=θt（ut- r） er（T-t） dt+θtσter（t-t） dwtJT=wt有趣的是，我们发现，从tin 3.12的定义来看，fti是通过最佳θ计算的*tWtθ对dft的影响。此外，我们注意到WT不会影响最优策略θ*t、 从t到t的积分3.11表明了这一点，并在时间t取期望值：Jt=Et【WT】-γV art【WT】=Wter（T-t） +Et[ZTtθs（us- r） er（T-s） ds]（3.15）-γV art[ZTtθs（us- r） er（T-s） ds+ZTtθsσser（T-s） 从3.15中，我们注意到值函数jt在wter（T）中是可分离的-t） 和一个不依赖于WT的函数。因此，在任何时候∈[0，T]，最优投资策略θ*SDO不依赖于当前的财富≥ t、 自θ*sis由反向归纳法得出。具体而言，我们将JT分为两部分：J（Wt，St，Xt，t）=Wter（t-t） +~J（St，Xt，t）（3.16）注意到上述分析，然后我们在3.14上应用伊藤引理，得到以下方程：0=最大θt{DJtdt+θt（ut- r） er（T-t） dt公司-γV art[σtSt英尺Stdt+νt英尺XtdwXt+θtσter（t-t） dwt]}=最大θt{DJtdt+θt（ut- r） er（T-t） dt公司-γ[σtSt(英尺St）+νt(英尺Xt）+θtσte2r（t-t） +2ρνtσtSt英尺St公司英尺Xt+2θtσt（σtSt英尺St+ρνt英尺St）er（T-t） ]}（3.17）s.t.~JT=0其中是表示两个进程中涉及的函数的Ito引理的运算符，并表示Xt:DF（St，Xt，t）=英尺t+utSt英尺St+mt英尺Xt+（σtSt英尺St+νt英尺Xt+2ρνtσtSt英尺Xt公司St）（3.18）DJtdtθtut- rer（T-t） θtft实际上是θt的二次函数上的一个极大值问题。