具有仿射实现的真实世界远期利率动力学

那么我们有 D（A），t∈ R+，（4.5）Ah+α（h，y）∈ T Mt，T∈ R+和h∈ Mt，（4.6）σk（h）∈ 五、 t型∈ R+，h∈ M和k=1，n、 （4.7）4.7。定理。以下陈述是等效的：（i）叶理（Mt）t≥0对于（4.1）是不变的。（ii）我们有 D（A），t∈ R+（4.8）Ah+α（h，y）∈ T Mt，T∈ R+和（h，y）∈ Mt×Y，（4.9）σk（h）∈ 五、 t型∈ R+，h∈ M和k=1，n、 （4.10）4.8。定义。让y∈ 你可以任意。（1） 让V H是有限维子空间。Y=yh的SPDE（4.1）是由V if为每个h生成的a ffne实现∈ D（A）存在叶理（Mt）≥0由V和h生成∈ M、 对于Y=Y的（4.1）是不变的。（2）Y=Y的SPDE（4.1）是一个明确的实现，如果它具有由某个有限维子空间V生成的Y=Y的能量化。4.9. 定义。（1） 让V H是有限维子空间。SPDE（4.1）每小时由V if生成一个函数∈ D（A）存在叶理（Mt）t≥0由V和h生成∈ M、 这对于（4.1）是不变的。注意，根据定义4.5，后一种情况意味着每年∈ Y叶理（Mt）t≥0对于（4.1）Y=Y.14 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPE，它是不变的（2）如果SPDE（4.1）有一个由某个有限维子空间V生成的a ffine实现，则它有一个ffine实现。从现在起，我们固定元素y*∈ Y、 并处理当Y=Y时存在一个有效实现的问题*这意味着存在一种功能化。为此，我们定义了子空间Uy* H asUy公司*:= hα（h，y）- α（h，y*) : h类∈ H和y∈ 易。（4.11）在这里，以及在续集中，我们用hBi表示由一些子TB生成的线性空间 H、 没有混淆希尔伯特空间内积的危险，我们用H·，·iH表示。4.10. 定理。

以下陈述是等效的：（i）SPDE（4.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的SPDE（4.1）*有一个有效的实现*是D（a）的有限维子空间。证据（一）=> （ii）：根据假设，Y=Y的SPDE（4.1）*有一个很好的认识。设V是生成a ffine实现的有限维子空间，设h∈ D（A）任意。然后存在叶理（Mt）t≥0由Vwith h生成∈ M、 这对于（4.1）是不变的。根据定理4.7的条件（4.9），weobtainAh+α（h，y）∈ 所有h的T M∈ 曼德所有y∈ Y、 特别是，对于所有h∈ 曼德所有y∈ 我们得到α（h，Y）- α（h，y*) =Ah+α（h，y）-Ah+α（h，y*)∈ 五、 因此，我们推导出α（h，y）- α（h，y*) ∈ V代表所有h∈ D（A）和所有y∈ Y、 因为α（·，Y）对于每个Y都是连续的∈ Y、 域D（A）在H中是稠密的，Vis是闭合的，我们得出结论α（H，Y）- α（h，y*) ∈ V代表所有h∈ H和所有y∈ Y、 证明了子空间Uy*是有限维的。此外，根据定理4.7的条件（4.8），它包含在D（A）中。（二）=> （i） ：存在一个有限维子空间V，生成Y=Y的（4.1）的a ffine实现*. 让h∈ D（A）任意。那么就存在一个冲突（Mt）t≥0由V和h生成∈ M、 对于（4.1）y=y不变*. 根据定理4.6，对于所有t∈ R+我们有MT D（A），（4.12）Ah+α（h，y*) ∈ T Mt，h∈ Mt，（4.13）σk（h）∈ 五、 h类∈ M和k=1，n、 （4.14）自Uy起*是D（a）的有限维子空间，通过刚导出的关系（4.12）子空间'V：=V+Uy*也是D（a）的有限维子空间。我们确定了新叶理（\'Mt）t≥0as“Mt：=Mt+”V。然后，通过（4.12）和（4.14），对于所有t∈ R+我们获得'Mt D（A），σk（h）∈？V，h∈ M和k=1。

，n.具有仿射实现的真实世界远期利率动态15以上，按（4.13），对于所有t∈ R+和（h，y）∈ Mt×Y我们得到Ah+α（h，Y）=Ah+α（h，y*)+α（h，y）- α（h，y*)∈ 因此，根据定理4.7，SPDE（4.1）有一个由V生成的有效实现。4.11. 提议假设Y=Y的SPDE（4.1）*有一个很好的认识。然后子空间U H定义为U：=Pnk=1hσk（H）i是D（a）的有限维子空间。证据存在一个有限维的子空间V来生成a ffine实现。让h∈ D（A）任意。然后存在叶理（Mt）t≥0由Vwith h生成∈ M、 这对于（4.1）是不变的。根据定理4.6的条件（4.7），我们得到σk（h）∈ V对于所有k=1，n、 由于挥发度σk，k=1，n、 是连续的，域D（A）是稠密的inH，V是闭合的，我们得出结论σk（H） V对于所有k=1，n、 这证明了子空间U是有限维的。此外，根据定理4.6的条件（4.5），我们有V D（A），证明U包含在D（A）中。5、具有真实世界远期利率动态的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们开始分析具有真实世界远期利率动态的HJMM方程的存在性，并给出我们的第一个主要结果，这就建立了HJMM方程与现实世界远期利率动态之间的函数实现与基于风险中性定价的经典HJMM方程之间的联系。首先，我们介绍了前向曲线的空间。

我们固定了一个不减损的C功能w:R+→ [1, ∞) 使w-1/3∈ L（R+），用H表示所有绝对连续函数的空间H:R+→ R这样的塔赫语：=|h（0）|+ZR+| h（ξ）| w（ξ）dξ1/2< ∞.[18]中已经使用了此类空间，我们将其属性引用到这些空间中。用（St）t表示≥0 H上的平移半群，HJMM方程（1.1）是SPDE（4.1）的一个特例，其中在域上的最小生成元A=d/dξ（d/dξ）={H∈ H∩ C（R+）：h∈ H} 。接下来，我们提出了贯穿本文的长期假设。如第3节所述，我们将维纳过程W，Wdand pure jump Lévy processesX，与第4节一样，设Y是非空拓扑空间，设（Yy）Y∈Ybe是一系列Y值、自适应和cádlág过程，其中Yy=Y表示ally∈ Y、 Letσ：H→ Hd，γ：H→ HnandΘ：Y→ Rd，ψ：Y×R→ (-∞, 1） NBE可测量映射。我们定义Φ：Y×R→ (0, ∞)nasΦ：=1- Ψ.5.1. 假定我们假设满足以下条件：（1）α：H×Y→ （1.2）给出的H满足线性增长条件（4.2）和Lipschitz条件（4.3）。(2) σ, . . . , σ和γ，γnare-Lipschitz连续。（3） 对于每个y∈ Y这对（θ，ψ）=（Θ（Yy），ψ（Yy））是一对满足可积条件（3.6）的风险市场价格。16 ECKHARD压板和STEFAN TAPPE（4）有p、q∈ [1, ∞] p+q=1时，ψk（y，·）∈ Lp（Fk）和X 7→ 对于所有k=1，…，exΓk（h）属于Lq（Fk；h），n、 （5）对于所有（h，y）∈ H×Y和k=1，n映射ZRψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）属于D（（D/Dξ）），导数DξZRψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）=-γk（h）ZRxψk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）。在扩展状态空间Y之后，如果需要，我们可以假设存在元素Y*∈ Y使得（Θ（Y*), ψ（y*, ·)) = 0和Yy*= y*.5.2. 评论

注意，对于所有h∈ 我们有（5.1）α（H，y*) = -dXk=1σk（h）∑k（h）-mXk=1γk（h）ZRxexΓk（h）Fk（dx）-nXk=m+1γk（h）ZRxexΓk（h）- 1.Fk（dx）。在基准方法中，我们总是使用numéraire对（Sδ*, P） ，但指出（5.1）只是经典的HJM漂移项，它也出现在numéraire对（B，Q）中，其中B是储蓄账户，Q是~ P是一个风险中性指标。从这个意义上讲，存在Y=Y的a ffine实现*对应于经典HJM利率模型存在一个有效的实现，对于这种情况，文献中已经建立了许多结果。很明显，a ffne实现的存在意味着Y=Y的a ffne实现的存在*. 为了在这两种实现之间提供更紧密的联系，我们引入了子空间Uψ，γ H乘以（1.7）。5.3. 定理。以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个有效的实现，我们有dim Uψ，γ<∞.证据假设Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。然后，根据命题4.11，子空间pdk=1hσk（h）i是D（D/Dξ）的有限维子空间。此外，通过（1.2）和（5.1），对于所有（h，y）∈ H×Y我们有α（H，Y）- α（h，y*) =dXk=1Θk（y）σk（h）-nXk=1γk（h）ZRx（Φk（y，x）- 1） eΓk（h）Fk（dx）=dXk=1Θk（y）σk（h）+nXk=1γk（h）ZRxψk（y，x）eΓk（h）Fk（dx）。因此，sincePdk=1hσk（h）i是D（D/Dξ）的有限维子空间，子空间Uy*（4.11）中定义的是D（D/Dξ）的有限维子空间，当且仅当子空间dnxk=1γk（h）ZRxψk（y，x）eΓk（h）Fk（dx）：h∈ H和y∈ Yes是D（D/Dξ）的有限维子空间。根据假设5.1，当且仅当Uψ，γ是D（（D/Dξ））的有限维子空间时，这是完全的。

具有仿射实现的真实世界远期利率动力学17定理5.3证明了经典HJM模型和具有真实世界远期利率动力学的HJM模型存在不同的实现。关键点是子空间Uψ，γ，它必须是有限维的。注意，该条件仅涉及不连续部分的波动率γ和风险市价ψ，而不涉及连续部分的波动率σ和风险市价Θ。根据定理5.3，提供一个结果，为Y=Y的HJMM方程（1.1）的有效实现提供充分条件，这将非常有用*. 为此，我们回顾了映射σ：H→ D（（D/Dξ）∞) 称为拟指数，ifdimh（d/dξ）mσ（h）：h∈ H和m∈ 镍<∞.5.4. 提议假设满足以下条件：（1）σ，σd拟指数。(2) γ, . . . , γnare常数和准指数。然后是Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。证据由于σ，σ和γ，γnare拟指数，子空间v：=dXi=1h（d/dξ）mσi（h）：h∈ H和m∈ Ni+nXj=1h（d/dξ）mγj（h）：h∈ H和m∈ Niis有限尺寸。因此，结合[32，第6.2项]和[33，第5.1项]中的参数，可以得出Y=Y的HJMM方程（1.1）*具有由V生成的a ffenerealization。6、维纳过程驱动的HJMM方程的仿射实现在本节中，我们研究了具有维纳过程驱动的真实远期利率动态的HJMM方程的一个有效实现的存在性。那么相应的HJMM方程（1.1）具有特定的形式drt公司=ddξrt+α（rt，Yt）dt+σ（rt）dWtr=hY=y（6.1），Rd值标准维纳过程W。6.1. 定理。

以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（6.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（6.1）*有一个很好的认识。证据这是定理5.3的直接结果。定理6.1允许我们得出以下重要结论：对于维纳过程驱动的期限结构模型，在假设的风险中性概率测度下，所有关于HJM利率模型有效实现存在性的已知结果，参见[6，5，20，32]，转移到具有真实世界远期利率动态的利率模型。特别是，我们得到了以下结果。6.2. 推论假设σ，σd拟指数。然后，HJMequation（6.1）有了一个有效的实现。18 ECKHARD压板和STEFAN TapperProof。这源自定理6.1和命题5.4。6.3. 评论让我们给出定理6.1的两种几何解释。为此，让（Mt）t≥0是由某个有限维子空间生成的叶理，并假设该叶理对于y=y的HJMM方程（6.1）是不变的*.（1） 根据定理4.6的切向条件（4.6），（4.7），对于每个t∈ R+我们有ddξh-dXk=1σk（h）∑k（h）∈ T Mt，h∈ Mt，σk（h）∈ 五、 h类∈ M和k=1，d、 这两个条件意味着∈ 我们有dξh-dXk=1σk（h）∑k（h）+dXk=1Θk（y）σk（h）∈ T Mt，h∈ Mt，即定理4.7中关于位移项的切向条件（4.9）已满足。（2） 让y∈ Y应确保θ=Θ（Yy）满足命题3.8的条件。然后，通过命题3.8和3.12，从（6.1）的漂移α（·，y）动力学得到（6.1）的漂移α（·，y）动力学*) 在测量值发生等效变化后。因此，叶理（Mt）t≥0对于具有漂移项α（·，y）的HJMM方程（6.1），也是不变的。6.4. 评论

我们在定理5.3中看到，如果我们考虑带跳跃的一般HJMM方程（1.1），而不是维纳过程驱动的HJMM方程（6.1），情况会变得更加复杂。一旦我们有跳跃，注释6.3中的两个几何解释就会失败，我们将简要解释：（1）条件dDξh+α（h，y*) ∈ T Mt，h∈ mt通常不表示dξh+α（h，y）∈ T Mt，h∈ M和y∈ Y、 因为漂移项（1.2）太复杂了。（2） 正如我们在备注3.13中所看到的，对于带有跳跃的一般HJMM方程（1.1），风险市场价格的变化不再（甚至在国外意义上）被解释为等效的度量变化。6.5. 实例我们考虑具有一维维纳过程W和拟指数波动率σ：H的HJMM方程（6.1）→ H、 我们选择状态空间Y=R+和Y*= 0.对于y∈ (0, ∞) 我们用yy表示示例3.10中提供的SDE（3.10）的解。此外，我们定义了映射：Y→ R asΘ（y）：=2√y、 然后，根据命题5.4和推论6.2，HJMM方程（6.1）有一个有效的实现。此外，实施例3.10中的asseen，对于初始值y没有选择∈ (0, ∞) 利率模型允许一个等价的局部鞅测度。具有仿射实现的真实世界远期利率动态197。仿射实现存在的必要条件对于由Lévy过程驱动的HJMM方程和由其累积量生成函数描述的漂移项，我们推导了HJMM方程存在有效实现的必要条件，对于该方程，我们假设跳跃部分的市场风险价格的特殊结构。为了简单起见，我们假设（1.1）中的Lévy过程X是一维的。

我们用F表示其Lévy测度，并假设映射Φ：Y×R→ (0, ∞) 其形式为Φ（y，x）=exp（x·θ（y）），具有连续映射θ：y→ R、 此外，我们假设拓扑空间Y是连通的，并且存在 > 0，使得z{| x |>1}ezxF（dx）<∞ 对于所有z∈ (-, ).我们定义了累积量生成函数κ：(-, ) → R如下所示。如果X的类型为X=X*uX，然后设置κ（z）：=ZR（ezx- 1） F（dx），z∈ (-, ),如果X的类型为X=X*（uX- ν） ，然后我们设置κ（z）：=ZR（ezx- 1.- zx）F（dx）z∈ (-, ).累积量生成函数κ是实解析的(-, ). 我们假设Γ（h）（ξ）∈ (-, ) 对于所有h∈ H和ξ∈ R+，θ（y）+Γ（h）（ξ）∈ (-, ) 对于所有（y，h）∈ Y×H和ξ∈ R+。7.1. 提议我们假设HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。此外，我们假设γ6≡ 0和thathκ（m）：m∈ Ni=∞.（7.1）则θ为常数。证据相反，假设θ不是常数。由于Y是连通的，且θ是连续的，因此存在a，b∈ R，a<b，使得[a，b] θ（Y）。由于γ的连续性，存在h∈ H使得γ（H）6=0，这意味着Γ（H）6=0。Foreach y公司∈ Y我们有ZRψ（Y，x）exΓ（h）F（dx）=ZR（1- Φ（y，x））exΓ（h）F（dx）=ZR1.- exθ（y）exΓ（h）F（dx）=κ（Γ（h））- κ（θ（y）+Γ（h））。由于Γ（h）6=0，通过命题A.3和（7.1），我们推断Uψ，γ是有限维的，这与定理5.3相矛盾。条件（7.1）表示对于无m∈ N函数κ满足m阶k（m）=Pm的线性有序微分方程-1k=0ckκ（k）。这种情况通常适用于具有有限活动的纯跳跃过程，例如双边伽玛过程（见[25]），它涵盖了方差Gammaprocess的流行类别，或者适用于回火稳定过程（见[26]和其中的参考文献），它涵盖了研究充分的CGMY过程类别。

条件（7.1）通常也适用于具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程，但it20 ECKHARD PLATEN和STEFAN Tappes不适用于具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程，因为累积量生成函数的形式为κ（z）=cXx号∈Xπ（X）ezx- 1.对于某些常数c>0，有限集X和随机向量π：X→ （0，1）。这与我们即将得出的结果一致；例如，请参见下面的命题9.2。8。HJMM方程仿射实现存在的充分条件。在本节中，我们提供了HJMM方程（1.1）仿射实现存在的充分条件。如定理5.3所示，我们需要（1.7）中定义的子空间Uψ，γ是有限维的。我们将建立另外两个更容易检查的条件，这意味着uψ，γ的维数是有限的。为此，请注意，根据假设5.1，对于每个k=1，n我们可以考虑ψkand x 7→ exΓkas映射ψk:Y→ Lp（Fk）和eΓk:H→ Lq（Fk；H）。（8.1）我们引入了子空间Uψk Lp（Fk）和Uγk Lq（Fk；H）对于k=1，nby（1.8）和（1.9）。8.1. 提议假设子空间Uψ，Uψ与Uγ，Uγ线尺寸有限。那么以下陈述是等效的：（i）HJMM方程（1.1）有一个有效的实现。（ii）Y=Y的HJMM方程（1.1）*有一个很好的认识。证据我们定义了英国的子空间 L（Fk；H）asUk：=hx 7→ ψk（x，y）exΓk（h）：h∈ H和y∈ Yi，k=1，n、 假设我们在英国≤ dim Uψk·dim Uγk<∞, k=1，n、 用Tk表示：L（Fk；H）→ H积分算子kψ：=ZRψ（x）Fk（dx），k=1，n、 通过对子空间Uψ，γ的定义（1.7），我们得到了一些Uψ，γ≤nXk=1dim Tk（英国）≤nXk=1dim英国<∞,因此，所声称的等价性来自定理5.3。8.2. 推论假设X。