具有仿射实现的真实世界远期利率动力学

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英文标题：
《Real-world forward rate dynamics with affine realizations》
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作者：
Eckhard Platen and Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We investigate the existence of affine realizations for L\\\'{e}vy driven interest rate term structure models under the real-world probability measure, which so far has only been studied under an assumed risk-neutral probability measure. For models driven by Wiener processes, all results obtained under the risk-neutral approach concerning the existence of affine realizations are transferred to the general case. A similar result holds true for models driven by compound Poisson processes with finite jump size distributions. However, in the presence of jumps with infinite activity we obtain severe restrictions on the structure of the market price of risk; typically, it must even be constant.
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中文摘要：
我们研究了现实世界概率测度下L{e}vy驱动的利率期限结构模型仿射实现的存在性，到目前为止，仅在假设的风险中性概率测度下研究了仿射实现。对于由维纳过程驱动的模型，在风险中性方法下得到的关于仿射实现存在性的所有结果都转移到一般情况。对于由具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程驱动的模型，类似的结果也是成立的。然而，在存在无限活动跳跃的情况下，我们对风险的市场价格结构获得了严格的限制；通常，它甚至必须是常数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Real-world_forward_rate_dynamics_with_affine_realizations.pdf (706.61 KB)

2022-6-24 08:29:20 上传

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关键词：真实世界 远期利率 动力学 Mathematical Differential

使用AFFINEREALIZATIONSECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEAbstract实现真实世界的远期利率动态。我们研究了现实世界概率测度下Lévy driveninterest-rate期限结构模型的存在性，到目前为止，仅在假设的风险中性概率测度下对其进行了研究。对于由维纳过程驱动的模型，所有在风险中性方法下获得的关于a ffne实现存在性的结果都转移到一般情况下。对于由具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程驱动的模型，类似的结果也是成立的。然而，在有限活动出现跳跃的情况下，我们对风险市场价格的结构进行了严格限制；通常，它甚至必须是常数。1、引言本文的目的是研究HJM（Heath Jarrow Morton）利率期限结构模型drt公司=ddξrt+α（rt，Yt）dt+σ（rt）dWt+γ（rt-)基准方法框架中的dXtr=hY=y（1.1）（见[30]）允许一种有效的实现。这里，W是一个Rd值维纳过程，X是一个Rn值纯跳跃Lévyprocess X，其组件具有规范表示Xk=X*uXkfork=1，m和Xk=x* （uXk- νk）对于k=m+1，n、 式中，νkdenotes为相应的补偿器。在风险中性定价下，对于维纳过程驱动的经典HJM模型，我们参考[21]，对于莱维过程驱动的HJM模型，我们参考[11]–[16]。我们研究了真实世界概率测度下的项结构方程（1.1），并采用Musiela参数化（见[7]），这在某种适当的希尔伯特空间H上产生了一个符合[28]精神的随机偏微分方程（SPDE），我们将（1.1）称为HJMM（Heath Jarrow Morton Musiela）方程。风险中性HJMM方程已在[18、19、1、29、27]中进行了研究。

（1.1）中的过程Y是某个状态空间Y上的外部状态过程，出现在下面的漂移项（1.2）中。为了确保债券市场无套利，pt（T）=exp-ZT公司-trt（ξ）dξ2010年数学学科分类。91G80、60H15。关键词和短语。利维驱动的利率模型、真实世界的远期利率动态、有效实现、风险的市场价格。2 ECKHARD PLATEN和STEFAN Tappew在基准方法的框架内，基准债券价格必须是局部鞅，通过选择形式为（1.2）α（h，y）=-dXk=1σk（h）∑k（h）- Θk（y）σk（h）-mXk=1γk（h）ZRxΦk（y，x）exΓk（h）Fk（dx）-nXk=m+1γk（h）ZRxΦk（y，x）exΓk（h）- 1.Fk（dx）。我们参考第2节了解基准方法，参考第3节了解漂移条件的推导（1.2）。这里我们使用符号∑（h）=-Ro∑（h）（ξ）dξ和Γ（h）=-Ro（h）（ξ）dξ和fk是Lévy测度。此外，（θ，ψ）=（Θ（Y），ψ（Y））表示风险的一对市场价格，我们设置Φ（Y）=1- ψ（Y）。我们称（θ，ψ）为风险的一对市场价格，因为每个∈ 债券价格的动态形式为P（T）=P（T）E（R+a（T））·λ+b（T）·W+c（T）* （uX- ν),（1.3）其中，R表示短期利率，（θ，ψ）是方程a（T）=hb（T），θiRd+hc（T），ψiL（F）的解。（1.4）此外，严格正的supermartingaleZ=E- θ·W- ψ * （uX- ν)（1.5）定义了等价局部鞅测度的密度过程的候选者，并且当且仅当ifZ是P（Z）的一致可积鞅时，它提供了等价局部鞅测度∞> 0) = 1.（1.6）HJMM方程（1.1）的一个有效实现的存在确保了模型的较大分析可跟踪性，并且在经典风险中性方法下，存在关于期限结构模型的有效实现的成熟文献。

例如，对于维纳过程驱动模型，我们参考[6、5、20、32]，对于莱维过程驱动模型，我们参考[33]。在所有这些参考文献中，分析实现的主要思想是，对于每个初始曲线H，都存在一个有限维子流形，求解过程r停留在该子流形上。与有效实现的这种风险中性定义相比，在我们的框架中，我们要求对于每个初始曲线H，存在一个有限维子流形，以便对于状态过程Y的每个起始点Y，HJMM方程（1.1）的解r保持在该子流形上，这意味着我们可以自由指定风险的市场价格。本文的第一个目标是推导出一个标准，该标准引用了上述文献中提到的风险中性情况。也就是说，我们的主要结果（见定理5.3）表明，HJMM方程（1.1）在满足以下两个条件的情况下具有有效性：（i）风险中性HJMM方程具有有效性。（ii）我们有dim Uψ，γ<∞.这里，风险中性HJMM方程对应于（Θ，ψ）=0，但在我们的框架中，我们不假设存在等价的局部鞅测度，以及子空间Uψ，γ H定义为asUψ，γ：=DnXk=1ZRψk（y，x）exΓk（H）Fk（dx）：H∈ H和y∈ 是的。（1.7）文献中已经深入研究了具有仿射实现3的真实世界远期利率动态，我们的下一个目标是更仔细地研究条件（ii），以找到更容易检查的等效条件。我们随后的结果（见命题8.1和定理9.1、10.1）表明，在适当的假设下，条件（ii）等价于以下两个条件：（a）我们有dim Uψk<∞ 对于k=1，n、 （b）我们有dim Uγk<∞ 对于k=1，n、 这里的子空间Uψk L（Fk）和Uγk L（Fk；H）定义为asUψk：=hx 7→ ψk（y，x）：y∈ Yi，k=1。

，n，（1.8）Uγk：=hx 7→ exΓk（h）：h∈ 嗨，k=1，n、 （1.9）条件（ii）和（a）导致在有限活动中出现跳跃时，风险的市场价格受到严格限制。我们将看到，作为进一步的结果，在这种情况下，风险的市场价格通常甚至必须保持不变；（ii）得出的结果见命题7.1，而（a）得出的结果见命题9.2。此外，定理10.1甚至表明，在适当的假设下，条件（ii）意味着波动率γ是常数。因此，我们得出结论，在适当的假设下，条件（a）和（b）等价于以下两个条件：（a’）莱维过程Xk，k=1，n是具有有限跳跃大小分布的复合泊松过程。（b’）挥发性γk，k=1，n是常数。在概述了与（ii）等价的条件之后，让我们继续解释条件（ii）。注意，子空间Uψ，γ仅依赖于ψ和γ。因此，对于没有跳跃的纯维纳过程驱动模型，在风险中性的情况下，一个α实现的存在等同于一个α实现的存在，而对于有跳跃的利率模型，我们需要一个附加条件，即子空间Uψ，γ是有限维的。

在备注6.3和6.4中，我们将提供几何解释，我们将在此总结：o第一种解释是一种不同的几何解释：–在维纳过程驱动的情况下，条件（i）意味着对于agiven子流形，我们需要的随机不变性所需的切向条件对于y的每一个选择都已经满足了∈ Y、 –相反，如果模型有跳跃，则当且仅当子空间Uψ，γ是有限维的时，这些切向条件才是完整的。o第二种解释涉及量度变化。y的所有选择∈ Ygives上升为等价局部鞅测度的密度过程的候选者（1.5）。如果条件（1.6）已满，则以下陈述为真：–对于没有跳跃的维纳过程驱动模型，新概率测度下的漂移项与经典HJM漂移条件一致。因此，更改y∈ Y在等价测度变化后导致动力学，这不会影响agiven子流形的随机不变性否则，在存在跳跃的情况下，新概率测度下的漂移项与arisk中立型模型的HJM漂移项不一致。因此，更改y∈ Y通常不能与等价的度量变化相关联，因此，不保持随机不变性。4 ECKHARD PLATEN和STEFAN Tappen本文的其余部分组织如下。在第2节和第3节中，我们回顾了基准法下债券市场模型的基本思想和概念。在第4节中，我们提供了由Lévy过程驱动的一般SPD的不变叶理和函数化的结果。在第5节中，我们讨论了HJMM方程的实现，并给出了子空间Uψ，γ的指示结果。

然后，作为特例，在第6节中，我们研究了维纳过程驱动的HJMM方程，在第7节中，Lévy过程驱动的NHJMM方程，其中漂移项可以用Lévy过程的累积量生成函数来描述。在第8节中，我们展示了条件（a）和（b）隐含条件（ii）。在第9节和第10节中，我们讨论了这个结果的相反含义。第11节结束。为了方便读者，附录A–C提供了我们在本文中需要的辅助结果。2、基准法下的债券市场模型本节，我们回顾了基准法的基本思想和概念，这是我们在本文中对债券市场模型的要求。即将到来的定义和结果是众所周知的，可以在[30]中找到，但我们提供它们（提供证据），以保持我们的演示文稿的完整性，并引入符号，这将在后续章节中需要。从现在开始，让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是具有右连续过滤的过滤概率空间。在续集中，我们将使用[23]中的符号；特别地，δ·P表示局部有界可预测过程δ相对于半鞅P的随机积分。对于每个T∈ R+设P（T）=（Pt（T））T∈[0，T]是到期日为T的零息票债券的定价过程，我们假设它是PT（T）=1的负半鞅。我们回顾了资产定价理论中的一些基本概念。2.1. 定义。对于每个n∈ N和所有0≤ T<…<Tn<∞ 我们称之为avectorδ=（δT，…，δTn），由局部有界的可预测过程δTk=（δTkt）T组成∈[0，Tk]一种策略。2.2. 定义。对于策略δ=（δT，…，δTn），我们定义了投资组合Sδ=（SδT）T∈[0，T]作为向量内积Sδ：=δP，其中P=（P（T），P（Tn））。2.3. 定义。策略δ=（δT。

，δTn）和相应的投资组合Sδ称为自我融资，如果我们有Sδ=Sδ+δ·P，其中P=（P（T），P（Tn）），δ·P表示向量It^o积分。2.4. 定义。如果Sδ=0且存在停止时间τ，则非负自融资投资组合Sδ称为套利投资组合≤ t确认P（SΔτ>0）>0。请注意，定义2.4是一个相当弱的套利概念，因为我们只考虑非负投资组合。2.5. 定义。一个严格正的投资组合过程Sδ*= （Sδ*t） t型∈如果对于每个非负自我融资投资组合Sδ，基准投资组合Sδ=（Sδt）t∈[0，T]定义为^Sδ：=Sδ/Sδ*是局部鞅。2.6. 评论设Sδ*成为增长最优投资组合，让Sδ成为非负的自我融资投资组合。因为Sδ是非负的，Sδ*如果是正的，则基准Portfolio^Sδ是非负局部鞅，因此是超鞅。具有仿射实现的真实世界远期利率动态52.7。评论增长最优投资组合的名称来源于Sδ*是最大化预期对数效用的投资组合；有关更多详细信息，请参见[30]。下一个结果证明了增长最优投资组合对于套利投资组合的重要性。为了完整性，我们在这里提供它的证明。2.8. 提议假设存在一个增长最优投资组合Sδ*. 那么就不存在套利投资组合。证据设Sδ为非负的自融资投资组合，使得Sδ=0。此外，设τ≤ t停车时间。由于^Sδ是一个非负的上鞅，我们得到了byDoob的可选采样定理0≤ E[^SΔτ]≤ E[^Sδ]=0，其屈服于[Sδτ/Sδ*τ] =E[^SΔτ]=0。自Sδ/Sδ*为非负，则得出usP（Sδτ/Sδ*τ=0）=1，并且，由于Sδ*是严格正的，我们得到P（Sδτ=0）=1。接下来，我们回顾如何在基准方法下执行实际定价。2.9. 定义。

设Sδ*成为增长最佳的投资组合，让T∈ R+是任意的，设H是非负的FT可测随机变量，使得H/Sδ*T∈ L（P）。我们定义了真实世界的价格过程πδ*（H） =（πδ*t（H））t∈[0，T]通过真实世界定价公式πδ*t（H）：=Sδ*tEP公司HSδ*T英尺, t型∈ [0，T]。(2.1)2.10. 评论请注意，定义2.9不依赖于局部鞅测度的存在，并且实际价格过程πδ*（H） 在基准真实世界价格过程^πδ的意义上，支付是公平的*（H） =πδ*（H） /秒δ*是鞅。2.11. 评论如果对于给定的未定权益H，为自融资投资组合πδ*（H） 存在，满足上述现实世界的定价公式（2.1），那么该投资组合为H提供了最便宜的对冲，见道具。3.3英寸【10】。如果考虑其他定价规则，例如正式应用的风险中性定价，则相应的基准非负、自我融资对冲组合是局部鞅，通常更昂贵。有人可以说，在竞争激烈的市场中，最小可能的价格过程是经济上正确的价格过程，这巩固了基准法的真实世界价格过程的特殊作用。2.12. 评论在第3节中，我们将研究（3.5）形式的债券市场以及（3.4）中给出的远期利率。漂移项的形式（3.3）确保∈ 零息票债券（3.5）的基准价格过程是局部鞅。根据实际定价公式pt（T）=Sδ*tEP公司Sδ*T英尺6 ECKHARD PLATEN和STEFAN TAPPEit甚至是一个真正的鞅，它代表了这一支付的最低可能债券价格过程。

由于任何基准自我融资投资组合都是在我们设定的一个局部鞅中，所以（3.4）的结构非常普遍，还涵盖了通过非负性投资组合以自我融资方式复制各自收益的其他定价。这些定价规则不需要与任何定价措施相关联；详情请参阅第3节。为了将我们的方法与现有文献更紧密地联系起来，让我们在numéraire pairs的框架内说明基准方法，例如，如[22]中所述。2.13. 定义。我们引入以下概念：（1）一对（N，Q）称为numéraire对，如果Q~ P是一个等价的概率测度，N是一个严格的正半鞅，对于每个非负自融资投资组合Sδ，贴现投资组合Sδ/N是一个Q-局部鞅。（2） 如果（N，Q）是numéraire对，那么我们称N为numéraire，Q为估值度量。2.14. 评论If（Sδ*, P） 是一个numéraire对，然后是Sδ*是定义2.5意义上的最佳增长投资组合。在经典的框架下，如果anuméraire对（N，Q）存在，债券市场被称为无套利。数字N的典型选择是savingsaccount；请参阅第3节，其中我们将对HJMmodels的情况进行更详细的调查。以下结果表明，经典意义上的无套利意味着基准法精神上的无套利，在这种情况下，定义2.9给出的某些支付的价格过程与经典风险中性定价过程一致。对于本节的其余部分，我们假设f=Wt∈R+Ft.2.15。提议