回火稳定分布与过程

函数Дβ具有导数Дβ（x）=-β（1+βx）-β-1β = -（1+βx）-1+ββ，x∈ 因此，通过替换和Lebesgue的支配收敛定理，我们得到αn=F（（Дβ（n+1），Дβ（n）]）=αZДβ（n）Дβ（n+1）e-λxx1+βdx=αZnn+1e-λДβ（y）Дβ（y）1+βДβ（y）dy=αZn+1ne-λИβ（y）（1+βy）-1+ββ（1+βy）-1+βdy=αZn+1ne-λИβ（y）dy=αZe-λИβ（n+y）dy→ α表示n→ ∞.因此，我们∞Xn=1Var【Yn】n=∞Xn=1αnn<∞.设置Sn=Y+…+Ynfor n∈ N、 应用Kolmogorov强大的largenumbers定律，见[36，Thm.IV.3.2]，几乎可以肯定地得出- E[序号]n→ 因为我们有e[Sn]n=α+…+αnn→ α、 我们得出了几乎确定的收敛点（5.9）。5.7. 评论让我们考虑一下β=0的情况。对于所有x∈ R+我们有limβ→0Дβ（x）=limβ→0（1+βx）-β=e-x、 这建议采用sequenceYn：=N（（0，1）×（e-（n+1），e-n] ），n∈ 对于Gamma进程X~ Γ（α，λ），然后，一个类似的结果确实是真的，参见[23，Thm.7.1]。回火稳定分布和过程195.8。评论命题5.6和备注5.7显示了我们如何通过检查X的典型样本路径来确定参数α，λ>0，前提是β∈ （0，1）是已知的。首先，我们根据命题5.6或备注5.7确定α>0。根据强大数定律，我们几乎可以肯定Xn/n→ u，其中u>0表示期望u=Γ（1-β)αλ1-β.现在，我们得到参数λ>0为λ=αΓ(1 - β)u1.-β.回火稳定分布统计本节专门讨论回火稳定分布的参数估计。让X，Xnbe带XK的i.i.d.序列~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-) 对于k=1，n、 假设我们观察到一个实现x，xn。我们要估计参数的向量θ=（θ，…，θ）=（α+，β+，λ+，α-, β-, λ-) ∈ D、 其中，参数域D是开放集D=（（0，∞) × (0, 1) ×(0, ∞)).对于双侧伽马分布（即β+=β-= 0）参数估计见【23】。

我们采用矩量法，将第k阶矩mj=E[Xj]估计为^mj=nnXk=1xjk，j=1，根据（2.11）向量κ=（κ，…，κ）∈ （R×（0，∞))累积量的计算公式为κj=Γ（j- β++α+（λ+）j-β++ (-1） jΓ（j- β-)α-(λ-)j-β-, j=1，6.（6.1）使用[31，p.346]我们估计κ为向量^κ=（^κ，…，^κ）∈ （R×（0，∞))组件^κ=^m，^κ=^m- ^m，^κ=^m- 3^m^m+2^m，^κ=^m- 4^m^m- 3^m+12^m^m- 6^m，^κ=^m- 5^m^m- 10^m^m+20^m^m+30^m^m- 60^m^m+24^m，^κ=^m- 6^m^m- 15^m^m+30^m^m- 10^m+120^m^m- 120^m^m+30^m- 270^m^m+360^m^m- 120^m.20 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappen和函数G：（R×（0，∞))×D→ RasGj（c，^θ）：=Γ（j-^β+)^α+(^λ-)j-^β-+ (-1） jΓ（j-^β-)^α-（λ+）j-^β+- cj（^λ+）j-^β+(^λ-)j-^β-, j=1，6，其中c=（c，…，c）和^=（α+，β+，λ+，α-,^β-,^λ-).为了获得θ的估计值，我们求解方程g（^κ，^θ）=0，^θ∈ D、 （6.2）让我们仔细看看关于解的存在性和唯一性的方程（6.2）。对于以下计算，我们使用了计算机代数系统“Maxima”。6.1. 引理。我们有G∈ C（D；R）和所有∈ D和κ=κ（θ）由（6.1）给出，我们有G（κ，θ）=0和detGθ(κ, θ) > 0.证据G的定义表明G∈ C（D；R）。Letθ∈ D是任意的，并由（6.1）给出κ=κ（θ）。恒等式（6.1）得出G（κ，θ）=0。计算G的偏导数并插入向量（κ，θ），对于j=1，6我们获得Gj公司α+（κ，θ）=g（λ-)j-1j-1Yk=1（k- β+),Gj公司α-（κ，θ）=g(-1） j（λ+）j-1j-1Yk=1（k- β-),Gj公司β+（κ，θ）=g（λ-)j-1j-1Yk=1（k- β+)lnλ+- ψ(1 - β+) -j-2Xk=01- β++k,Gj公司β-（κ，θ）=g(-1） j（λ+）j-1j-1Yk=1（k- β-)lnλ-- ψ(1 - β-) -j-2Xk=01- β-+ k,Gj公司λ+（κ，θ）=g（λ-)j-1jYk=2（k- β+),Gj公司λ-（κ，θ）=g(-1） j（λ+）j-1jYk=2（k- β-),式中ψ：（0，∞) → R表示Digamma函数ψ（x）=ddxlnΓ（x）=Γ（x）Γ（x），x∈ (0, ∞)其中gi，i=1。

，6由g=（λ）给出-)1.-β-Γ(1 - β+，g=（λ+）1-β+Γ(1 - β-),g=α+（λ-)1.-β-Γ(1 - β+，g=α-(λ+)1-β+Γ(1 - β-),g=-α+(λ+)-1(λ-)1.-β-Γ(2 - β+，g=-α-(λ-)-1(λ+)1-β+Γ(2 - β-).回火稳定分布和过程21Let pbe多项式（β+，β-) = -18(β+)(β-)+ 84(β+)β-+ 168(β+)(β-)- 99(β+)- 766(β+)β-- 507β+(β-)+ 885(β+)+ 2243β+β-+ 504(β-)- 2522β+- 2160β-+ 2356，设pbe为多项式p（β+，β-) = -14(β+)(β-)+ 98(β+)(β-)+ 126(β+)(β-)- 227(β+)β-- 852(β+)(β-)- 391(β+)(β-)+ 175(β+)+ 1908(β+)β-+ 2542(β+)(β-)+ 499β+(β-)- 1422(β+)- 5508(β+)β-- 3076β+(β-)- 232(β-)+ 3989(β+)+ 6395β+β-+ 1336(β-)- 4490β+- 2628β-+ 1772并设pbe为多项式p（β+，β-) = -63(β+)(β-)+ 462(β+)(β-)+ 609(β+)(β-)- 1092(β+)β-- 4286(β+)(β-)- 2112(β+)(β-)+ 837(β+)+ 9686(β+)β-+ 14198(β+)(β-)+ 3111β+(β-)- 7185(β+)- 30373(β+)β-- 19850β+(β-)- 1689(β-)+ 21587(β+)+ 39598β+β-+ 10244(β-)- 26507β+- 18923β-+ 计算机代数系统“Maxima”的一个图显示，对于i=1，2，3，π>0（0，1），因此我们得到Gθ（κ，θ）=g···g（λ+λ-)h（1- β+)(2 - β+)(3 - β+)(4 - β+)(λ-)+ (1 - β+)(2 - β+)(3 - β+)(4 - β+)(7 - 3β-)(11 - 3β+)λ+(λ-)+ 2(1 - β+)(2 - β+)(3 - β+（β+，β-)(λ+)(λ-)+ 6(2 - β+)(3 - β+（β+，β-)(λ+)(λ-)+ 2(2 - β+)(2 - β-)p（β+，β-)(λ+)(λ-)+ 2(2 - β-)(2 - β+（β-, β+)(λ+)(λ-)+ 6(2 - β-)(3 - β-)p（β-, β+)(λ+)(λ-)+ 2(1 - β-)(2 - β-)(3 - β-)p（β-, β+)(λ+)(λ-)+ (1 - β-)(2 - β-)(3 - β-)(4 - β-)(7 - 3β+)(11 - 3β-)(λ+)λ-+ (1 - β-)(2 - β-)(3 - β-)(4 - β-)（λ+）i>0，完成证明。考虑到引理6.1，根据隐函数定理（参见，例如，[40，Thm.8.1]），存在一个开放邻域Uκ （R×（0，∞))κ的一个开放邻域Uθ θ的D和函数g∈ C（Uκ；Uθ）所有人都是这样（Uκ，Uθ）∈Uκ×Uθwe haveG（^κ，g（^κ））=0当且仅当^=g（^κ）。回想一下，n∈ N表示实现的观察次数。

如果n是largeenough，那么根据大数定律，我们有^κ∈ Uκ，因此^θ：=g（^κ）是（6.2）的唯一Uθ值解。这是我们对参数向量θ的估计。22 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE7。回火稳定分布密度分析在本节中，我们将推导回火稳定分布密度的结构特性。这涉及到密度的单峰性、光滑性及其渐近行为。首先，我们处理单边回火稳定分布。设η=TS（α，λ，β）为单侧回火稳定分布，β∈ (0, 1). 注意，对于β=0，我们将得到众所周知的伽马分布。根据Lévy测度（2.2），我们可以将η的特征函数表示为Д（z）=exp锆eizx公司- 1.k（x）xdx, z∈ R（7.1），其中k:R→ R表示函数k（x）=αe-λxxβ（0，∞)（x） ，x∈ R、 （7.2）注意，在（0，∞) k在（0，∞). 此外，我们有k（0+）=∞ andR | k（x）| dx<∞.【34，Cor.15.11】的直接结果是η是自分解的，因此根据【34，示例27.8】是绝对连续的。在下文中，我们用g表示η的密度。请注意，η也是[35]意义上的L类。事实上，恒等式（7.1）表明，特征函数的形式为[35]中的（1.5），γ=0，σ=0.7.1。定理。回火稳定分布η与β的密度g∈ （0，1）为C类∞（R） 存在一个点x∈ (0, ∞) 使得g（x）>0，x∈ (-∞, x） （7.3）g（x）=0，（7.4）g（x）<0，x∈ （十），∞).（7.5）此外，我们的最大值为（7.6）Γ(1 - β)αλ1-β-3Γ(2 - β)αλ2-β1/2, ξ< x<最小值Γ(1 - β)αλ1-β,α1 - β1/β,式中ξ∈ (0, ∞) 表示定点方程α1/βexp的唯一解-λβξ= ξ.（7.7）证明。自k（0+）+| k（0-)| = ∞, 它遵循[35，Thm。

1.2]g∈ C∞（R） 。此外，sinceR | k（x）| dx<∞, 分布η在【35，第275页】的意义上属于II型。根据[35，Thm.1.3.vii]，存在一个点x∈ (0, ∞)使（7.3）–（7.5）满足。设X为L（X）=η的随机变量。根据[35，Thm.6.1.i]和（2.20）wehavex<E[X]=Γ（1- β)αλ1-β.此外，通过使用[35，Thm.6.1.ii]，我们得到了αxβ（1- β） =αxZxxβdx≥αxZxe-λxxβdx=xZxk（x）dx>1，回火稳定分布和过程23，这意味着不等式x<α1 - β1/β.通过[35，Thm.6.1.v]和（2.20），（2.21），我们得到X>E[X]-3Var[X]1/2= Γ(1 - β)αλ1-β-3Γ(2 - β)αλ2-β1/2.此外，根据[35，Thm.6.1.vi]，我们得到x>ξ，其中点ξ∈ (0, ∞) isgivenξ=sup{u>0:k（u）≥ 1} k是严格递减函数（7.2）。因此，x是定点方程（7.7）的唯一解。综上所述，我们建立了关系式（7.6）。唯一点x∈ (0, ∞) 根据定理7.1，称为η模式。7.2. 提议我们有g（x）的渐近行为~ -1.- ββ(αΓ(1 - β))1-βx-β1-βas x↓ 0、特别是g（x）→ 0作为x↓ 0.证明。我们有η∈ 在[35，第275页]和K（x）的意义上~ αx-βas x↓ 因此，该断言来自于[35，Thm.5.2]。现在，我们将研究x大值密度的渐近行为。我们的想法是将不可分分布的尾部与Lévy测度的尾部联系起来。此类结果已经确定，例如，在[12]和[38]中。我们用ν表示：=Fη的Lévy度量，由（2.2）给出。那么我们有ν（r）：=ν（（r，∞)) > 0表示所有r∈ R、 即η∈ [38]意义上的D+。我们定义了（1，∞) asν（1）（dx）：=ν（（1，∞))(1,∞)（x） ν（dx）根据【38】我们说ν（1）∈ L（γ）表示某些γ≥ 0，如果全部为a∈ 我们有ν（1）（R+a）~ e-aγν（1）（r）作为r→ ∞.7.3. 引理。我们有ν（1）∈ L（λ）。证据让a∈ R可以任意。

根据l\'H^opital的规则，我们有Limr→∞ν（1）（r+a）ν（1）（r）=limr→∞Z∞r+ae-λxx1+βdxZ∞重新-λxx1+βdx=limr→∞e-λ（r+a）（r+a）1+βr1+βe-λr=e-aλlimr→∞rr+a1+β=e-aλ，表示ν（1）∈ L（λ）。我们确定数量d*asd公司*:= lim supr公司→∞ν(1)* ν（1）（r）ν（1）（r）。24 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPE7.4。引理。我们有身份证明*=2αβν((1, ∞)).证据我们用g:R表示→ R归一化Lévy测量值的密度g（x）：=αν（（1，∞))e-λxx1+β（1，∞)（x） 。利用l\'H^opital法则，我们得到了LIMR→∞ν(1)* ν（1）（r）ν（1）（r）=limr→∞RrR∞g（x- y） g（y）dydxRrg（x）dx=limr→∞R∞g（r-y） g（y）dyg（r）=αν（（1，∞))limr公司→∞r1+βe-λrZr-1e级-λ（r-y） （r）-y） 1+βe-λyy1+βdy=αν（（1，∞))limr公司→∞锆-1.r（r-y） y型1+βdy.对称，适用于所有r∈ (1, ∞) 我们有ZR-1.r（r-y） y型1+βdy=Zr/2r（r-y） y型1+βdy+Zr-1r/2r（r-y） y型1+βdy=2Zr/2r（r-y） y型1+βdy.使用估算器-y≤ 2适用于所有r∈ (0, ∞) 和y∈ [1，r/2]，利用Lebesgue的支配收敛定理，我们得到了LimR→∞Z∞r（r-y） y型1+β[1，r/2]（y）dy=Z∞limr公司→∞r（r-y） y型1+β[1，r/2]（y）dy=Z∞y1+βdy=β，这完成了证明。对于概率度量ρon（R，B（R）），用^ρ表示累积量生成函数^ρ（s）：=ZResxρ（dx）。7.5. 引理。下列恒等式成立：2^ν（1）（λ）=2αβν（1，∞)).证据计算^ν（1）（λ）=ZReλxν（1）（dx）=αν（1，∞))Z∞x1+βdx=αβν（（1，∞))生成所需的标识。7.6. 引理。我们有恒等式^η（λ）=exp(-αΓ(-β)λβ).证据这是（2.16）的直接结果。回火稳定分布和过程257.7。定理。我们有渐近行为（x）~ αexp(-αΓ(-β） λβ）e-λxx1+βas x→ ∞.（7.8）证明。通过引理7.3，我们得到了ν（1）∈ L（λ），通过引理7.4，7.5，我们得到了d*=2^ν(1)(λ) < ∞. 因此，[38，Thm.2.2.ii]适用并产生C*= C*= ^η（λ），其中c*:= lim信息→∞η（r）ν（r）和C*:= lim supr公司→∞η（r）ν（r）。利用引理7.6和l\'H^opital法则，我们得到了exp(-αΓ(-β） λβ）=limr→∞η（r）ν（r）=limr→∞Z∞rg（x）dxαZ∞重新-λxx1+βdx=αlimr→∞g（r）e-λrr1+β，因此，我们得出（7.8）。

现在，我们继续讨论一般的双边回火稳定分布。设η=TS（α+，λ+，β+；α-, λ-, β-)是β+、β的回火稳定分布-∈ (0, 1). 对于双侧伽马分布（即β+=β-= 0）密度的行为在【24】中进行了处理。根据Lévy测度（2.3），我们可以将η的特征函数表示为（7.1），其中k:R→ R表示函数k（x）=α+e-λ+xxβ+（0，∞)（十）- α-e-λ-|x | | x |β-(-∞,0）（x），x∈ R、 请注意，k≥ 0开（0，∞), 那个k≤ 0开(-∞, 0）且k在（0，∞) 以及(-∞, 0). 此外，我们有k（0+）=∞, k（0-) = -∞ 安德烈-1 | k（x）| dx<∞.如上所述，η是自分解的，绝对连续的，属于[35]意义上的Lin类，特征函数为[35]中的形式（1.5），γ=0，σ=0。在下文中，我们用g表示η的密度。注意η=η+* η-η+=TS（α+、β+、γ+）和η-= eν，ν=TS（α-, β-, γ-) eν表示ν的对偶。7.8. 定理。回火稳定分布η的密度g为C级∞（R） 存在一个点x∈ R使（7.3）–（7.5）满足。此外，我们有x∈ （十）-, x+，其中x+表示η+和x的模式-表示η的模式-.证据自k（0+）+| k（0-)| = ∞, 根据[35，Thm.1.2]可知，g∈ C∞（R） 。此外，sinceR-1 | k（x）| dx<∞, 在【35，第275页】的意义上，分布η为IIIII型。根据【35，Thm.1.3，xi】，存在一个点x∈ R具有声称的属性。自| k（0-)| > 1，应用[35，Thm.4.1.iv]得到x∈ （十）-, x+。7.9. 评论使用定理7.1，将定理7.8中的模式xf定位为（7.9）- 最小值Γ(1 - β-)α-(λ-)1.-β-,α-1.- β-1/β-< x<最小值Γ(1 - β+)α+(λ+)1-β+,α+1 - β+1/β+.26 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEWe现在应研究x大值密度的渐近行为。通过对称性，可以考虑情况x→ ∞.7.10. 定理。

设g为回火稳定分布的密度η。然后我们有渐近行为（x）~ 总工程师-λ+xx1+β+as x→ ∞,（7.10）其中常数C>0由C=α+exp给出- α+Γ(-β+)(λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ++ λ-)β-- (λ-)β-.证据设ν：=F是（2.3）给出的η的Lévy度量。在引理7.3和引理7.4、7.5的证明中，我们有ν（1）∈ L（λ+）和d*= 2^ν(1)(γ) < ∞.因此，[38，Thm.2.2.ii]适用并产生C*= C*= ^η(λ+). 通过（2.9），我们得到了^η（λ+）=ZReλ+xη（dx）=exp（ψ（λ+））=exp- α+Γ(-β+)(λ+)β++ α-Γ(-β-)(λ++ λ-)β-- (λ-)β-,因此，在定理7.7的证明中，我们得到了（7.10）。7.11. 评论现在，我们将比较一般回火稳定分布的密度与双边伽马分布的密度（β+=β-= 0）：o回火稳定分布的密度通常不可用封闭形式。对于双边伽马分布，我们有Whittaker函数的表示，请参见【24，第3节】。o定理7.8和[24，Thm.5.1]表明，回火稳定分布和双边伽玛分布都是单峰的模式xis的位置通常未知，但由于（7.9），我们可以确定其所在的间隔。关于双边伽马密度模式的一些结果，我们参考[24，Prop.5.2]。o根据定理7.8，回火稳定分布的密度为C类∞（R） 。对于双边伽马分布，情况并非如此，其中平滑度取决于参数α+，α-. 更准确地说，我们有g∈ CN（R \\{0}）和g∈ 中国大陆-1（R）\\CN（R），其中N∈ N是唯一的整数，使得N<α++α-≤ N+1，见【24，第4.1条】。o对于回火稳定分布，密度具有渐近行为（7.10）。

与此相反，双边伽马分布的密度具有渐近行为（x）~ Cxα+-1e级-λ+xas x→ ∞,对于某些常数C>0，请参见[23，第6节]。回火稳定过程的密度变换度量的等效变化对于应用非常重要，例如金融数学中的期权定价。本节的目的是确定X保持回火稳定的所有局部等效测量变化。这已在[8，示例9.1]中概述。这里，我们也对相应的密度过程感兴趣。对于密度过程的计算，我们将使用X=X+- 十、-可以分解为两个独立从属的差异。为了应用[34]第33节的结果，我们假设Ohm = D（R+）是配备有自然过滤Ft=σ（Xs：回火稳定分布和过程27s∈ [0，t]），σ-代数F=σ（Xt:t≥ 0），其中X表示正则过程Xt（ω）=ω（t）。设P为上的概率测度(Ohm, F） 这样的话~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)是一个回火稳定的过程。此外，设Q是另一个概率测度(Ohm, F） 这样的话~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-)在Q下，我们现在要研究，在什么条件下概率测度和Q是局部等价的。8.1. 提议以下陈述是等价的：（1）测度P和Q是局部等价的。（2） 我们有α+=α+，α-= α-, β+=β+和β-= β-.证据Lévy测度的Radon-Nikodym导数Φ=dfdfdf由Φ（x）=α+α+xβ给出+-β-e-(λ+-λ+）x（0，∞)（x） +α-α-|x |β+-β-e-(λ--λ-)|x个|(-∞,0）（x），x∈ R、 根据[34，Thm。

33.1]，当且仅当ifZR时，度量值P和Q局部等效1.-pΦ（x）F（dx）<∞.（8.1）因为我们有ZR1.-pΦ（x）F（dx）=Z∞1.-sα+α+x（β+-β-)/2e类-(λ+-λ+×2α+x1+β+e-λ+xdx+Z-∞1.-sα-α-|x |（β+-β-)/2e类-(λ--λ-)|x |/2α+| x | 1+β+e-λ+| x | dx=Z∞qα+x-（1+β+）/2e-（λ+/2）x-qα+x-（1+β+）/2e-（λ+/2）xdx+Z∞qα-x个-(1+β-)/2e类-(λ-/2） x个-qα-x个-(1+β-)/2e类-(λ-/2） x个dx，条件（8.1）满足当且仅当我们有α+=α+，α-= α-, β+=β+和β-= β-. 现在假设α+=α+=：α+，α-= α-=: α-, β+=β+=：β+和β-= β-=: β-. 我们将测定氡Nikodym导数Dqdp | Ftfort≥ 我们分解X=X+- 十、-作为两个独立的单侧回火稳定从属的差，用ψ+，ψ表示-各累积量生成函数，可通过（2.16）、（2.18）计算。8.2. 定义。Letθ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 要专横。双边lesscher变换由dp（θ+，θ）定义-)数据处理英尺：=膨胀θ+X+t- ψ+（θ+）t×经验值θ-十、-t型- Ψ-(θ-)t型, t型≥ 0.28 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappeth以下结果表明，命题8.1的度量变换是双边Esscher变换。8.3. 提议我们有Q=P（λ+-λ+,λ--λ-).证据Lévy测度的Radon-Nikodym导数Φ=dfdfdf由Φ（x）=dfdfdf=e给出-(λ+-λ+）x（0，∞)（x） +e-(λ--λ-)|x个|(-∞,0）（x）。简单的计算表明≤tlnΦ(Xs）=Xs≤tln e公司-(λ+-λ+)X+s+Xs≤tln e公司-(λ--λ-)十、-s=（λ+- λ++Xs≤t型X+s+（λ-- λ-)Xs型≤t型十、-s=（λ+- λ++X+t+（λ-- λ-)十、-t、 t型≥ 0以及ZR（Φ（x）- 1） F（dx）=ZRe-(λ+-λ+）x（0，∞)（x） +e-(λ--λ-)|x个|(-∞,0）（x）- 1.F（dx）=α+Z∞e-λ+x- e-λ+xx1+βdx+α-Z∞e-λ-x个- e-λ-xx1+βdx=ZR（e（λ+-λ++x- 1） F+（dx）+ZR（e（λ--λ-)x个- 1） F级-（dx）=ψ+（λ+- λ+) + Ψ-(λ-- λ-).根据[34，Thm.33.2]，氡Nikodym衍生物由DQDP给出Ft=expXs型≤tlnΦ(Xs）- tZR（Φ（x）- 1） F（dx）= 经验值(λ+- λ++X+t- Ψ+(λ+- λ++t×经验值(λ-- λ-)十、-t型- Ψ-(λ-- λ-)t型=dP（θ+，θ-)数据处理英尺，吨≥ 0完成证明。9