随机死亡模型：无限维方法

这是由过程（Γt（t，x））t的连续性所暗示的。Agiven F-可选可测量现场死亡率γ不一定是可预测的，但在可选σ-代数O上定义了一个度量γs（x）（ω）dsP（dω），其中包含可预测的σ-代数P。其对P的限制相对于P（dω）dt的RadonNikodym导数是一个满足方程（2）的F-可预测即期死亡率。（iii）即期和远期死亡率可解释为个体在给定当前信息时的最小死亡率。为了更精确，如果T≥ -x个∨ 满足定义2.5的条件，然后p（t<τx≤ T+ |Ft）=ut（t，x） + o() 像 → 0.（iv）F-forward死亡率改善j（T，x）量化了队列中F-forward死亡率的微小改善。直观地，增量ut（t+du，x- du）- ut（t，x）=-jt（T，x）Dude描述了两个年龄相同的队列在两个时间范围内的前向死亡率变化；队列x-du在T+du时年龄为T+x，而队列x在T时年龄相同。如果正向死亡率降低，正向死亡率改善jt（T，x）为正，如果正向死亡率增加，则为负。F-forward死亡率改善的随机动力学j可以捕捉未来的随机队列效应。下文第5节讨论了建模其随机演化的框架。3有条件的大数定律联营原则是保险数学的关键。它指出，在一个非常大的人口中，每个被保险人的特质几乎消失了。这通常被用作计算保险产品风险溢价的基础。

在本节中，我们在我们的模型中应用了池的思想，并证明了条件大数定律，表明F-生存和F-前向生存过程捕获了与随机死亡率相关的系统风险。我们确定出生日期-x个∈ R并考虑一个在这个日期出生的大型同质家庭。我们的目标是计算在未来日期t存活的个体比例，以及在时间t>t时存活的个体比例的最佳时间t预测；最好的预测将基于t可用的全部信息，这些信息不仅包括背景信息，还包括所有死亡事件的信息。我们首先陈述了一个假设，即我们正在考虑一个同质群体。假设3.1。设τxand^τxbe为当时出生的两个任意个体的死亡时间-x个∈ R、 那么P（τx>t | Ft）=P（τx>t | Ft）几乎可以肯定对于所有t∈ R+。种群的极限定理需要大量的个体。因此，我们考虑在日期出生的个人数量-x、 备注3.2。从数学上讲，在非常丰富的概率空间上，存在一个有限但可数的随机时间集合(Ohm, G、 P）对于满足假设3.1的给定危险过程，可以使用随机时间的规范构造很容易地表示出来，这是一个在简化形式信贷风险模型的文献中广为人知的概念。假设Γt（t，x）是一个递增的F-适应过程。设εnbe为独立于F的独立单位指数分布随机变量序列∞:=Wt公司∈R+Ft，随机时间τx，n：=inf{t：Γt（t，x）>εn}在给定F的条件下是独立的∞, 每个都有危险过程Γt（t，x）。定义3.3。

出租x∈ R、 一类相关死亡时间（τx，n）n∈如果（i）序列（τx，n）n∈Nis双随机，即P（τx，n>t | Ft）=P（τx，n>t | F∞) 对于所有t∈ R+，n∈ N（ii）序列（τx，n）n∈Nis F公司∞-条件独立，即对于任何有限J N、 tj公司∈ R+，j∈ J： P（τx，J>所有J的tj∈ J | F∞) =Yj公司∈JP（τx，j>tj | F∞).这一定义通常可以扩展到死亡时间可数的多个不同队列的家庭。定义3.3的属性（i）指出，截至时间t的个人死亡概率取决于截至时间t的背景信息，但不取决于随后到达的背景信息。例如，在考克斯过程强度的特殊背景下，这意味着时间t的强度是直到时间t的因子过程路径的函数。属性（ii）形式化了死亡时间在给定背景信息的情况下是独立的。请注意，这排除了本地或全球（平均场）相互作用意义上的传染效应。在死亡率建模的背景下，只要不考虑大规模疫情爆发，这种假设相对来说是无辜的。定理3.4。出租x∈ R、 我们用（Nn（x））n表示∈与出生日期的个人家庭相关的生存指标-具有F-DSCI死亡时间的x。那么对于所有t≥ -x个∨ 0：limN→∞NNXn=1Nn（x）t=Gt（t，x）P–几乎可以肯定。设置Gt：=σ{Nn（x）s:s≤ t、 n个∈ N}∨ 英尺，吨∈ R+，G=（Gt）t∈R+是完整的信息过滤。然后，对于所有t∈ R+，T≥ -x个∨ t： limN公司→∞NNXn=1E[Nn（x）T | Gt]=Gt（T，x）P–几乎可以肯定。（4） 证明。见附录A。定理3.4是一个大数定律。F条件生存过程描述了大群体聚集水平上的死亡率。数量Gt（t，x）等于当时出生的个体的分数-存活到t的x。

F-前向生存过程描述了这些分数的最佳预测。如定理所定义，G=（Gt）t∈R+对时间t可用的全部信息进行建模。它既包括背景信息，也包括截至时间t的所有死亡事件的发生信息。数量Gt（t，x）是时间t对当时出生的个体比例的最佳估计-能存活下来的x。我们强调Gt（T，x）是Ft可测量的，因此只依赖于背景信息。这一属性背后的理论基础是集合：特质风险在总体层面上不再相关。定理3.4也允许我们将（Gt（T，x））T的鞅性质从背景过滤F扩展到完全过滤G。有界收敛定理允许我们交换（4）中的期望和极限的顺序。这表明Gt（T，x）=E[Gt（T，x）| Gt]证明了G-鞅性质。最后观察随机过程（Gt（t，x））t≥-x个∨0is P–几乎可以肯定地根据定理3.4递减。这从定义3.3（i）中也很明显，因为Gt（t，x）=P（τx，1>t | Ft）=E（N（x）t | F∞)和（N（x）t）t∈R+正在减少。备注3.5。大数定律是指队列x固定的大型同质人群。然而，在应用中，负债和死亡率衍生产品通常与不均匀池相关，例如，包括各种队列。假设我们对市场一致性估值感兴趣，并且P被解释为参考度量。在这种情况下，需要以适当的方式对相关队列进行加权。这些权重可以很容易地通过实线上的Borel度量进行编码，如Bi ffs&M.（2006）第4节所述。4补偿器尽管非常方便，但第2节中描述的方法并不总是用于双随机点过程的文献中。

描述死亡时间概率特性的另一种方法考虑了G补偿器。为了便于两个概念之间的转换，webrie总结了一些基本关系。为简单起见，我们将注意力限制在时间0之后出生的个体，即我们假设-x个≥ 0.Let（τx，n）n∈Nagain是F-DSCI家族的死亡时间-x个∈ R+。相应的生存指标由（Nn（x））n表示∈N、 如定理3.4所述，G表示全部信息过滤。我们从定义补偿器的概念开始。它的存在源于Doob-Meyer分解定理。补偿器是唯一的，直到无法区分。定义4.1。G-可预测的右连续递增过程An（x）是τx，n，ifAn（x）t=0，t的G-补偿器≤ -x、 AND 1- Nn（x）t- An（x）t，t≥ -x、 是G-鞅。所有死亡时间的G-补偿器与F-生存过程之间的关系现在由以下命题描述。提案4.2。假设（τx，n）n∈Nis是F-DSCI家族的死亡时间-x个∈ R+。然后存在一个F-可预测的右连续递增过程∧（x），其性质如下：∧（x）τx，n=An（x），对于所有n∈ N、 其中∧（x）τx表示过程∧（x）在τx，N处停止。过程∧（x）是唯一的，直至不可区分。换句话说，∧（x）是一个F-可预测的、右连续的、递增的过程，因此1- Nn（x）t- ∧（x）t∧τx，n，t≥ -x、 是所有n的G-鞅∈ N、 和∧（x）t=0，t≤ -x、 这意味着∧（x）是τx的（F，G）-鞅危险过程，对于任何n∈ N根据Bielecki&Rutkowski（2002）中的定义6.1.1。让（▄Ft（x））t成为唯一的F-可预测的，递增过程，且▄Ft（x）=0，t≤ -x、 这样（1- Gt（t，x）-~Ft（x））t≥-xis是F-鞅，则∧（x）由∧（x）t=Z给出(-x、 t]燃气轮机-（t-, x） dFt（x）。

（5） 如果t 7→ Gt（t，x）几乎肯定是连续的，那么▄Ft（x）=1- Gt（t，x），因此∧（x）t=-Z(-x、 t]Gt（t，x）dGt（t，x）。证据见附录B。以下命题表明，在正则条件下，联合（F，G）-鞅危险过程与F-条件危险过程重合。提案4.3。允许-x个∈ R+。如果F条件危险过程（Γt（t，x））t≥-xis连续，则Γt（t，x）=∧（x）t≥ -x、 证明。见附录B.5中的有限维公式在本节中，我们提供了一个模型，用于F-远期死亡率u和非远期死亡率改善j在时间间隔R+=[0，∞). 我们将每个固定（T，x）的这些数量定义为一个由（可能是有限维）维纳过程和补偿泊松随机测度驱动的It^o过程。在第二步中，我们将转换这些It^o过程系统，以获得在适当的函数空间中具有值的单有限维随机过程。在债券市场的框架中，这一想法源自Musiela（1993）。正如我们在备注2.1中指出的，F-survivalprocesses G（T，x）必须是鞅。该属性导致一致性条件，我们将对所有考虑的量进行描述。现在我们将介绍一般的随机框架。我们从驱动维纳过程开始，用协方差算子Q在一些可分离的希尔伯特空间U中求取值∈ L（U）。详情请参阅Da Prato&Zabczyk（1992）第4章。随机被积函数的标准空间是关于随机过程的，其值在Hilbert-Schmidt算子空间L（H）：=L（U，H）中，从U:=Q1/2（U）到某个可分Hilbert空间H。空间H是模型的状态空间；适当的选择将在稍后讨论。

根据Q的谱分解，可以将（可能是有限维）被积函数分解为一维分量。准确地说，我们用（λk）k表示∈N (0, ∞) Q和by（ek）k的非零特征值序列∈n特征向量的对应正交基。然后，L（H）值被积函数Φ的一维分量由Φk给出：=Φ（pλkek），k∈ N、 （6）作为演化的第二个随机驱动因素，我们引入了一个时间齐次泊松随机测度，允许包含跳跃。有关详细信息，请参阅Jacod&Shiryaev（2003，定义II.1.20）。泊松随机测度p的标记空间（E，E）是一个可测空间。出于技术原因，我们假设（E，E）是Blackwell空间（见Dellacherie&Meyer（1982）或Getoor（1975））。Blackwell spaces包括波兰spaces作为特例。p的补偿器的形式为dt ν（dξ）表示σ-有限测度νon（E，E）。为了进一步参考，我们将Lν（H）：=L（E，E，ν；H）。我们在以下第5.1–5.4节中介绍了我们的主要结果。为方便读者，技术假设和证明推迟至附录C。第6.5.1节提供了一个说明性示例。在本节中，我们将指定F-远期死亡率ut（t，x）的动力学。我们首先为（t，t，x）的值选择一个合适的参数域Θ。变量t表示运行时间，参数-x表示个人的出生日期，T表示未来日期。因此，自然参数限制由0提供≤ t型≤ T，T≥ -x、 相关领域Θ 因此，R+×R由Θ给出：={（t，t，x）∈ R+×R：（T，x）∈ Ξ和t∈ [0，T]}，（7）带Ξ：={（T，x）∈ R+×R：-x个≤ T}。（8） 接下来，我们指定了远期死亡率的随机动力学。

假设u：Ξ→ R是F-远期死亡率的初始值。我们假设F-远期死亡率u（T，x），（T，x）∈ Ξ，遵循It^o过程：ut（t，x）：=u（t，x）+Ztαs（t，x）ds+Ztσs（t，x）dWs+ZtZEδs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]。（9） 这里，α：Ohm × Θ → R、 σ：Ohm × Θ → L（R）和δ：Ohm ×Θ×E→ R是满足技术假设C.1（见下文）的随机过程，保证方程（9）中的所有随机积分都存在。对于固定x∈ R我们将F点死亡率γ（x）引入γt（x）：=ut（t，x）{t≥-x} ，t≥ 0.（10）即期死亡率遵循如下命题所述的It^o过程。提案5.1。我们假设：o对于所有（t，x）∈ Ξ和ξ∈ E映射T 7→ u（T，x），T 7→ αt（t，x），t 7→ σt（t，x）和t 7→δt（t，x，ξ）在其域上是不同的假设C.1与所述一样适用于衍生工具Tu，Tα，Tσ和Tγ代替u、α、σ和γ。然后，对于每个x∈ F点死亡率的过程γ（x）是γt（x）=γ（x）+Ztζu（x）du+Ztσu（u，x）dWu+ZtZEδu（u，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0，其中过程ζ：Ohm × Ξ → R由ζu（x）=αu（u，x）+uu（u，x）+Zuuαs（u，x）ds+Zuuσs（u，x）dWs+ZuZEuδs（u，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），u≥ 0.证明。该证明类似于Filipovi'c（2009年，第6.1号提案），因此省略了该证明。如备注2.1所述，前向生存过程满足鞅条件，这是以下分析的关键。该条件意味着动力学的一个关键一致性条件：定义5.2。F-forward死亡率u被称为一致的，如果全部（T，x）∈ ΞF-survivalprocess G（T，x）是F-鞅。以下定理为死亡率的一致性提供了一个精确的标准。技术费用再次推迟至附录C。

特别是，我们需要一个关于Lévy测度ν的指数可积性条件，如假设C.5所述。定理5.3。假设假设满足假设C.1和C.5。那么F-远期死亡率u是一致的，当且仅当αt（t，x）=Xk∈Nσkt（T，x）ZT-x个∨tσkt（u，x）du-ZEδt（t，x，ξ）经验值-ZT公司-x个∨tδt（u，x，ξ）du- 1.ν（dξ）表示所有（T，x）∈ Ξ带T≥ t、 dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+。（11） 证明。见附录C.1。备注5.4。定理5.3提供了F-远期死亡率u一致性的标准，表明漂移α完全由波动率σ和γ决定。这类似于债券市场的HJM漂移条件，参见Heath、Jarrow和Morton（1992）对维纳驱动的情况，以及Bj"ork、Di Masi、Kabanov和Runggaldier（1997）对一般情况的附加泊松随机测度。请注意，我们的死亡率模型是针对参考测度P而制定的，而利率模型的HJM漂移条件仅适用于等效鞅测度。在本文中，Pmay也起到了统计计量的作用。5.2前瞻性死亡率改善的一致性HJM型动力学在本节中，我们详细说明了前瞻性死亡率改善的动力学，并推导出一致性条件。假设j：Ξ→ R是F-正向死亡率改善的初始表面。我们假设F-forward死亡率改善j（T，x），（T，x）∈ Ξ，遵循It^o流程：jt（T，x）：=j（T，x）+Ztas（T，x）ds+Ztbs（T，x）dWs+ZtZEcs（T，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]。（12） 此处，a：Ohm × Θ → R、 b：Ohm × Θ → L（R）和c：Ohm ×Θ×E→ R是满足技术假设C.8（见下文）的随机过程。

假设C.8确保定义（12）中的随机积分存在。放射线γ：R+→ R是F点死亡率的初始曲线，我们将该曲线扩展到初始曲面u：Ξ→ 通过设置u（T，x）：=γ（T+x），F-远期死亡率的R-ZTj（u，T+x- u） 杜。（13） 现在，以远期死亡率改善的动力学为出发点，我们重新定义了死亡过程α：Ohm × Θ → R、 σ：Ohm × Θ → L（R）和δ：Ohm ×Θ×E→ R为αt（t，x）：=-Ztat（u，T+x- u） du，σt（t，x）：=-ZTtbt（u，T+x- u） du和δt（t，x，ξ）：=-ZTtct（u，T+x- u、 ξ）du。（14） 对于每个（T，x）∈ Ξ我们将F-远期死亡率u（T，x）重新定义为（9）。再次，我们对由假设C.9形式化的Lévy测度ν施加指数可积性条件。定理5.5。假设满足假设C.8。那么以下陈述是正确的：（i）对于所有x∈ R+F点死亡率γ（x）遵循动力学γt（x）=u（t，x）+Ztαs（t，x）ds+Ztσs（t，x）dWs+ZtZEδs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ -x个∨ 0.（15）（ii）对于所有（T，x）∈ 我们有ut（t，x）=γt（t+x- t）-ZTtjt（u，T+x- u） du，t∈ [0，T]。（16） （iii）此外，如果满足假设C.9，漂移a由（T，x）=-Xk公司∈NZTtbkt（u，T+x- u） 杜邦ZT公司-x个∨tbkt（u，x）du-Xk公司∈Nbkt（T，x）ZT-x个∨tZutbkt（v，u+x- v） dvdu-ZE公司ZTtct（u，T+x- u、 ξ）duZT公司-x个∨tct（u，x，ξ）du×经验值ZT公司-x个∨tZutct（v，u+x- v、 ξ）dvduν（dξ）-ZEct（T，x，ξ）经验值ZT公司-x个∨tZutct（v，u+x- v、 ξ）dvdu- 1.ν（dξ），（17）则F-远期死亡率u是一致的。证据见附录C.2。备注5.6。