随机死亡模型：无限维方法

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英文标题：
《Stochastic mortality models: An infinite dimensional approach》
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作者：
Stefan Tappe and Stefan Weber
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Demographic projections of future mortality rates involve a high level of uncertainty and require stochastic mortality models. The current paper investigates forward mortality models driven by a (possibly infinite dimensional) Wiener process and a compensated Poisson random measure. A major innovation of the paper is the introduction of a family of processes called forward mortality improvements which provide a flexible tool for a simple construction of stochastic forward mortality models. In practice, the notion of mortality improvements are a convenient device for the quantification of changes in mortality rates over time that enables, for example, the detection of cohort effects.   We show that the forward mortality rates satisfy Heath-Jarrow-Morton-type consistency conditions which translate to the forward mortality improvements. While the consistency conditions of the forward mortality rates are analogous to the classical conditions in the context of bond markets, the conditions of the forward mortality improvements possess a different structure: forward mortality models include a cohort parameter besides the time horizon; these two dimensions are coupled in the dynamics of consistent models of forwards mortality improvements. In order to obtain a unified framework, we transform the systems of It\\^o-processes which describe the forward mortality rates and improvements: in contrast to term-structure models, the corresponding stochastic partial differential equations (SPDEs) describe the random dynamics of two-dimensional surfaces rather than curves.
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中文摘要：
未来死亡率的人口预测涉及高度不确定性，需要随机死亡率模型。本文研究由（可能无限维）维纳过程和补偿泊松随机测度驱动的正向死亡率模型。本文的一个主要创新是引入了一系列称为前向死亡率改进的过程，这为简单构建随机前向死亡率模型提供了一个灵活的工具。在实践中，死亡率改善的概念是一种方便的方法，可以量化死亡率随时间的变化，例如，可以检测队列效应。我们证明，远期死亡率满足Heath-Jarrow-Morton型一致性条件，这转化为远期死亡率的提高。虽然远期死亡率的一致性条件类似于债券市场中的经典条件，但远期死亡率改善的条件具有不同的结构：远期死亡率模型除了时间范围外，还包括一个队列参数；这两个维度在远期死亡率改善的一致模型的动力学中是耦合的。为了获得一个统一的框架，我们将描述正向死亡率和改进的It过程系统进行转换：与项结构模型相比，相应的随机偏微分方程（SPDE）描述的是二维曲面而非曲线的随机动力学。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-6-24 08:38:32 上传

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关键词：Improvements Differential Quantitative Construction bond markets

随机死亡率模型：有限维方法Stefan Tappe Stefan WeberLeibniz Universit"at Hannovera摘要未来死亡率的人口统计学预测涉及高度不确定性和随机死亡率模型。本文研究了由（可能是有限维）维纳过程和补偿泊松随机测度驱动的正向死亡率模型。本文的一个主要创新是引入了一系列称为正向死亡率改进的过程，这为简单构建随机正向死亡率模型提供了一个灵活的工具。在实践中，死亡率改善通知是一种方便的方法，可以量化死亡率随时间的变化，例如检测队列效应。我们证明，远期死亡率满足Heath-Jarrow-Morton型一致性条件，这转化为远期死亡率的提高。虽然远期死亡率的一致性条件类似于债券市场中的经典条件，但远期死亡率改善的条件具有不同的结构：远期死亡率模型除了时间范围外，还包括一个短期参数；这两个维度在远期死亡率改善的一致性模型的动力学中是耦合的。

为了获得一个统一的框架，我们将描述远期死亡率和改善的It^o-过程系统进行转换：与RM结构模型相比，相应的随机偏微分方程（SPD）描述了二维曲面而非曲线的随机动力学。关键词：死亡率、寿命、远期死亡率、Heath Jarrow Morton、死亡率改善、动态点过程、随机偏微分方程（SPDE）AMS主题分类（2010）：91D20，60H151简介精算数学通常是一种实用且简单的现实方法。例如，经典的人寿保险数学涉及保险产品的估值，准备金的计算基于联营的思想（由等价原则形式化）。它要求对被保险人的死亡率进行合理的预测。在实践中，保险公司通常使用确定性死亡率表，该表是根据过去的死亡率数据构建的，并包括安全裕度。对于定期人寿保险或年金等标准人寿保险产品，需要进行几十年的预测。虽然确定性死亡率表构成了现实的一个相当大的简化，但保险公司和实际机构始终意识到，未来死亡率的人口预测涉及高度的不确定性。精算师没有试图正确预测未来的死亡率，而是实施了一个审慎的风险管理计划，该计划涉及大量的安全裕度。虽然人寿保险公司的客户通常会被多收费用，但这种机制是公平的，因为盈余会重新分配给被保险人。

精算寿命表不得解释为实际死亡率的模型，而应解释为精算实践中的特定技术工具。事实上，对未来死亡率的人口预测具有高度的不确定性。例如，Booth（2006）观察到了这一点。因此，理解死亡率与分析或构建保险生命表不同，需要死亡率和死亡率预测机制的随机模型。目前的文章侧重于随机正向死亡率模型（见Milevsky&Promislow（2001），Dahl（2004），Miltersen&Persson（2005），Cairns，Blake&Dowd（2006），Bauer（2008），aLeibniz Universit"at Hannover，Institut für Mathematische Stochastik，Welfengarten 1，30167 Hannover，Germany）。电子邮件：Stefan Tappe<tappe@stochastik.uni-汉诺威。德>，斯特凡·韦伯<sweber@stochastik.uni-汉诺威。de>。Barbarin（2008）、Norberg（2010）、Bauer、Benth&Kiesel（2012）、Zhu&Bauer（2011）、Zhu&Bauer（2012））。这些与Bi ffis（2005）、Bi ffs、Denuit&Devolder（2010）、Hainaut&Devolder（2008）、Luciano&Vigna（2008）和Schrager（2006）等讨论的死亡率强度模型密切相关。我们的主要贡献是为这种方法提供了一个数学上严格且透明的框架，概括并实质上澄清了文献中以前的贡献。随机死亡率和死亡率预测模型可以作为分析当前精算实践的可靠性、稳健性和成本的框架。它们还可能改善人口预测，并为死亡率和长寿风险的管理提供更好的基础。最后，需要随机死亡率模型来计算保险负债的市场一致性价值，这一数量对于管理和报告目的尤为重要。

随机死亡率和死亡率预测模型也是构建各种再保险或资本市场解决方案的重要组成部分，有助于降低死亡率和寿命风险。最近的产品创新包括死亡率掉期、长寿债券和q-远期。贡献与概述：本文研究随机正向死亡率模型。第2节通过引入个体死亡的动态点过程模型为我们的方法提供了动力（参见Brémaud（1981），Bielecki&Rutkowski（2002））。我们定义了远期死亡率过程和比率。本文的一个主要创新是引入了一系列称为前向死亡率改进的过程，这是一个灵活的工具，可以简单地构建随机前向死亡率模型。此外，在实践中，死亡率改善的概念提供了一种方便的工具，可以量化死亡率随时间的变化，例如，可以检测共同效应（Prév^ot，Rinke&Stollmann（2011））。第3节提供了条件大数定律，作为向前致命模型重要性的理性依据。尽管许多关于这个问题的论文中都隐含着这些定理，但据我们所知，这些定理从未在文献中得到严格证明。正向死亡率模型的一个特例是基于强度的模型，该模型允许通过补偿器对其概率动力学进行替代描述。第4节解释了这一观点（一些作者倾向于采用本文所采用的方法）。建议的远期死亡率模型可以被解释为描述真实世界（参见Zhu&Bauer（2012））或风险中性动态（参见Bi ffs（2005）、Bi ffs&M（2006）、Bi ffs et al.（2010））。

在这两种情况下，我们都可以确定一个鞅条件，见下面的备注2.1，这意味着Carmona（2007）意义上的任何“代码本”的动力学的一致性条件。第5节描述了未来死亡率和改进的一致性条件。我们还提出了一个基于SPDE的统一建模框架。结果的证明推迟到附录中。虽然远期死亡率的一致性条件类似于债券市场中的经典条件，但远期死亡率改善的条件具有不同的结构：远期死亡率模型除了时间范围外，还包括一个队列参数；这两个维度在远期死亡率改善的一致模型的动力学中是耦合的。为了获得一个统一的框架，我们对描述远期死亡率和远期死亡率改善的It流程系统进行了改造。与期限结构模型相比，相应的随机偏微分方程（SPDE）描述了二维表面而非曲线的随机动力学。这些曲面通过队列和时间范围进行参数化（另请参见Bi ffes&M.（2006），了解随机领域的相关研究）。最令人感兴趣的是向前死亡率改善的一致性模型，这导致了随机向前死亡率模型。此外，前向死亡率曲面的形状需要Hilbert函数空间，而利率模型的文献中并未涵盖这些空间，请参见定义5.7和示例5.8。我们的结果在莱维驱动的Gompertz-Makeham正向死亡率模型的背景下进行了说明。在第6.2节定义和基本属性中，我们首先介绍了随机死亡率模型的基本概念。

我们表示为(Ohm, G、 P）定义所有随机变量和过程的充分丰富的概率空间。概率测度P可以被解释为现实世界的测度，也可以被解释为定价测度，具体取决于理论应用的背景。个人的寿命以其出生日期c和随机死亡时间为特征。作为人寿保险数学中的一个常见问题，我们按年龄对个人队列进行编码，因此定义=-c∈ R，可解释为时间0时的（假设）年龄。个体死亡发生在G-可测量的随机时间τx：Ohm → (-x，∞). 等效地，死亡时间由存活指标描述，这是一个由nt（x）（ω）定义的随机过程=1，t<τx（ω），0，t≥ τx（ω）（ω∈ Ohm, t型∈ R+。建立事件发生概率演化模型的既定方法是基于强度的模型。一个特别方便的例子是考克斯过程模型，见Brémaud（1981），该模型假设强度由随机协变量驱动。在目前的论文中，我们主要关注这些模型，但如Brémaud（1981年）和Bielecki&Rutkowski（2002年）所述，我们在更抽象的层面上介绍了这些模型。有关过滤放大的详细分析和更多参考资料，请参见Jeanblanc，Yor&Chesney（2009）。我们将注意力限制在时间段R+=[0，∞). 系统信息由过滤F=（Ft）t建模∈R+–有时也称为背景信息。在经典的Cox过程模型中，这种过滤对应于由随机协变量过程的历史生成的sigma代数族。直觉上，F包含所有确定死亡事件可能性的信息。然而，正如我们将在下文中看到的，应假设F不包括特定个体的确切死亡时间信息。

出于技术原因，我们假设(Ohm, G、 F、P）满足通常条件。o个体在某一时间出生的条件概率-x生存到时间t≥ 0给定的背景信息由τx：Gt（t，x）：=P（τx>t | Ft），t≥ -x个∨ 这个过程被认为是点过程理论的重要组成部分。在适当的技术假设下，Gt（t，x）等于出生日期的个人分数-在t之前存活的x。精确结果将在定理3.4中说明另一个对面临死亡和长寿风险的公司特别感兴趣的目标——尤其是养老基金和再保险公司，参见Prév^ot等人（2011年）——是对出生日期t的个人比例的最佳预测-直到将来的某个日期T。同样，在OREM 3.4中，我们将在适当的技术条件下表明，该预测等于我们定义为GT（T，x）：=P（τx>T | Ft）=E[GT（T，x）| Ft]，T≥ -x个∨ t、 （1）备注2.1。从其定义可以明显看出，对于固定x和T，前向生存过程（Gt（T，x））是关于概率测度P的鞅。这个鞅性质非常自然：o如果P是真实世界的测度，那么随机变量Gt（T，x）描述了个体在某个日期出生的条件概率-根据T日的信息，x有效期至T日；如果可用信息随着时间t的增加而增加，那么相应的条件概率过程当然是F鞅。朱和鲍尔（2012）对此观点进行了详细讨论。此外，定理3.4对该过程的解释略有不同。

如前所述，在技术条件下，Gt（T，x）是对当天出生的个体比例的最佳时间T预测-存活到未来日期T（存活率）的x。如果t增加，可用信息增加，这显然意味着鞅性质如果货币市场账户被选为具有确定性利率r（t）的数字，t≥ 0，P是定价度量，然后exp-RTtr（s）ds· Gt（T，x）可以解释为在T时支付等于生存率的金额的生存债券在T时的价格。点过程理论的标准技术工具是危险过程和强度。我们在死亡率模型的背景下采用了这些概念。我们从一个技术假设开始。假设2.2。对于所有t∈ R+，T≥ -x个∨ t、 我们得到Gt（t，x）>0。备注2.3。假设2.2保证在许多强度模型的背景下，关于Fand的随机时间τxare不是停止时间，参见Bielecki&Rutkowski（2002）。filtrationf包含死亡事件可能性的背景信息，但不包括其实际发生情况；在Cox过程中，这通常意味着F是由协变量产生的，而不是由单个死亡事件产生的。在我们的死亡率模型中，我们将在第3节中实际证明，基于所有可用信息的生存率预测也会导致F-远期生存过程，见定理3.4。请注意，假设2.2意味着不存在所有个体都必须达到的最大年龄。虽然不现实，但如果老年人的条件生存属性非常低，因此不会造成任何严重限制，则这一限制会得到缓解。定义2.4。允许-x个∈ R可以任意。

F-forward危险过程系列由[0，T]3 T 7定义→ Γt（t，x）=-ln Gt（T，x），T≥ -x个∨ F-条件危险过程家族由t 7定义→ Γt（t，x），t≥ -x个∨ 定义2.5。允许-x个∈ R可以任意。（i） 如果t 7→ Γt（t，x），t≥ -x个∨ 0，对于勒贝格测度是绝对连续的，即Γt（t，x）=Γ（0，x）+Zt-x个∨F-可选过程γ（x）=（γt（x））t的0γs（x）ds（2）≥-x个∨0，则γ（x）称为F点死亡率（或有时强度）。在（2）中，我们设置Γ（0，x）：=0表示x≤ 0.（ii）如果T 7→ Γt（t，x），t≥ -x个∨t代表t∈ R+，对于Lebesgue测度是绝对连续的，即Γt（t，x）=Γt(-x个∨ t、 x）+ZT-x个∨tut（s，x）ds（3），用于F-可选过程u（t，x）=（ut（t，x））t∈[0，T]，T≥ -x个∨ 0，则过程u（T，x）称为F-正向死亡率。在（3）中，我们设置了Γt(-x、 x）：=0表示t≤ -x、 （iii）如果为t∈ R+存在T的F-远期死亡率u（T，x）≥ -x个∨t、 如果h 7→ ut（t+h，x-h） 关于Lebesgue测度，isabsolutely连续，即ut（t+h，x- h）- ut（t，x）=-Zhjt（T+u，x- u） duf-可选过程j（T，x）=（jt（T，x））T∈[0，T]，T≥ -x个∨ 0，则过程j（T，x）称为正向死亡率改进。我们将在第5节中调查远期死亡率的动态和改善情况。备注2.1中的马丁格尔条件对其进化施加了限制，将对其进行详细研究。备注2.6。（i） 约定Γ（0，x）=0表示x≤ 0和Γt(-x、 x）=0表示t≤ -（2）和（3）中的x分别编码所有个体在出生日期之前都应该活着-概率为1的x。根据定义2.4，在这些情况下，正向危险过程需要为0。（ii）虽然我们仅假设存在F-可选F-点死亡率，但可以要求现场死亡率是可预测的。