随机死亡模型：无限维方法

先前的结果表明，初始曲面与正向死亡率和改善的一致动态演化的波动性之间存在以下关系：o对于给定的初始曲面jof F-forward Detairation improvements和F-Spot Detairation rates的初始曲线γ，我们可以通过（13）计算F-forward Detairation rates的初始曲面u相反，对于给定的F-forward死亡率的初始曲面u，我们可以计算F-forward死亡率改善的初始曲面J asj（T，x）：=-(T- x） u（T，x）。o对于（12）中给定的挥发分a、b、c，我们可以通过（14）计算（9）中的挥发分α、σ、δ对于给定的挥发度α，σ，δin（9），αt（t，x）=σt（t，x）=δt（t，x，ξ）=0，我们可以通过（t，x）：=-(T- x） αt（t，x），bt（t，x）：=-(T- x） σt（t，x）和ct（t，x，ξ）：=-(T- x） δt（t，x，ξ）。o注意，为了一致性，漂移项a由（17）给出，漂移项α由（11）给出。5.3远期死亡率的一致性Musiela型动力学在本节中，我们将转换参数域Θ，以获得统一的框架。F-Forward死亡率将由一个有限维随机过程描述，该过程的值在由函数h：Ξ组成的Hilbert空间中→ R、 对于这个过程，我们介绍了映射φ：Θ→ R+×Ξ，φ（t，t，x）=（t，t- t、 x+t），这是带逆φ的双射-1： R+×Ξ→ Θ, φ-1（t，s，y）=（t，s+t，y- t） 。定义5.7。

如果满足以下条件，我们将可分希尔伯特空间（H，k·k）称为前向死亡空间：（i）H由连续函数H组成：Ξ→ R、 syFigure 1：移位半群（St）t的域Ξ和作用≥0.（ii）对于每个（s，y）∈ Ξ点评估`（s，y）：H→ R、 `（s，y）（h）：=h（s，y）是一个连续的线性函数。（iii）对于每个有界Borel集B Ξ存在一个常数C>0，使得k`（s，y）k≤ 全部为C（s，y）∈ B、 （18）（iv）移位半群（St）t≥0由th（s，y）给出：=h（s+t，y- t） ，（s，y）∈ Ξ（19）是H上的一个C半群。前向死亡空间中的函数域Ξ如图1所示。变量s表示计算生存概率的时间范围长度；y表示给定队列中个体的当前年龄。s+y之和是时间范围s结束时队列y中个体的年龄。请注意，当前年龄y允许为负值，标记预测的未来世代的个体。对于每个（s，y）∈ Ξ我们必须有s+y≥ 0，由域Ξ选择；i、 e.在预测时间范围结束时，做出预测的个体将已经出生。图1还说明了移位半群的作用，其中向量（s，y）∈ Ξ映射到（s+t，y- t）∈ Ξ. 对于正t，该映射将数量转移到年龄相同的年轻一代。前向死亡空间的示例可以如下构造：示例5.8。设w，w:R+→ (0, ∞) 和w:R+→ (0, ∞) 是严格正的、连续的权重函数。

以下参数选择提供了一个可能的具体示例：w（s）=e-βs，w（z）=e-βzandw（s，z）=e-对于某些常数β>0，β（s+z）。（20） 设H是由所有函数H：Ξ组成的线性空间→ R满足以下条件：o对于所有s∈ R+映射z 7→ h（s，z- s） ，z 7→ sh（s，z- s） 都是绝对连续的∈ R映射s 7→ h（s，z- s） ，s 7→ zh（s，z- s） 是绝对连续的（因此，几乎在任何地方都可以区分）。o我们有szh（s，z- s） =zsh（s，z- s） 几乎所有（s、z）∈ R+.o我们有KHK：=|h（0，0）|+Z∞|sh（s，-s） | w（s）ds+Z∞|zh（0，z）| w（z）dz+z∞Z∞|szh（s，z- s） | w（s，z）dzds1/2< ∞.（21）则（H，k·k）是前向死亡空间。这些论点与Filipovi'c（2001）第5节中的论点相似：简单的计算表明，对于所有h∈ H和s，z∈ R+我们有H（s，z- s） =h（0，0）+Zssh（s，-s） ds+Zzzh（0，z）dz+ZsZzszh（s，z- s） dzds。（22）图示（22）显示每小时∈ H是一个连续函数。此外，通过（22）和CauchySchwarz不等式，我们得到（18）。使用估计值（18），每小时∈ 当khk=0时，我们得到了H=0，表明k·k是H上的一个范数（不仅仅是一个半范数）。通过定义（21）范数k·k，我们得到了~=R×L（R+）×L（R+）×L（R+），表明（H，k·k）是一个可分的希尔伯特空间。最后，Filipovi'c（2001年，第5节）中的类似论点表明，（St）t≥0是H上的C-半群。从现在起，设H是前向死亡空间。由移位半群（St）t的微型生成器表示≥0，每小时∈ D（A）我们得到的Ah（s，y）=limt→0Sth（s，y）- h（s，y）t=极限→0h（s，y）+t（1，-1)) - h（s，y）t=Dh（s，y）（1，-1) = (s- y） h（s，y），（s，y）∈ Ξ.因此，我们有一个=s- 扬德(s- y） {h∈ H:(s- y） h存在于(s- y） h类∈ H} 。Letu∈ H是远期死亡率的初始值。

我们将F-远期死亡率定义为H值过程ut：=Stu+ZtSt-s′αsds+ZtSt-s’σsdWs+ZtZESt-s′δs（ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（23）此处，’α：Ohm ×R+→ H、 (R)σ：Ohm ×R+→ L（H）和δ：Ohm ×R+×E→ H是满足假设C.11（见下文）的随机过程，该假设确保常数变化公式（23）中的所有随机积分都存在。备注5.9。正如我们在第2节中所看到的，远期死亡率应该是积极的过程。然而，在本论文的上下文中，我们没有对（23）中定义的F-Forward死亡率进行一般的积极假设。关于（9）中定义的F-远期死亡率。积极性取决于具体模型的选择。即使违背了积极性，在实践中，我们也可以通过适当的参数来确保死亡率只有在很低的概率下才会变为负值。这样的模型可以被视为是对现实的一种很好的近似；这种建模理念在概念上与Vasicek模型及其在利率背景下的Hull-White扩展方法相似。为了在一般框架内严格调查积极性，如Filipovi'c、Tappe&Teichman（2010b）对经典HJM模型所做的那样，可以定义闭合的凸圆锥面：=\\（s，y）∈Ξ{h∈ H:H（s，y）≥ 0}的非负死亡曲面，并导出了（23）P的随机不变性的适当条件。定义5.10。如果转换后的F-forward死亡率u：=u，则F-forward死亡率u称为一致o φ在定义5.2的意义上是一致的。在下面的定理中，我们再次对Lévy测度ν施加指数可积条件。定理5.11。假设假设C.11和C.12已完成。

当且仅当αt（s，y）=Xk时，F-正向死亡率|u是一致的∈N′σkt（s，y）Zs-y∨0'σkt（u，y）du-ZE'δt（s，y，ξ）经验值-Zs公司-y∨0'δt（u，y，ξ）du- 1.ν（dξ）表示所有（s，y）∈ Ξ，dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+。（24）证明。见附录C.3。备注5.12。根据Da Prato&Zabczyk（1992）的精神，（23）中的F-forward死亡率过程是随机偏微分方程（SPDE）（dut）的温和解=(s- y） \'ut+\'αtdt+’σtdWt+’δt（ξ）（p（dt，dξ）- ν（dξ）dt）(R)u=u。条件（24）对于F-远期死亡率的一致性是必要且有效的。它类似于带有Musiela参数化的债券市场的HJM漂移条件。5.4前瞻性死亡率改善的一致性Musiela型动力学在本节中，我们推导了F-前瞻性死亡率改善的统一框架。随机过程将在适当的函数空间中取值。在适当的条件下，隐含的F-远期死亡率将是一致的。设H为正向死亡空间（见定义5.7），j∈ H前向致命改进的初始表面。我们将F-forward死亡率改善定义为H值过程jt：=Stj+ZtSt-s’asds+ZtSt-s'bsdWs+ZtZESt-s’cs（ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（25）此处，’a：Ohm ×R+→ H、 (R)b：Ohm ×R+→ L（H）和c：Ohm ×R+×E→ H是满足技术假设C.13（见下文）的随机过程。假设C.13确保常数变化公式（25）中的随机积分存在。放射线γ：R+→ R是F点死亡率的初始曲线，我们将该曲线扩展到初始曲面u：Ξ→ 通过设置u（s，y）：=γ（s+y），F-远期死亡率的R-Zsj（u，s+y- u） 杜。

（26）此外，我们重新定义了随机过程α：Ohm ×Ξ → R、 (R)σ：Ohm ×Ξ → L（R）和δ：Ohm ×Ξ×E→ Ras？αt（s，y）：=-Zs位于（u，s+y- u） du，’σt（s，y）：=-Zs'bt（u，s+y- u） du和δt（s，y，ξ）：=-Zs'ct（u，s+y- u、 ξ）du。（27）假设u∈ H、 而“α”、“σ”和“δ”是H值过程，因此假设C.11已满。H值过程|u由常数变化公式（23）重新定义，对于y≥ 0我们将场外死亡率γ（y）定义为γt（y）：=ut（0，y），t≥ 再次，我们对Lévy测度ν施加指数可积条件。定理5.13。假设满足假设C.13。那么以下陈述是正确的：（i）对于所有y∈ R+F点死亡率γ（y）具有动力学γt（y）=Stu（0，y）+ZtSt-s′αs（0，y）ds+ZtSt-s′σs（0，y）dWs+ZtZESt-s′δs（0，y，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0.（29）（ii）对于所有（s，y）∈ 我们有“ut（s，y）=”γt（s+y）-Zs'jt（u，s+y- u） du，t≥ 0.（30）（iii）此外，如果满足假设C.14，且漂移“a”由（s，y）=-Xk公司∈NZs'bkt（u，s+y- u） 杜邦Zs公司-y∨0？bkt（u，y）du-Xk公司∈N'bkt（s，y）Zs-y∨0Zu？bkt（v，u+y- v） dvdu-ZE公司Zs'ct（u，s+y- u、 ξ）duZs公司-y∨0’ct（u，y，ξ）du×经验值Zs公司-y∨0Zu？ct（v，u+y- v、 ξ）dvduν（dξ）-ZE’ct（s、y、ξ）经验值Zs公司-y∨0Zu？ct（v，u+y- v、 ξ）dvdu- 1.ν（dξ），（31）则F-远期死亡率|u是一致的。证据见附录C.4。备注5.14。

本着Da Prato&Zabczyk（1992）的精神，F-forward死亡率改善过程（25）是随机偏微分方程（SPDE）（d’jt）的温和解决方案=(s- y） “jt+”atdt+’btdWt+’ct（ξ）（p（dt，dξ）- ν（dξ）dt）(R)j=j。与备注5.6类似，我们可以得出初始曲面与正向死亡率和改善的一致动态演化的波动性之间的以下关系：o对于给定的初始曲面，F-正向死亡率改善和F-点死亡率的初始曲线γ，我们可以通过（26）计算F-forward死亡率的初始表面u相反，对于给定的F-forward死亡率的初始曲面u，我们可以计算F-forward死亡率改善的初始曲面J asj（s，y）：=-(s- y） u（s，y）。o对于（25）中给定的挥发度\'a，\'b，\'c，我们可以通过（27）计算（23）中的挥发度\'α，\'σ，\'δ。o对于给定的挥发度‘α，’σ，’δin（23）’αt（0，y）=‘σt（0，y）=‘δt（0，y，ξ）=0，我们可以通过’at（s，y）：=-(s- y） \'\'αt（s，y），\'bt（s，y）：=-(s- y） σt（s，y）和ct（s，y，ξ）：=-(s- y） δt（s，y，ξ）。o请注意，为了保持一致性，漂移项“a”由（31）给出，漂移项“α”由（24）给出。6示例：一个Lévy过程驱动的Gompertz-Makeham模型为了说明我们之前的结果，我们提供了Gompertz-Makehammodel的一个Lévy过程驱动版本，并计算该模型的一致性动力学。在第6.1节中，我们考虑了一般情况，其中F-forward死亡率和F-forward死亡率改善是由Lévy过程驱动的；第6.2节，我们关注Gompertz-Makeham模型的特殊情况。6.1 Lévy过程驱动的死亡率模型Let X是具有高斯部分C的实值Lévy过程≥ 0和Lévy度量ν。

我们假设存在常数M， > 0使得z{|ξ|>1}ezξν（dξ）<∞ 对于所有z∈ [-(1 + )M、 （1+)M] 。（32）则累积量生成函数ψ（z）：=ln E[ezX]存在于[-(1 + )M、 （1+)M] 属于C类∞在内饰上(-(1 + )M、 （1+)M）表示ψ（z）=Bz+Cz+ZR（ezξ- 1.- zξ）ν（dξ），ψ（z）=B+Cz+ZRξ（ezξ- 1） ν（dξ），ψ（z）=C+ZRξezξν（dξ），其中B∈ R表示X的漂移。我们将直接切换到Musiela型动力学。设H为正向死亡率空间，见定义5.7。假设F-forward死亡率u和F-forward死亡率改善uj由常数公式ut=Stu+ZtSt的变化给出-s^αsds+ZtSt-s^σsdXs，t≥ 0，（33）(R)jt=Stj+ZtSt-s^asds+ZtSt-s^bsdXs，t≥ 0，（34），初始表面u，j∈ H和适当的H值过程^α，σ和^a，b。注意，这些是常数公式（23），（25）变化的特殊情况：维纳过程的状态空间U和泊松随机测度p的标记空间E是U=E=R；（23）中的映射“σ”由√C^σ，且（23）中的δ（ξ）由ξ^σ给出；（25）中的映射“b”由√C^b，和C（ξ）in（25）乘以ξb。在这种情况下，定理5.11中的漂移条件（24）为F-正向死亡率，确保一致性Ecomes^αt（s，y）=-^σt（s，y）ψ-Zs公司-y∨0^σt（u，y）du, （35）且定理5.13中F向前死亡率改善的漂移条件（31）转化为^at（s，y）=-Zs^bt（u，s+y- u） 杜邦Zs公司-y∨0^bt（u，y）du· ΨZs公司-y∨0Zu^bt（v，u+y- v） dvdu-^bt（s，y）ψZs公司-y∨0Zu^bt（v，u+y- v） dvdu.（36）6.2 Gompertz-Makeham模型作为随机死亡率模型的一个示例，我们在本节中描述了一个Lévy过程驱动的Gompertz-Makeham模型。

设θ>1，θ，θ，θ>0为实常数，初始曲面j：Ξ→ F-正向死亡率改善的R，初始表面u：Ξ→ F-远期死亡率的R和初始曲线γ：R+→ F点死亡率的R由j（s，y）=θe提供-θs（θeθ（s+y）+θ），u（s，y）=（θ+e-θs）（θeθ（s+y）+θ），γ（y）=（θ+1）（θeθy+θ）。这些初始表面满足备注5.14中所述的关系。对于每个z∈ R+我们观察到→∞u（s，z- s） =θ（θeθz+θ），即如果预测时间范围的长度s趋于∞ 对于预测时间范围结束时z年龄个体的死亡率，则初始远期死亡率再次由经典Gompertz-Makeham模型描述。备注6.1。初始表面jandu属于示例5.8中定义的正向死亡空间H，并具有适当的权重函数选择（20）。最后，我们描述了根据备注5.14和漂移条件（35），（36）计算的波动率结构^a、^b和^α、^σ的三个示例。例6.2。如果F-远期死亡率改善的波动率^b为常数且等于1，则我们计算^a（s，y）=-s（s+y{y<0}）ψs-y{y<0}- Ψs-y{y<0},^b（s，y）=1，^α（s，y）=sψs-y{y<0},^σ（s，y）=-s、 特别是，远期死亡率的波动性与预测时间范围的长度成正比。示例6.3。在本例中，F-远期死亡率改善的波动率^b等于时间段结束时个体的年龄s+年。在这种情况下，我们得到^a（s，y）=-s（s+y）s+sy+y{y<0}Ψ3sy+2s-y{y<0}- （s+y）ψ3sy+2s-y{y<0},^b（s，y）=s+y，^α（s，y）=s（s+y）ψ3sy+2s-y{y<0},^σ（s，y）=-s（s+y）。特别是，远期死亡率的波动性与预测时间范围的长度乘以时间范围结束时个体的年龄成正比。示例6.4。

最后，假设F-远期死亡率改善的波动率^b等于时间范围结束时的年龄+y乘以1- e-s、 为更长预测期的不确定性增加建模的因素。引入辅助函数g，h:Ξ→ R asg（s，y）=（2ses+2）y+ses+2s+2e-s- （y+1）{y<0}-2年- y{y≥0}，h（s，y）=（（3s- 6s）es- 6） y+（2s- 3s）es- 6秒- 6e-s+（y+1）{y≥0}+6ey- y- 3y{y<0}，我们得到漂移项和波动项^a（s，y）=-（s+y）（1+s-e-s） g（s，y）ψ（h（s，y））- （s+y）（1- e-s） ψ（h（s，y）），^b（s，y）=（s+y）（1- e-s） ，α（s，y）=（s+y）（1+s- e-s） ψ（h（s，y）），^σ（s，y）=-（s+y）（e）-s+s- 1).实施例6.2–6.4中所述的F-远期死亡率u通常可能以非零概率变为负值；因此，应将其解释为实际死亡率的近似值，见备注5.9。备注6.5。对于例6.2-6.4中的挥发度^b，用ψ和ψ计算的（36）中的二重积分取R+。因此，在这些例子的上下文中，除了条件（32）之外，还应该假设累积量生成函数ψ甚至存在于R+上。例如，如果Lévy过程是一个跳跃微分X=W+N，可以描述为Aviener过程W和Poisson过程N之和，则该假设是满足的。在这种特殊情况下，累积量生成函数等于ψ（z）=z+ez- 1、对于权重函数w、wand w的适当选择，示例6.2–6.4中的漂移和波动项属于示例5.8中定义的远期死亡率空间。致谢我们感谢编辑、副编辑和两位匿名推荐人提出的非常有用的意见和建议。