随机死亡模型：无限维方法

我们感谢扬·巴尔多、安娜·玛丽亚·哈姆、埃克哈德·普雷滕、科德·罗兰·林克、托马斯·萨尔菲尔德、马克斯·斯托尔曼和斯文·维辛格的有益评论和讨论。第3节附录：条件大数定律在本附录中，我们提供定理3.4的证明。定理3.4的证明。随机变量Nn（x）t，n∈ N、 在给定F的条件下是独立的∞具有相同的F∞-假设3.1和定义3.3的条件伯努利分布。根据条件强大的大数定律，如Prakasa Rao（2009）中的定理7，我们得到nnxn=1Nn（x）t-→ E[N（x）t | F∞] = P（τx，1>t | Ft）=Gt（t，x）P–几乎可以肯定。通过Lebesgue支配收敛定理的条件版本，如Jacod&Protter（2004）中的定理23.8，我们得到了Limn→∞NNXn=1E[Nn（x）T | Gt]=E“limN→∞NNXn=1Nn（x）TGt#=E[Gt（T，x）| Gt](*)= E【GT（T，x）| Ft】=GT（T，x）。平等(*) 随后是Kallenberg（2002）中的6.6号提案，如果英国《金融时报》⊥⊥Ftσ{Nn（x）s:s≤ t、 n个∈ N} 。自那时起 F∞, 这来自引理A.1。引理A.1。考虑定理3.4的设置。那么对于t∈ R+：F∞⊥⊥Ftσ{Nn（x）s:s≤ t、 n个∈ N} 。证据如果B∈ σ（Nn（x）s）对于某些s≤ t、 然后b=f（Nn（x）s），f：{0，1}→ {0, 1}. 让∈ F∞,K∈ N、 sk公司≤ t、 fk：{0，1}→ {0，1}，k=1，K、 我们有爸爸∩K\\K=1{fk（Nk（x）sk）=1}英尺！=E“E”A·KYk=1fk（Nk（x）sk）F∞#Ft#=E“A·E”KYk=1fk（Nk（x）sk）F∞#Ft#=E“A·KYk=1Efk（Nk（x）sk）|英尺Ft#=E[A | Ft]·KYk=1Efk（Nk（x）sk）|英尺,和hencePA∩K\\K=1{fk（Nk（x）sk）=1}英尺！=P（A | Ft）·E“KYk=1Efk（Nk（x）sk）|英尺Ft#=P（A | Ft）·E“KYk=1Efk（Nk（x）sk）| F∞Ft#=P（A | Ft）·E“PK\\k=1{fk（Nk（x）sk）=1}F∞!Ft#=P（A | Ft）·PK\\k=1{fk（Nk（x）sk）=1}英尺！。子类：=（K\\K=1{fk（Nk（x）sk）=1}：sk≤ t、 fk：{0，1}→ {0，1}，k∈ {1，…，K}，K∈ N） 是π系统（即。

生成σ-代数σ{Nn（x）s:s的有限交点下闭合≤ t、 n个∈ N} 。引理现在来自Kallenberg（2002）中引理3.6的条件类似物。B第4节附录：补偿在本附录中，我们提供命题4.2和4.3的证明。命题4.2的证明。确定过滤Gn=（Gnt）t∈R+通过设置Gnt=Ft∨σ（Nn（x）s:s≤ t） ，t∈ R+。τx，n的Gn补偿器Bn（x）包括G补偿器An（x）。这可以如下所示：τx的gn补偿器Bn（x），nis是一个G-可预测、右连续、递增的过程。如果1-Nn（x）-Bn（x）是G-鞅，那么Bn（x）等于G-补偿器An（x）。鞅性质来自引理B.1。因此，公式（5）根据Bielecki&Rutkowski（2002）中的命题6.1.2定义了τx的a（F，G）-鞅风险过程。由于公式（5）不依赖于n，证明了具有期望性质的过程∧（x）的存在性。它仍然显示出独特性。自limN以来→∞NPNn=1Nn（x）t=Gt（t，x）>0 P–几乎可以肯定的是，根据定理3.4和假设2.2，我们知道G-stoppingtimes的递增序列是▄τx，n：=max{τx，i:i=1，…，n}，n∈ N、 偏离P–几乎可以肯定∞. 观察{τx，n=τx，i}上的∧（x）~τx，n=Ai（x），以及Ohm =Sni=1{τx，n=τx，i}。由于G补偿器Ai（x）i∈Nare unique，因此停止的过程∧（x）~τx，是唯一指定的。自▄τx，n→ ∞ P–几乎可以肯定为n→ ∞, 这意味着∧（x）的唯一性。如果t 7→ Gt（t，x）几乎肯定是连续的，那么它也是可预测的，最后一条语句就是从这里开始的。为了证明命题4.3，我们准备了一个辅助结果：引理B.1。假设（τx，j）j∈Nis一个F-DSCI家庭，记录出生日期的个人死亡时间-x个∈ R+。定义Gt：=σ{Nj（x）s:s≤ t、 j∈ N}∨ Ft，Gnt=σ（Nn（x）s:s≤ t）∨ 英尺，吨∈ R+，Gn∞=Wt公司∈R+GNT用于某些∈ N、 让Y成为Gn∞-可测量、可积的随机变量。

那么对于t∈ R+：E[Y | Gt]=E[Y | Gnt]P–几乎可以肯定。证据设Hnt=σ（Nn（x）s:s≤ t） ，H6=nt=σ（Nj（x）s:s≤ t、 j∈ N、 j 6=N），Ht=σ（Nj（x）s:s≤ t、 j∈ N） 和Hn∞=Wt公司∈RHnt。通过引理A.1，我们得到了F∞⊥⊥FtHt=Hnt∨ H6=nt。这意味着命题6.8 inKallenberg（2002）：F∞⊥⊥英尺∨HntH6=nt。（37）根据定义3.3（ii），Hnt∨Hn公司∞= Hn公司∞⊥⊥F∞H6=nt，因此根据Kallenberg（2002）中的命题6.8：Hn∞⊥⊥F∞∨HntH6=nt。（38）方程式（37）和（38）由Kallenberg（2002）中的命题6.8暗示∞= F∞∨ Hn公司∞⊥⊥英尺∨HntH6=nt。自Ft起∨ Hnt=GN和H6=nt∨ Gnt=Gt，Kallenberg（2002）的推论6.7（i）表明Gn∞⊥⊥GntGt。weget E[Y | Gt]=E[Y | Gt∨Gnt]=E[Y | Gnt]，其中最后一个等式来自Kallenberg（2002）中的命题6.6。命题4.3的证明。引理B.1表明∧（x）是τx，nforany n的（F，Gn）-鞅危险过程∈ N、 式中，Gn=（Gnt）t∈R+是命题4.2证明中引入的过滤。因此，根据Bielecki&Rutkowski（2002）中的命题6.2.1（ii），我们得到∧（x）t=-ln（1-英尺（x））=-ln Gt（t，x）=Γt（t，x），t≥ -x、 证明索赔。C第5节附录：在有限尺寸公式中，我们提供了第5节的证明以及技术假设。C、 1定理5.3的证明在本附录中，我们提供定理5.3的证明。受Θ和Ξ的定义（7）和（8）的激励，foreach x∈ R我们定义集合Ξx R+和Θx R+×R asΞx：={T∈ R+：（T，x）∈ Ξ}和Θx：={（t，t）∈ R+：（t，t，x）∈ Θ}.假设C.1。

我们假设满足以下条件：（i）u是B（Ξ）-可测量，α和σ是F∞ B（Θ）-可测量，δ为F∞ B（Θ）E-可测量。（ii）对于所有（T，x）∈ Ξ过程α（T，x）和σ（T，x）是可选的，δ（T，x）是可预测的。（iii）对于每个x∈ R和每个有界Borel集B Ξxwe haveRB |u（T，x）| dT<∞.（iv）对于每个x∈ R和每个有界Borel集B ΘX有随机变量Xα：Ohm → R和Xσ，Xδ∈ L(Ohm) 使得|αt（t，x）|≤ Xα，kσt（t，X）kL（R）≤ Xσ和kδt（t，X）kLν（R）≤ 所有（t，t）的Xδ∈ B、 （39）（v）对于所有t∈ R+和ξ∈ E映射（T，x）7→ αt（t，x），（t，x）7→ σt（t，x）和（t，x）7→ δt（t，x，ξ）在其域上是连续的。条件（39）确保关于α、σ和δ的所有后续随机积分都存在。特别是对于每个x∈ R和每个有界Borel集B Θxwe haveZZB |αt（t，x）| dtdtdt<∞, EZZBkσt（t，x）kL（R）dtdT< ∞ 安第斯山脉ZZBkδt（t，x）kLν（R）dtdtdt< ∞.（40）这确保了我们以后可以应用经典的Fubini定理和随机Fubini定理（Gawarecki&Mandrekar（2011）中的定理2.8和Filipovi'c、Tappe&Teichman（2010a）中的定理A.2）。备注C.2。定义（1）表明，对于所有（T，x）∈ 我们有| G（T，x）|≤ 因此，F-ForwardDeath ratesu在且仅在所有（T，x）情况下是一致的∈ ΞF-生存过程G（T，x）是局部F鞅，参见Jacod&Shiryaev（2003，Prop.I.1.47）。为了证明定理5.3，将F-forward死亡率u和F-Spot死亡率γ扩展如下是有用的。我们定义了流程u：Ohm ×R+×R→ R为|ut（t，x）：=ut（t，x），（t，t，x）∈ Θ,0, -x>T，uT（T，x），-x个≤ T和T>T，以及过程▄γ：Ohm ×R+×R→ R为|γt（x）：=|ut（t，x）。简单的计算表明，对于所有（T，x）∈ Ξwe haveGt（T，x）=exp(-Γ（0，x））exp-Zt▄γs（x）ds经验值-ZTt？ut（s，x）ds, t型∈ [0，T]。

（41）现在，我们将确定（41）中|u（T，x）和|γ（x）过程的动力学。为此，我们将（9）中的初始表面u和过程α、σ和δ扩展如下。我们定义了映射u：R+×R→ R、 u（T，x）：=u（T，x）Ξ（T，x），过程α：Ohm ×R+×R→ R、 σ：Ohm ×R+×R→ L（R）和￠δ：Ohm ×R+×R×E→ R乘以▄αt（t，x）：=αt（t，x）Θ（t，t，x），▄σt（t，x）：=σt（t，x）Θ（t，t，x）和▄δt（t，x，ξ）：=δt（t，x，ξ）Θ（t，t，x）。然后针对每个（T，x）∈ 我们有▄ut（t，x）=▄（t，x）+Zt▄αs（t，x）ds+Zt▄σs（t，x）dWs+ZtZE▄δs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]，（42）和每个x∈ R我们有▄γt（x）=▄u（t，x）+Zt▄αs（t，x）ds+Zt▄σs（t，x）dWs+ZtZE▄δs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（43）根据（39），我们可以定义过程A：Ohm × Θ → R、 ∑：Ohm × Θ → L（R）和 : Ohm ×Θ×E→ RasAt（T，x）：=-ZTt▄αt（u，x）du=-ZT公司-x个∨tαt（u，x）du，（44）∑t（t，x）：=-ZTt￠σt（u，x）du=-ZT公司-x个∨tσt（u，x）du，（45）t（t，x，ξ）：=-ZTt△t（u，x，ξ）du=-ZT公司-x个∨tδt（u，x，ξ）du。（46）（45）中的积分是状态空间L（R）上的Bochner积分。使用符号（6），对于每个k∈ Nwe有∑kt（T，x）=-ZTt￠σkt（u，x）du=-ZT公司-x个∨tσkt（u，x）du。备注C.3。根据假设C.1，映射（T，x）7→ 在（T，x），（T，x）7→ ∑t（t，x）和（t，x）7→t（t，x，ξ）是连续的，对于所有t∈ R+和x∈ R映射T 7→ 在（T，x），T 7→ ∑t（t，x）和t 7→ t（t，x，ξ）在[-x个∨ t，∞).提案C.4。对于所有（T，x）∈ F-生存过程G（T，x）是一个动态的It^o过程gt（T，x）=G（T，x）+ZtGs（T，x）As（T，x）+k∑s（T，x）kL（R）ds+ZtGs（T，x）∑s（T，x）dWs+ZtZEGs-（T，x）s（T，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）+ZtZEGs-（T，x）es（T，x，ξ）- 1.- s（T，x，ξ）p（ds，dξ），t∈ [0，T]。（47）证明。根据方程式（41）和动力学（42）、（43），我们可以像Bj"ork等人（1997年，Prop.5.2）的证明那样进行论证。

对于计算，我们可以根据（40）使用经典的Fubini定理和随机Fubinitheorems（例如，参见Gawarecki&Mandrekar（2011）中的定理2.8和Filipovi'c等人（2010a）中的定理A.2）。此外，我们需要以下假设。对于n∈ N我们用ΘN表示 紧集n：={θ∈ Θ：kθk≤ n} 。假设C.5。我们假设对于每个n∈ 存在一个可测映射ρN:E→ R+和A常量n> 0使得z{ρn≤1} ρ（ξ）ν（dξ）+Z{ρn>1}e（1+n） ρn（ξ）ν（dξ）<∞, （48）|δt（t，x，ξ）|≤ ρn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （49）引理C.6。对于每个n∈ 存在一个可测映射πN:E→ R+，使得zπn（ξ）ν（dξ）<∞, (50)et（t，x，ξ）- 1.- t（t，x，ξ）≤ πn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （51）δt（t，x，ξ）et（t，x，ξ）- 1.≤ πn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （52）证明。根据假设C.5和定义（46）, 对于每个n∈ 存在一个可测映射ρN:E→ R+和a常量n> 0这样，条件（48）、（49）已满，并且我们|t（t，x，ξ）|≤ ρn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （53）让n∈ 不要武断。我们定义了可测映射πn:E→ R+，πn（ξ）：=exp（1）ρn（ξ）{ρn≤1}+ne（1+n） ρn（ξ）{ρn>1}。则可积条件（50）满足（48）。请注意，对于每个m∈ 我们有估计前任-m级-1Xk=0xkk！≤∞Xk=m | x | kk！=|x | m∞Xk=0 | x | k（k+m）！≤ |x |我| x |，x∈ R、 此外，对于所有人 > 0和x>1我们有x=(x） ex公司≤exex公司=e（1+)x、 因此，通过（49），（53），我们推导出（51），（52）。提案C.7。对于所有（T，x）∈ F-生存过程G（T，x）是一个动态的It^o过程gt（T，x）=G（T，x）+ZtGs（T，x）As（T，x）+k∑s（T，x）kL（R）+ZEes（T，x，ξ）- 1.- s（T，x，ξ）ν（dξ）ds+ZtGs（T，x）∑s（T，x）dWs+ZtZEGs-（T，x）es（T，x，ξ）- 1.（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]。（54）证明。Let（T，x）∈ Ξ武断。然后存在n∈ N使得（t，t，x）∈ Θ对于所有t∈ [0，T]。

自| G（T，x）|≤ 1，根据引理C.6的估计（51），我们得到了ztzeGs（T，x）es（T，x，ξ）- 1.- s（T，x，ξ）ν（dξ）ds≤ZEπn（ξ）ν（dξ），t∈ [0，T]表明该过程属于A+loc，见Jacod&Shiryaev（2003，第I.3节）。现在，应用Jacod和Shiryaev（2003，Prop.II.1.28），通过动力学（47），我们得到（54）。现在，我们准备提供定理5.3的证明：定理5.3的证明。根据假设3.1、备注C.2和命题C.7，远期死亡率（9）是一致的当且仅当（T，x）∈ 我们有at（T，x）+k∑T（T，x）kL（R）+ZEet（t，x，ξ）- 1.- t（t，x，ξ）ν（dξ）=0dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×[0，T]，对于所有（T，x）∈ Ξ.（55）根据备注C.3、引理C.6和Lebesgue的支配收敛定理，（55）的左侧在（T，x）中是连续的。因此，条件（55）等价于T（T，x）+k∑T（T，x）kL（R）+ZEet（t，x，ξ）- 1.- t（t，x，ξ）ν（dξ）=0表示所有（T，x）∈ Ξ带T≥ t、 dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+。（56）根据备注C.3、引理C.6和Lebesgue的支配收敛定理，（56）的左侧在≥ -x个∨ t、 因为（56）的左侧在t=-x个∨ tvanishes，条件（56）满足当且仅当αt（t，x）=-hσt（t，x），∑t（t，x）iL（R）-ZEδt（t，x，ξ）et（t，x，ξ）- 1.ν（dξ）表示所有（T，x）∈ Ξ带T≥ t、 dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+，（57），这等于（11）。C、 2定理5.5的证明在本附录中，我们提供定理5.5的证明。我们提出以下假设：假设C.8。

我们假设满足以下条件：（i）jis B（Ξ）-可测量，a和B是F∞ B（Θ）-可测量，c是F∞ B（Θ）E-可测量。（ii）对于所有（T，x）∈ Ξ过程a（T，x）和b（T，x）是可选的，c（T，x）是可预测的。（iii）对于每个x∈ R和每个有界Borel集B Ξxwe haveRB | j（T，x）| dT<∞.（iv）对于每个x∈ R和每个有界Borel集B Θx有随机变量Xa：Ohm → R和XB，Xc∈ L(Ohm) 使得| at（T，x）|≤ Xa，kbt（T，x）kL（R）≤ Xbandkct（T，x）kLν（R）≤ XC全部（t，t）∈ B、 （58）（v）对于所有t∈ R+和ξ∈ E映射（T，x）7→ 在（T，x），（T，x）7→ bt（T，x），（T，x）7→ ct（T，x，ξ）是连续的。条件（58）确保关于a、b和c的所有后续随机积分都存在。特别是对于每个x∈ R和每个有界Borel集B Θxwe haveZZB | at（T，x）| dtdtdt<∞, EZZBkbt（T，x）kL（R）dtdT< ∞ 安第斯山脉ZZBkct（T，x）kLν（R）dtdT< ∞.（59）这确保了我们以后可以应用经典的Fubini定理和随机Fubini定理（Gawarecki&Mandrekar（2011）中的定理2.8和Filipovi'c等人（2010a）中的定理A.2）。此外，假设C.8保证（14）中定义的过程α、σ和δ完全符合假设C.1。此外，我们需要以下假设：假设C.9。我们假设对于每个n∈ 存在一个可测映射ρN:E→ R+和A常量n> 0使（48）满足，我们有| ct（T，x，ξ）|≤ ρn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （60）引理C.10。对于每个n∈ 存在一个可测映射πN:E→ R+使条件（50）–（52）充分满足，我们有ct（T，x，ξ）et（t，x，ξ）- 1.≤ πn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （61）ZTtct（u，T+x- u、 ξ）duZT公司-x个∨tct（u，x，ξ）duet（t，x，ξ）≤ πn（ξ）表示所有（t，t，x）∈ Θnandξ∈ E、 （62）证明。

根据假设C.9和δ的定义（14），对于每个n∈ N存在可测映射ρN：Ohm ×E→ R+和a常量n> 0，条件（48）、（60）已满，我们有（49）。按照引理C.6的证明进行，得到期望的估计（61）和（62）。现在，我们准备提供定理5.5的证明：定理5.5的证明。让x∈ R可以任意。根据γ（x）的定义（10）和u（T，x）的动力学（9），我们得到了（15），证明了第一种说法。特别是，对于所有（T，x）∈ 我们有γt（t+x- t） =u（t，t+x- t） +Ztαs（t，t+x- t） ds+Ztσs（t，t+x- t） dWs+ZtZEδs（t，t+x- t、 ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（63）Let（T，x）∈ Ξ武断。我们还确定了任意t∈ [0，T]。根据j（T，x）的动力学（12），我们得到-ZTtjt（u，T+x- u） du=-ZTtj（u，T+x- u） 杜邦-ZTtZtas（u，T+x- u） dsdu-ZTtZtbs（u，T+x- u） dWsdu-ZTTZZECS（u，T+x- u、 ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）du。（64）我们现在将分别考虑（63）和（64）中的条款。根据定义（13），我们有u（t，t+x- t）-ZTtj（u，T+x- u） du=γ（T+x）-Ztj（u，T+x- u） 杜邦-ZTtj（u，T+x- u） du=γ（T+x）-ZTj（u，T+x- u） du=u（T，x）。根据（59），我们可以将经典的富比尼定理应用于以下计算。结合定义（14），我们得到了ztαs（t，t+x- t） ds公司-ZTtZtas（u，T+x- u） dsdu=Ztαs（t，t+x- t）-ZTtas（u，T+x- u） 杜邦ds=Zt-Ztsas（u，T+x- u） 杜邦-ZTtas（u，T+x- u） 杜邦ds=-ZtZTsas（u，T+x- u） duds=Ztαs（T，x）ds。类似计算yieldZtσs（t，t+x- t） dWs公司-ZTtZtbs（u，T+x- u） dWsdu=Ztσs（T，x）dWs，ZtZEδs（u，T+x- u、 ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）-ZTTZZECS（u，T+x- u、 ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）du=ZtZEδs（T，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）。注意，根据条件（59），我们可以应用相应的随机Fubini定理（Gawarecki&Mandrekar（2011，第2.8条）和Filipovi'c等人（2010a，第A.2条））。

因此，通过（63），（64）和前面的身份，我们得到了身份（16），建立了第二个声明。现在，假设满足假设C.9，漂移a由（17）给出。根据定义（14），对于所有ξ∈ 对于所有（t，x），我们有σt（t，x）=0和δt（t，x，ξ）=0∈ Ξ，（65）bt（T，x）=-(T- x） σt（t，x）和ct（t，x，ξ）=-(T- x） δt（t，x，ξ）。（66）Let（T，x）∈ Ξ武断。我们还确定了任意t∈ [0，T]。鉴于∑的定义（45），如果-x个≥ t、 由（66）、（58）和Lebesgue支配收敛定理得到(T- x） ∑t（t，x）=h类h=0∑t（t+h，x- h） =-h类h=0ZT+h-（十）-h） σt（u，x- h） du=-h类h=0ZT+h-x+hσt（u，x- h） du=-h类h=0ZT-xσt（u+h，x- h） du=-ZT公司-x个h类h=0σt（u+h，x- h） du=-ZT公司-x个(T- x） σt（u，x）du=ZT-xbt（u，x）du；如果t≥ -x、 我们观察了（65）、（66）和（58）以及Lebesgue的支配收敛定理(T- x） ∑t（t，x）=h类h=0∑t（t+h，x- h） =-h类h=0ZT+htσt（u，x- h） du=-h类h=0ZTt-hσt（u+h，x- h） du=σt（t，x）-ZTt公司h类h=0σt（u+h，x- h） du=-ZTt公司(T- x） σt（u，x）du=zttbtbt（u，x）du。使用执行类似计算t、 我们推导出每个ξ∈ E方向导数T-映射（T，x）的xof 7→ ∑t（t，x）和（t，x）7→ t（t，x，ξ）in（t，x）存在，我们有(T- x） ∑t（t，x）=ZT-x个∨tbt（u，x）du和(T- x）t（t，x）=ZT-x个∨tct（u，x，ξ）du。