位置和投资组合选择问题：一个统一的框架

假定= +∞ 和u=-∞, lj=0，uj=1，则可以忽略约束（2c）和（2d），即，通过设置xj=p，始终可以为所有j提供可行的投资组合，使得zjj=1，事实上，问题（2a）-（2d），减少到查找p设施，以最小化开放设施与G顶点之间的距离之和。众所周知，即使网络是最大顶点度为3的平面图，其所有边和顶点的权重均为1，p中值问题也是NP难问题【27】。[27]中的证明基于这样一个事实，即p-中值问题多项式等价于判定最大顶点度为3的平面图中是否存在基数p的支配集的NP完全问题[23]。然后，在[16，17]中，作者证明了支配集问题在一些特殊的完美图类上是NP完全的，即可比图、二部图、弦图、分裂图、k-树（任意k）和无向路径图（定义为树中一组无向路径的相交图）。因此，在同一类图上，p-中值问题仍然是NP完全的。通过以上讨论，我们得出以下结果。定理1位置和投资组合选择问题（2a）-（2d）对于：（i）可比图是NP难的。（ii）二部图。（iii）弦图。（iv）分割图。（v） k-树（任意k）。（vi）无向路径图。最后，我们观察到，在[17]中，作者还报告了一些perfectgraphs族之间的关系。因此，由于各种完美图族之间的包含关系，NP-硬度结果暗示了许多其他NP-硬度结果。3解决方法在本节中，我们介绍了用于解决多目标优化问题（1a）-（1i）的解决方法。

我们采用了众所周知的-约束方法，该方法基于只保留三个目标中的一个，并将所有其他目标转化为约束[20]。我们保留风险度量作为目标，因此模型（1a）-（1i）可以重写如下：（x） （3a）s.t.u（x）≥ u（3b）Fp（x）≤ Fp（3c）（x，z）∈ Γ（3d），其中u和Fp分别是u（x）的下界和Fp（x）的上界。问题（3a）-（3d）是一个一般的选址和投资组合选择问题，因为任何（一致的）风险度量都可以被视为目标函数。然而，在本文中，我们只关注基于历史收益率的一些度量。特别是，我们将R isk的条件值（CVaR）视为目标函数[40]。我们观察到，可以使用其他基于历史收益率的指标（平均绝对偏差、基尼指数、极大极小目标函数…）。这种选择有几个原因。从计算角度来看，基于过去观察期的风险度量会导致整数线性规划问题，而不是更难解决的非线性（如二次）整数规划。此外，在方差（或基于相关性的）风险度量的情况下，众所周知，它基于这样一个假设，即投资者厌恶风险，并且收益率的分布是多元正态的，或者投资者的效用是收益率的二次函数。不幸的是，上述两个条件在实践中均不成立（除其他外，请参见，例如，【14、28、32】及其参考文献）。

最后，当投资组合目标函数基于方差时，我们发现最优投资组合的组成对基础资产预期收益的估计误差非常敏感【14、26、36】。尽管有上述原因，但不可能完全忽视每项资产回报时间序列之间的相关性，为了量化股票价格之间的相似性度量，必须考虑这些时间序列之间的相关性。一种广泛的选择是用皮尔逊相关性量化两种资产之间的相似性。因此，资产图G表示股票之间的相关性结构，其中与每条边相关的权重/距离指的是它们之间的线性相关性【15】。因此，按照文献中关于基于相关性聚类的过滤程序的常见做法，我们将每个边（i，j）指定为∈ E（G）相似性度量（距离）dij=p2（1- ρij），其中ρij=σij√σiiσjjis是资产回报率之间的相关系数。我们在此指出，Kendall秩相关系数或尾部系数等任何替代指标都可以用作资产之间的距离（参见，例如，[15]）。因此，通过这些选择，在我们的模型中，两个主要标准（位置和风险）用两种不同的度量进行评估，以使聚类和投资组合选择阶段具有良好的特征和区别。根据上述讨论，下面我们介绍CVaRas目标函数的问题（3a）-（3d）。让我们考虑n项资产收益的不同情况。每种情况都有一个概率pt，t=1，T，PTT=1pt=1。设rjtbe为资产收益率j时间t，j=1，n、 t=1，TL etujbe资产j的平均回报率，即uj=PTt=1ptrjt，j=1，n

投资组合在时间t的回报率x=（x，…，xn）∈  isyt（x）=nXj=1rjtxj，相应的预期收益率为u（x）=nXj=1ujxj。投资组合的CVaR x=（x，…，xn）∈  公差等级为β∈ （0，1）定义为asMβ（x）=分钟{βTXt=1yt（x）ut | TXt=1ut=β，0≤ 美国犹他州≤ ptt=1，T}。为了得到模型（3a）-（3d）的线性表达式，我们考虑了问题Mβ（x）的对偶，即isMβ（x）=maxη，d-t{η-βTXt=1ptd-t： d-t型≥ η - yt（x），d-t型≥ 0 t=1，T、 η∈ R} 。因此，我们的问题（3a）-（3d）可以重新表述为混合整数线性规划（MILP）问题maxη-βTXt=1ptd-t（4a）s.t.d-t型≥ η - yt（x）t=1，T（4b）d-t型≥ 0 t=1，T（4c）η∈ R（4d）u（x）≥ u（4e）Fp（x）≤ Fp（4f）（x，z）∈ Γ. （4g）备注1【22】在网络上的p-中值问题中，变量zij，i 6=j，在代表性j的最优解中取值1，使得dij=mink:zkk=1{dik}。备注1表明，在模型（4a）-（4g）中，我们可以通过用以下约束zjj替换Γ中的（1i），将二进制变量的数量从O（n）持续减少到O（n∈ {0，1}j=1，nzij≥ 0 1 ≤ i、 j≤ n、 i 6=j.3.1 FP的选择模型（4a）-（4g）中投资组合预期收益u的下界选择显然是投资者的喜好。然而，如何利用上限fp来控制集群化的效果并不明显。在本节中，我们将描述如何计算Fpin（4a）-（4g）。考虑问题min Fp（x）（5a）s.t.u（x）≥ u（5b）（x，z）∈ Γ（5c）并设Flpbe的最佳值。请注意，Flpis是使问题（4a）-（4g）可行的FP的最小值。设我们是由（1d）和（4b）-（4d）定义的可行解集。现在考虑问题maxη-βTXt=1ptd-t（6a）s.t.（x，d-, η) ∈ S（6b）u（x）≥ u（6c）nXj=1zj=p（6d）ljzj公司≤ xj公司≤ ujzjj=1，n（6e）zj∈ {0，1}j=1。

，n（6f），并设xp为最优解中p个选定资产的集合。那么，Fp（Xp）=Fupis是Fp的最紧上界，也就是说，对于所有Fp≥ f目标Fp（x）在（4a）-（4g）中可以忽略不计。最后，给定γ∈ [0，1]，参数fp可计算如下fp=γFlp+（1- γ） 福普。这样，参数γ的选择允许我们控制所需的聚类效果，从最高值（γ=1）到最低值（γ=0）。4实验结果本节提供了一个实证分析，旨在评估我们的位置和选择模型（4a）-（4g）选择的投资组合的绩效。此外，我们还将我们的模型与被视为基准程序的纯CVaR方法[40]以及具有基数约束的CVaR模型进行了比较。纯CVaR模型为[32，40]maxη-βTXt=1ptd-t（7a）s.t.（x，d-, η) ∈ S（7b）u（x）≥ u（7c）和资产数量有限的C VaR模型（CVaR CC）正是上述模型（6a）-（6f）（参见，例如，[12]）。4.1数据s etsWe在全球主要股票市场的一些真实数据集上测试上述所有投资组合选择策略。我们考虑以下数据集：1。DJIA（美国道琼斯工业平均指数），包含28项资产和1353项价格观察（期间：1990年5月7日至2016年4月4日）；2、EUROSTOXX50（欧洲领先的蓝筹股指数，EU），包含49项资产和729项价格观察（期间：2002年4月22日至2016年4月4日）；3、FTSE100（英国金融时报证券交易所），包含83项资产和625项价格观察（期间：2004年4月19日至2016年4月4日）；SP500（美国标准普尔），包含442项资产和573项观察结果（期间：2005年4月18日504年4月2016年）。每个数据集由每周价格数据组成，如【32】所述，“每周周期的选择与减少估计误差的目标一致【43】”。

为了评估我们模型在实践中的表现，我们将观察分为两组，其中第一组被视为过去（在样本窗口中），因此它是已知的，其余被视为未来（在样本窗口外），在投资组合选择时假设未知。样本内窗口用于选择投资组合，而样本外窗口用于测试所选投资组合的性能。设0，1，T为样本内窗口中的观察值；对于每个数据集，为了计算历史收益的T×n矩阵，我们考虑n只股票价格的时间序列，并用pi（T）表示第i项资产在T时的价格，T=0，T时间t的第i个资产回报计算为rit=Pi（t）-Pi（t-1） Pi（t-1） ，t=1，T按照文献中的标准做法，为了模拟股票之间的相关性结构，我们参考了每种资产的样本内对数收益率序列，计算为Rit=ln Pi（t）- ln Pi（t- 1） ，t=1，T（参见，例如，【34，39】）。然后，我们计算资产i和j之间的距离dijb，i 6=j=1，n、 dij=p2（1- ρij），其中ρij是资产对数回报之间的皮尔逊相关系数。我们没有为相关系数设置任何阈值，因此得出的资产图G是一个完整的加权图。在我们的实验中，我们使用滚动时间窗方案，允许在持有期间以固定间隔重新平衡投资组合。在【25，32】之后，对于每个数据集，我们采用104周（两年）作为样本窗口，在第一次实验设置中，我们认为52周（一年）为样本外，每52周允许重新平衡。

在这一阶段，对于每个p值，每个模型解决了总共55个问题（24个用于DJIA，12个用于EUROSTOXX50，10个用于FTSE100，9个用于SP500）。与其他几篇论文（例如，见[10]和其中的参考文献）一样，代表人数的p值（也用于限定投资组合中的资产数量）设定为p=5、10、15、20。我们选择li=nand ui=1，作为每项资产i，i=1，…，投资的最小和最大允许资本额的上下限，n、 在投资组合选择问题中，通常使用一些性能度量来评估投资组合的样本外性能。在我们的实验中，我们考虑以下措施（例如，参见[8]）1。夏普比率（Sh）（[41，42]）：定义为投资组合的样本外回报率x的平均值uout（x），减去恒定的无风险回报率rf（我们将其设置为0）与其标准偏差之间的比率，即：E[uout（x）- rf]σ（uout（x））。指数值越大，投资组合表现越好。2、平均回报率（Av）：定义为aportfolio样本外回报率的平均E【uout（x）】。这些模型已在M ATLAB R2017A中实现，它们调用XPRESS solverversion 8.5来解决MILP程序。所有实验都是在一台配备处理器Intel（R）Xeon（R）的DellT5500计算机上进行的，该处理器的CPU为X5690，频率为3.75 GHz，内存为48 GB。我们在下表中报告了样本外的性能。在每个表中，第一列是指用于比较的模型。特别是，γ=0.1，1我们参考MILPmodel（4a）-（4g）了解用于确定参数fp的不同γ值，该参数将函数fp（x）限定在（4a）-（4g）中（见第3.1节）。

CVaR CC和CVaR分别指基数约束CVaR模型（6a）-（6f）和纯CVaR模型（7a）-（7c）。在所有模型中，我们选择每个样本期的平均指数回报率作为预期回报率的下限u。我们还将m市场指数（index）的样本外表现作为基准。对于p=5、10、15、20的每个值，我们在列中报告样本外平均回报率（Av-p）和夏普比（Sh-p）的值。此外，对于前三个数据集（DJIA、EUROSTOXX50和FTSE100），我们还报告了样本溶液中的平均时间。最后，对于纯CVaR模型，我们还报告了最佳样本投资组合中的平均资产数量。对于SP500数据集，由于相应的MILP模型的大小，我们无法在合理的时间内找到非最优的解决方案。因此，我们将时间限制设置为7200秒，并在相应的表格中报告平均百分比G AP（GAP%），以代替求解时间。此外，我们还采用了一种特殊的方法来求解每个采样期内的模型。请注意，γ=1的MILP模型（4a）-（4g）可以通过两个简单的步骤进行求解：首先，解决问题（5a）-（5c），然后，根据找到的p-中值解确定二元变量zj后，解决问题（6a）-（6c）。还要注意，对于γ=1，问题（4a）-（4g）的最优解是对于γ=0.9，问题（4a）-（4g）的可行解，因此它可以用作分支过程中的初始解，以便在较小的时间内获得更好的解。对于γ=0.9的问题（4a）-（4g）和γ=0.8的问题（4a）-（4g）的可行解也是如此，依此类推。在表中，我们以粗体显示了每个p值的样本外性能度量的最佳值。

为了突出我们的MILP方法的有效性，对于每个p和γ值，如果两个性能指标的值都优于其他模型（C VaR CC、CVaR、Index）的相应值，我们用斜体书写这两个性能指标的值。通过这种方式，我们可以计算出我们的方法在任何时候都优于其他竞争性投资组合选择模型的情况。从表1-4中可以看出，除了两种情况（EUROSTOXX50拥有5项资产和SP 500拥有10项资产）外，始终存在至少一个γ值，对于该值，我们的MILP模型优于其他竞争模型，即CVaR CC、CVaR和市场指数。我们还注意到，正如预期的那样，对于SP500数据集，当p增加时，差距值（p=5，10时相当高）往往变得非常小。事实上，对于p=15，20，我们的MILP模型生成的样本解非常接近最优解，但XPRE SS solver无法证明其最优性。这将建议开发一种有效的启发式程序，将区位和投资组合选择模型的良好特征结合起来，以获得最佳或接近最佳的样本投资组合，从而可能产生更好的样本外绩效，尤其是对于大型金融数据集。为了强调我们方法的有效性，我们还决定提供第二组实验。在这种情况下，我们采用样本窗口内的104周和样本外的12周（三个月），每12周允许重新平衡一次（另见[32]）。对于p的每个值，每个模型解决了总共204个问题（DJIA 104个，EUROSTOX X50 55个，FTSE100 45个）。请注意，在这种情况下，我们没有考虑SP500数据集，因为当我们的MILP模型能够在样本解决方案中找到最优（经验证）时，我们现在有兴趣将我们的方法与其他计划进行比较。

无论如何，我们观察到SP500数据集的一些初步结果与表4中报告的结果一致。根据表5-7中的结果，很明显，当MILP模型能够找到最佳样本解时，我们的方法从计算时间来看都是有效的，并且始终主导着其他方法。最后，我们注意到，令人惊讶的是，在所有的实验分析中，纯CVaR模型总是被其他方法所支配。5结论在本文中，我们提出了一种新的投资组合选择框架，该框架通过硬混合整数线性规划问题的全局解，将聚类的特定特征与投资组合优化技术相结合。我们的方法的思想是克服经典的两阶段方法，其特点是两个不同的步骤：首先聚类，然后选择。我们表明，由于在我们的框架中可以采用其他风险度量以及相关度量，因此我们的方法是非常通用的。事实上，在模型（4a）-（4g）中，只有方程（4a）-（4d）取决于所采用的特定风险度量，由此产生的MILP计划是可移植的。实际上，约束条件（4e）-（4g）独立于此类风险度量，可用于基于其他度量（例如，平均绝对偏差、基尼指数、最小值目标函数等）的MILP计划的制定。我们的模型在真实金融数据集上进行了测试，并与一些基准模型进行了比较，结果表明该模型在实现利润方面取得了良好的效果。我们还指出，MIL P计划（4a）-（4g）至少可以有效地解决中等规模的问题。总之，本文报告的结果令人鼓舞，通过提供一种特殊的启发式方法来解决大型数据集，优化阶段还有改进的空间。