基于CAPM和市场规模的股票市场模型

，8，除我们用作基准的前一个外（该前十分位大致对应标准普尔500成分股），回归（8）Qk（t）=αk（n）+βk（n）Q（t）+δk（t），k=2，8，其中t在这一时期，αk（n）、βk（n）是截距和斜率（超额收益和市场敞口），使用普通最小二乘法得出；δk（t）是残差。因此，我们计算了第二到第八个十分位数和47个两年期的每一个十分位数的βk（n）。对于第k个十分位数与第一个十分位数的规模衡量，takeCk（n）=lnS（Kn）Sk（Kn），其中S（Kn）和Sk（Kn）是第n个周期开始时的平均市场资本。然后绘制βk（n）- 1 vs Ck（n）和（βk（n）- 1） /图1中的Ck（n）。我们绘制βk（n）- 1而不是βk（n），因为我们的β基准是1：最高十分位数（与基准重合）的β是1.2.3。价格回报的模型建议。从图1（A）可以看出，βk（n）- 1与Ck（n）成比例。图1（B）证实了这一点。这种转换有助于使方差保持不变。我们仍然不能声称这些归一化量是i.i.d.白噪声，因为它们没有通过白噪声测试。尽管如此，我们还是要提取βk（n）的趋势，将其替换为1+γCk（n）以获得一些系数。接下来，与（8）相比，考虑剩余Qk（t）- （1+γCk（n））Q（t）。我们通过取这两年期间的几何价格回报sqk（t）与t之和，使其依赖于n（整个两年期），而不是这一时期的单个月份t。该总和等于两年期内的总价格回报Qk（t）。然后我们让：（9）εk（n）：=Qk（n）- （1+γCk（n））Q（n），k=2，8.n=1，N、 然后，我们在图2（A）中绘制了εk（N）vs Ck（N），以及图2（B）中的εk（N）/Ck（N）vs Ck（N）。我们在图2（A）中再次看到，εk（n）与Ck（n）呈线性关系，在图2（B）中，方差变为常数。

同样，我们不能声称εk（n）/Ck（n）是i.i.d.，因为白噪声测试失败。但如果我们将其建模为i.i.d.N（u，ρ），我们得到：（10）εk（N）Ck（N）=u+ρZk（N），其中Zk（N）是i.i.d.标准正态随机变量。对此的概括可以是：（11）（Z（n），Z（n））~ N（0，∑）i.i.d.多元正态分布，平均零向量和（非恒等）协方差矩阵，主对角线上的单位为（即E[Zk（N）]=0和E[Zk（N）]=1）。结合（9）和（10），我们得到：（12）Qk（n）=（1+γCk（n））Q（n）+uCk（n）+ρCk（n）Zk（n）。我们可以估计γ=0.0045，u=0.0069，ρ=0.052。这给了我们（7），第一行。基于CAPM和市场规模的股票市场模型7（A）εk（n）vs Ck（n）（b）εk（n）/Ck（n）vs Ck（n）图2。前十分位基准（a）βk（n）的剩余εk（n）vs Ck（n）- 1 vs Ck（n）（b）εk（n）/p | Ck（n）vs Ck（n）图3。第八个十分位（底部）基准2.4。底部十分位作为基准。如果我们在前面的小节中用基准8分位数重复这一分析（在我们的研究中，它是底部的10分位数，因为我们忽略了9到10分位数），我们得到：对于（8）中的βk（n），我们绘制βk（n）- 图3（A）中的1对Ck（n）。在这种情况下，相关性也是线性的。接下来，取γ，这些量的平均值。创建类似于（9）的残差：（13）εk（n）=Qk（n）- （1+γp | Ck（n）|）Q（n），k=1，7，n=1，N、 图3（B）显示了这些残差与Ck（N）的曲线图，通过除以P | Ck（N）|进行归一化。对εk（n）进行白噪声检验，我们未能拒绝这一假设。假设εk（n）~ N（u，ρ）。将其与（13）结合，我们得到：Qk（n）=（1+γp | Ck（n）|）Q（n）+up | Ck（n）|+ρp | Ck（n）| Zk（n），k=1，7，n=1，NZk（n）=（εk（n）- u)/ρ ~ N（0，1）i.i.d.（14）8 ANDREY SARANTSEV，《阿塔的祝福》，BRANDON FLORESThis Verifies（7），最后一行。从（14）中，我们可以看到（12）中的线性函数不是β的唯一可能和合理的函数。

在第4节中，我们陈述并证明了一般α、β、ρ的结果。我们的系数为γ=0.12，u=0.0055，ρ=0.090.2.5。股权溢价数据分析。重复对股票溢价而非价格回报的类似分析，我们得到了两种情况下的类似函数：顶部和底部十进制作为基准。此外，对价格回报和股本溢价的点估计很接近；对于最高十分位基准，γ=0.045，u=0.0017，ρ=0.052，对于第八个十分位基准，γ=0.12，u=0.0024，ρ=0.088。因此，价格收益和公平收益的函数β和σ是相同的。不幸的是，对于α来说，这不是真的。我们将为价格回报和股本溢价提供单独的功能。如第1节所述，由于皮尔逊相关系数大于99%，价格收益率和股权溢价的白噪声项Zk（n）几乎完全相关。然而，基准的价格回报和股本溢价并不完全相关。因此，规模和财富过程的噪声术语是不同的。2.6. 结论。前面小节中的数据分析表明，小型股的超额回报率为正，小型股的市场敞口大于1。大型股的超额回报率为负，市场敞口小于1。换言之，小型股的风险高于大型股，但即使在调整了市场敞口后，它们的回报率也较高。我们将在下一节中连续介绍这一点。连续时间模型3.1。型号说明。取一个经过筛选的概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），过滤满足通常条件（每个fts包含所有P-null集；即∈ P（A）=0和B时的FT A意味着B∈ 英尺；过滤是连续的，即Ft=∩s> TFS对于所有t≥ 0). 所有随机过程X=（X（t），t≥ 0）低于区域自适应，即X（t）是每t可测量的Ft≥ 0

我们说一个随机过程B=（B（t），t≥ 0）是标准布朗运动，如果B（t）-B（s）~ N（0，t-s） 每0独立于FSF≤ s<t。将（12）或（14）中的白噪声项Zk（n）替换为标准布朗运动Wk（t），或更准确地说，其差分dWk（t）。用d ln Sk（t）替换价格返回Qk（n）。重新调用Sk（t）是t时第k个投资组合的平均市值。用d ln Vk（t）替换equitypremia Pk（n），其中Vk（t）是第k个十分位数的财富（包括再投资股息），从Vk（0）=1开始，除以同样根据无风险回报计算的财富。设置三个函数：Ck（t）的α、β、σ（非系统风险的α、β和标准偏差）。设置单独的函数α*股票溢价而非价格回报。我们不会为β和σ设置单独的函数，因为从我们的数据分析中，我们发现这些函数对于价格回报和股本溢价是相同的。我们有n个portfoliosindexed by 1，n、 基准指数为0（即总n+1投资组合）。我们为价格回报和股本溢价（我们用星号表示）编写单独的函数。考虑以下SDE系统：（15）d ln Sk（t）=α（Ck（t））dt+β（Ck（t））d ln S（t）+σ（Ck（t））dWk（t），（16）d ln Vk（t）=α*（Ck（t））dt+β（Ck（t））d ln V（t）+σ（Ck（t））dWk（t），一种基于CAPM和市场规模9的股票市场模型，其中Ck（t）是引言中定义的相对规模度量：（17）Ck（t）=lnS（t）Sk（t）。我们还利用二维几何布朗运动（lns，lnv）建立了（S，V）模型：（lns，lnv）hasdrift向量（gS，gV）和协方差矩阵∑（S，V）=σSρσSσVρσSσVσV也就是说，对于t>s，我们有：lns（t）-ln S（S）~ N（gS（t-s） ，σs（t-s） ）和ln V（t）-ln V（s）~N（gV（t- s） ，σV（t- s） ）；这里，ρ是这两个增量之间的相关性。

Thusln S（t）=ln S（0）+gSt+σSWS（t），ln V（t）=ln V（0）+gVt+σVWV（t），（18），其中wsvare和WVare（相关）标准布朗运动。我们假设W，Wn独立于（BS、BV）。请注意，W，Wn可以相互依赖于标准布朗运动。我们假设W=（W，…，Wn）是一个具有零漂移向量和协方差矩阵∑ww且单位位于主对角线上的n维布朗运动。定义1。对于函数α、β、σ：R→ R、 实数gS、gV、2×2协方差矩阵∑（S、V）和n×n相关矩阵∑W，方程组（15）、（16）、（17）、（18）被称为n+1投资组合的CAPM规模市场模型，指数为0，N、 kth投资组合的市场规模或市值；Vkis将这个过程称为第kth投资组合的财富过程。指数为k=0的投资组合称为基准。函数α和β用希腊语命名。函数σ称为（可分散风险的）标准误差。3.2. 存在性和唯一性。我们可以使用（17）：（19）dCk（t）=-α（Ck（t））dt+（1- β（Ck（t））d lns（t）+σ（Ck（t））dWk（t）。备注1。每个第k个方程式（15）独立于其他方程式：对于其他l=1，…，不包含SL，n、 它仅取决于Skand S定义2。爆炸时间定义如下：（20）T：=T∧ . . . ∧ Tn，其中Tkis为（15）的爆炸时间，或（19）的等效爆炸时间。在[0，T]上，方程（15）和（16）有唯一的解。定理1。（a）如果α，β，σ，α*: R→ R是可测且局部有界的，SDE（15）、（16）、（17）系统存在唯一的强解，直到爆发时间T。（b） 此外，如果我们有以下线性界：|α（c）|+|β（c）|+|σ（c）|+|α*（c） |≤ K（1+| c |），则爆炸时间为：T=∞.证据（a） 首先，让我们在（19）中显示存在性和唯一性。

该方程中的微分部分由▄σ（Ck（t））d▄Wk（t）给出，其中▄σ（c）：=σS（1- β（c））+σ（c），10 ANDREY SARANTSEV，福佑OFORI-ATTA，BRANDON F LoresandWk是标准的布朗运动，它是Ws和Wk的组合。漂移部分由▄γ（Ck（t））dt给出，其中（21）▄γ（c）：=-α（c）+gS（1- β（c））。因此，我们可以将（19）重写如下：（22）dCk（t）=γ（Ck（t））dt+～σ（Ck（t））dWk（t）。这些函数∧γ和∧σ是可测的，我们应用[27]证明了该SDE的解cks的强存在性和路径唯一性，至少直到爆发时间tk为止。这里我们使用备注1：n方程组C，Cn由n个独立的一维SDE组成。接下来，我们可以重建S，SNC，Cnand S：Sk（t）=S（t）e-Ck（t）。由于Sis对有限时间范围（几何布朗运动）有很好的定义，所以（15）的强解Skfor（15）存在且路径唯一，至少直到爆炸时间Tk。最后，（16）的强存在性和路径唯一性可以表示如下。LetTk，m：=inf{t≥ 0 | | Ck（t）|=m}，k=1，nm=1，2。自α起*, β、 σ是局部有界的，它们在[-m、 m）。我们可以用Wka标准布朗运动将（16）改写为（23）d ln Vk（t）=γ（Ck（t））dt+σ（Ck（t））dWk（t），以及（24）γ（c）：=α*（c） +gVβ（c），σ（c）：=σVβ（c）+σ（c）。（24）中的这两个函数有界于[-m、 m）。重写（23）asln Vk（t）=Ztγ（Ck（s））ds+Ztσ（Ck（s））dWk（s），我们看到（强）解直到t<Tk，定义错误且路径唯一，因为积分（通常和随机）是有限的。作为m→ ∞, 我们有：Tk，m↑ 特卡尔莫斯特苏雷。因此（16）在Tk之前有一个路径唯一的强解。结合（20），我们完成了（a）的证明。下一步，（b）从（19）和（23）中得出，并对|γ和|σ的线性增长进行估计：|γ（c）|+|σ（c）|≤ K*（1+| c |），根据α，α的类似估计*, β, σ. 4.

主要结果4.1。长期稳定性结果。回想一下市场权重的定义。定义3。对于（15）中的市场模型，我们将市场权重定义如下：ui（t）=Si（t）S（t）+…+Sn（t），i=0，n、 t型≥ 0、每t这些市场权重之和为1≥ 0，且与C（t），…，一一对应，Cn（t）：存在一个双射Φ：4n→ Rn使Φ：（m，…，mn）7→lnmm，lnmmn公司.基于CAPM和市场规模11的股票市场模型过程C=（C，…，Cn）作为其每个组成部分，是一个马尔可夫过程。市场权重向量u=（u，…，un）也是如此。定义4。如果u（0），我们称4na平稳分布上的概率测度为πu~ πu表示u（t）~ πu适用于所有t≥ 0.如果此市场权重向量具有唯一的平稳分布πu，则称市场为稳定，当我们从另一个初始分布u（0）开始时，u（t）的分布收敛到πu，因为t→ ∞ 总偏差（TV）标准中：supD4n | P（u（t）∈ D |u（0）=x）- πu（D）|→ 0作为t→ ∞.我们可以类似地（等效地）确定过程C=（C，…，Cn）的稳定性，这是Rn值。这些稳定性定义是等效的，因为C和u之间存在一对一的连续映射。定理2。在定理1的假设下，假设（25）limc→∞[α（c）+gS（β（c）- 1） ]>0和limc→-∞[α（c）+gS（β（c）- 1)] < 0.那么市场体系就稳定了。证据我们采用李雅普诺夫函数的方法。作为一个李雅普诺夫函数，取以下完全可微分函数V:R→ [0, ∞):V（c）：=（| c |，c≥ 2.0，c≤ 该函数可以通过平滑核和卷积来构造。每个Ckin（15）的生成器由f（c）给出：=▄γ（c）f（c）+▄σ（c）f（c）。召回（21）：limc→∞γ（c）<0和limc→-∞γ（c）>0。结合（25），我们得到：lim | c|→∞LV（c）<0。从文章【16】和【17】中，我们得到了每个Ck的紧密性。

也就是说，supt≥0P（| Ck（t）|≥ c）→ 0as c→ ∞. 向量C=（C，…，Cn）也是如此。将这一观察结果与以下性质相结合：对于每个i，P（a<Ci（t）<b | Ci（0）=x）>0，x，a，b∈ R、 我们完成证明。备注2。我们还有convergencesupg∈G | E[G（Ck（t））]- （πC，g）|→ 0，t→ ∞,G：={G:R→ R | supz∈R | g（z）| 1+| z |<∞}.特别地，我们有E[Ck（t）]→ mC，其中mC是分布πC的平均值。示例1。如果β（c）=1+γc，α（c）=uc，则α（c）+gS（β（c）- 1） =（u+gSγ）c和（25）相当于（26）Γ：=u+gSγ>0.12 ANDREY SARANTSEV，福佑OFORI-ATTA，BRANDON F LORESExample 2。根据第2节中的数据分析，让α（c）：=（α+| c |γ+，c≥ 0;-α-|c |γ-, c≤ 0;β（c）：=1+（β+c，c≥ 0;β-c、 c类≤ 0;σ（c）：=（σ+| c |γ+，c≥ 0;σ-|c |γ-, c≤ 这里，α±，β±，γ±，σ±>0。让我们找到（25）的条件：对于第一个条件，如果γ+<1，我们的gSβ+>0；如果γ+=1，则α++gSβ+>0；如果γ+>1，则α+>0。与（25）中的第二个条件类似。第2节的实际估计值满足这些条件。4.2. 命中次数。我们希望允许Siand Sto交换等级。也就是说，我们希望允许Si（0）<S（0），但对于某些t>0，Si（t）>S（t），反之亦然。这与现实世界的市场行为是一致的，当时投资组合根据规模进行排名。在相对大小度量Ci方面，我们希望Cican从正半直线移动到负半直线。特别是，它必须以正概率达到零。对于示例1，如果ρ>0，σ（c）=ρc，则情况并非如此。实际上，Ci是一个带漂移的几何布朗运动-因此几乎肯定会收敛到0，正如t→ ∞. 因此，极限平稳分布是原点处的δ度量，δ（0，…，0）。u对应的极限分布，市场权重向量为δ（1/（n+1），。。。，1/（n+1））。如果σ（c）从零开始有界，这将改变c的行为。定理3。

在定理2的条件下，假设（27）σ（c）≥ σ*> 0表示所有c∈ R、 （a）对于每个c∈ R正概率存在一个t>0，使得Ci（t）=c。（b）c=（c，…，Cn）的平稳分布πCfor在Rn上有支撑。u的stationarydistributionπu支持n、 证明。再次回到方程式（22），这是一个简化的方程式（19）。（a） 计算扩散Ck的比例函数s：其导数iss（c）=exp-2Zc▄γ（u）▄σ（u）du.存在γ*> 0和c*> 0，使得￠γ（u）≤ -γ*, c≥ c*; γ（u）≥ γ*, c≤ -c*.此外，△σ（u）≥ σ（u）≥ σ*适用于所有u∈ R、 因此对于c≥ c*,（28）s（c）≥ s（c*) 经验值Zcc公司*γ*σ*dc公司= s（c*) 经验值2（c- c*)γ*σ*.类似的估计也适用于c≤ -c*:（29）s（c）≤ s(-c*) 经验值2（| c |- c*)γ*σ*.速度测量值有界Lebesgue密度1/（s（c）σ（c）），如（28）、（29）、（27）所示。应用[14，第5章，第5节]中的Feller测试来完成证明。（b） πC的表述来自控制该平稳分布Lebesgue密度的椭圆偏微分方程的椭圆度。πu的语句遵循C和u之间的一对一映射。基于CAPM和市场规模13的股票市场模型在我们看来，（27）是一个合理的假设，因为我们希望允许投资组合级别的外汇交换。这与我们的统计分析并不矛盾，因为我们只能观察到Ci（t）>c+或Ci（t）<-c-. 如果我们将建议的函数σ（c）扩展到[-c-, c+]原样。但我们无法在零的邻域内观察到Ci（t），因此我们可以将其扩展为一个分段函数。在定理3的假设下，每个Cihas的平稳分布（归一化后）密度如上所述：1/（sσ），其在整个实线上受支持，但有界。

这与示例1中讨论的情况σ（c）=σc不同，当静态分布集中在一个点上时，但总体向量c的平稳分布的分量不是独立的，因为单个相对大小度量的SDE是依赖的。4.3. 缺乏混沌传播。对于相互作用的粒子系统，有时依赖性（作为过程本身或稳态分布）会随着粒子数趋于一致而消失。这种现象被称为混沌传播，因为系统变得越来越不依赖，越来越混沌。这些结果显示了竞争布朗粒子和波动率稳定模型（见引言中的引文）。但是，由于所有粒子都是相互依赖的，所以对当前系统来说，期望这一点是不合理的。如果存在极限密度，则可能是随机偏微分方程的解。得出这个大系统的极限有待于将来的研究。5、资本分配曲线5.1。修改的绘图。让我们研究一下这个模型中的资本分布曲线（lnk，lnu（k）（t））。我们显式地求解随机微分方程组。我们使用Ck（t）的值绘制资本分布曲线：Ck（t）=lnS（t）Sk（t）=lnS（t）S（t）- lnuk（t）。因此，Ck（t）的排名还原了排名市场权重的排名：0≤ C（1）（t）≤ . . . ≤ C（n）（t）。因此，我们可以绘制修改后的曲线（lnk，C（k）（t））。如果该曲线是线性的，则原始资本分配曲线也是如此。现在，我们将研究随机微分方程（19）系统，并绘制固定t.5.2的图（lnk，C（k）（t））。退化情况。即使系统是稳定的，在定理2的条件下，资本分布曲线可以退化，等于一个点：（1/（n+1），1/（n+1））。当Ck（t）时就是这种情况→ 0 a.s.作为t→ ∞ 对于每个k=1，n