基于CAPM和市场规模的股票市场模型

实际上，在这种情况下，uk（t）→ 1/（n+1）a.s.作为t→ ∞. 尤其是，当ρ>0时，σ（c）=ρc时，在示例1中也是如此。下面，我们考虑的是资本分配曲线不平凡的情况。5.3. 线性情况。这是当（30）α（c）=uc，β（c）=1+γc，σ（c）=ρ时的情况。那么系统（19）是线性的：dCk（t）=-uCk（t）dt- γCk（t）（gSdt+σSdWS（t））+ρdWk（t）。14安德烈·萨兰采夫（AndreySarantsev），《奥利·阿塔的祝福》（Fouring of ori-ATTA），布兰登（BrandonF LORESFigure）图4。资本分配曲线（lnk，C（k）），如【14，第5章，第6.C节】所示，我们可以显式求解这个系统：Ck（t）=Z（t）Ck（0）-ZtZ公司-1（u）（ρdWk（u）- γσSρdu）;Z（t）=exp-（u+γgS）t- γσSWS（t）-γσSt.下面，我们展示了n=100，初始条件Ck（0）=0，k=1，…，的模拟结果，n、 我们取估计值u=0.0069，γ=0.0045。对于ρ，我们取值0.1，这与估计值一致。最后，通过gS=0.0044和σS=0.0541给出了基准（前十分位）月度价格回报的平均gS和标准偏差σ的估计值。我们模拟直到t=100，假设所有W，Wn，Ws是独立的布朗运动。6、结论我们在本文中开发了一个模型，该模型可被视为对CapitalAsset定价模型的改进，该模型强调股票投资组合对整体市场的依赖性。投资组合基于规模（市值），数量α、β和标准误差σ（可分散的特质风险）取决于规模（更准确地说，是投资组合规模相对于基准规模）。因此，我们编写了一个随机微分方程组。我们分别为股本溢价（总回报，包括股息，减去无风险回报）和市场规模（即价格回报）编写方程组。它们非常相似，可以承担同样的特殊风险。

基准的股票溢价和价格回报由不同的随机过程驱动（尽管相关）。基于资本资产定价模型和市场规模15的股票市场模型利用CRSP 1926–2020年的每月规模十分位数数据，我们对α、β、σ作为相对规模函数进行了合理猜测。我们的统计分析不够严格，因为它没有通过白噪声测试。然而，我们确实发现了一些合理的结果。在理论方面，我们证明了长期稳定性结果：在α、β、σ的某些条件下，相对尺寸测度的向量收敛为t→ ∞ 到固定分布。最后，我们的模型通过数值模拟再现了真实市场的一个重要特征：资本分布曲线的稳定性和线性。未来的研究可以包括建立更复杂的时间序列模型，该模型考虑了市场的自相关或非高斯波动。在价格和总回报（以及扩展市场资本化和财富过程）不同的情况下，制定股息的SPT似乎很重要。最后，我们想推导一个大系统极限。附录基于规模的指数基金统计分析CRSP领域的规模十分位数不可直接投资。但个人投资者也可以使用基于规模的基金。其中，让我们以JKJ、JKG、JKD为例：iShares晨星小型、中型和大型交易所交易基金。这些都是基于最大的70%、其次的20%和其次的7%的总存量。换言之，大盘股对应于按市值加权的十分之一到七，中盘股对应于按市值加权的十分之一到九，小盘股对应于按市值加权的十分之一到十的前7%。这些基金的月度算术总回报来自贝莱德网站，2004年7月至2020年8月。

为了实现无风险回报，我们从美联储经济数据网站获取1个月期国债固定到期利率，该利率在2004年5月至2020年7月的每个月的最后一天观察到。我们计算这些回报的几何版本。从每个月的收益率中，我们获得了下个月ln（1+r/1200）的几何总月收益率。然后，我们计算这些基金的股本溢价PS、PM、PL。将前两项回归到第三项：（PS（t）=αS+βSPL（t）+εS（t）；PM（t）=αM+βMPL（t）+εM（t）；εS（t）εM（t）~ N, Σ.（31）分位数-分位数图、Shapiro-Wilk和Jarque-Bera正态性测试以及自相关函数图允许我们假设每个残差序列都可以用i.i.d.正态分布建模。因此，我们可以对回归系数应用标准的学生测试。α和αM的95%置信区间均为零。因此，我们可以假设αS=αM=0，但βSandβMdo的置信区间不包含1。这些系数的点估计值为：βS=1.27，βM=1.15。残差的标准误差和残差之间的互相关估计值为：σS=0.026，σM=0.019，ρ=0.83。每次回归的Rv值分别为87%和80%。因此，我们看到CAPM适用于基于实际交易规模的基金。参考文献[1]Adrian D.Banner，Daniel Fernholz（2008）。波动率稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》4（4），445–454。[2] Adrian D.Banner、E.Robert Fernholz、Ioannis Karatzas（2005）《Atlas股票市场模型》。应用概率年鉴15（4），2996–2330。[3] Adrian D.Banner、E.Robert Fernholz、Tomoyuki Ichiba、Ioannis Karatzas、VassiliosPapathanakos（2011年）。混合Atlas模型。《应用概率年鉴》21（2），609–644.16 ANDREY SARANTSEV，《奥利·阿塔的祝福》，BRANDON F LORES【4】Rolf W.Banz（1981）。普通股回报与市值之间的关系。

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